Содержание к диссертации
Введение 3
1 Непрерывные мультипликативные е-выборки в С[0,1] для
приближения нелинейными множествами 12
Вспомогательные леммы 12
Приближение нелинейными множествами специального вида . 14
Приближение обобщенными сплайнами 19
2 Непрерывные е-выборки в С[0,1] для приближения по
линомиальными сплайнами. 26
Аппроксимативные свойства множества полиномиальных сплайнов 26
Непрерывные выборки из метрической проекции во множество линейных сплайнов 30
Непрерывные мультипликативные є-вьіборки во множество линейных сплайнов 43
Непрерывные мультипликативные г-выборки во множество по- -линомиальных сплайнов 45
3 Непрерывные е-выборки в С[0,1] для приближения рацио
нальными сплайнами. 49
Случай фиксированных узлов 49
Случай нефиксированных узлов 51
4 Непрерывные и равномерно-непрерывные выборки для при
ближения ломаными с нефиксированными узлами в Ьр[0,1]. 54
Вспомогательные утверждения 54
Функции ф и ф 59
Доказательство теоремы 4.1 72
Оценки снизу для приближения линейными сплайнами .... 78
Приближение полиномиальными сплайнами в L;,[0,1] 82
Литература 86
Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию устойчивости оператора почти наилучшего приближения различными невыпуклыми множествами.
Пусть заданы X = (X, || \\х) — действительное линейное нормированное пространство и его подмножество М. Оператором метрической проекции называется многозначное отображение
Рх,м :X3x^{zeM:\\x- z\\x = Рх(х, М)},
где рх(х,М) — infjgjv/||;c — z\\x- Если для любого элемента х Є X множество Рх,м(х) Ф ^і то М называют множеством, существования; если для любого х X множество Рх,м(х) состоит из не более чем одного элемента, то М называют множеством, единственности Если М одновременно является множеством существования и множеством единственности, то говорят, что М — чебыгиевское множество
Обозначим через Vd[o>-> Ь] множество алгебраических полиномов степени < dt определенных на [а, Ц, а через R174,m2[at Ц ~~ множество алгебраических рациональных дробей
Ъ] = №\Ре-рт1[щЪ]; QePmAaA QW Ф 0 Уіє[а,Ь]}.
В качестве линейных нормированных пространств будут рассматриваться стандартные функциональные пространства: С[а, Ъ] — пространство непрерывных функций на отрезке [а, Ъ] с равномерной нормой и Ьр[а, Ь], 1 < р < со, — пространство измеримых на [а, Ь] функций, для которых конечна нор-ма || \[р:
1!/11р=(/Ь|/(*)Г*) '
В своей классической работе [39] П.Л. Чебышев показал, что для любых оІ,ті:гп2 > 0 множества Prf[0,1] и Rmum2[Q, 1] являются множествами единственности в пространстве С[0,1]. Отметим, что вопросы существования во времена П.Л- Чебышева практически не рассматривались. Строгое доказательство того, что Р^[0,1] и ДпьтЛ^) Ч являются множествами существования в С[0,1] можно найти в работах Д. Уолша [53] и Н.И. Ахиезера М-
П. Кирхбергер [43] доказал, что для любого d > 0 (однозначное) отображение Pc[Q,l],Vd[0,l] ^Прерывно
Интерес к вопросу непрерывности метрической проекции возобновился в 50-60-х годах 20-го века. Этот вопрос вогаел в проблематику геометрической теории приближений, которая в эти годы, благодаря работам Н.В. Ефимова и СБ. Стечкина, В. Кли, И Зингера, Д. Вулберта, А Л. Гаркави, Л.П. Власова, С Я. Хавинсона, Б Крипке, И. Линденштрауса, П. Морриса, Р.Фелпса, Е.Чини и других, выделилась в самостоятельную ветвь теории приближений (см. обзорные работы [6], [11]. [14])
X. Мэли и Ч. Вицгол [45] и независимо Д.Вулберт [55] показали, что при mi,rri2 > 1 метрическая проекция на множество ЯщьШзІР) 1]
(^[од],й,П1,т2[од](0) разрывна.
Как было показано Н В. Ефимовым и С Б Стечкииым [15], множество Rmi.iTfclO)!]» m2 > 15 не является чебьгшевским в пространстве р[0,1], 1 < р < со, тем самым естественным образом возникает задача изучения непрерывности (и других видов устойчивости) метрической проекции для нечебышевских множеств. Одной из возможных постановок является вопрос об устойчивости метрической проекции как многозначного отображения. Этой задачей занимались Л П Власов [12]. Е.В Отдман [30], Дж Блат-тер, П. Моррис и Д. Вулберт [41]. В И. Бердышев [7]. B.C. Балаганский [5], А.В. Марииов [24], Д. Ньюмен и X. Шапиро [47j, П.В Галкин [13], А.В. Ко-лушов [18], Б. Бьернестал [40] и другие.
