Введение к работе
Актуальность тема. В последнее деслтилэтш в связи с потребностями вычислительной математики особое внимание при изучении присіли-. венных методов решения опвраторьл уравнений стало уделяться их о:і-ТЕказацш. Выбор оптимального алгоритма является многокритериальной задачей, среди критериев которой - сложность по времени, по ємкості* (по объему занимаемой памяти), простота программной реализации, устойчивость и т.п.
В последнее время в теории приближённых методов ИНТв" ^ИБНОЭ развятке получало направленна, связанное с понятием информационной сложности. Это понятно ЕперЕые сило введено в известной монографии Да.Траубз п Х.Вахьняковского "ОСщаа теория оптимальных алгоритмов." - Н.: Ыир, 1S33. Оно применяется для пбозначэиил минимального объёма дискретной информации, позволяемого с задашюй точностью строить приблигэппоэ решение"той ила иной задачи за минимальное число элементарных операции. .
Ha данном втапэ информационная слояиооть рассматривается в качестве одного аз фундаментальних инвариантов теория приближения и ' численного аналм*»в. Получение достаточно точных оценок этого инвариант" для основных, типов задач математической физики занимает важнейшее место в теории пвформвцжшкой олояиоста. Настоящая циссэрта-цяя находится в русле этой проблематики и посвящена исследованию ип-формзциопапч слозкпсста операторных уравнений, являющихся естественным обобщением некоторых важных типов интегральных уравнений второго рода.
Цель работы звклачавтоя в получении точных в степенной шкала оценок информационной алогности для достаточно общих кляссов операторных уравнений второго рода и в построении алгоритмов, реализующих эти оценка, а такш в применении общих результатов для нахождения точных степенных порядков информационной сложности различных классов интегральных и ивтагто-дафферевциальшх уравнений.
Методика нсследованай. Основшэ результаты диссертации получены
' о помощы) нэтодов современной теории наилуч а приблияении и фукк-
циональпого анализа. Используются оценки приближения оуммзда Оурьа
по различным ортонормировавным системам, теорема о поперечника* ком-
'чяктов, элементы общей теории приближённых методов Л.В.Наяторовича..
Научная новизна и практическая значимость. В работе пэлучэпп следующие основные результаты:
-
установлена общая теорэмв о нижней и верхней оценках шфор-маця^шой сложности операторных уравнэний второго рода, оператори которых л их сопряжённгэ действуют в различные вготоване подпрос-транства гильбертова пространства;
-
в пространство функций, сукмируешх в квадрата, найден точный степенной порядок .міюрмацпонноЯ сложности уравнг мй Ородгодьма второго рода с ядражі из анизотропных классов функций;
-
з пространство непрерывных функций найден точный порядок информационной слокности уравнений Орадгольма с ядрами из классов функций, имэщпх доманирувдул смешанную частнув прсизводнуш;
) получен ответ на вопрос Г.Ваанлхко об информационной слог-пости слабо сик улярннх уравнений Пайэрлсо, возникощих в теория переноса излучения.
Работа носит теоретический характер, при атом результата диссертации могут Сыть использованы при решении прикладних задач, свя-зэнных с интегральными и гатегрт-даффэрещкалышма уравнениями.
Агспробация работа и ггублшшцяи.Полученшів в диссертации результаты д.ою"ДОвались и обсуадались на семинарах отдела теория приблп-псежія Института математики АН Укроипа, на республиканской научпой конференция "Экстремальные задачи теория приближения и их прилоаа-іия" (Ккен,1Э90), на международной научпой конфорэннпи "Теория приближения и задачи вычислительной математики" (Днепропетровск,1953).
Основные результата выполненных исследований представлены в публикациях 11-5].
Структура и обьбм -работа. Диссертация обьбмом 109 страниц маздао-гашного текста состоит из введения, десяти параграфов а списка цита-Р'Л'агшой литературы из 44 наименований'.
