Введение к работе
Диссертация посвящена изучению основных гомологических характеристик - групп когомологий и гомологических размерностей - некоторого класса коммутативных банаховых алгебр. Речь вдет об алгебрах, которые не совпадают с замыканием своего алгебраического квадрата. Они называются неидемпотентными. Эсобый интерес представляют результаты, касающиеся характеристик радикальных алгебр из этого класса.
Актуальность темы. Исследование гомологических характеристик алгебр и модулей является одной из главных задач гомо-иогической теории как в чистой алгебре, так и уже значительное время в теории банаховых алгебр.
Помимо самостоятельного интереса, эти характеристики іграгот большую роль при изучении дифференцирований, расширений и возмущений банаховых алгебр. Они тесно связаны с 5анахово-геометрическим строением модулей, а также с фундаментальными понятиями топологии и функционального анализа [І] .
Несколько слов об истории банаховой гомологии.
Важнейшие гомологические характеристики -группы когомо-тогий - были открыты в 1945 году Г.Хохшилъдом[2"3 в гомологии їисто алгебраических систем.В 1962 году Г.Камовиц[з].используя банахов аналог комплекса Хохшильда, определил группы
]і\ Хелемский А.Я. Гомология в банаховых и топологических
алгебрах. - М.: Изд-во МГУ, 1986. [2] JrvcJucJiiZcL У. On, ike. (итопин/хш сухоши, oL ал, a^ociar
ІІАге. c&je*a^.-Clnn..Math..,t945','ir. 46,p.S~8-6f. [з] Хатспиііл Ж Са^ьотоімч агоилл оЕ mrmutati/oe* J3cuiacb
когомологий банаховой алгебры А с коэффициен-
тами в банаховом А -бимодуле д и, в частности,-установил биекцию между множеством классов эквивалентности сингулярных расширений А с помощью X и элементами
Следующий этап связан с рассмотрением относительной категории банаховых модулей и широким использованием проективных резольвент и производных функторов в работах А.Я.Хелемскога [5,6 и дрГ|,что позволило решить многие задачи в общем виде. При этом стало ясно, что вопрос об оценке и вычислении гомологической размерности /у истоков этого понятия стоит теорема Д.Гильберта о оизигиях [7*1/ имеет самостоятельный интерес.
В 1972 году Дж.Тэйлор [8\ определил гомологические характеристики локально выпуклых алгебр с целью создания аппарата
(4І ЩисЬыц>и Сі. &#с -'котсмсе. е &к, соксто&ы d&i alae&m cL. dhotAicuk-^L.Si. dead. 5a. lfLu^?
[_5]Хелемский А,Я. О гомологической размерности нормированных модулей над банаховыми алгебрами. -Матем.сб.,1970, т.81 /123/, с.430-444.
{6.*Хелемский А.Я. Об одном методе вычисления и оценки глобальной гомологической размерности банаховых алгебр. - Матем. сб., 1972, т.87/129/, с.122-135. п
Ы Mlwb 9). иве*. dUe, Ttemu. Je*~ MUkaiuJu*.
для решения классической проблемы построения голоморфного исчисления от нескольких операторов в банаховом пространстве.
Существенное развитие.методы изучения групп когомологий банаховых алгебр,основанные на рассмотрении стандартного когомологического комплекса, получили в работах английских математиков:Б.Джонсона,Р.Кэйдисона и Дж.Рингроуза[?,10 и дрГ|.
Сравнительно недавно появились работы, предметом исследования которых являются циклические группы когомологий банаховых алгебр /см..например, [ill/. Эти группа представляют собой естественный банахов аналог циклических когомологий, открытых А.Конном [12] /циклические гомологии - независимо-появились у Б.Л.Цыгана [ізЗ/.Когомологии Хохшильда-Камовица и циклические когомологий взаимно связаны и знание одних полезно при вычислении других.
Что касается результатов банаховой гомологии,непосредственно примыкающих к вопросам, изучаемым в данной работе,
- тп&гп. Оте*, тіш*.. &e.v /та, У= Уй*.
аіое&хаб.І. Щу/ге,І von, jteu/na/uv аое&ш4. ~~ [ill (УшлЫплел. ., -$іпсоил; CI. 9?L, On. -ike, vqauJum
[l2j Consm CL. Сокаглошїе. си/асйше,
[ІЗ]Цнган Б.Ло Гомологии матричных алгебр Ли над кольцами и гомологии Хохпшльда. - УМН, 38 /1983/, 217~2180
напомним лишь следующие. Если гомологическая размерность ком мутативной банаховой алгебры равна и-1 , то коразмерность замыкания ее алгебраического квадрата не превосходит It[l4,15 Более того, в работе І.15І установлена связь между значениями принимаемыми указанными величинами, и наличием структуры аналитического полидиска в спектре алгебры. Среди результато о гомологических размерностях наибольшего внимания заслуживает так называемая теорема о глобальной размерности [14]. В ней утверждается, что глобальная гомологическая размерность коммутативной банаховой алгебры с бесконечным спектром болыа единицы. Как следствие, эта теорема дает отрицательный ответ на вопрос о расщепимости всех сингулярных расширений такой алгебры. Наконец, отметим, что к настоящему времени точные значения гомологических размерностей вычислены для целого ряда полуцростых банаховых алгебр: функциональных, операторных , групповых [ І].
Дель работы. Изучение симплициальннх и циклических кого-мологий неидемпотентных коммутативных банаховых алгебр и гомологических размерностей тех из них, которые являются радикальными.
Метод исследования. В работе используются методы исследо-
[14]
Хелемский А.Я. Низшие значения,принимаемые глобальной гомологической размерностью функциональных банаховых алгебр. - Труды семинара им.И.Г.Петровского,1978,т.3, с. 223 - 242. [і 5J Пугач Л.И. Гомологическая размерность идеалов функциОї нальных алгебр и аналитическая структура,- Функц. ан. и прил., 1982, т.16, вып. 3, с. 82-83.' - 6 -
вания гомологических характеристик, основанные на рассмотрении комплекса Хохшильда-Камовица и стандартной проективной резольвенты.
Научная новизна» Основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Доказан геометрический признак нетривиальности симшшциальных и циклических когомологий банаховых алгебр: если коразмерность топологического квадрата коммутативной банаховой алгебры равна хь , то симплициальные когомологий этой алгебры нетривиальны во всех размерностях от 0 до К/ , а циклические - во всех размерностях от 0 до И.-1 . Показано, что малая глобальная размерность не-идемпотенткой коммутативной радикальной банаховой алгебры больше 1. Доказано,что гомологическая размерность радикальной алгебры степенных рядов с быстро убывающим весом равна бесконечности. Насколько известно, это первый пример класса радикальных банаховых алгебр, не являющихся нильпотентными в алгебраическом смысле, для которых вычислена их размерность.
Приложения. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в гомологической теории банаховых алгебр, в частности, при изучении дифференцирований и расширений алгебр.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференциях молодых ученых механико-математического факультета ЖУ /1987, 1990 г./, на Международной конференции по алгебре памяти А.И.Ширшова /г.Барнаул, 1991г./.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах,список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения,
двух глав, разбитых на 8 параграфов, списка литературы и указателей наиболее употребительных терминов и обозначений. Текст диссертации изложен на 77 страницах. Список литературы содержит 47 наименований.
