Введение к работе
Актуальность темы.Теория оияьшА суммируемости ортогональних реэло-
кеннй(рядоо Фурье) являзтся одной из интенсив»') р?> шинашихся облас
тей математического анализа,. Данная тематика o'ofeT свое начало в на»'
вестных работах Харцк И Литглвуца, и к наотодпдему нрамени ц в этом
направлении получен целый ряд важных результатов.Бночительдая часть
ранних результатов изложена в монографиях Н.К.Ворй, А.Зигиуща, Г.
Аяексича. Более поэцние результаты отраяени в кчигяи; Б. 0.Котина и
А.А.Саакяна, Л.Лейнцязра, А.И.Стегаанг>а- и др., и донтэрских цносер -'
тениях Л.Д.Гоголадзэ, О.Д.Гйбиооьия, Н.Л.Почулга. й.Л.Родина, а так
же в обзорных: статьях Л.ВЛСияиашвияи, Л.ВЛ'ютапвнли'и СБ.'Гопурчя,
Б.И.Голубова и цр. ,
Пусть .|; {х)-л-периодическая функция, оуммфуииан со степенью а > і на СО.аЗРЗ , f U) Є JJ (О, &*):*&,Ц=: L л Д&)г частичная сумма порядка к ев ряда Фурье по ч'ригэно^егрг'ческоЯ система. Говорят, что ряд йурье функции ^("l} І-> ак;,ыо суммируем qo степенью 4^7 0 ияи ^ И, ^)-суммируем а точко X к числу ut\ec-йи
Понятие сильной суммируемости оказалось достаточна эффоктив -
ныи, и послужило основой нового направления а теории ,зиц">в Іурье, а
развитии которого участвовали йэвеотшэ матемп?ш№. Іїіряпу с вира -
жвниямиМ) (Карлвианон, їотиком, К,И.Осколковим, .''.Д.Гої олпцзе.А.Й,
Ствгтанцоя, Н.Л.Пачуяиа, В.А.Роциии'м и др,, в квч<*С'.-че вчиачии, ха ~
растеризующих сильнуїсі оуммируемость рядов Фурье, Изучались выража I-
ннгі более oScpie, вида
ІГ^(\ЬМ*НЩ, (г)
t«Q
ХС^ІІЗЛ^-И),
К=0
(2)
где Wu) ~ неотрицательная функция, определенная для всех М. У/0 ,
н Ah . - некоторый числе.
Были получше условия, налвгаеше на функцию ^(^) ,! козффици -ентн' Т)к , при которых величины (2),(3) стремятся к нули равномерно, или в какдой точке ЭС подмножества Е из[0,2,-^],изучались оценки этих величин кас для отцельно взятых функций, тек и для фикеиро -венного класса функций, иссяедовалвсь скорость сходимости ряда (3). 'В 1913 году и Лигтлвуп. поставили задачу: будет ли при ^~ і выполняться почти всюду (п.в.) равенство Ш, когда ./_,? Ими лее было показано, что в Каждой X -точке Лебега степени *& У> і функции ! Є L, справедливо равенство (I) для любого ^-> 0 -. Позп -нее Марцинкевич, а затем Зигмунд установили, что ряп ?„рье произвольной функции ( /_, (/-/, <-) -суммируем к f(z) для почти всех X , гем самым задач-? Хврци и Литтлвуда получипа свое положительное решение.
Пример, построении?! А.Н.Колмогоровым,' показывает невозможность поточечного представления суммируемой функции ее тригонометрическим рядом Фурье. В свою очередь, испояьоуя технику Кпрлесока, Хаит показал, что ряд Фурье произвольной (гункиии |с i^fe? I) СХОПИТСЯ п .в. В связи с этими результатами, поняті" сильной суммируемости (I) приобретает определенную значимость в вопросах прзцстлвления (п.в.)(НЛ) - средними рядов їурьє суммируемых Функций.
Виоследств'-- возникла зпцэча о явном описании (.тожества точекЗС характеризующих процесс (НА) - суммируемости относительно функций клгсса іл . Персии шагом в этон направлении явились работа Твндори. ко позднее им же было отмечено, что множество точек опиеянных в его работе не имеет.полную меру.
