Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Настоящая работа посвящена прямым задачам теории рациональной аппроксимации аналитических функций. В прямых задачах в терминах, связанных со свойствами аппроксимируемой функции: расположением и структурой множества её особенностей характером её аналитического продолжения, устанавливается скорость убывания величин р„:ГП — наилучших приближений аналитической функции в равномерной метрике на компакте Е комплексной плоскости рациональными функциями порядка (n,m), т.е. у рациональных функций степень числителя не выше п, а степень знаменателя не выше т. Обратная задача теории рациональной аппроксимации состоит в том, чтобы по скорости убывания величин рп>т определить все вышеупомянутые характеристики аппроксимируемой функции. Работы Е.П. Дол-женко (1967 г.), А.А. Гончара (1955 г.), А.А. Пекарского (1977-1995 г.г.), Е.А. Рахманова, Е.А. Ровбы (1973 г.), В.Н. Русака (1978 г.) JT.A. Яновича и др. явились огромным вкладом в развитие теории прямых и обратных задач рациональной аппроксимации. Было замечено, что в отличие от теории полиномиальных аппроксимаций здесь прямые и обратные теоремы не смыкаются, и притом не от недостатка доказательств, а по существу. В частности никакая скорость убывания чисел р„іП не гарантирует никакой классической (локальной) гладкости (А.А. Гончар 1955 г.). Поэтому особую важность приобретают оценки нижнего предела lim inf^c» р)/* для различных классов аналитических функций, так называемая гипотеза А.А. Гончара (1982 г.). Эта гипотеза в разной степени общности была доказана О.Г. Парфеновым (1986 г.) и В.А. Прохоровым (1993 г.).
Если к двум вышеупомянутым характеристикам аппроксимируемой функции добавить третью: рост максимума модуля функции в окрестности её особенностей (т.е порядок и тип функции), то перед нами откроется широкое поле деятельности по нахождению оценок скорости убывания наилучших рациональных аппроксимаций голоморфной в некоторой области функции имеющей конечный порядок и тип.
Первоначально порядок и тип был введен для целых функций (см. например, Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ, ч.1. 2-е изд. пе-рераб, и доп. — М.: Наука, 1976.). Скорость полиномиальной аппроксимации целых функций конечного порядка была исследована в работах А.В. Батырева (1951 г.), Р.С. Варги (1968 г.), Т. Винярского (1970 г.). Скорость рациональной аппроксимации целых функций конечного порядка и типа была исследована В.А. Прохоровым (1993 г.).
Аналогично тому как вводился порядок и тип для целых функций можно ввести порядок и тип для функций имеющих в расширенной комплексной плоскости конечное число существенно особых точек (каждая существенно особая точка имеет свой положительный конечный порядок и тип). Отмечу свой результат (см. [6]), относящийся к этой проблеме.
В 1965 - 1967 годах М.Н. Шеремета ввел обобщенный порядок с помощью функций медленного роста (см. также работы Г.А. Фридмана, 1966 г.) и исследовал обобщенный порядок целых функций и функций голоморфных в единичном круге. Центральное место в исследованиях скорости убывания наилучших полиномиальных аппроксимаций целых функций обобщенного порядка занимают работы СМ. Шаха (1977 г.). Скорость убывания наилучших рациональных аппроксимаций целых функций обобщенного порядка наиболее подробно изучена В.А. Прохоровым (1993 г.).
Иное определение порядка потребуется в том случае, когда аппроксимируемая функция имеет неизолированные особые точки, особые кривые и т.п. особенности.
Когда в качестве особой линии функции выступает окружность, вполне можно обойтись определением порядка и типа функции, введенным Н.В. Говоровым (1959 г.). Эти понятия были распространены на функции голоморфные в односвязной конечной области В.М. Мурадовым (1992 г.).
В настоящей диссертации рассмотрен порядок для голоморфных в круге функций, а также порядок для функций голоморфных в многосвязной области. Изучены соответствующие задачи рациональной аппроксимации с ним связанные. Оценки получены не только для уклонений />П|П, (диагональная последовательность таблицы Уолша). но и в случае m — [вп], 0 < 0 < 1 (лучевая последовательность таблицы Уолша). Отмечу, что техника доказательства полученных результатов использует как теоремы функционального анализа (В.М. Адамян, Д.З. Аров, М.Г. Крейн, В.В. Пеллер, СВ. Хрущев , О.Г. Парфенов, В.А. Прохоров), так и современную теорию логарифмического потенциала (Т. Bagby, К. Menke, Б. Kloke, Ch. Pommerenke, J. Siciak).
