Содержание к диссертации
Введение
1 Минимальные множества геодезического потока 16
1.1 Используемые понятия и обозначения 17
1.1.1 Фуксоиы группы 17
1.1.2 Геодезический и орициклический потоки 18
1.1.3 Предельные точки и их классификация 19
1.2 Группы типа Шоттки 20
1.2.1 Определение групп типа Шоттки 20
1.2.2 Кодирование предельных точек групп типа Шоттки 22
1.3 Большие геодезические 27
1.4 ст-минимальиые множества 30
1.5 Доказательство гипотезы Дальбо-Старкова 32
2 Орицикличєские потоки и линейные действия дискретных групп 33
2.1 Предельные точки со свойством сдвига 34
2.2 Техника прыжков I 3G
2.2.1 Группы с парами равных паїуокружиостсй 3G
2.2.2 Группы с парами симметричных паїуокружиостсй . 39
2.2.3 Метод доказательства орицикличности точек . 40
2.2.4 Прыжки первого и второго рода 40
2.3 ОрициклическиЙ поток без минимальных подмножеств нсблуждающего множества 43
2.4 Техника прыжков II 44
2.4.1 Составные прыжки 44
2.4.2 Конечно-порожденные группы с парами равных полуокружностей 45
2.4.3 Крокодилы 46
2.5 Орициклический поток без минимальных множеств . 47
2.6 Бесконечно-порожденная группа первого рода без нерегулярных точек 52
3 Метрические свойства Т-индуцированных действий 56
3.1 Используемые понятия и обозначения 56
3.1.1 Однородные пространства групп Ли 56
3.1.2 Действие иа пространстве с мерой и сопряженное ему представление 57
3-1.3 Надстройка над однородным пространством и ин дуцированное действие 58
3.1.4 Индуцированное представление 59
3.1.5 Сопряженность индуцированных представлений и действий 60
3.1.6 Точки Лебега измеримых отображений 60
3.2 Критерии эргодичности и перемешивания 61
3.3 Доказательство критериев эргодичности и перемешивания 63
3.4 Доказательство вспомогательных лемм 66
3.4.1 Редукция к действию подгруппы Гц 66
3.4.2 Свойства индуцированных действий 70
3.4.3 Разрешимая подгруппа лолупростой группы 70
3.4.4 Подгруппа со свойством Маутнера 71
3.4.5 Перемешивающий однородный поток 72
3.5 Примеры 72
3.5.1 Слабо перемешивающее действие, индуцирующее неэргодичное 72
3.5.2 Неэргодичное Т-индуцированное действие 73
3.5.3 Эргодичное действие решетки в полупростой группе, индуцирующее неэргодичное 74
3.6 Неподвижные векторы индуцированных представлений . 75
3.7 Полпота меры точек Лебега 76
Литература 77
- Группы типа Шоттки
- Прыжки первого и второго рода
- Орициклический поток без минимальных множеств
- Доказательство критериев эргодичности и перемешивания
Введение к работе
Настоящая работа относится к теории динамических систем и групп преобразований. В первых двух главах изучаются вопросы топологической динамики, а в третьей главе речь пойдет о метрической теории, в которой изучаются группы преобразований с инвариантной мерой.
Первая глава работы посвящена изучению некомпактных минимальных множеств геодезического потока на поверхностях постоянной отрицательной кривизны. В частности, доказывается гипотеза относительно существования таких множеств, сформулированная Ф. Дальбо и А. Н. Старковым.
С точки зрения теории однородных динамических систем, геодезический поток на единичном касательном расслоении Т!Л/ к поверхности М постоянной отрицательной кривизны можно представить в качестве однородного потока, заданного одноиарамстрической подгруппой {gt: t Є R} на однородном пространстве r\PSL(2,R) = Т1М, где и Г — некоторая фуксова группа, то есть дискретная подгруппа в группе PSL{2,R) = SL(2,R)/{±1}. Более точно, геодезический поток определяется формулой
9tVg) = Yggt, g Є PSL(2, R), t <= R.
Дадим определения минимального и неблуждающего множеств для произвольного непрерывного потока tp^ на топологическом пространстве Л'. Множество F С А' называется минимальным относительно потока <р% (или tp%-минимальным), если F замкнуто, непусто и ^-инвариантно и для любой точки х Є F замыкание ее орбиты совпадает с jP: їр~&х = F. Точка х Л' называется блуждающей относительно потока ip^, если найдутся такие открытое множество U Э х и число Т > 0, что для любого t, такого что |ї| > Г, выполнено
Геодезический поток на r\PSL(2,R) обладает богатым запасом минимальных множеств. Тривиальными (то есть, состоящими из единственной траектории) минимальными множествами геодезического потока являются периодические орбиты и орбиты, дивергентные в обе стороны (то есть, уходящие па бесконечность при t —f ±00). Например, если поверхность М имеет конечную площадь, то периодические орбиты плотны в Т'Л/, а если М вдобавок некомпактна, то в Т'Л/ плотны также и дивергентные и обе стороны орбиты. Пример нетривиального (то есть, отличного от замкнутой орбиты) минимального множества, локально несвязного в любой точке, был построен в работе Г. Морса [23]. Для этого использовалось геометрическое кодирование геодезических, с последующим построением нетривиального минимального множества для символической динамики с алфавитом {0,1} (подробности см. в книге В. X. Готтшалка и Г. А. Хсдлунда [И, Appendix]).
В то время, как для любой пеэлсментарной (то есть, не содержащей абелеву подгруппу конечного индекса) фуксовой группы Г геодезический ноток всегда обладает нетривиальным компактным минимальным множеством, вопрос о существовании нетривиальных некомпактных минимальных множеств был решен положительно только її 2002 году в работе Ф, Дальбо и А. II. Старкова [9]. Именно, такие множества были построены для групп с параболическими элементами (в частности, для Г = SL(2,Z)), а также для некоторого специального класса бесконечно-порожденных групп Шоттки. При этом основным было построение минимального множества символической динамической системы с бесконечным алфавитом, получающейся и результате геометрического кодирования геодезических. Там же был предложен в качестве гипотезы критерий существования таких множеств, который доказан в настоящей работе:
Теорема 1 (Гипотеза Дальбо-Старкова). Геодезический поток »ar\PSL(2,R) обладает }іетривиальньш некомпактным минимальным множеством тогда и только тогда, когда фуксова группа Г пеэлемеи-тарна и обладает параболическим элементом или бесконечно порождена.
Доказательство состоит и обобщении метода построения некомпактного минимального множества для геодезического потока из работы [9] на класс произвольных бесконечно-порожденных фуксовых групп.
Во второй главе изучаются орбиты орициклического потока па поверхностях постоянной отрицательной кривизны, а также орбиты ли- псиного действия на плоскости дискретной подгруппы в SL(2,R), тесно связанного с орициклический потоком. Построены примеры орицикличе-ского потока, который не обладает ни одним минимальным множеством, и линейного действия на плоскости бесконечно-порожденной дискретной подгруппы в SL(2,H), обладающего только дискретными и всюду плотными орбитами.