Существенным продвижением в характериэаши точпк (Н,Ч,)-сумш-
руемости рядов -Лурье функций l<~ _,. множество которых имеет полную ме
ру была ряботв О.Д.Гобисония, где в явном виде выделялись метричес
кие свойства суммируемых функций, характеризующие процесс (Н, fr-іч -
суммируемости э точке X . Далее, И.Я.Новиков и З.А.Р^лин продолжи
ла результат О.Д.Гвбігаония, показпв, что ряП'ТугБе произвольней функ
ція-! <с_ L, \НД)~ суммируем к f!(z) для любого f > 0 в множествах
ті-чек х , опцсп;;ш.« О.Д.Габисопия. .
Невозможность представления <тушики j.6I_i р ее х-точках Лебега ( If, ^) - средними ни при каком 0 у Q ps-me было уствнов -
дано Харди и Литтдвуцсм;при этом, как известног множество точек рл описанных О.Д.Габисониц для функции \. /_>, содержится в инояасі т точек Лебега,
D связи о результатами о.' расходимости п.в, ортогональних разложений функций |є_і~(2>^)по о(.щим системам алгебраических полиномов, возникает задача о ІНЛ)- суммируемости полиномиальны? разложений и характеризации точок сильной суммируемости.
В 1954 году К.Гандорн показал справедливость аналога утвзр«ц>!-ния Харди и.'Литтлвуца о (Hity) * суммируемости для общих полиномиальных разложений функций классов 4*^- /-»/<(>О о ик'х - точках-Лебега степени & . При переходе к классу ^/1 появляется труп-, пости, связанные по видимому с выделением более тонких метрических свойств суммируемых функция, характеризующих явление (Ні'О -иУ1*-? мируемости.
Утверждений о поточечном представлении произвольных оуммируи-мьіх функций tHr'V) - средними и сильными средними ЛИНаИЫЛ МЄТОШ)» их полиномиальных разложений и характеризации точен представлении, множество которых имеет полную меру, насколько нам известно, щ сих пор не существовало, интересно . также р.юомртрени^ &на>ю г гичных вопросов и в случав цвойшх ц/льтипликативнм* полинзмцвц I них разложений.
Цель работы. В работа наследуются вопрооы поточечного ирадст и\жв -
НИЯ Су!ШИруенЫХ С ЕЄСОН фуНКЦИЙ (W,fy) - среанИНИ И СТвПаНЦЫМЛ
сильными средними линейных методов суммируецости их простив и авэй. них полинокйальных разложений, о помощыэ непериодического ышлоги конструкции О.Д.Габксоиия, выделяющего метрические евойстиа суммируемых с весом функций, которые характеризует явление {п ,*))-<--ум-цируеыости к сильной суммируемости линейными ыетоднми в точке % .
Методы исследований. D работа используются известные методи теории интерполяции операторов,метрической теории функций, теории ортогональных рядов в сочетании с некоторыми идейными подходаци, ран ви -тыми в работах О.Д.Габиаоиия, Л.Д.Гоголвозе, и\Л.Пачудив, З.А. Рот дина и др.
Научнад новизна. Все основние результаты диссергвцшцнаскояьно ыи Известно, являются новыми:
~- устанавливается характеристика точек (Н,^) - суммируемости ripce-тых ортогональных разложений по общим системам алгебраических полиномов функций классов /A(2}f),
—- указывается характеристика точек степенной сильной суммируеыоо-п линейгшми методами полиномиальных разложений функций классов'
устанавливается характеристики; точек суммируемости пине иными катодами полиномиальных разложении функций классов Ц^іг^Ої
указываются характеристики точек Ш»^) - суммируемости и стеганной сильной суммируемости линейными мзтодаш двойных пояиноми-альпых раз'кояганий функций классов /л^(йз>/).
Дннробация рвботы. Результаты работы докладывались на семинарах отдела теории функций Института математики ИЛИ Украины, проводи -мп под руководством профессора Отепанца А.И., на Всеукраинской конференции молодых ученых (г-.Кшв, 30 марта-I апреля 1994г.)и на III международной молодежной конференции им. академика М.Ф. Кравчука ( г.Киев, 1994г.). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего ^"кеишзноввний.