Последняя глава диссертации посвящена ортогональным многочленам. Для специалистов в области рациональной аппроксимации не секрет, что ортогональные многочлены очень сильно связаны с рациональной аппроксимацией аналитических функций, особенно многочлены ортогональные относительно скалярного произведения с весом (А.А. Гончар и Е.А. Рахманов 1984 г.), зависящим от степени многочлена. Для развития теории и практики весьма важны их асимптотические свойства: предельное рас-
предедение нулей, рост нормы И Т.Е.
Скалярное произведение, содержащее производную будем называть скалярным произведением Соболева, а многочлены ортогональные относительно этого скалярного произведения назовем ортогональными многочленами Соболева. Такие многочлены стали серьёзно изучаться начиная с 1990 года W. Van Assche. М. Alfaro, F. Marcellan, H. G. Meijer, M. L. Rezola, A. Ronveaux и другими математиками. Алгебраические свойства, распределение их нулей п разложения в ряд Фурье также как и их уместность в анализе спектральных методов для уравнений в частных производных обещает огромное поле для эксплуатации таких многочленов. Многочлены, исследованные в данной работе, являются ортогональными многочленами Соболева.
Связь работы с крупными научными программами, темами. Исследования выполнялись в рамках госбюджетной НИР N 850/24 по теме: "Алгебраические методы в теории дифференциальных и дифференциально - функциональных уравнений", утвержденной, распоряжением министерства образования Беларуси от 27.02.96 г. N 05- 8/39, номер гос. регистрации 19962628, выполняется с 1996 г. по 1998 г.
Цель и задачи исследования. Цель настоящей диссертации: оценить скорость убывания наилучших рациональных агшроксимапий рПіП - диагональной последовательности таблицы Уолша и рп,т(п) ~ лучевой последовательности таблицы Уолпга через порядок и тип аппроксимируемой функции. Найти предельное распределение нулей ортогональных многочленов относительно скалярного произведения, содержащего переменный вес и производную. Исследовать асимптотическое поведение че-быгпевской и соболевской норм этих многочленов.
Для достижения поставленной цели выдвинуты, следующие задачи::
1. Исследование связи между сингулярными числами оператора Ган-
келя, построенного по аппроксимируемой функции, и наилучшими рапи-
ональными атгооксимацгошн этой функшш. Применение теоремы Ада-
мяна - Арова - Крейна, если апггооксимируемая функция голоморфна в
круге и обобщенной теоремы Адамяна - Арова - Крейна, если аппрокси
мируемая функция голоморфна в многосвязной области. ."(.-.. ' "'
"2. Нахождение оценки скорости сходимости решения дискретной экс
тремальной задачи теории потенциала к соответствующему решению не
прерывной задачи теории потенциала. ,-.-- . -.'.'''
3. Получение опенок скорости наилучшей рациональной аппроксимации (диагональная и лучевая последовательности таблицы Уолша) голо-.
морфной в круге функции конечного порядка и типа.
4. Получение оценки скорости наилучшей рациональной апроксима-ции голоморфной в многосвязной области функции.
о. Исследование асимптотики корня га-ой степени отношения введенной соболевской норіш к взвешенной чебышевской норме.
6. Исследование связи ортогональных многочленов с экстремальными задачами теории потенциала и нахождение предельного распределения нулей ортогональных многочленов Соболева.
Объект и предмет исследования. Объектами исследования здесь являются наилучшие рациональные аппроксимации функции аналитической в круге или в конечно - связной области, а также ортогональные многочлены относительно скалярного произведения Соболева.
Предметом исследования будет скорость убывания наилучших рациональных аппроксимаций .и асимптотическое поведение названных ортогональных многочленов. .
Методология и методы проведенного исследования. При решении поставленных задач в области рациональной аппроксимации использованы методы теории логарифмического потенциала и методы теории операторов Ганкеля. . <...-.' .. - : -.-.
При решении задач, связанных с ортогональными многочленами, использовались методы теории логарифмического потенциала, конструктивной теории функций, теории неполных полиномов. V
Научная новизна и значимость полученных результатов. В
диссертации изучена'зависимость рациональной аппроксимации от роста приближаемой функции вблизи ее особенностей. '"'
Получены оценки скорости убывания наилучших рациональных аппроксимаций для голоморфной' в круге'фушагяи конечного порядка и типа по диагональной последовательноститаблицы Уолша.