Основкоо содарканке рзбогы. '
В первом параграфа представлена постановка задачи.
Пусть X и Г - лишяныэ нормированные пространства, a C(X,Y) ігрострагство линейных непрерывных опораторов Н из X в Y с обычной нормой
Пусть ещё множество №(X,Y) и mhosscteo Ф=У таковы, что оп'ера-торннв уравнения второго рода
z = Hz + I (0.1) *
однозначна разрешимы в X при любых НеМд f будем обозначать Ш«1- Пусть Г > { 0{ ) есть набор непрерывных функционалов ot, из ко кногеотво 0=Х. Каждому .уразнени; (0-1) из класса №,ф] поставим б соответствие числовой вектор І(Н.І)-[в1(Н),...,01{(Н),3!,+,(ї)....,0іі(Г) }, (0.3) который Судам навивать информацией об уравнений (0.1), а набор функционалов X - способов «здания кнфорчащт. Число функционалов 0{ образующих Т, обозначил сдг«]1{Г)« Полоккм . Т^ I Т:'card, (Г) <» Н J Под алгоритмам А' тфцблцЕОшюго. рэсчняя уравнении ез класса С7/,} Зз$еи понимать оператор, сапоо..іВлящяіі информации Т(Н,Г) в катастйі прлблкЕэнного решєния уравнацпя <0.1) элемент A(T,H,f) е X. Иа буда» предподагать^что кавдыа алгоритм А сеязен с параметрическим сзиейотвом олэшнтоз Рд, опрэдвляеглнх значениями некоторого количества числовых параметров, т.в. При в: on A(T,H,J)» ш, , . , гда значения .. t«1,2....,n. звви- сят от компонентов вектора Ї(Н,С) и для начисления этих значении требуется выполнить лишь арифметические операции над компонентами T(H,f). Чероз ^,(1) обозначим множество алгоритмов А, которые ис-пользувт информация T(H,f) и требупт для построения приближённого решения A(T,H,J) РА выполнения на более чем N арифметических о- i-рацип над компонентами вектора 4(13.,1). Рассматривая алгоритмы из' ^д(Т) естествешо предполагать, что Те7"м, И < Н. Как обкчно, погрешность ezflW,01,' АІ алгоритма А па клаоса Ш,Ф] в просї^анстве X определяется ооотаопепиеи е_Г[Я,Ф1, д) « анр Гв - A(T,H,f) I Л1 J E=HzVf «X неТї.гєФ Пусть Т - некоторое множество способов задания /информации, a Tv -киокество всевозможных способов задания информации. Тагда полотям Е,.Гш,Ф1, X, Т] = іпГ Ш ет((Н,Ф1, а"), Ї6ІІІГ.. АЄА,(Т) ^[l.?(,3>], ї] = ^[іК.ФІ. X, rj baначина Ем покэзаьаог ча':ую мввамальнуп погрешность можно получить !'п класса [Л'.ФІ, шполшш но более чем II елемента^ .шх. Таким оОра-гм, эта вр«'ллна харлаьрязуат информационную сложность уравнений нп класса. (Я.Ф1. В 2 прчвзденн прикра, иллвстрлрукаше нв практике способы за-Лі'лия изф.ш«аагсї об уравнениях (0.1) и алгоритма похождения прибли- 'їочннх рєшиїїП. уре.знешгй '.СІ), а такте приведеш извостнаа раков результата по оптимизации алгоритмов приблигданньас райони?! в смысла '-л'-;зсюсги реализаций. Пусть є,, ^лвилнгов гильбертова пространстпа X. Кєя известно, по методу Галар- і\ кипа прзближашют реп&нйо zn= V с^-е уравнэнля (0-1) определявr- ся из уравнения zn~- Р Es + Г t, где PR ортонроэктор из ЗС кз год-прос ранстЕО Р = ерагЦе1Ге2,...,«), являицэеся/езїєйноЙ оболочкой ііотівах п .