Введение к работе
Актуальность работы и исторические замечания. Одним из основных направлений исследований в геометрической теории функций комплексного переменного является постановка и решение различных экстремальных задач. Исследование экстремальных задач имеет важное значение в теоретических вопросах математического анализа, а также в возможности применения экстремальных задач к вопросам прикладного характера, например, в гидромеханике.
Не ослабевает исследовательский интерес к классическим экстремальным задачам. Среди,таких задач выделяется задача Л. Бибербаха о коэффициентах голоморфных однолистных в круге функций f(z), ДО) = /"'(0) - 1 = 0. В 1916 г. Бибербах' сделал предположение о справедливости неравенств \с„(Р\ < п (п = 2, 3, ...), где Д?) = г + + 2(/)22 + ... + cn{f)zn + ... . И.М. Милиным была установлена связь между тэйлоровскими и логарифмическими коэффициентами функции f, что позволило Л. де Брагоку в 1984 г. завершить доказательство гипотезы Бибербаха. При этом значительную роль сыграла работа Аски и Гаспера [5], из которой следует, что экспоненциальные многочлены Бранжа положительны на [0, оо).
Другая классическая задача о множестве граничных значений системы функционалов
Яго)
arg
^, In |/-4^,)1, argffco)
на классе 5 при фиксированном zq, 0 < \zq\ < 1, также содержит вопросы для исследования. Эту систему и ее частные случаи рассматривали Л. Бибербах, Г. Групскпй, Г.М. Голузин, В.Я. Гутлянский, И.Е. Базилевич, П.П. Куфарев, Н.Л. Лебедев, И.А. Александров, С.А. Копанев, В.И. Попов, Г.В. Улшга и другие. Первое полное решение задачи о множестве D значений данной системы функционалов было дано Поповым. Представляет интерес новая задача об описании управляющих функций в уравнении Левнера, приводящих к граничным значениям множества D. Эти и другие экстремальные задачи способствовали созданию, развитию и успешному применению метода параметрических представлений, метода внутренних вариаций, метода площадей и др. Метод параметрических представлений, один из мощных методов геометрической теории функций, получивший блестящее развитие еще в тридца-
тые годы, опирается на некоторое обыкновенное дифференциальное уравнение, в частном случае - уравнение Левнера. Связанная с этим уравнением теоретико-функциональная конструкция имеет широкий спектр применений, в том числе и в области теории вероятностей. Поэтому исследование свойств решений уравнения Левнера, нахождение случаев его интегрируемости и множества управляющих функций, для которых интегралы уравнения Левнера приводят к отображениям круга на плоскость с разрезом, имеют важное значение. Добавим, что примеры интегрируемости этого уравнения единичны.
В реферируемой работе продолжается исследование некоторых вопросов, связанных с уравнением Левнера, и экстремальных свойств классов однолистных аналитических р-симметричных функций.
Цель работы. Основными направлениями исследований в реферируемой диссертационной работе являются: получение нового случая интегрирования уравнения Левнера; исследование свойств решений уравнения Левнера с постоянным управлением с целью попытки получить более простое, чем у Леки и Гаспера, доказательство неотрицательности полиномов Бранжа на [0, со); нахождение экстремальных управляющих функций в задаче вращения на классе Sp (р = 2, 3, ...) р-симметричных функций.
Методы исследования. Доказательство основных результатов диссертации основано на использовании общих методов математического анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории функций комплексного переменного, теории конформных отображений, методов геометрической теории функций, таких как вариационный метод и метод параметрических представлений.
Научная новизна и практическая значимость. Следующие результаты являются основными результатами, выносимыми автором на защиту.
-
Получен новый случай интегрирования уравнения Левнера. Найдена функция, предельная для полученного решения уравнения, т.е. принадлежащая классу Sp.
-
Найдены экстремальные управляющие функции в задаче вращения на классе Sp (р = 2, 3, ...) при помощи параметрического метода Левнера.
-
Получено условие, при выполнении которого уравнение шестой степени, чьи решения доставляют функционалу Kfp, г) = arg f ріг), fp є Sp, экстремальные значения, имеет ровно два вещественных корня.
-
Дано применение формул, связывающих полиномы Бранжа с решениями уравнений Левнера с постоянным управлением. Получено представление полиномов Бранжа в виде суммы некоторых полиномов, что позволило дать более простое доказательство теоремы Аски и Гас-пера о полиномах Бранжа в частных случаях.
Все результаты являются новыми.
Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы исследования могут использоваться при решении задач геометрической теории функций комплексного переменного, для изучения некоторых классов аналитических однолистных функций, а также в теории вероятностей, теории упругости, газовой динамике, гидромеханике и т.п.
Апробация работы. Результаты, содержащиеся в диссертации, докладывались на международной конференции по анализу и геометрии, посвященной 70-летию академика Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, 1999), на XXXVIII международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», посвященной 100-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева (Новосибирск, 2000).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [6]-[ 10].
Структура работы. Диссертация состоит из списка обозначений, введения, трех глав, разбитых на параграфы, и библиографии. Объем работы - 64 страницы. Нумерация формул и теорем подчинена соответствующей главе и не зависит от параграфов. Библиография содержит 98 наименований работ.