Наличие минимальных множеств является важным свойством динамической системы. Например, одно из доказательств Г. Л. Маргулиса гипотезы Оппснгсйма-Давеппорта существенно используется тот факт, что у возникающей в ходе доказательства однородной динамической системы всякое замкнутое инвариантное множество содержит минимальное подмножество (см. [7], [22]).
Как, например, следует из леммы Цорна, всякий поток на компактном многообразии обладает минимальным множеством. Однако для некомпактных многообразий это уже, вообще говоря, неверно. Вопрос о существования потоков без мииимхімшх множеств можно считать почти классическим с 1970-х годов. В [16| было построено двумерное слоение в R3 без минимальных множеств. В том примере, чтобы обеспечить стать нетривиальную динамику, присутствовали листы с бесконечным числом концов и нетривиальной голопомией, то есть, существенно использовалась двумерпость слоения. Таким образов, внимание было привлечено к случаю потоков. В частности, в работе |35] спрашивалось, существует ли замкнутое многообразие, на котором имеется ноток, не обладающий ни одним минимальным множеством.
Гладкие примеры таких потоков были построены недавно в работах [о] и [18]. В настоящей работе, по-видимому, впервые приведен пример такого потока алгебраического происхождения (теорема 3 ниже). Именно, ноток без минимальных множеств можно построить в классе орициклических потоков.
Орициклический поток на TlM = r\PSL(2,R) задается действием одпопарамстрической подгруппы строго-верх них треугольных матриц {ut: t Є R} по формуле и*(Гд) = Гдщ, д Є PSL(2,R), * Є R, где Г — фуксова группа и щ = ± ( _ -, )* В противоположность геодезическому, орициклический поток пе обладает стать богатым запасом минимальных множеств. В случае компактной поверхности А/, поток «д минимален, то есть единственным WR-минимальным множеством является все фазовое пространство TJA/, а для орициклического потока на некомпактной поверхности конечной площади кз-минимальпыс множества суть периодические орбиты (см, например, работу Г. А. Хедлун-да [15] или обзор Э. Гиса [13]). Если же М имеет бесконечную площадь, то ситуация может еще баї ее усугубиться:
Теорема 2. Существует неэлементарная фуксоеа группа Г, такая что поток, полученный ограничением на нсблуоісдающсс мнооїсество Q+ орициклического потока на пространстве r\PSL(2, R), не имеет минимальных мнооїсеств.
Более того, оказывается, что бывают орициклические потоки вообще без минимальных множеств:
Теорема 3. Существует фуксоеа группа Г, такая что орицикличс-ский поток на пространстве T\PSL(2, R) не имеет минимальных множеств.
Для построения этих примеров используется классификация предельных точек фуксовой группы в зависимости от поведения соответствующих орициклов (определение и классификацию предельных точек и связь с поведение орбит орициклического потока см. о пункте 1.1.3), рассматриваемой в работе Ф. Дальбо и А. Н. Старкова [8]. В [8] в терминах геометрического кодирования предельного множества группы Шоттки было дано простое описание подклассов предельных точек, определяющих поведение соответствующих орбит геодезического потока. Что же касается орициклического потока, то были построены примеры, показывающие, что тип предельной точки, характеризующий поведение орицикла, не поддается описанию в терминах кодирования, а имеет более сложную зависимость. При этом рассматривались простейшие бесконечно-порожденные группы Шоттки второго рода (то есть, предельное множество которых яіїлястся канторовым подмножеством абсолюта). Другие интересные примеры групп Шоттки, обладающих предельными точками определенного типа, имеются в работах П. Николлса [26], [27] и П. Ни-коллса и П. Уотермана [29].
Для доказательства теорем 2 и 3 оказывается полезным ввести новый класс предеьных точек, обладающих так называемым свойством сдвига (см. раздел 2.1). Следующее предложение показывает, что выполнение этого свойства для всех предельным точек является препятствием к существованию минимальных множеств:
Предложение. Если осе предельные точки фуксовой группы обладают свойством сдвига и имеются нерегулярные предельные точки, то пеблуоіедающеа мнооїсество Г2+" орициклического потока не содержит и^-мипимальных подмноэ/сеств.
Основная техническая сложность при построении искомых фуксовых групп состоит к доказательстве того, что достаточно обширный класс предельных точек состоит из орицикличсских точек (которые автоматически обладают свойством сдвига). Чтобы преодолеть это, во второй главе настоящей работы развита так называемая "техника прыжков", позволяющая устанавливать орицикличность предельных точек; при этом область ее применения значительно шире методов работы [8]. В частности, появляется возможность рассматривать группы первого рода (то есть, предельным множеством которых является весь абсолют), для которых нет блуждающих относительно орициклического потока точек в r\PSL(2,R), в то время как методы в статье [8] позволяли работать только со специальным классом групп Шоттки второго рода. Эта техника, в сочетании с использованием свойства сдвига, и позволяет построить группы, искомые и теоремах 2 и 3. Ей находится также и другое применение, о котором речь пойдет ниже.
Геометрию заданной дискретной подгруппы Г С SL(2, R) можно изучать, исходя из строения орбит се естественного линейного действия на плоскости R2. Например, если Г — решетка (то есть, Г — дискретная группа и F\SL(2,R) имеет конечный объем), то дискретные Г-орбиты (исключая пулевую точку) существуют в том и только в том случае, когда пространство T\SL(2, К) некомпактно. Известно также, что линейное действие решетки обладает только дискретными и всюду плотными орбиты. В работе [8] был задан следующий вопрос:
Существует ли дискретная подгруппа о SL(2,R); не являющаяся решеткой, линейное действие которой на плоскости обладает только дискретными и плотными в R2 орбитами?
Можно показать, что ввиду двойственности орициклического потока и соответствующего линейного действия дискретной подгруппы, это эквивалентно вопросу о существовании бесконечно-порожденной фуксовой группы первого рода, предельное множество которой не содержит нерегулярных предельных точек. В [8| высказывалось предположение, что таких групп не существует (хотя группа, частично удовлетворяющая этим требованиям, приведена в [8, Theorem 5.4]). Неожиданно оказалось, что такие группы существуют, а именно, с использованием "техники прыжков" в настоящей работе построен соответствующий пример.
Теорема 4. Существует бсскопсчпо-порооїсдсппая (а потому, не являющаяся решеткой) фуксова группа Г первого рода, такая что ее предельное мпооїсество не содержит нерегулярних предельных точек. Поэтому орбиты орициклического потока па пространстве F\PSL(2, R) либо замкнуты, либо всюду плотны, а естественное линейное действие в Ж2 группы р~*(Г) обладает только дискретными и всюду плотными орбитами, гдер: SL(2,H) -» PSL(2,R) — проекция.
