Содержание к диссертации
Введение
2 Построение фундаментальных решений 18
2.1 Неравенство F.Olver'a для невозмущенных решений ф± (х, А) 18
2.2 Свойства невозмущенного вронскиана ю(Л) 21
2.3 Построение и оценка итерационного ядра J(x, t;X) 23
2.4 Построение фундаментальных решений ф±(х, А) и оценка вронскиана ги(Л, q) 25
2.5 Построение фундаментальных решений ^1,2(0:, Л) 27
2.6 Асимптотическое поведение решений при х 29
3 Теорема единственности 32
3.1 Самосопряженность оператора Tq 32
3.2 Класс В 33
3.3 Асимптотика корней вронскиана it>(», q) 34
3.4 Определение нормирующих постоянных и грубые асимптотики спектральных данных 35
3.5 Доказательство теоремы единственности 37
4 Аналитичность и градиенты спектральных данных 39
4.1 Аналитичность фундаментальных решений и вронскиана 39
4.2 Градиенты собственных значений 41
4.3 Градиенты нормирующих постоянных 42
4.4 Аналитическое продолжение спектральных данных на комплексные потенциалы 43
4.5 Свойства функций ф\ и фпХп 44
5 Формальная производная Фреше и определение пространства спектральных данных 46
5.1 Тождества для квадратов полиномов Эрмита 46
5.2 Разложения функций (ф^)2, ФпХп по вспомогательному базису 47
5.3 Определение пространства потенциалов Н и представление оператора Фц во вспомогательном базисе 49
5.4 Определение и простейшие свойства пространств Л, Tio, 7i 51
6 Асимптотики спектральных данных 54
6.1 Предварительные вычисления 55
6.2 Обоснование метода вычисления асимптотики собственных значений 58
6.3 Первые слагаемые в асимптотиках спектральных данных 59
6.4 Второе слагаемое в асимптотике собственных значений 62
6.5 Второе слагаемое в асимптотике нормирующих постоянных 64
7 Доказательство теоремы 1.1 67
7.1 Ф - локальный вещественно-аналитический изоморфизм 67
7.2 Преобразование Дарбу (предварительные результаты) 68
7.3 Преобразование Дарбу (изменение спектральных данных) 71
7.4 Сюръективность отображения Ф 74
8 Свойства пространства спектральных данных 77
8.1 Пространства Соболева и их связь с преобразованием Меллина (необходимые сведения) 77
8.2 Изоморфизм пространств 7i и 7io 79
8.3 Доказательство теоремы 1.2 82
8.4 Аппроксимация конечными последовательностями в H.Q свойства операторов Тп 84
8.5 Свойства операторов Vn 88
9 Доказательство теорем 6.7 и 6.10 89
9.1 Предварительные оценки 89
9.2 Доказательство неравенств (6.24), (6.34) в теоремах 6.7, 6.10 92
9.3 Доказательство неравенств (6.25), (6.35) в теоремах 6.7, 6.10 96
9.4 Доказательство неравенств (6.26), (6.36) в теоремах 6.7, 6.10 98
9.5 Оценка интегралов 7п'0)(1,9) и ri{ofi)(l,q) 101
Список литературы 104
- Построение и оценка итерационного ядра J(x, t;X)
- Определение нормирующих постоянных и грубые асимптотики спектральных данных
- Аналитическое продолжение спектральных данных на комплексные потенциалы
- Определение пространства потенциалов Н и представление оператора Фц во вспомогательном базисе
Введение к работе
Актуальность работы. В диссертации изучается обратная спектральная задача для гармонического осциллятора, возмущенного потенциалом. История обратных спектральных задач восходит к середине XX века к работам таких авторов, как G. Borg, N. Levin-son, И.М. Гельфанд и Б.М. Левитан, В.А. Марченко, М.Г. Крейн, Л.Д. Фаддеев и др. Первой, в связи с квантовой теорией рассеяния, была исследована обратная задача рассеяния на полупрямой. В 1955г. М.Г. Крейн и В.А. Марченко получили необходимые и достаточные условия на «5-фуикцию, соответствующую потенциалу из определенного класса. Необходимо также упомянуть процедуру явного построения потенциала по спектральной функции, полученную И.М. Гельфандом и Б.М. Левитаном [1]. Обратная задача рассеяния на всей прямой была (с некоторыми неточностями) в 1964г. решена Л.Д. Фаддеевым [2]. В 1979 г. P. Deift и Е. Trubowitz |3| показали, что теорема Фаддеева справедлива лишь при некоторых дополнительных условиях и дали ее новое доказательство.
Наряду с обратными задачами рассеяния изучались и такие задачи, в которых естественный набор спектральных данных является не одной или несколькими функциями, но некоторым счетным множеством параметров. Хорошо известна обратная задача для оператора Шредингера с периодическим потенциалом (оператора Хилла). В 1984г. J. Garnet и Е. Trubowitz [4], опираясь на работу В.А. Марченко и И.В. Островского [5], доказали, что отображение, сопоставляющее каждому четному потенциалу с нулевым средним последовательность длин лакун спектра со знаками, выбранными неким специальным образом, является вещественно-аналитическим изоморфизмом соответствующего подпространства L2[0,1] и Є2. Позднее (1997г.) П.П. Каргаев и Е.Л. Коротяев [6| существенно упростили доказательство этой теоремы.