лекеитов базиса (е^К При отом ыэизЕэстнао коефїициепти c-ir, находятся из скотомы лшзвЯннх уравнений " ' п ck = (f,«?k) + ^ c1-(ek,Hei), 1-1,2,...,11 і=і г' гч'г () - скалярнім произведена в К. Таким образом; діл реализации метода Гчлйркина нужно располагать зкпчпнлямн функционалов вида (f,ek), (ек;аэ1). Способы задания Kirjopv.'swrf, еггрэдд.т.темге набзрзгаї таких функционалов, будам називать гллйркімской инХхзрмоцпей. її 3 приведеш нокоторке «авастале фгжтн кз функционального аналгія и теория аппроксимации, которые используются в дальнейшем.-В чпстчосгк; приведеш вазкее для -дальнейшего окр-эд^ленке предтаблич-«>го поперечника. Пеллчикз '.".. Л..Г її, X 1 =» in J emu cHasijV"'n>U>], Пуз її! ' нчиоторый Kt-чнакт в X, я точная шішяя і"рпнь берётся по всэ- возможным отображениям Ш в N-мерное евклидово пространство к , на.и-вавтся предгабличішм поперечником. В четвёртом параграфе довтся определенно прямых методовt уквзн-таятся основные.их тгаш, а также приводятся примеры различных прпких методов. В 5 доказана общая теорема о точном степенном порядка велігшш Е.. в гильбертовом пространства. Пусть X - гильбертово пространство, X1'- вложенное в X нормированное подпространство, для которого в X найдётся орт^лормлровзшшл бааио 1е±} такой, что для любого п fl-PJ ,. < en" 'а -»л где постоянная с на зависит or n, а Р - ортопроэктор ив span(e1(e2,...,eri).- ООознэчхзл чорэз ї*г,в= ^'"(а, ,а2,р,7) класс операторных уравнения (0.1) с опораторама П7Г,8« ?Г'ы'(а,Р) = { Я: Нв), |H|r+Ir И,, mVx. «а,. |(1-Н )-'| w S р}. и свободными членами iX^=[f: fsf, jf{ , « 7 } Отметим, что в силу рефлексивности; гильбертова пространства X мохно считать, что н*е С(Х,Х). Мы ке дополнительно требуем, чтобы Н* действовал в і дпространства Xа с X, т.е. П* С(Х,Ха). Пусть Пп- Ш«[і,2Ет] U [2k-1,2k] - [t,22n-k] U . U [J,22m] « СП U [f,22n-k] - (Zk-',2k] Рассмотримгалеркипскуп ипфзрмсідта Т оО уравнениях (0.1) из класса Фг'а определяемый набором функционалов rm(H,f) = (св1»Нвлї.(1.ек);<1.ї»еЦп, k=f,2Sra j. Поставим тедарь в соотеотствиа каждому оператору Не7г,в конечномерный оператор . тавляэтся элемент + I W(V>J + W*r W к=1 г v г г " г P^ _НҐР_-Р. .1 .+ _ HP.- P ИР и рассмотри алгоритм A e^tTJ, Н к m»2 , при котором каздому урав нениг. (0.1) из класса ff ,а в качестве правя ги приближенного рэвеная сопос- W'f > - Z4 где 2Д находится пз цг'рощюішогр процесса є, в, - реиеипе уравнения с конечномерным оператором Ч - HcP2nE1 + W' n-I|Sl ' В дальнейшем соотлошенда aQ « Ью Судет означать, что начиная с некоторого и0, выполняется неравенство an «s c«t>n, где постоянная с не зависит от га. Кроме того,. an х от означает, что одновременно вн- ггалняютоя соотношения a < Ь в Ь « а . са із m п .- Твррела б.1.