Введение к работе
Диссертация посвящена нескольким взаимосвязанным экстремальным задачам для алгебраических многочленов на единичной сфере многомерного евклидова пространства.
Актуальность темы. Точные неравенства и другие экстремальные задачи для алгебраических многочленов и тригонометрических полиномов играют важную роль в теории приближения функций, теоремах вложения и других разделах математики. Экстремальные задачи для алгебраических многочленов на (многомерной) евклидовой сфере мало изучены. Они важны, помимо того, для исследования сферических кодов с различными оптимальными свойствами (см. [11]).
В диссертации изучаются несколько экстремальных задач для характеристической функций сферической шапочки единичной сферы Sm_1 евклидова пространства Rm, т > 2, на множестве алгебраических многочленов и задача о наименьшем значении меры множества неотрицательности алгебраических многочленов с нулевым средним значением на сфере.
Такие задачи на множестве Тп тригонометрических поли
номов п
fn(t) = а,о + 2_, (ак cos kt + 6 sin kt) fc=l заданного порядка n с вещественными коэффициентами изучали Л. В. Тайков, А. Г. Бабенко и Ю. В. Крякин. В работе [9] 1965 года Л. В. Тайков при исследовании наилучшей константы с(п) в неравенстве типа Джексона - Никольского
\\fn\\c27T
между равномерной и интегральной нормами
||/га||с2. = тях{\Ш\ : t Є R}, \\fn\\L27V = - Г \fn(t)\dt
к Jo
тригонометрического полинома рассмотрел функционал
Ffn = - fn(t)dt, h = ———-, /гаєТга,
7Г J_h 2{п + 1)
и вычислил норму с(п) этого функционала на подпространстве %г, п>1, с нормой пространства Ь2Ж, т.е. нашел наименьшую константу с(п) в неравенстве
\Ffn\
А именно, он доказал, что при любом п > 1 имеет место равенство c(ri) = 1/2 и полином
2(71 + 1)
является экстремальным в неравенстве (1).
В 1963 г. в докладе на семинаре С. Б. Стечкина в Свердловском отделении математического института им. В.А.Стеклова АН СССР Л.В.Тайков поставил еще одну экстремальную задачу для тригонометрических полиномов, возникшую у него в связи с исследованием некоторых экстремальных задач (в частности, наилучшей константы в неравенстве (1)). Пусть Т есть множество полиномов fn Є Тп, имеющих нулевое среднее значение на периоде:
ао = ^~ [ fn(t) dt = 0.
^ J-ж
Для полинома fn Є Т рассмотрим меру его множества неотрицательности
Kfn) = mes{ Є [—7Г, 7г] : /„() > 0}.
Задача Тайкова состоит в вычислении наименьшего значения этой меры
т{п) = infM/ra) : fn Є Гга0}. (3)
Задачу (3) решил А. Г. Бабенко в 1983 г.; а именно, он дока-
зал [2,3], что т(п) = и экстремальным является полином
/n(*)= fcos^— t) (cost-cos^yj . (4)
Как пишет А. Г. Бабенко [3], гипотезу об экстремальности полинома (4) в задаче (3) высказывали ранее С.Б.Стечкин и Н. И. Черных.
В диссертации изучаются аналоги задач Л. В. Тайкова (2) и (3) для алгебраических многочленов на единичной сфере Sm_1 пространства Rm. При т = 2 эти задачи для алгебраических многочленов (от двух переменных на единичной окружности) эквивалентны задачам (2) и (3) для тригонометрических полиномов. При других значениях т решение соответствующих многомерных задач неизвестно.
В работах А. Г. Бабенко и Ю.В.Крякина [4,5] изучалось, в частности, наилучшее интегральное приближение на периоде характеристической функции интервала (—h, h) тригонометрическими полиномами заданной степени. В диссертации исследуется аналогичная задача о приближении характеристической функции сферической шапочки в пространстве функций, суммируемых на сфере, алгебраическими многочленами.
Цель работы. Исследовать (1) норму функционала, являющегося интегралом по сферической шапочке заданного углового радиуса на множестве алгебраических многочленов порядка п на единичной сфере с нормой пространства функций, суммируемых на сфере; (2) наилучшее приближение характеристической функции сферической шапочки в пространстве измеримых, существенно ограниченных на сфере функций подпространством, ортогональным пространству многочленов; (3) наилучшее приближение характеристической функции сферической шапочки в пространстве функций, суммируемых на сфере, самим пространством многочленов; (4) задачу Тайкова о наименьшем значении меры множества неотрицательности многочлена степени п на единичной сфере евклидова пространства размерности т с нулевым средним значением на сфере.
Методы исследования. В работе используются методы математического анализа, функционального анализа и теории приближения функций. Многомерные задачи главы 1 на сфере с помощью некоторой процедуры усреднения сводятся к одномерным задачам для алгебраических многочленов на отрезке.
При исследовании соответствующих одномерных задач используются результаты и идеи работ Л. В. Тайкова [9, 10], А. Г. Бабенко и Ю. В. Крякина [4, 5], Д. В. Горбачева [7].
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Основные из них заключаются в следующем.
Изучена задача о норме функционала, являющегося интегралом по сферической шапочке C(h) заданного углового радиуса arccos/г, — 1 < h < 1, на множестве алгебраических многочленов порядка п на единичной сфере m-мерного евклидова пространства с нормой пространства суммируемых функций на сфере и двойственная задача о наилучшем приближении характеристической функции сферической шапочки в пространстве измеримых, существенно ограниченных на сфере функций подпространством, ортогональным пространству многочленов. Найдено точное решение обеих задач для значения параметра h, являющегося наибольшим корнем многочлена одного переменного порядка и + 1 с единичным старшим коэффициентом, наименее уклоняющегося от нуля в пространстве функций, суммируемых на интервале ( — 1,1) с соответствующим ультрасферическим весом.
Найдено наилучшее приближение характеристической функции сферической шапочки в пространстве функций, суммируемых на сфере, самим пространством многочленов для значения радиуса шапочки, являющегося произвольным (необязательно наибольшим) корнем указанного многочлена одного переменного, наименее уклоняющегося от нуля.
В задаче о наименьшем значении меры множества неотрицательности алгебраического многочлена степени п на единичной сфере евклидова пространства размерности т с нулевым средним значением получены двусторонние оценки; эти оценки дают для значения задачи правильный порядок по п.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и предложенные в работе методы могут быть использованы при решении экстремальных задач теории приближения и теории функций.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих математических конференциях и научных семинарах: научный семинар под руководством профессора Wang Kunyang в Пекинском Нормальном университете (Пекин,
Китай, 2003 г.); Международная научная конференция «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2004, 2008 гг.); Международный семинар по экстремальным задачам в анализе Фурье в институте математики им.А.Реньи (Будапешт, Венгрия, 2005 г.); Международная летняя научная Школа С. Б. Стечкина по теории функций (Алексин, 2007 г.; Миасс, 2008 г.); 14-я Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2008 г.); научный семинар под руководством члена-корреспондента РАН Ю.Н.Субботина и профессора Н.И.Черныха в Институте математики и механики УрО РАН; научный семинар под руководством профессора В.В.Арестова в Уральском госуниверситете им. A.M. Горького.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12,13] автора; выступления автора на конференциях отражены в тезисах докладов [14-18].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Объем диссертации - 61 страница. Список литературы содержит 30 наименований.
Похожие диссертации на Некоторые экстремальные задачи для алгебраических многочленов на евклидовой сфере