В третьей главе изучаются метрические свойства так называемой конструкции Т-индуцирования. Доказаны необходимые и достаточные условия эргодичности Т-индуцнроианных потоков (и более обще, Т-ин-дуцнрованных действий связных подгрупп) для некоторого класса подгрупп в группах Ли, охватывающего разрешимые связные подгруппы в полупростых группах и произвольные связные подгруппы в разрешимых экспоненциальных (в частности, коммутативных и нильпотентных) группах Ли. Кроме того, доказаны необходимые и достаточные условия перемешивания Т-индуцированных потоков для одноп арам отри че-ских подгрупп и произвольных связных группах Ли.
К настоящему времени весьма детально исследованы эргодические (в частности, спектральные) и топологические свойства потоков на однородном пространстве конечного объема, которые индуцированы тривиальным действием стабилизатора (подробное изложение теории однородных потоков см. в книге А. Н. Старкова [33]). С точки зрения динамической теории групп преобразований, представляет интерес изучение свойств общих Т-индуцированиых потоков, для которых имеется нетривиальное действие Т стабилизатора. Во-первых, это даст возможность распространить результаты об однородных потоках па весьма широкий класс динамических систем и, вместе с тем, обнаружить новые эффекты, которые не проявляются па уровне однородных потоков. Во-вторых, изучение динамических систем, индуцированных сохраняющим меру действием замкнутой подгруппы Г группы Ли G, может привести к более основательному пониманию эффектов и закономерностей однородной динамики и их места в общей теории. Некоторые вопросы, связанные с Т-индуцированпыми действиями, рассмотрены в работе А. М. Стёпипа [30].
Конструкция Г-иидуцированного действия состоит в следующем. Пусть G — связная вещественная группа Ли, и заданы подгруппа F С G и действие Г на пространстве X подгруппы Г С G. НаX xG рассмотрим действие группы G х Г, заданное форму-той І9,і)' {х,9о) = (ТЬ)Х, 9907^), g,goeG,jer,xe X.
Поскольку действия групп G и Г перестановочны, то па пространств А" хт G орбит группы Г корректно определено действие 1Т группы G, которое назовем действием, индуцированным при помощи действия Т (кратко — Т-индуцированным действием). Ограничение 1т\г действия їх на подгруппу F назовем Т-индуцированным действием подгруппы F. Если F — однонарамстрическая подгруппа, то It\f называется Т-индуцированным потоком.
Конструкция Т-индуцирован но го действия, с одной стороны, является обобщением однородного действия па G/Г, так как в этом случае индуцирующее действие X стабилизатора Г тривиально, и потока-надстройки над преобразованием $ (в этом случае G — R, а индуцирующее действие решетки Г = Z определяется по формуле T(k) = Sfe), а с другой стороны, — частным случаем конструкции действия, построенного по образу коцикла а : X х Г -4 G (подробности см. в [12, Sec. 2.3]), так как в нашем случае а(х,у) = 7- Аналогом Г-индуцированного действия в категории унитарных представлений является конструкция индуцированного представления Макки (см. [2, Гл. II, 4], [20, 13]).
Предположим далее, что Г замкнута и конечного ко-объема, то есть однородное пространство G/Г обладает конечной мерой /*с/г, инвариантной относительно сдвигов слева иа элементы G (будем считать (tc/r{G/r) = 1), и (Л",X, fix) — пространство Лебега с конечной нормированной мерой цх, Цх{Х) = 1, которая инвариантна относительно Т. Тогда А' Хт G естественным образом обладает измеримой структурой и конечной /г-инвариантной мерой, причем А' х? G изоморфно как пространство с мерой прямому произведению А' х (G/Г), иа котором действие 1т является косым произведением с однородным действием группы G на GJY в качестве базы.
Очевидными необходимыми условиями эргодичности Т-индуциро-ванного действия It\f подгруппы F С G являются эргодичность действия Т и однородного фактор-действия F на G/Г. Однако, Т-индуци-роваиное действие может оказаться исэргодичным, даже если эти условия выполнены (см. пример и пункте 3.5.1), даже в случае полупростой группы G (см. пункт 3.5.3).
Полученные результаты удобно сформулировать при помощи следующего определения:
Определение. Сохраняющее конечную меру действие Т группы G на пространстве Лебега X' называется допустимым по отношению к действию Т ее замкнутой подгруппы Г (кратко Т-до пусти мым,), если X' — фактор-пространство пространства X, полученное факторизацией по измеримому Т-инвариантному разбиению пространства X, и ограничение Т|г действия Т па подгруппу Г совпадает с (/іактор-действием Т/ действия Т.
Теорема 5. Пусть G — связная полупростая группа, Т — действие подгруппы Г С G конечного ко-объема на пространстве Лебега с ко- печной мерой, и F С G — связ)іая разрешимая подгруппа, однородное действие которой па G/Г оргодично.
Тогда для эргодичности Т-индуцированного F-действия на X Xj- G необходимо и достаточно, чтобы било эргодичним ограничение T\F па подгруппу F любого Т-допустилюго действия Т группы G.
Пусть (5 — алгебра Ли группы G, и ехр : О —> G — экспоненциальное отображение алгебры Ли в группу Ли. Элемент х С5 называется эрго-дическим, если для любой замкнутой подгруппы Г конечного ко-объема заданный подгруппой {exp(fx) : t Є Ж} однородный ноток на G/Г эрго-дичен.
Следствие. Пусть G — связная полупростая группа, Т — оргодическое действие подгруппы Г С G конечного ко-объема па пространстве Лебега с конечной мерой, uF= {cxp(fx) : ( R} С G — одпопараметрическая подгруппа, порожденная эргодическим элементом і?0. Тогда Т-индуцированный поток It\f эргодичеи.
О действиях (в том числе, не только однородных) замкнутых подгрупп в полупростых группах см. работу А. М. Стёшша [34].
Определение. Скажем, что подгруппа F группы Ли G удовлетворяет условию (Е), если для всех операторов Ad(/), f Є F, единица является единственным собственным значением, равным по модулю единице, где Ad : G -* Aut(<3) — присоединенное представление.
Заметим, что если G — коммутативная, ннльпотеитная или экспоненциальная разрешимая группа Ли, то это условие выполнено для любой ее подгруппы F (говорят, что разрешимая группа Ли G экспоненциальна, если для всех операторов Adfj), (jeG, единица является единственным собственным значением, равным по модулю единице).
Теорема 6. Пусть G — связная группа Ли, Т — действие подгруппы Г С G конечного ко-объема на пространстве Лебега X с конечной мерой, F С G — связная подгруппа, удовлетворяющая условию (Е), однородное действие которой па G/Г эргодичпо.
Тогда для эргодичности Т-индуцированного F-действия на Х_Хт G необходимо и достаточно, чтобы было эргодичним ограничение Т\р на подгруппу F любого Т-допустимого действия Т группы G.