и Если для продтаЗлачного вопорочшпш iyfl]j,) имеет место оценка V*vx> » ІГГ, то при | < а S г И"г « E,j[sir'B,x] « rrr.iog|+'ii. При этом оптимальный порядок ^в1"'".!) а степенной пхала доотввлявт гэлйркинская информация Тт и алгоритм Аш при n га га^. . Следствие 6.1. с Пусть' выполнены условия теоремы 5.1. Для любого U с ЯГ'" При втом оптимальный порядох Е^іСдД) в степенной шкала доставляет алгоритм Ат и галеркинская информация fa(fl,t), N х nt'2Sm. в Результаты 85 опубликованы в работе 151. Б 56 с помощью следствия из теоремы 5.1 найден точный степенной порядок информационной сложности уравнений Фредгольма t z(t) - Hz(t) + f(t) я fh(t.г).z(t)dt * t(t) (0.2) о ядрами из Соболевских классов. Через Щ,в обозначим класс интегральных операторов Н из (0.2) для которых I fГ-НІ j s р, а ядра h(t,x) имепт непрерывные частные производные ^ f 'г ], a h(t,xka і г v в П. рассмотрим класс 9j,B интегральных уравнений (0.2) со свободными членами X из пара Ь| (0,1) радиуса 7 в пространства l(0,t) функций f(t), у которых t » Ь2(0,1) в оп&раторкш Н е ?^'. Tecpesa 6.1.а При | < о < г г,а«1,г,... При этом оптшгальнШ порядок в степенной шкала на класса еГ'в реализует алгоритм А^ и галэркгаская информация Т (H,f), т<гг'а х N, построенные на базе ортонормирован^ой системы полиномов леаандра.0 За*ечаниэ.а Пусть Т0- множество способов задания информации об уравнениях из класса Щ'* при которых в качестве функционалов 0А(Н), О.(f) йспользувгся значения ядер h(t,t) и свободных члі эв I(t) в некоторая точках. Отметем» что способа задания і формации из TQ традиционно исшлъзувтся при приближенном решении интаї^алмшх ' уравнении Средгольиа второго рода. Из результатов К.В.Емельянова я А.И.ИЛьина сяэдуег, что при г=>з ^M2(o.i).r0] .аГ* Сравнение этого соотношения с теоремой Є.1 показывает, что тради-цйонкнэ способа задания информации об,уравнениях Фредгольма второго рода tie позволяют строить оптимальные по информационной сложности влгзрягш приближенного решения.о Результаты $6 опубликованы в рабиїо СО). В 7 приводится применение . теоремы 5.1 к оценке сложности цькотория классов кнтвгро-дшМвреициалышх уравнений.- Результати 57 опубликованы в работе С4І. Восьмой параграф посвящен примаішнив теорема 5.1 для оценки информационней слашости слабо сингулярных уравнений Пэйерлса: Z(t) » HbS(t) + I(t) а ГК{ Jt-Ti).b о где со ц1 E(u) —с^- ITV1 + У (-1)1"1. , оп« 0,6772. рассматриваема, в коостранства L,.(0,1 ). '' * . 1/а Пусть К; (О 1) есть пространство Соболева, И2 (0,1) - пространство функция їєЬ-О.І), для котор1 t ? ,to.,(I.h) ' гда и, (r\h) - интегральный модуль непрерианости функции fli2(0,l ), й В1 ,к(а) - есть множество функций b(t), .которые ймеш не Оолое чем ї точек разрыва первого роцз tQ= О < t,< t2< ... < tr< tp+)= 1, r=r(b) « k, и для t є l\ ,, t±], і«1,2,...,іч1» Jb(t)| + J gf b(t) j * d ' Обозначил через ^,}/г класс уравн&ний Пвйерлоа (0.3) для которых b(t) B1,k(d), а свободную члени f(t) принадлежат шару В^ радиуса у в простран Теорела 8.1. -1 N зЦ^'1'2, b2(0,t) j « к_1.