Также в геометрической теории приближений возникает интерес к другому многозначному отображению — оператору почти наилучшего приближения (оператору є-проектирования)
рх,м ' х 3 х и- {z Є М : \\х - z\\x < рх{х> Щ + є}-
Этот интерес был вызван тем, что в некоторых ситуациях оператор почти наилучшего приближения обладает большей, чем оператор метрического проектирования, устойчивостью. Оператор почти наилучшего приближения исследовался В.И. Бердышевым [8], [9], А.В Мариновым [26], Р. Вегманом [54] и др. Оператор почти наилучшего приближение нашел свое применение в смежных областях математики, например, в теории некорректных задач (см. О.А. Лисковец [22], [23], В.А. Морозов [29]).
Параллельно с этим во второй половине 20-го века в общей топологии начали изучаться выборки из многозначных отображений. Толчком к их исследованию послужила классическая работа Е Майкла [46]. В наши дни это направление продолжает развиваться (см. М ван де Вел [52], Д. Реповш и П.В. Семенов [50]). Его современное состояние излагается в обзорных работах Д. Реповша и П.В. Семенова [31], [49]
Синтез идей геометрической теории приближений и теории Е. Майкла непрерывных выборок привел к новым постановкам задач, изучить устойчи-
вые (однозначные) выборки из многозначных операторов метрической проекции и почти наилучшего приближения, те , по сути, исследовать другую характеристику устойчивости этих операторов
Определение 1. Пусть задано действительное линейное нормированное пространство X и его подмножества L,Y С X. Отображение Gxy,t ' Y —> L называется {є i,i)-выборкой, Єьє2 > 0, из множества Y во множество L в пространстве X, если для любого элемента f Є Y имеет место неравенство
II/ - Gxx,L(f)\\x < Px[f\L){l + el)+e2.
Выборка называется непрерывной (равномерно непрерывной, липшице-вой), если отображение Gx,y,l непрерывно (равномерно непрерывно, липши-цево). Если У — X, то (і,2)-вьіборку Gx,y,l из X в L в пространстве X сокращенно называют выборкой из X в L, (є, 0)-выборку называют мультипликативной ^-выборкой, а (О,є)-вьіборку — аддитивной ^-выборкой
Связь между аддитивными и мультипликативными выборками устанавливает теорема И Г Царькова ее пи Y = X и L замкнуто в X, то следую-ш;ие утвероюдени,я эквивалентны
для любого є > 0 существует непрерывная аддитивная є- выборка из X в L;
для любого є > 0 существует непрерывная мультипликативная е-выборка из X в L;
для любого є > 0 существует непрерывная {є, є)- выборка из X в L.
Выборки из оператора метрической проекции начали изучаться А. Лаза-ром, Д. Вулбертом и П Моррисом [44]. Систематическое изучение выборок из оператора почти наилучшего приближения было начато в конце 80-х годов СВ. Конягиным [19], [20] и И.Г. Царьковым [37], [38], а также несколько позднее А.В. Марииовым [25], [27] и П В Альбрехтом [2]. В [37] для некоторых линейных нормированных пространств И.Г Царьковым получена геометрическая характеризация множеств, в которые существует непрерывная аддитивная е-выборка для всех є > 0. В работах А.В. Маринова [25] и И.Г. Царькова [38] получены точные по порядку размерности оценки модуля непрерывности е-выборок.
Остановимся подробнее на ^-выборках в линейные подпространства. Из теоремы Е. Майкла [46] вытекает что для любого є > 0 и любого L, замкнутого подпространства X, существует непрерывная аддитивная ^-выборка из
X в L. Более того в случае, когда L — конечномерное подпространство, возможно построение более гладких выборок из X в L- из результатов В.И Бер-дышева [8], А.В. Маринова [25] и П.В Альбрехта [3] вытекает, что существуют липшицевы аддитивные ^-выборки в L с константой Липшица порядка І/є при є —У 0.
Естественным образом возникает вопрос о нахождении устойчивых є-выборок для почти наилучшего приближения нелинейными множествами. Классическим примером нелинейного множества, используемого для приближения функций, являются алгебраические рациональные дроби
С В. Конягин [19| доказал что для любого є > 0 и т^то > 0 существует непрерывная аддитивная е-выборка из С[0,1] в Rmumi[0)1]. Отметим, что в этой работе существование непрерывных выборок было получено для более широкого класса дробей, а именно, для множества обобщенных рациональных функций. Однако, более гладкие выборки в эти множества существуют не всегда С.В Конягин [20] анонсировал, что для любого є Є (0,2) не существует равномерно непрерывной мультипликативной е-выборки из С[0,1] в і?од[0,1] (доказательство этого результата приводится в работе К.С. Рютина [32]) Локально липшицевы выборки на обобщенные рациональные функции исследовались А В Мариновым [27]. К.С Рютин [32] изучал липшицевы мультипликативные е-выборки из оператора обобщенного рационального приближения в пространстве С[0,1] В частности, он установил, что для больших є > 0 существует лппшицева мультипликативная е-выборка в .йод [0,1] В работе [33] К С. Рютин изучал равномерно непрерывные мультипликативные е-выборки из (7[0,1] в пространство обобщенных рациональных дробей.