Более того, если Т-иидуи,ированпое F-действие не эргодичпо, то найдется Т-допустимое G-действие Т па нетривиальном (то есть, па содероісащем множество промежуточной между 0 и I меры) пространстве с мерой, ограничение которого па F тривиально (то есть, для всех f Є F преобразование T(J) тооїсдествєнио (mod 0)).
Замечание. Как следует из доказательства, утверждения о необходимости теорем 5 и С справедливы для любой подгруппы F в произвольной связной группе Ли G.
С другой сторони, для произвольной группы G утверждения о достаточности теорем 5, G, вообще говоря, неверно (см. пример в пункте 3.5.2). Из леммы о редукции 11 следует, что в общем случае вопрос эргодичности Т-ипдуцироваппого действия может быть сведен к ситуации, когда заданное подгруппой F однородное действие на С/Г изоморфно однородному действию квазиунипотентной группы.
Теоремы 5 и 6 имеют аналоги в виде критерия существования неподвижных векторов для индуцированных представлений (см, раздел 3.6).
Для однородного F-потока на <7/Г сильное перемешивание эквивалентно слабому (это следует, например, из того, что спектр эргодиче-ского однородного потока является суммой точечного и счетнократного Лебеговского спектра (одна из компонент может отсутствовать) [С, Th. G.2]) и является очевидным необходимым условием слабого и сильного перемешиваний Т-индуцнроваиного F-потока на Лг x^G.
Теорема 7. Пусть G — связная группа Ли, Т — действие подгруп-пы Г С G конечного ко-объема па пространстве Лебега с конечной мерой, F = {/(}(єя С G — одиопараметрическая подгруппа, такая что однородный F-nomoK па G/Г сильно перемешивает.
Тогда Т-индуцированный F-поток па X xTG сильно (слабо) перемешивает тогда и только тогда, когда сильным (соответственно, слабым) перемешиванием обладает ог}шпичепие Х|г па F любого Т-допустимого действия Т группы G.
Результаты работы докладывались на семинарах по динамическим системам механико-математического факультета Московского государственного университета в 1998-2003 гг., на Колмогоровских чтениях (1999), и на международных конференциях и Кацивели (Украина, 2000), в МИЛН (Москва, 2002) и в Марселе (Франция, 2003).
Содержание диссертации опубликовано п работах [37], [38], [39], [40], [41[, [42]-
Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям А. Н. Старкову и А. М. Стспнпу за постановку задач, помощь и постоянное внимание к работе, а также Д. В. Аносову за плодотворные обсуждения и цепные замечания. Автор благодарит Математический Институт (IRMAR) Университста-1 города Рспп (Франция) за гостеприимство в течении визита (февраль-март 2002 года), состоявшегося в рамках программы обмена между Независимым Москоиским Университетом и CNRS (Франция), и течении которого была получена часть результатов настоящей работы.
Группы типа Шоттки
Определение 1. Многоугольник D в Н2 (то есть область, ограниченная не Солее чем счетным числом геодезических; допускаются многоугольники, замыкание которых D П И2 некомпактно или даже имеет бесконечную площадь) называется многоугольником Шоттки относительно не более чем счетной системи изометрий hj, j = 1,..., J, J Є Nu {оо}1, если В [31] показано, что 7( ) П D — 0 Для любого элемента 7 груп ни, порожденной hj, j — 1,..., J, 7 И ! Пример многоугольника Шоттки D относительно системы из трех автоморфизмов (параболического д\, гиперболического gi и эллиптического третьего порядка r/з) приведен на рисунке 1.1. Определение 2. Фуксова группа Г называется группой типа Шоттки, если она обладает фундаментальной областью, которая является многоугольником Шоттки относительно некоторой системы образующих группы. При этом данная фундаментальная область называется фундаментальной областью Шотткн, а система образующих — системой образующих Шоттки. Замечание. Здесь мы используем терминологию работы [31]. Встречается и другое использование термина "группа тина Шоттки", подразумевающее, в частности, отсутствие в группе эллиптических элементов. Понятие группы типа Шоттки намного тире классического понятия группы Шоттки, поскольку для фундаментальной области группы типа Шоттки отсутствуют требования дизъюпктности и конечности числа сторон, а также допускается наличие эллиптических элементов. Замечание. Вообще говоря, многоугольник Шоттки относительно системы образующих фуксовой группы не обязательно является ее фундаментальной областью, даже в случае конечно-порожденной группы. Необходимые и достаточные условия, когда это действительно так, даны в [31, Theorem 1]. Пусть Г — группа тина Шоттки с набором образующих Я = {hj : j = 1,...,J}, J — натуральное число или бесконечность и D — фундаментальная область Шоттки относительно Я. Обозначим hj = /с] при j 0. Рассмотрим алфавит Л = А(Н, D), состоящий из следующих символов: 1. образующие и их обратные hj, hj1, если ord(/i;) = со; 2. степени эллиптических образующих /ij, 1 s ord(/ij) — 1; 3. точки накопления множества, образованного концами сторон {а±]ПОШ7}, j = 1,..., J, — такие элементы будем называть терлш-налъними символами. Заметим, что каждый терминальный символ является предельной точкой группы Г. Далее мы будем рассматривать конечные и бесконечные одно- и двусторонние последовательности х = (х ) из символов алфавита А.
