Введение к работе
. Атуальпоааъ тела. Голоморфные преобразования тех или иных геометрических объектов уже давно являются предметом исследования математиков. Мзвэстная теорема Римана о конформном отображении (Риман, 1851, Ш) дает описание группы автоморфизмов односвязных областей в с. Любая такая область, чья граница содержит более одной точки, конформно эквивалентна кругу и ее груша автоморфизмов зависит от трех вещественных параметров. При переходе к пространствам с" более высокой размерности (Л>1) ситуация становится более сложной. Группа автоморфизмов шара зависит от N2+2N вещественных параметров, тогда как группа полидиска - от Ш вещественных параметров (Пуанкаре, 1907, 12], Рейнхард, 1921, ). В частности, это означает, что эти области неэквивалентны. Более того, почти любые две случайно выбранные области в с" при N>1 оказываются неэквивалентными, а их группы автоморфизмов - тривиальными (Берне, Шнайдер, Уэллс, 1978, [31).
Ш Риман В., Соч., пер. с нем., M.-JL, 1948, с. 49 -87.
12] Poiancare Н., Lea fonctlons analltlques de deux variables et la representation conJorme. // Rend. Clrc. Math. Palermo, 1907, p. 185-220.
[31 Burns D., Shnider S., Wells R.0.,. Deformation оґ arlctly pseudo-convex domains. // Invent. Math., 178, v.46, N 3, p. 199-217.
Имеется ряд возможностей для сведения задач, связанных с изучением отображений областей, к задачам об отображениях некоторых вещественных многообразий. Одна из них - переход к отображениям границ этих областей. Другая связана с возможностью перехода к отображениям границ Шилова. Т.к. граница Шилова для таких областей как, например, аналитическиа полиэдры (области, заданные . конечным числом аналитических неравенств) представляет собой объеденение поверхностей высокой (Ъ1) коразмерности, то встает вопрос о голоморфных отображениях вещественно аналитических поверхностей коразмерности к.
С кавдой гладкой поверхностью связан некоторый объект, называемый касательной квадрикой. Это поверхность,
задаваемая в координатах (а1, ... ,zn, w1 wk),
w=u+iv, уравнением v=
векторнозначная эрмитова фэрма. Вопрос об автоморфизмах гиперквадрик (к=1) полностью решен ( [4]). Что касается квадрик высокой (к>1) коразмерности, то важные результаты в этом направлении были получены Тумановым и Хенкиным
U) Chern S.S., Moser J.K., Real hypersurtaces In complex <
manifolds. // Acta Math. , 1974, v.133, N 3-4, p. 219-271.
( [53,[6]), Белошапкой ([7],[8]) и Абросимовым ([93).
В настоящей диссертации рассматриваются невырожденные квадрики коразмерности два. Опираясь на классические результаты о приведении пары эрмитовых форм к каноническому виду ( [10], т.4.5.19; [113), всякую такую квадрику можно
15] Туманов А.Е., Хенкин Г.М., Локальная характерязация голоморфных автоморфизмов областей Зигеля.// Функциональный анализ и его приложения, 1983, т.17, N 4, с. 49-61.
16] Туманов А.Е., Конечномерность группы CR-автоморфизмов стандартного CR-многообразия и собственные голоморфные отображения областей Зигеля.// Известия АН СССР, сер. мат., 1988, т.52, И 3, с. 651-659.
[73 Белошапка В.К., Конечномерность группы автоморфизмов вещественно аналитической поверхности.// Известия АН СССР, сер. мат., 1988,г.52, N2, с. 437-442.
[83 Белошапка В.К., О голоморфных преобразованиях квадрики.// Мат. сборник, 1991, N 2, с. 203-219.
[93 Абросимов А.В., 0 локальных автоморфизмах некоторых квадрик коразмерности два. // Математические заметки, 1992, т.52, N 1, с. 9-U.
[103 Хорн Р., Джонсон Ч., Матричный анализ , М.: Мир, 1989.
[113 Turnbull H.W., On the equivalence of pencils of Hermltlan forma // Proc. ]London Math., Soc (2), 3 (1935), N 3, p 232-248.
записать в некотором каноническом виде. На основании этого в первой главе дается полная голоморфная классификация (2,п)-квадрик. Во второй глава явно описана юс алгебра инфинитезимальншс автоморфизмов. При этом использованы результаты первой главы диссертации и формула для алгебры, полученная Белошапкой ([8]). Явное описание алгебры позволяет, в частности указать и оценить ее размерность, выделить квадрику с самой богатой группой автоморфизмов.
Цель рзбот. Изучить невырожденные квадрики коразмерности два. Явно описать их алгебру инфшштезимальных автоморфизмов.
Метод исследования. Используются методы линейной алгебры.
Научная новизна.
-
На основе классических результатов дана голоморфная классификация квадрик коразмерности два.
-
Явно описана алгебра инфинитезимальншс автоморфизмов невырожденных (2,п)-квадрик.
3. Получены точные оценки .размерности- этой алгебры и
выделена квадрика с самой богатой группой автоморфизмов.
Приленеяие. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут бить использованы при вычислении групп автоморфизмов поверхностей.
Апробащя работы. Результаты настоящей диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах
механико-математического факультета МГУ, руководимых акад. Витушккным А.Г., акад. Гончаром А.А., д.ф.м.н. Сергеевым А.Г.
ПуЗлитцш. Результаты диссертации изложены в двух статьях, список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертщш. Диссертация состоит из введения и двух глав. Объем работы - 113 страниц. Библиография - 22 назвешся.