юв|я. При . том для класса Wp'V2 оптимальный порядок информкшонпой слоя-яости в степенной шкале доставляет алгоритм А и галёркияская информация Тт(Вь,1), К х ni'2m, построенные на Сазе система Хаара." Зал, чаюе. На симпозиуме по методам решения сингулярних уравнений (Тарту, 19аэг.> Г.Н.Baft :кко поставил вопрос о точном стопвншм порядке нафоркщюшюй сложности. Теорека 8.1 даёт ответ на ; вопрос Г.М.Вайникко для уравнений Пайерлс. , возникают* в тесрвя пяраноса изучения. Результата 8 опуОлкковйнн в работа 151. В 9 рассмотрена зпдвча об огаюйэ вэл-.т"ч Е^ для уравнения Срэдголша, ядра которых; лринэдл»кзт классу функций с "доминкрупцэа омепаяноЯ производной", в врострэнствэ С * 0(0,2x3 непрерывных но I0,2xJ 2к-пвряодичеиая фукадя. Пусгь 0l"= G"(0(Zx), r*i,3,... ,-простраксїїю г раз непрерывно яийфэрэнкируекшс 2х-пэртодаческис «йгакетй «с нормоя Jf Jcr = jrjQ + + |J(r5|g, $г,а- линейное етостретство 2тС-ПврИОД!ГЧЙСКИХ по хвхдоа ттзр'?енвсЗ фузшшй h(t,t), у которых частные птхжзвадяыв из htt,J'(t,1)» г—; . Ї=0,1,...,Г, ^0,1,...,3, иепрврызны по квчдрэтэ Q 10,2тс]«[0,2гс1; I- a <" = (h: htlf415, У У таг lii'1-З'(і,т;) І < а ) і-О J--0 "* ,сч Обозяпчзм через ?'г = 7(*г(а,р) класс гатвгряльннк оператору. Halt) -/ h(t,t)-z(a)dT для которых h(t,x3 ф* и 1(1-)1 | ^ Р- Классы уравнения (0.1) со свободигап чл^яетя ЇІ.Х) пз шара сГ радиуса 7 в тгрсстрнг тва 0r л опррвтормта Н с ?**г обозначим чэрэз ^''- Пусть гп 1 В'п) - |o,2n-l]»jo,l] И [0,2p(",1-l]v[m,n>nJ, где р(тг.)=1 | «{n-il + Jog^ral)], m»1,2,..,2^-1, їдгЗ - целая часть г. Рассяогрта способ задания информация T3(H,f) об уравнениях (0.1 таз юясга 9р'г, опрэдодяэтша набором функционалов Т2(Я,Г) « | pi(u,t>) о . ) а алгоритм A3'.: Л}(Т?), тзрз которой кэлцотеу уравнении (0.1) иг;-класса 9-.. Vq'1* в качества приближённого решения сопоставляется влеыэнт 2(Ап) - VT,.H.i> - V (l-En32q)"1(Vgn_,f 4 Нпгп- д. где z - решение уравнения с конечномерным оператором Z - Н S z 4 7 .*, q»f S 1. П n 2 Л 2 З V и S - соответственно суюш івллв Пуссена и Фурье, а Н - нэкото-рый конвчномеріши оператор который ставится в соотввтотт в оператору Н Е'г и для построения которого используется информация Jg(H,f). Teppeja 9.1. ,. При г=>1,2,... Е,,( «$-. О ) * Г1* При втом точный порядок Ejjf їд'г, Т ] реализует информации Т3(Н,Х) и алгоритм Ад, 3 * 3(п), где п определяется кз соотношения 2 х Н Q В 1986 г. Х.Вожьняковский поставил вопрос о точном порядке ии-фзрмвциошюй слокпости уравнения Фрэдгольма второго рода с ядрами в свободными членами из определённых функциональных классов. Теорема 9.1 дао ответ на вопрос.Х.Вокьняковского для случая уравнений па класса 5'J'1". Результата 9 опубликовани в работе ИЗ. В последнем параграфе рассмотрена задача об оценке.