Мы будем предполагать, что для односторонних правих последовательностей индекс j принимает натуральные значения 1,2,..., г(х), где г(х) — длина правой последовательности, а для односторонних левых целые неположительные — 1(х),..., —1,0, где г(х) Є Nu{co}, 1(х) Є NU{0,co}. Для двусторонних последовательностей (Xj) индекс j меняется от /(х) до г(х) (включительно, когда соответствующая граница отлична от бесконечности), причем всегда/(х) 0 и г(х) 1. При записи двусторонних последовательностей в строку х = (... ,x_i, хо; xj.xa,...) точка с запятой всегда будет отделять нулевой символ от первого. Если х и у — соответственно односторонние левая и правые последовательности, тог = (х; у) обозначает двустороннюю последовательность, полученную приписыванием у справа от х, при этом z х и z+ = у обозначают левую и правые части последовательности z. Для правой односторонней (конечной или бесконечной) последовательности х = (хі,Х2,хз,...) обозначим ЧСрСЗ Х-1 левую последовательность (. . . , у_2тУ-Ь Уо) ГДе Ук — х1 к —1{у) = —г(х) + I к 0, п для терминального символа но определению полагаем -1 = . Аналогично, для левой последовательности х, х-1 будет обозначать обращенную правую последовательность. Определение 3. Скажем, что пара (х,у), х, у Є А, не допускает сокращения, если выполнено одно из следующих условий: 2. один из символов х, у терминальный, а другой нет; 3. х и у — автоморфизмы, не являющиеся степенью одного и того же эллиптического образующего, ихф у-1. Определение 4. Правой допустимой односторонней последовательностью называется конечная или 6єско7іе-іная последовательность х = (х[, 2,-..) символов алфавита А, удовлетворяющая следующим условиям: 1. х содержит терминальный символ тогда и только тогда, когда г(х) со, причем в этом случае последний символ хТ(х) — единственный терминальный символ в последовательности; 2. пара (xfc,Xjt+i) tie допускает сокращения при 1 к г(х). Пространство всех допустимых последовательностей обозначим X = Х(А). Введем топологию на А . Для этого сначала определим топологию па А. Рассмотрим вложение / : А - (Ш2, при котором 1) каждый терминальный символ Є АГ\ А переходит п себя; 2) каждый параболический или гиперболический автоморфизм kj Є А переходит в произвольную точку I{hj) строго внутри интервала границы дШ2, лежащего подругую, чем D, сторону от геодезической а$\ 3) каждый эллиптический автоморфизм hj и его степени hjt переходят в произвольные точки /(/ij) строго внутри интервала границы дШ2, лежащего по другую, чем D, сторону от ломаной dj U G-j, причем точки I{hj), d = 1,... ,ord(hj) — 1, попарно различны. Введем на А топологию, индуцированную при этом вложении обычной топологией окружности S1 —дШ2. Отметим, что нетерминальные символы и только они являются изолированными точками А и что А — компакт. Рассмотрим пространство Л последовательностей символов из А, состоящее из всех бесконечных односторонних последовательностей и конечных последовательностей, оканчивающихся на терминальный символ. Далее, рассмотрим отображение F : Лм - Л , где Ап — пространство бесконечных односторонних последовательностей из элементов А, при котором последовательности, не содержащие терминальных символов, переходят в себя, а для каждой последовательности х, имеющей начальный отрезок (xi,... ,хп), где х„ — первый терминальный символ и х, положим F(x) — (х\,..., хп). Очевидно, при этом X С F(AU). На Аи рассмотрим обычную тихоновскую топологию счетного декартова произведения, которая задает на F(AU) топологию фактор-пространства, которая в свою очередь индуцирует топологию на Д как на подпространстве. При этом пространство Л компактно.
Прыжки первого и второго рода
Пусть Г — группа с парами рапных полуокружностей, и d обозначает евклидово расстояние. Определение 8. Скаокем, что множество М совершает прыжок нерпо го рода уровня а 0 в полуокружность S, если М с {z : line 0,d(z,c(S)) (1 + a)r(S)}. Скажем, что лшожсство А/ совершает прыжок иторого рода уров-пя а 0 в полуокруоісиость S, если М С {z : hnz 0, d(z,c(S)) r(S) + omax{r(S),c(S),l}}. Пусть x = (Ліц/ijtj,...) — бесконечная правая допустимая последовательность образующих (или их обратных) группы с парами равных полуокруоіспостей. Скажем, что х содержит прыжок первого (второго) рода уровня а 0 на J-M .месте, j I, если S j_i совершает прыэ/сок первого (соответственно, второго) рода уровня а в S-kr Разумеется, прыжок второго рода является прыжком первого рода того же уровня. Предложение 15. Пусть diam обозначает диаметр по отношению к евклидовой метрике. Если М совершает прыоюок первого рода уровня а в полуокружность S,, то diam(ft_jt, (А/)) diarn(A/)/(l + а). В частности, это выполнено, еслих Є X содержит прыжок первого рода уровня а на j-м месте и А/ С 1 1-(5 ,,) Доказательство. Следует из того, что автоморфизм / _ , является композицией шшерсии относительно S-kj, которая сжимает евклидово расстояния на множестве {z : r/(z, cfS-j )) (1 +а)г{5_ )} по крайней мере п (1+а) раз, и отражения относительно некоторой вертикальной оси. П Лемма б. Существует 8 0 зависящее только от а 0 такое, что для любих двух полуокружностей S, S таких, что S совершает прыжок второго рода уровня а о S, и для всех Є hit(5) П R имеем (см. рис. 2.2) При этом для некоторой константы В О при а 1 можно вибрать $ Ваі. Доказательство. Рассмотрим сначала случай когда S содержится и полосе {z : ] Rez] а/4}. Поскольку d(S,S ) а, 5 заведомо лежит в области {z : Rcz За/4}. Поэтому п этом случае можно взять 6 = 50, где 5о — минимальная мнимая часть точек пересечения орициклов 0±aji(i) с прямыми {Re г = ±За/4}. Ясно, что при этом S0 имеет порядок а2 при а- 0. Рассмотрим теперь случай \c(S)\ r(S) + а/4. Не ограничивая общности, c(S) 0. Дуга окружности F = 0$(і) П {z : Imz 1} имеет своими концами і п г + 2f. Если S не пересекает множество {z : 0 Rez 2c(S) + 2r(S)} D {z : 0 Rez 2}, то 5 = 1 удовлетворяет утверждению леммы.
