Введение к работе
Актуальность темы. В последние десятилетия появилось большое количество работ, посвященных обобщениям различных классических интегральных процедур-на случай неотрицательных функций точки и неотрицательных неаддитивных функций множества (Г. Шоке, А. А. Гольдберг, Ч. Хейес, В. Н. Алексвк, Б. Риечан, Е. Де Джиордяи и Г. Летта, Г. Греко, А. Г. Порошкин и И. И. Баженов, Я. Шипош и др.). Получаемые при этом интегралы в случае аддитивной меры совпадают с интегралом Лебега, а в общем случае отличаются друг от друга и теряют некоторые привычные свойства Св частности, аддитивность по функциям и множествам}. В то же время они представляют собой удобный и необходимый инструмент математических исследований. Отдельное направление в неаддитивном интегрировании образуют работы, связанные с нечетким интегралом по нечеткой мере, не являющимся обобщением интеграла Лебега.
Несмотря на обилие различных интегралов, сейчас пока нет сколько-нибудь единой теории неаддитивного скалярного интегрирования. Это обстоятельство выдвигает на передний план задачу их систематического изучения.
В. Н. Алексюк [1] впервые построил теорию аддитивного векторного интегрирования (в скалярно-банаховом и банахово-скалярном случаях), в которой функция объявляется интегрируемой по мере, если ее норма-функция интегрируема по супремации или полувариации меры. Устанавливаемая таким образом взаимосвязь между скалярными интегралами по неаддитивным мерам и интегралами в абстрактных пространствах открывает новые перспективы в исследовании последних. Например, в плане расширения классов функций множества, по которым возможно определение билинейных интегра-
лов с теорией Lp-пространств. Особый интерес при этом представляют интегралы по конечно аддитивным мерам.
Цель работы: 1. Положить начало систематическому изучении скалярных неаддитивных интегралов, являющихся обобщениями интеграла Лебега.
-
Развить метод Алексюка векторного интегрирования, распространить его на более общие пространства значении функции, меры и интеграла, нежели в СИ, и систематизировать получаемые этим методом интегралы.
-
Применить интегралы по полувариациям мер в билинейном векторном интегрировании Бартла [21.
-
При изучении абстрактных интегралов уделить основное внимание случаю конечно аддитивных мер, вопросам предельного перехода под знаком интеграла, возможности определения пространств Lp С0<р<оо) и сходимости в этих пространствах.
Методы исследования. Изучение интегралов в абстрактных пространствах проводится методом неаддитивного скалярного интегрирования. Для систематизации скалярных интегралов по обобщенным мерам и построенных с их помощью интегрирований в абстрактных пространствах применяется аксиоматический метод. Доказательства базируются на классических методах теории функций действительной переменной, теории меры и интеграла.
Научная новизна. Получены следующие результаты:
-
Впервые построена аксиоматическая теория неотрицательного интегрирования по неаддигивным функциям множества, позволившая на классе неотрицательных функций единообразно охватить интеграл Лебега и некоторые его неаддитивные обобщения.
-
Выявлен определенный минимум свойств интеграла, интегри-
_ 4-
руемой функции и функции множества, достаточный для того, чтобы неотрицательное интегрирование имело основополагающие теоремы, связанные с предельным переходом под знаком интеграла, равностепенной абсолютной непрерывностью последовательностей интегралов и пространствами Lp ССКр<оо).
-
С опорой на аксиоматический неаддитивный интеграл разработана аксиоматическая схема определения конечно аддитивных интегралов на группах по полугрупповозначным мерам с теорией полных Lp-пространств С0<р<оо) и характеристиками сходимости в них. Показано, что по этой схеме можно получать новые билинейные интегралы, удовлетворяющие требованиям Н.Данфорда 13].
-
Установлено, -что замена аддитивного скалярного интегрирования неаддитивным позволяет существенно расширить класс мер', для которых можно определять абстрактные интегралы с теорией Lp-пространств.
-
Из класса всех интегрируемых по Бартлу функций [2] выделен класс абсолютно интегрируемых функций, на котором интеграл Бартла приобретает ряд новых результатов. В частности, теорию Lp-пространств.
-
Для интеграла Бартла получены два варианта теоремы Фуби-ни, усиливающие аналогичный результат из [4].
-
В связи с вопросом о возможном поглощении интеграла Бартла-Данфорда-Шварца (Б-Д-Ш) С5,гл.IV] интегралом из [1,гл.8] сформулирована проблема, положительное решение которой будет означать, что интеграл Б-Д-Ш является частным случаем интеграла из Ш и нашей теории.
Практическая значимость. Полученные результаты и методы, развитые в работе, могут быть полезны для создания более содержательной теории скалярного неаддитивнбго интегрирования, для
введения необходимых в спектральной теории билинейных интегралов, для изучения произведения мер со значениями в различных пространствах и интегралов по этим мерам, а также в тех вопросах, где используется интеграл Бартла.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на традиционных "Герценовских чтениях" в ЛГПИ им. А.И.Герцена в секции д.ф-м.н. Г.Я. Арешкина в 1982, 1983 и 1985 гг., на межвузовских научных семинарах по математическому анализу в г. Сыктьшкаре в 1985 и 1988 гг., на Ленинградском городском математическом семинаре д. ф-м. н. профессора Н. М. Матвеева в 1991 г. , а также на семинарах по' теории функций множества при Коми пединституте.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в б работах.
Объем и структура работы. Диссертация изложена на 107 страницах и состоит из введения, трех глав, заключения и спис- ка литературы, включающего 47 наименований.
