Введение к работе
Актуальность темы- Изучение свойств банаховых алгебр с смощью банаховых модулей (т.е. их представлений в банаховых
рОСТр"ТТСТЕаХ; ііііьиї ЦНЬкімлі -грйлици?". ОДЯ." ТГЗ Т5О0МОаЛІІ4. ІІОДІО-
эп к банаховым модулям является исследование их гомологических войств. Начало ему положил Г.Камовиц [1] . перенесший введен-эе Г.Хохшильдом [2] понятие группы когомологий ассоциативной лгебры в контекст теории банаховых алгебр. После того, как .Я.Хелемскии [3] рассмотрел относительную категорию банаховых эдулей и показал, что в пей каждый объект обладает проективной эзольвентой, оказалось возмоюпл» применять производный функтор XT к вычислению груші когомологий Хохшильда-Кямовица. Это выз-ало к жизни подробное изучение "банаховых аналогов" и других омологических понятий, в том числе и понятие глобальной гомо-огичоской размерности ІЗ].
Вообще говоря, глобальная размерность банаховой алгебры ожет принимать любое (целое) значение от нуля до бесконечности
1. Kamawltz И. Cohomology groups of commutative Banach algebras.// Trans. Amer. Math. Soc. 1962, V.102. P.352-372.
2. Hochschild G. On the cohomology groups of an associative algebra.// Ann. of Math. 1945, V.46. P.58-67-
3. Келелский А.Я. Гомология в банаховых и топологических алгебрах. М.: Изд-во МГУ, 1986.
включительно [4] . Но до сих пор неизвестно, существуют ли по-лупрослте банаховы алгебры (том числе и С*-алгебры), глобальна* размерность которых равна 1 [5; стр.434] . Такой вопрос имеет смысл только для бесконечномерных алгебр, поскольку глобальная размерность любой конечномерной полупростой алгебры равна О. Для бесконечномерных алгебр вопрос гораздо более труден. А.Я.Хелемским было доклзано, что для любой коммутативной банаховой алгебры с бесконечным спектром верна оценка dg А * 3 [3]. В гомологической теории банаховых алгебр принято называть теоремой о глобальной размерности какое-либо утверждение, устанавливающее для некоторого класса бесконечномерных банаховых алгебр (как правило, полупростых) оценку снизу их глобальной размерности числом 2. Теоремы о глобальной размерности доказаны для С -алгебр с конечномерными неприводимыми представлениями и для широкого класса групповых банаховых алгебр [6] . Впоследствии теорема о глобальной размерности была доказана для более широкого класса С -алгебр: так называемых CCR-алгебр (=лими-
4. Селиванов V.B. О значениях, принимаемых глобальной
размерностью в некоторых классах банаховых алгебр.// Вест.
Моск. ун-та. сер. Матем., механ.. 1975, N1. С.37-42.
5. Хелелсний А.Я. Банаховы и полинормированные алгебры.
Общая теория, представления, гомологии. М.: Наука, 1989.
6. Келелский А.Я. Об одном методе вычисления и оценки глоба
льной й гомологической размерности банаховых алгебр.// Мат. сб.1972, т.87(129). С-122-135-
нальных алгебр) [7] , (З.А.Лыкова), для бипроективяшс полупрос-тнх алгебр со свойством аппроксимации ([8] , Ю-В.Селиванов) и других. Вопрос о том, верпа ли теорема о глобальной размерности для произвольных С -алгебр, до сих пор остается открытым. В частности вопрос представляет интерес в случае GCR-алгебр (класс, содержаїций CCR-алгебры) (9].
ОДНОЙ ИЗ ПРИЧИН рояк-niv-. 'ГГ.ТГГТГГЛ ГС&4_иіиі'ИЧйОКОй тяптпга J»
-
Lykava Z.A. The lower estimate of the glo-bal homological dimension of infinite-dimensional CCR-algebras // Proc. of OATB 2 Conference, Craiova, Romania, 1989, P.43.
-
Селиванов Ю.В. Бипроективные банаховы алгебры, их строение, когомологіш и связь с ядерными операторами.// Функд. апал. л прил., 1976, Т.10. С.89-90.
-
Lykova Z.A. The homology of C*-algebraB.// Linear
and complex analysis problem book 3, /part 1/ Havln V.P., Hikolskii N.K., eda// Lect. Notes in Math. N.1573. Berlin: Springer, 1994. P.79-82.