информационной сложности иногомэрных уравнении фредголига с ядрами из классов функций Соболева в пространстве Ь^О*1) суммируемых в квадрате на О"» »(0,ZlCln. Цусгь WgCtf1) - проограяство Соболева йя-пвриодических функций от п яеремэнша, г. ш (О11) - шар радиуса у в этом пространстве. Обозначим чёрэз я т» Щ а(а>Р) КЛ8С0 интегральных операторов ^V^ V -SWi V4 V*B(,ri \,л."л»' О -і у которых h Г? (о2*) и І fl-НІ I * ft, в через Sgf Расмотрим способ задания информации Т*ге об уравнениях (0.1) из класса з К' t„ (H.f) - h(3). П соаГІ^і- -g- )<Й, г є Г2п(п). v. -»« іг!І QZra ^ 1=' ' «__ гдо Г_(п):= ((1,..,ts): tx, 'tj « n }, tfMO.q-l), q-і'.У n I, -» -# а к a I ~ Еэктсрн с цолоілсленнамз координатами я поставим п С00ТЕ0ТСТЕИ9 ксздому оператору П < іЄ жоівчнокврнкЛ опэрзтор VV4 **.>" TSSSVJL г"(П" а ц(1) - -етсло вектора І, отличнкх от нуля. Рассмотрим оце алгоритм д" є ^{ї*), при котором каждому урзЕлании (0.1) из класса s в катестве приблизнішого решения со-поставляотся элокэнт 8(л») - аХ".а.л - v С1-^)"1^ + HnV zp) гдэ з - реиэлиэ уравнения 2 - Н Sras + Sat, р = I3n v (Ztc)" J J-„ 1=1 A і і k - вектор с целочисленным» координатами. Тесрела 10.1.с Прл г, пЫ,2,... дават место соотнооенаа х- т 2т-1 N" 5 * EN( Sj>n; Lg ] «'if S -(logHJ m , » . о Оптимальякй порядок 2,, | s n, 1 J реализует способ, задания таЮр- . .ПШ,Г) и алгоритм А. п Результати 510 опубликованы в работах C2.3J. Автор благодарит своего научного руководителя доктора физико-математических наук О.В.Пэраверзэва га штанга и постоянную помощь в работе. Основные шлоквння диссертации опубликованы в слэдующза I. .Сотах: Шарипов К.К. Слогшосгь ура^эния Срэдгольма II рода с ядраш кз іиіассов с доминирующей смешанной производной // Укр.мат.вурк. -1990. - 42, в 8. - О. 1138-1145. Шарапов К.К. .0; нка слогаоста радений Шьуомэршх уравнений Фрэдгольма ІЇ рода.// Респ. науч. конф. "Экстремальтю задача теорій приб; квния и кх приложения", Киев, 29-31 мая 1S90 г.: Tea. докл.- Киев, 1990.- О. Uj. Шарапов К.К Оценка сложности приближённых реивння многомерных уравнений Оредгольма II рода.// Современные вопросы теории приближения а комплексногг анализа,- Киев: Иа-т математики ДН УСОР, 19ЭО.- 0. 127-136. Шар*"іов R.K. Сложнос'ъ решения некоторого іиіасса Ентвгро-даїфа-рэнциальных уравнений // ЫЬкнер. конф. "Теорія наближання та ва-дачі обчислювальної математики", Дніпропетровськ, 26-28 трав. 1993 р.: Тез. ДОП.- Вад-ВО ДЦУ, 19ЭЗ.- С. 209. . Б. PereverzeT S.V, Soharipo? 0.". Information complexity of equations of the aecond kind with compact operators In Hlloert space //J. of Complexity. -.1992.- 8.- P.176-202. #*<Ґ
торых о, ,бг ofe определена на множестве 7, а ок+1 0т на
{1Лг'*"'а *
стве Bg (0,1 ). '
Похожие диссертации на Оптимальные методы прямолинейного решения интегральных уравнений