В пространствах Lp[0,1] ситуация несколько иная. Как было показано И.Г. Царьковым [37], для 1 < р < оо, mi > 0, mg > 1 и достаточно малых є любая аддитивная г-выборка в -ftm,lim,[0,1] в пространстве Lp[0,1] разрывна. К.С. Рютин [51] доказал, что для больших є и произвольных ті > 0, Ш2 > 0 существует непрерывная мультипликативная е-выборка из LpfO, 1], 0 < р < оо, в Лщ1)т,[0,1]. Им также было доказано, что при некоторых ті > 0 и 77І2 > 0 не существует непрерывной мультипликативной е-выборки из р[0,1], О < р < 1, в Rmi,m2[0,1] для 0 < є < 21-? - 1.
Другим аппаратом, используемым в теории приближений для аппроксимации функций, являются сплайны. Пусть заданы а, Ъ е Ж, n, d, к Є N, а < Ъ, п>1, d>l}l
Sik{[a, Ь\, А) = {./ Є Cd~k[a, Ц : f |[4.іА]є Я„[*,_і, t,], 1 < І < п} .
Множеством n-звенных алгебраических сплайнов степени d, дефекта к с
нефиксированными узлами называют
sfM]= и #*([«. Ч.Д)-
Д n=x0
В случае к — 1, соответствующие множества называются сплайнами минимального дефекта, а в случае к = d — сплайнами максимального дефекта. В дальнейшем при обозначении сплайнов максимального дефекта индекс к (к — d) мы будем опускать
Теория сплайнов интенсивно развивала-сь во второй половине 20-го века. Приближение сплайнами хорошо себя зарекомендовало как в теоретических исследованиях, так и в приложениях Сплайны позволяют избежать ряд проблем, возникающих при аппроксимации функций полиномами и рациональными дробями, например, зависимости аппроксиманта в целом от поведения приближаемой функции в окрестности любой фиксированной точки. Это в некоторых ситуациях (например, в случае не очень большой гладкости приближаемой функции) делает приближение сплаіінами эффективнее других методов аппроксимации.
Развитию и популяризации теории сплайнов способствовали труды И. Шенберга. Приближению сплайнами посвящены книга Дж. Алъберга, Э. Нильсона и Дж. Уолша [1] с добавлениями СБ. Стечкина и Ю.Н. Субботина, а также книга С.Б Стечкина и Ю.Н. Субботина [34]. Отметим, что сплайны с фиксированными узлами являются решениями ряда экстремальных задач, кроме того с помощью сплайнов с равномерными узлами вычислены (точно или по порядку) некоторые поперечники (см. [17], [36]).
М.Ш. Бирмаи, М.З. Соломяк [10) изучали приближение кусочно-полиномиальными функциями с нефиксированными узлами. В работе [35] Ю.Н. Субботин и Н.И. Черных начали исследование аппроксимации функциональных классов сплайнами с нефиксированными узлами. В статье [35] Ю.Н. Субботиным и Н.И. Черныхом были получены порядки приближения классов Соболева сплайнами минимального дефекта. А.А. Лигун и В.Ф. Сторчай [21] изучали приближение индивидуальных функций сплайнами максимального дефекта.
Г. Нюрнбергер и М. Зоммер [48] исследовали существование непрерывных выборок из метрической проекции ((0,0)-выборок) во множество сплайнов минимального дефекта с фиксированными узлами 51^1 ([а, 6], Д) в пространстве (7(0,1]. Они доказали, что выборки существуют тогда и только тогда, когда п < d. Р. ДеВор, Р. Ховард и Ч. Мичелли [42] построили непрерывные аддитивные ег-выборки из Соболевских шаров UWp [0,1] во множество разрывных кусочно-полиномиальных функций с нефиксированными узлами с є, зависящим от класса. Эти выборки были использованы для вычисления порядков некоторых поперечников.
Структура работы
Работа состоит из введения, четырех глав, списка основных обозначений и списка литературы из 61 наименований. Теоремы, леммы и формулы и т.д. в главах 1-4 имеют номера, состоящие из двух чисел, первое из которых
— номер главы, а второе — номер теоремы (леммы, формулы и т.д.) в этой
главе. Определения имеют сквозную нумерацию. Полный объем диссертации
- 90 страниц.
В Главах 1,2 и 3 изучается почти наилучшее приближение в пространстве С[0:1]. в них., если это особо не оговорено, под нормой || |[ понимается равномерная норма па [0,1].
В Главе 1 доказываются теоремы общего характера3 которые используются в последующих главах: для произвольного є > 0 строятся непрерывные мультипликативные ^-выборки из С[0,1] в нелинейные множества специального вида, доказывается существование непрерывных мультипликативных ^-выборок W3 С[071] во множество обобщенных сплайнов.