10. Куржисаева Е.в. Зависимость строгой гомологической разыерно-ности С(0) от топологии Q.//Мат.заметки, 1994, Т.55. С.74-83.
называемого слабого (инъективного)тензорного произведения, введенного А.Гротендиком в работе [11] «лишена этого недостатка. При построении такой теории необходимо рассматривать лишь строгие алгебры и строгие модули, то есть алгебры и модули, в которых оператор умножения ограничен в топологии, задаваемой слабой нормой. Тогда слабое тензорное произведение можно использовать при определении свободного модуля, и в этом случае любой объект в относительной категории строгих модулей имеет проективную резольвенту. Строгие банаховы алгебры впервые появились в работе Н.Варопулоса [12] (под названием "иньектнвные"). а затем исследовались в [13], [14], [15] и [10]. В частности были получены различные характеризацни строгих алгебр, в основном, коммутативных, но строгие некоммутативные С -алгебры ранее не-
-
GrottiencHeck A. Prodults tensorielles et eapacea nucleai-res. Mem. Amer. Math. Soc. 1955, V.166.
-
Varopouloa N.Th. Some remarks on Q-algebras-// Ann. Inst. Fourier ( Grenoble ) 1972, V.22, M.4. P.1-11.
-
Varopouloa N.TU. Sur lea quotients dee algebres unlformes. // Compt. Rend. Acad. Sci., Paris 1972, V.274, N.18, eer.A. P.1344-1346.
-
Varopouloa V.Th. Sur le produit tensoriel dee algebres normees.// Compt. Rend. Acad. Sci., Paris 1973, V.276, N.18, вег.А. P.1193-1195-
15. Kaljaer S. Some remarks on infective Banach algebras.// Spaces of analytic functions. A.Dold, B.Eksmann, eda.// Lect. Notes in Math. N.512. Berlin:Springer, 1976. P.84-95-
изучались.
Е.ЕІ. Курмакаевой [10] показано, что строгая гомологическая биразмерпость іф>) коммутативной С*-алгебры не превосходит 1
тогда и только тогда, когда она сепарабельна. Естественно пред
*
положить, что для строгих С -алгебр сепарабельность всегда эк
Бивалентна неравенству rfb л і 1. Метод, использованный Курмака евой, опирается на установленную Грюйнхеджом [16] связь между ЬїіЗТ1>іМуезмосїЬЮ компакта и нярв*-пмттяктнестъ!Ч л~"0"ТТТ"шт До дії агопали в его декартовом квадрате, а также использует подход, основанный на построении непрерывной функции, называемой "скелетом проективного идеала" и играющей важную роль в гомологической теории коммутативных банаховых алгебр [ЗІ-
Цель работы. Оценить значения принимаемые "стандартными" и строгими гомологическими размерностями С -алгебр, описать строгие С -алгебры в терминах их неприводимых представлений.
Научная новизна. Основные результаты являются новыми: 1. Получена характеризация строгих С -алгебр в терминах их неприводимых представлений.
2.Получены оценка сверху строгой гомологической размерности сепарабельной строгой С -алгебры в рамках гомологическое геории строгих банаховых алгебр и гомологическая характеризация сепарабельных алгебр в классе однородных строгих уннтяльггых
16. Gruen/iagf? G. Covering propaties of ff-eots and com-
pact subsets of -producta.// Topology Appl. 1984, V.17, 287-304
С -алгебр.
3.Доказана.теорема о глобальной размерности для широкого класса сепарабелышх С -алгебр, включающего алгебры без единицы.
4- Доказана теорема о глобальной размерности для
сепарабелышх GCR-алгебр.
Методы_исследования. В работе используются общие методы функционального анализа, гомологической алгебры и общей топологии, а также методы теории представлений и тензорных произведений С*-алгебр. Кроме того, применяются специфические методы гомологической теории банаховых алгебр.
Практическая и теоретическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут найти примене-' ниє в гомологической теории банаховых алгебр, структурной теории С -алгебр и теории операторов.
Апробация диссерттации. Основные результаты работы докладывались на научно-исследовательских семинарах МГУ и на конференции "Банаховы алгебры-95" в Ньюкасле.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 2 статьи. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разделенных на 11 параграфов. Объем диссертации - 85 страниц, в том числе 1 рисунок и 1 таблица. Диссертация снабжена оглавлением и списком литературы из 58 наименований.