По условиям леммы S не пересекает полосу {z : (1 — a)c(S) — г(S) Rcz (1 + a)c(S) + r(S)}. Дут F П {z : 0 Rez c(S) — r(S), Imz 1} лежит выше дуги орицикла Oc{s)-r(s)(0 П {г : 0 Rez c(S) — r(S), Imz 1}. Пусть последняя пересекает прямую {z : Rez = (1 — a)c(S) — r(5)} и точке (1 — a)c(S) — r(S) + is . Аналогично, дуга орицикла Oc(s)ir{s){i) Л {z : c{S) + r(S) Re 2 2c(S) + 2r(5), \mz 1} лежит пиже дуги FC\{z: c{S) + r(S) Re г 2c(5) +2r(S), Imz 1}, и пусть (1 + a)c(S) + r(S) + is+ обозначает точку пересечения Oe{s)+r{S)(i) с прямой [z : Rcz = (1 + a)c(S) + f(S)}. Радиус орицикла Oc{s)±r(S)(i) ранен ({c(S) ± r(5))2 + 1)/2. Если 5і + l) J+a2c(5)2 0, которое заЕсдомо выполнено при 0 5 niin{a2/8,ft4/32}, поскольку (с(5) ± r(S))2a2/8 4c(5)V/8 = (a2c(S)2)/2, так как с(5) г(5), и а"/32 (а2с(5)2)/2, так как c(S) я/4. Наконец, для произвольного расположения S рассмотрим меньшую полуокружность 5, Є Int(5) С Int(5), причем S содержится в том же множестпе {z : \licz\ а/А} или {z : (Re j а/Л}, что и . Поскольку 5 совершает прыжок второго рода уровня а в 5, то этот случай сводится к одному из двух предыдущих. Таким образом, можно положить 5 = иші{5о, a2/8,a4/32,1}.D Лемма 7. Пусть Г — группа с парами равных полуокружностей и — а[х), где х Є Л — лряеоя допустимая бесконечная последовательность, для некоторого а 0 со(?ерт/С(Ш{ал бесконечно много приоіскоо второго рода уровня а. Тогда — орициклическая предельная точка. Доказательство. Пусть S±k, А: N, — пары равных полуокружностей, ограничивающих фундаментальную область группы, и hk = h(Sk,S-k), к Є N, — образующие группы. Пусть х = (/ц.,,/і 2,...), kj ф 0, kj + Aj+i / 0, j Є N. Тогда — lim -n»/! , ...Л ,, (г). Для каждого п иозьмем точку wn Є /tftj.../ifc„( )ПZ/(500}, Ясно, что это пересечение непусто и по предложению 10 ivn —» , i — со. Выберем /„ так, что /„ /г + 2, на /п-м месте происходит прыжок второго рода уровня а и (1 4- a)- n+2, n-1,e diam(5fcB+1) 5, где 6 соот ветствует а в утверждении леммы б, J(r,s,a) — число прыжков второго рода уровни а с г-го по s-e место пключитслыю при г s, J(r, s,a) = О при г s; поскольку по условию J(n 4 2, m — 1,а) — со при m -юо и фиксированном п, такое /„ можно подобрать. Если прыжок иторого рода уровня а совершается на j-м месте, то по предложению 15 il\am(Gjfi) tliamfGj-i /fl + а), а при остальных j имеем diam(Gj,i) diamfGj-i.j,). Поэтому при г s мы имеем diam(GT[S) (1 4-a) / s+1 r Q)diam(Sfcl,). По выбору /п получа-см Ct.-i,w+i С {z : Ітг S}. Из условий G,„_Iin+1 С Iiit(S (e_,), 7п(0 Є Int(5_tj ), леммы 6 и из того, что на /„-м месте совершается прыжок уровня а второго рода, пытекаст G(„_i n+inint(O7n(5)(0) = 0- Из ТОГО, ЧТО fn{ n) S Gfn_lin + 1 И ИЗ НреДЛОЖеїШЯ 14 СЛСДуСТ, ЧТО 6 Aft. Имеющейся уже у пас техники достаточно для построения орпцнклнче-ского потока без минимальных подмножеств в П+, то есть для доказательства теоремы 2. Положим r(5fc) = 4t_I, c(Sk) = c(S-k) — 2r(Sk). Тогда соответствующая группа Г — фуксова группа второго рода, которая является группой с парами симметричных полуокружностей. Из следующего предложения и предложения 8 следует, что Г — искомая группа в теореме 2. Предложение 16. А = Аз «ооЄ Airr П Ля. Доказательство. Поскольку r($k)/c(Sk) = 1/2, из предложения 12 следует оо Є Лігг Г) Лл. Осталось показать, что вес остальные точки из Л \ Г(оо) орициклическне, так как t\h С Л,. Возьмем произвольную точку ; & Л\Г(оо). Поскольку бесконечность является единственным терминальным символом алфавита А, можно закодировать бесконечной допустимой последовательностью х. Поскольку любые две различные полуокружности из семейства {S±k} совершают прыжок второго рода уровня 1/8 одна и другую, то х со держит прыжок второго рода уровня 1/8 на любом месте. Поэтому из леммы 7 следует, что Є Ль.
Орициклический поток без минимальных множеств
Здесь мы приведем пример группы первого рода, для которой орициклический поток не имеет минимальных множеств, то есть докажем теорему 3. Пусть Q 1, f,K (0,1). Рассмотрим ссмсйстио полуокружностей S±(2k-i)fl, r(S2k-ifi) = r(S-2k+vo) = lQki c(S2k-i,o) = -c{S-2k+\,o) = Qk, k Є N. При ограничении (I + 7)/(1 — і) Q окружности 52 _і,о Расположены друг к другу ШІСТІІІІИМ образом и без касаний, поэтому антс-морфизмы /(2ft-i,o = M 2ft-i,OiS-2Jfc+i,o) гиперболичны; обозначим также h-2k+\fl = 2t-i,0 & Є N. Далее, пусть полуокружности 52fc,±i, І Є N, образуют крокодил па отрезке [c(52fc-i,o) + r(52jfc-i,o),c(52ft+i.o) -r(52 +i,c)] с коэффициентом Л , и пусть {fi2k,±t}ieu — соотпетстнующаи последовательность автоморфизмов, к Є Z. Рассмотрим группу Г порожденную всеми элементами /ід,і, к Є Z, / = 0, если к нечетно, / є N, если к четно (см. рис. 2.5). Отметим, что S(hkj) = 5/,,(, h \ = hk,-i при четном к, fyt о = /1- ,о "Ри нечетном А:. Можно т-ак вибрать Q, f и К и константы Cj, j = 1,... ,G, чтобы эта конструкция удовлетворяла следующим свойствам: 1. сели \ki — к?\ 1, то полуокружность S JL совершает прыжки первого и иторого рода уровня Сі 0 в г г для допустимых її, 2. если \к\ 2-rn + l, то множество {z : Rcz\ с(5гт+і,о)} совершает прыжок второго рода уровня Сг 0 в полуокружность 5jt,( доя допустимых (; 3. если fc 2m +1, то множество {z : Rcz\ c(.?2rnfi,o)} совершает прыжок второго рода уровня Сз 0 в полуокружность ,( для допустимых /; 4. если \к\ 2т+ 1, то множество {z : j Rc e(52m-i,o)} совершает прыжок первого рода уровня С$ Q2 — 1 в полуокружность Sk,l для допустимых /; 5. сечи \кі\ 2тх — 1, Aj2 2m2 — 2, 7?i2 — mi 1 то полуокружность Sjt2,/2 совершает прыжок первого рода в Sjt,,(, уровня C5Q "3- ni + 1 - 1, С5 1, для допустимых /ь /2; G. (уточнение свойства 1) если \кг — к2\ 1, то полуокружность 5 ,,(, совершает прыжок первого рода и Sk2js уровня Сц Q — 1 для допустимых 1\, 12\ Если выбрать произвольное Q 1, то положительные константы С], С2, Сз найдутся для любых 7, Л Є (0,1), (1+7)/(1 7) ? А того, чтобы можно было выбрать С5 1, Со Q — 1, Cj Q2 — 1, нужно выбрать 7 достаточно близким к нулю, а затем К — достаточно близким к единице. Терминальными символами алфавита А здесь являются бесконечность и носы крокодилов с(5г +і,о) — K 2it+i,o)t к Є Z. Однако носы крокодилов допускают и бесконечные кодировки. Предложение 19. Группа Г является фуксовой группой первого рода, причем Г — группа с парами равных полуокружностей, удовлетворяющая условиям предложения 10. Доказательство. Рассмотрим правую бесконечную допустимую последовательность х = (/tjti,;,,/jjt2,f2t ) Обозначим h{j) = fcj.fji S{j) = S{h(j) l), S {j) = S{h(j)). Нужно доказать, что Рассмотрим сначала случай, когда последовательность {\kj\} ограничена. Если {\lj\} ограничена, тох содержит конечное множество различных символов, и утверждение справедливо по предложению 17. Если же {\lj\} неограмичена, то среди S(j) содержатся полуокружности сколь угодно малого радиуса и Рассмотрим теперь случай, когда sup{j} = со. Построим последовательности {js} и {ms} следующим образом. Положим ji = 1, mi = [([fc] +2)/2], где [] — целая часть.