Получены оценки скорости убывания наилучших рациональных ап
проксимаций для голоморфной в круге функции конечного порядка по
лучевой последовательности таблицы Уолша. '
-. Рассмотрен порядок 'для функций голоморфных в многосвязной области и уточнены оценки скорости убывания наилучших рациональных аппроксимаций для голоморфной в многосвязной области функций конечного ПОрЯДКа.-; "'.. '' -...-.;:'-''"':'>.'. -. V-3!.:.:!.'.'='.'!.' -'. ' ^- " s' "
Найдено асимптотическое распределение 'нулей многочленов ортого
нальных относительно Соболевского скалярного произведения с перемен
ным ВеСОМ. > ' - ' ..-'..'. ' " ' ''": :.: ...:..:
Определена скорость убывания нормы, порожденной этил скалярным произведением, при ті —+ эс. Получена скорость убывания чебышевской нормы с переменным весом хтп от ортгопального многочлена степени п .
Практическая (экономическая, социальная) значимость полученных результатов. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты и методы имеют непосредственные приложения к различным вопросам теории приближения аналитических функций многочленами и рациональными функциями. Результаты диссертации могут найти применение в задачах математической, физики для решения которых используются наилучшие рациональные аппроксимации. Экономическую значимость результатов диссертации оценить в настоящее время не представляется возможным.
Основные положения диссертации выносимые на защиту. На
защиту выносится следующее:
Показано, что наилучшие рациональные аппроксимации голоморфной в круге функции убывают не медленнее геометрической прогрессии, причем если функция имеет конечный порядок в круге голоморфности, то знаменатель этой;прогрессии явно вычисляется и зависит не только от расположения множества особенностей аппроксимируемой функции, но и от порядка функции в этом круге.
Доказан аналог гипотезы Гончара для голоморфных в круге функций конечного порядка в случае диагональной последовательности таблицы Уолша. "
Найдена оценка скорости убывания чисел диагональной последовательности таблицы Уолша если приближаемая функция голоморфна в круге и имеет талі конечный порядок и тип. Эта оценка учитывает более тонкую характеристику роста максимума модуля функции вблизи особенности, т.е. тшг
Исследована скорость убывания лучевой последовательности таблицы Уолша для голоморфной в круге функции в зависимости от по-
. рядка аппроксимируемой функции. . '
Доказан аналог гипотезы Гончара" для лучевой последовательности
таблицы Уолша, если аппроксимируемая футиздия голоморфна в кру
ге и имеет там конечный порядок.
Полученные результаты относятся к 'прямым задачам теории рациональной аппроксимации и позволяют судить не только о скорости
убывания наилучших рациональных приближений, но и об ускорении этого убывания. Ускорение и будет зависеть от порядка и типа приближаемой функции.
Изучены некоторые асимптотические свойства ортогональных многочленов Соболева. Доказано, что эти ортогональные многочлены имеют те же асимптотические свойства, что и многочлены, решающие взвешенную экстремальную задачу Чебышева. Меры ассоциированные с нулями соболевских ортогональных многочленов сходятся в* - слабой топологии к мере, распределенной на отрезке [к, 1], к > 0. Введенная норма от соответствующего ортогонального многочлена убывает с той же.скоростью, что и взвешенная чебышевская норма от этого многочлена.
Решенная задача тесным образом связана как с теорией рациональных аппроксимаций, так и с задачей о равновесии заряда в проводнике, помещенном во внешнее поле.
Личный вклад соискателя. Диссертационная работа является самостоятельным научным исследованием. Все основные результаты, приведенные в ней, получены автором лично. Результаты, приведенные в работах с В.А. Прохоровым, -получены в равном соавторстве.
Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на Минском городском семинаре по краевым задачам и сингулярным интегральным .уравнениям при БГУ-(руководитель "—"проф. Э.й. Зверович), на Международном конгрессе математиков 1СМ'98 (Берлин, 18 - 27 августа 1998 г.) на Международной научной конференции "Разробка та* застосування математичних методів у науково- технічних досліджаннях" (Львов,?- 10 6ктября'І998г.), на Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования."., посвященной 75- летию члена - корреспондента РАН, профессора Л.Д. Кудрявцева, (Москва, 1998 г.), на конференции "Еругинские^чтения -' IV" (Витебск 20 - 22 мая, 1997 г.), на междунаррдной конференции "Краевые задачи специальные функции дробное исчисление", посвященная 90- летию со дня рождения академика Ф.Д. Гахова, (Минск, 16_- 20. февраля 1996 г.), на республиканской научной конференции посвященной 25-летию факультета прикладной математики и 'информатики БГУ, (Минск, 10,- І4 апреля, 1995 г.).
Олублихованность результатов. х По теме диссертации опубликовано 3 статьи в научных.журналах, 1 .статья в трудах конференции,
7 тезисов докладов выступлений на конференциях, 1 доклад на Между
народном конгрессе. Обшее количесво опубликованных материалов 33
страницы.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, пяти глав, заключения и списка использованных источников (90 наименований), полный объём диссертации 82 страницы.
