Введение к работе
Актуальность темы.
В рамках развития теории всплесков в 90-х годах зародилась теория мультивсилесков. Для классического (скалярного) случая используется одна функция ф: которая порождает ортонормированный базис пространства L2(M) своими сжатиями и сдвигами \Т'2г\)(2^и — к) : j,k Є Z}. Для муль-тислучая ортонормированный базис пространства L2(M) образуют функции {2^2і[)і(2Juj — к) : 0 < і < г — l,j, к Є Z}, получающиеся сжатиями и сдвигами конечного набора функций {^}[=о? гДе г называют размерностью мультивсплеска. Большой вклад в развитие мультивсплесков сделали Alpert В., Geronimo J., Hardin D., Keinert F., Massopust P., Strela V. Одно из преимуществ мультивсплесков состоит в возможности построения порождающих функций, которые обладают более хорошими свойствами по сравнению со скалярным случаем, например: локализованность по времени и частоте, симметрия, гладкость, количество нулевых моментов.
Несмотря на активное развитие теории мультивсплесков и наличия большого числа зарубежных публикаций, в данной теории не рассматривались непрерывное и двоичное мультивсплесковые преобразования. Актуальным является определение и исследование непрерывного и двоичного мульти-вспЛесковых преобразований. Также представляет интерес с точки зрения анализа особенностей функций построение «алгоритма с дырами» двоичного мультивсплескового преобразования. Для мультислучая появляется возможность построения из кусочно-полиномиальных функций мультивсплесков с компактным носителем, что для скалярного случая невозможно. Примерами таких мультивсплесков являются мультивсплески, которые ввел в рассмотрение Алперт. Представляет интерес исследование временной локализован-ности этих мультивсплесков, а также их аппроксимационных характеристик.
Цели работы.
определить непрерывное и двоичное мультивсплесковые преобразования. Исследовать представления функций при помощи этих преобразований. Построить «алгоритм с дырами» двоичного мультивсплескового
преобразования;
найти радиусы мультимасштабирующих функций и мультивсплесков
Алперта и изучить их аппроксимационные характеристики.
Методика исследования. В диссертации использовались методы теории функций и функционального анализа. Научная новизна.
Определены понятия непрерывного и двоичного мультивсплесковых преобразований.
Доказаны теоремы о представлении функций при помощи непрерывного и двоичного мультивсплесковых преобразований.
Доказано, что ортогональный мултивсплеск порождает разбиение единицы.
Разработан «алгоритм с дырами» двоичного мультивсплескового преобразования.
Найдены радиусы мультимасштабирующих функций и мультивсплесков Алперта.
Изучены аппроксимационные характеристики мультивсплесков Алперта любой размерности.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего исследования мультивсплесков, в частности для изучения аппрокси-мационных свойств и свойств локализованности.
Аппробация работы. Результаты данной работы докладывались на конференциях: International Conference «Wavelets and Applications», St. Peterburg, Russia (2009); Саратовская зимняя математическая школа «Современные проблемы теории функций и их приложения», посвященная 125-летию со дня рождения В.В. Голубева и 100-летию СГУ, Саратов (2010); International Conference «Banach Spaces Geometry», St. Peterburg, Russia
(2010); Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы», Воронеж (2011); Казанская летняя научная школ а-конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», Казань (2011).
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[7]. Из совместной работы [3] в диссертацию включены только результаты автора. Работа [4] соответствует списку ВАК РФ.
Структура и объем работы. Диссертация объемом 101 страница состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, и списка литературы, содержащего 63 источника.