Затем для s 1 индуктивно определим js, как наименьшее возможное натуральное число, удовлетвори ю-щее условиям js j s_i и \kja\ 2т4_1 — 1, и положим ms — [(\kjt\+ 2)/2]. Тогда {ms} строго возрастает, \kja\ = 2тя — 1 или \kja\ = 1т3 — 2, и \kj\ 2ms-i — 1 2(ms — 1) — 1 при j js. Заметим, что левая часть (2.1) монотонно убывает по п, поэтому сходимость к нулю достаточно доказать для подпоследовательности, то есть осталось показать r(/i(l)... h(jt — l)(S{jt))) —) 0, і — со. Если ms — ms_i 1, s 1, то \kjt\ 2ms — 2, !&/,_]] 2??iJ„1 — 1, и no свойству 5 полуокружность S(js) делает прыжок первого рода в S (js — 1) уровня Cr)Qmj "J 1+t — 1 Поэтому полуокружность h(j3)...h(jt — l)(S(jt)) С Int(5(jj)) но предложению 15 сжимается под действием h(js — 1) не менее, чем в C QTn, jn t + l раз. Если 7п$ = m _i + 1, s 2, то возможны четыре случая. Случай 1. I&j-j-il 2г/га_і — 1. Тогда по свойству С S(js) делает прыжок первого рода в S ljg, — 1) уровня Со. Случай 2. fcj,_i = 2тя_і — 1, 5 (js — 1) и S(js) лежат по разные стороны от мнимой оси. Тогда по свойству б S(js) делает прыжок первого рода в S (j„ — 1) уровня Се. Случай 3. !&j,-;i = 2ms_t — 1, S (js — 1) и S(jf) лежат по одну сторону от мнимой оси, \kj3\ = 2ms_i + 1. Тогда полуокружность S(js) по свойству б делает прыжок первого рода уровня Се в полуокружность S (j$ — 1). В первых трех случаях полуокружность h(js) ...h(jt — l)(S(jt)) С lnt(S(js)) сжимается под действием h(j$ — 1) не менее, чем в тіп{Сб, С }+ 1 = ((min{Ce,Gi} + l)/Q)Qm--M-1 раз. Случай 4. fcj,-it = 2ms_! — 1, S {js — 1) и S(js) лежат по одну сторону от мнимой оси, \kjf\ — 2ms_i. Тогда полуокружность h(js — l)(S(j3)) лежит внутри четверти круга {z Є lnt(S(js 1)) : [Res] \c(S(js — 1))}, а потому по свойству 4 делает прыжок первого рода уровня С в полуокружность S (js — 2). В any час js \ js — 1 полуокружность h(js - l)...h(jt - l)(S(jt)) С Int(5(y, - 1)) сжимается под действием h(js 2) не менее, чем в Сл+1 = ((Ci + l)/Q)Qm m -1 раз. Рассмотрим случай ,7,,-1 — js — 1. Если ms-i — ms_2 1, то no доказанному выше полуокружность h{j, — 1)...h(ji — 1)(5(,7()) С. lnt(S(js — 1)) сжимается под действием h(js - 2) не менее, чем it C5Qm- -"«- +I = (v/Cs)2 "1 ""1 -1 раз; сын же тя_і — тя_2 = 1, то эта напуокружность сжимается под действием h(js - 2) не менее, чем із С4 + 1 = (\ДС4 + l)/Q)2Qm -m"2 раз. При остальных j =4 j3 полуокружность h(j)...h(jt — l)(5(jj)) С lnt(S(j)) не растя ги настся под действием h(j — 1). Учитывая r(SUt)) lQmi, имеем r(h(l)...h{jt - l)(S(ji))) Cl-7Q-mi+n r(S(jt)) 7Q "2C("2 -» 0, t - со, где С = max{ /Q/(C4 + 1),Q/(C& 4- 1), l/\/U$} 1. Предложение доказано. П Лемма 9- Пусть х — (/ ,/,), j Є N, — бесконечная допустимая после-дователъпость. Если для каждого а 0 последовательность х содер-оісит только конечное число прыжков и составных приоісков второго рода уровня а, то для некоторых j0 Є N, т Є N U {0} при j jo 5 частности, есе полуокружности S(h K), j jo, содержатся в полосе {z : \Rcz\ (1+f)Qm+l. Доказательство.
Заметим, что если для некоторого целого т выполне но j_i 2m — 1, ATJ 2m — 1, или %-i 2m — 1, \kj\ 2m — 1, то то по свойству 1 naj-м месте происходит прыжок второго рода уровня С\. Поэтому достаточно доказать, что если для некоторого целого т вы полнено одно из условий 1) Arj і]т \kj\ 2т + 1, A:J+i 2m + 1 или 2) \kj-\\ 2m + 1, \kj\, \kj + i\ 2m + 1, то x содержит на j-м или на (j + 1)-м месте прыжок или составной прыжок второго рода уровня піт{Сі,С2,Сз}. В первом случае полуокружность / /.(5(/1 .,,/ ,)) содержится в {z : Rc-г] c(52m+i)}i и паличне прыжка второго рода уровня С2 полуокружности /ifcY{S(hkj_,,ij_,)) и S(h l+ul.+i) следует из свойства 2 нашей конструкции, то есть на (j + 1)-м месте происходит составной прыжок второго рода уровня Сг Пусть теперь j&j-il 2m + 1, &j, fc,-+i 2m + 1. Ести \kj\ 2m + 1, то из первого свойства следует, что 5(/ .,,/ .,) совершает прыжок второго рода уровня к 5(/( ,.) уровня Сі, то есть naj -м месте происходит прыжок второго рода уровня С\. Пусть теперь \kj\ = 2m + 1. Рассмотрим случай kj = —2m — 1. Тогда hkjfl} = /i_2m_i0, h Sj = /t2m+i,o- Если kj-i 0, то но полуокружность S(hkj_utj_i) лежит по другую сторону от мнимой оси, чем S(h ltl.) = 2771+1,01 и потому по мерному свойству совершает прыжок второго рода уровня С] и S m+ifl, то есть на j-м месте происходит прыжок второго рода уровня Сі. В противном случае kj-i 0 и S(hkj_l,ij_l) расположена правее 2 +1,0, ПОЭТОМУ и но свойству 3 полуокружность /i2m+i,o(S(/ijtj_i,ij_i)) совершает прыжок второго рода уровня Сз в 5(/ 1 д), то есть на (j + 1)-м месте проис ходит составной прыжок второго рода уровня Сз- Случай kj — 2т 4- 1 рассматривается аналогично.
Доказательство критериев эргодичности и перемешивания
Пусті, для замкнутой подгруппы Г конечного ко-объема и связной группе Ли G задано сохраняющее меру действие Т па пространстве Лебега (Л", X, ftx), fix(X) — 1- Для произвольной нормальной подгруппы U С G рассмотрим подгруппу Гц = YU и семейство 2l(T, U) (которое мы будем обозначать просто 21, если ясно о каких Т п U ндет речь) измеримых подмножеств А Є X, таких что для любой последовательности 7п Є Г сходимость fnU к единице в G/U влечет Лемма 11 (Редукция к индуцированному действию подгруппы Г(/)« Семейство S!(f/, Т) является Т-инвариантной о-алгеброй мно-оісеств, порожденной некоторым измеримым Т-инвариантным разбиением . Фактор-действие T/f подгруппы Г продолоісастся до непрерывного действия Ти подгруппы Гц, причем Ти-индуцированное действие 1Ти группы G изоморфно фактор-действию ITJQ{U), где (,{U) — разбиение на эргодические компоненты для Т-индуцированного действия 1т\и подгруппы U. При этом Тц\и тривиально. Лемма 12. 1) Пусть задано действие S группы Ли G. Тогда G-действия Is и S изоморфны. 2) Если Р является фактором действия Р замкнутой подгруппы Г С G, то 1р является {факторам дейстагія Ір. _ 3) Если заданы действия Р и Р замкнутых подгрупп Г и Г соответственно, причем Г С Г С G и Р продолжает действие Р, то If, является (фактор-действием действия 1р. Определение 12. (См. (33, п. 3, 1, Гл. If.) Нормальной подгруппой Мура для элемента g Є G называется наименьшая подгруппа среди всех нормальных подгрупп М С G, таких что замыкание подгруппы, порожденной элементом Айс/м(дМ), компактно. Нормальной подгруппой Мура M(F) для произвольной подгруппы F С G називаєшся норліаль-пая подгруппа, порожденная всеми нормальными подгруппами Мура для элементов F. Нам понадобится также следующий результат, известный как феномен Маутнера. Определение 13. Скажем, что подгруппа U группы Ли G обладает свойством Маутнера по отношению к подгруппе V С G, если для любого непрерывного унитарного представления р группы G а сспарабельнолі гильбертовом пространстве II всякий неподвижный относительно V вектор неподвиоіссн гі относительно U. Предложение 25 (Феномен Маутнера, см. [25], [33, Теорема 9.1І). Пусть F связная подгруппа связной группы Ли G. Тогда M(F) обладает свойством Маутнера по отношению к F. Если F является одно-параметрической подгруппой, то для всякого непрерывного унитарного представления группы G в сспарабсльпом гильбертовом пространстве ограничение представления на подгруппу F имеет абсолютно непрерывный спектр в ортогональном дополнении к неподвижным относительно M(F) секторам. Лемма 13. Если группа Ли G связна и полупроста, подгруппа F С G связна и разрешима, и однородное F-действие на G/V эргодично, то ГАЦР) — G, Лемма 14. Пусть F С G — подгруппа, удовлетворяющая условию (Е), и однородное F-действие на С/Г эргодично. Тогда найдется такая замкнутая нормальная подгруппа U, обладающая свойством Маутнера по отношению к F, что Тц = G, Лемма 15. Если F C.G — одпопарамстрическая подгруппа, и однородный F-поток на G/Г перемешивает, то Гм(р) — G,
Доказательство достаточности о теореме 5. Предположим, что Т-индуцнровапное F-действие неэргодично. Рассмотрим нормальную подгруппу Мура U = M(F) подгруппы F. Из лемм 11 и 13 следует, что Гу = G и что {?-действие ITJC,{U) изоморфно действию ITv, а значит — но лемме 12 — и действию Ту. Отсюда также следует, что Тц является Т-дрпуст им ы м дей ств и см. Согласно предложению 25 нетривиальное /гік-иниарнантное подмно жество n A xTG инвариантно и относительно 1т\и, то есть является (,(U) измеримым. Поэтому фактор-действие (/гг)/С( ) нсэргодично, равно как и изоморфное ему TU\F- Значит, Ти искомое Т-допустимое дей ствие. Доказательство следствия гіз теоремы 5, Предположим противное, то есть, что Т-индуцирОЕзаппып поток IT\F Іюэргодичен. Тогда найдется Т допустимос действие Т группы G, такое что T\F нсэргодично. Тогда из феномена Маутисра следует, что Т\м также неэргодичпо. Так как F порождена эргодическим элементом, то M(F) = G, следовательно дей ствия Т и, тем более, Гг нсэргодичны. Так как Тг — фактор-действие эргодичпого действия Т, приходим к противорсчию. П Доказательство достаточности а теореме 6. Допустим, что Т-инду цировашшый поток нсэргодичеи. Рассматривая U, существование кото рой утверждает лемма 14, также, как и п полупростом случае, получаем, что Ти — допустимое {7-действне и TU\F нсэргодично. Действие Ти\и тоже не эргодичпо, поскольку U обладает свойством Маутисра но отно шению к F. Обозначим через і) разбиение пространства Х/ па эргоди ческие компоненты для Ти\и- Пространство (A7)/TJ петршшалыю, так как Тц\ц нсэргодично. Так как U нормальна, то ц инвариантно относи тельно действия Т всей группы G, то есть корректно определено фак тор-действие Т[//т}. При этом элементы т; неподвижны относительно F, то есть Тц/т} — искомое Т-допустимос действие. D Доказательство достаточности в теореме 7. Пусть IT\F не обладает сильным (слабым) перемешиванием. Рассмотрим нормальную подгруп пу Мура U = M[F) подгруппы F. По лемме 15 и следствию из леммы 11 следует, что Гц = G и что G-действия IT/C[U) И Тц изоморфны. Так как непрерывность спектра потока влечет его сильное перемешивание, то по предложению 25 потоки (IT\F)/C(U) = Ти\р и IT\F одновременно обладают или не обладают сильным (соответственно, слабым) переме шиванием. Поэтому Ти\р не обладает сильным (соответственно, слабым) перемешиванием, а значит Тц\у — искомое допустимое действие. Доказательство необходимости в теоремах 5, 6 и 7. Пусть найдется Г-допустимое G-действие Т па фактор-пространстве ЛУ, такое что ограничение Т\г нсэргодично или не обладает сильным или слабым перемешиванием. Достаточно доказать, что Т является фактором действия 1т, так как эргодичность и сильное и слабое перемешивание сохраняются при переходе к фактор-действию.