Третий класс обратных задач - задачи с дискретным спектром. В 1987 году J. Poschel и Е. Trubowitz опубликовали монографию [7j, посвященную обратной спектральной теории для задачи Дирихле на конечном интервале. В частности, они показали, что множеством всех возможных возмущений спектра оператора Штурма-Лиувилля с граничными условиями Дирихле на промежутке [0,1] является некоторое естественное подмножество пространства 2.
В диссертации рассматривается семейство операторов Шредингера с чисто дискретным спектром, отвечающих гармоническому
осциллятору, возмущенному (убывающим) потенциалом. В 1981 году Н.Р. МсКеап и Е. Trubowitz (8) изучили задачу восстановления потенциала по спектральным данным в случае, когда спектр возмущенного оператора совпадает с исходным, а дополнительные спектральные данные быстро убывают. F. Gesztesy и В. Simon [9] в 1996 году доказали единственность четного потенциала на всей прямой, соответствующего фиксированному дискретному спектру. Однако, несмотря на интерес, вызванный физическими задачами, до последнего времени не было получено явного описания множества допустимых спектральных данных, соответствующих потенциалам из какого-либо достаточно широкого класса.
Цель работы. Целью диссертации является изучение следующих трех, типичных для обратных спектральных задач, вопросов: (і) Единственность. Найти набор спектральных данных Ф(д), однозначно определяющих потенциал q.
(іі) Характеризация. Полностью описать множество спектральных данных, отвечающих какому-либо заданному классу потенциалов, и свойства гладкости отображения Ф. (iii) Восстановление. Найти алгоритм построения q по Ф(
Методика исследований. В диссертации используется подход, предложенный J. Poshel'eM и Е. Trubowitz'eM в монографии [7] в сочетании с точными асимптотиками спектральных данных для потенциалов из рассматриваемого класса. Также активно используется представление пространства спектральных данных в виде специального класса функций, аналитических в единичном круге.
Научная новизна и значимость работы. Представленные в диссертации результаты получены в период с 2001 по 2003 год и все они являются новыми. Работа носит теоретический характер, помимо решения обратной спектральной задачи для возмущенного гармонического осциллятора она содержит в себе также общую схему исследования (развивающую подход, изложенный в [7]), которая может быть применена к другим задачам. Кроме того, в диссертации введены ранее не изучавшиеся пространства аналитических функций, свойства которых представляют несомненный интерес в связи с их естественным "физическим" происхождением.
Практическая значимость работы определяется возможностью применения полученных результатов к численному восстановлению потенциала по спектральным данным и возможностью применения разработанных методов к другим обратным задачам.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по математическому анализу в Санкт-Петербургском отделении Математического Института РАН им. ВА. Стеклова, семинаре по математической физике Потсдамского Университета (Германия), а также на XII Санкт-Петербургской летней конференции по математическому анализу (2003 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликованы две печатные работы [1], [3], еще две работы подготовлены к печати (опубликованы препринты [2|, [4]).
Структура и объем работы. Диссертационная работа, объемом 106 страниц, состоит из девяти глав, разбитых на 43 параграфа и списка литературы, содержащего 36 наименований.
Построение и оценка итерационного ядра J(x, t;X)
В этом параграфе мы построим решения уравнения (2.1), удовлетворяющие условиям и получим неравенства для их вронскиана. Рассмотрим интегральное уравнение Метод итераций дает следующее формальное представление: Лемма 2.7. Для всех zeR, ЛєС и q Є L R, (t + l) ldt) выполняются следующие оценки каждого слагаемого ф± , п О: Доказательство. Используя определение (2.29), легко видеть, что Применяя оценку (2.12) к функции ф+(Іі,Х) и оценку (2.23) к J(ti+i,U;X), получаем +0О, так как p2(t,X) = \t\(l+o(l)), - ±оо, и дЄІ (М, (+l)-1cft). Вывод неравенства (2.30) для ф_ и доказательство (2.31) аналогичны разобранному случаю. Следствие 2.8. Для всех ібМ, А Є С и qe Le(K»( + l)-1cft) ряд (2.28) сходится. При этом сходимость равномерна, если X, q ограничены, а х ограничен снизу для ф+ и сверху для ф- . Функции ф±(х, -,q) и ф ±(х, -,q) целые при любых фиксированных x,q. Наконец, справедливы неравенства Доказательство. Сходимость ряда (2.28) и соответствующего ряда для ф±(х, A, q) не посредственно вытекает из оценок (2.30) и (2.31). Функции ф±(х, -, q) и ф ±(х, -, q) целые, поскольку каждое слагаемое - целая функция. Неравенства (2.33), (2.35) также явля ются следствиями (2.30), (2.31). Наконец, для получения (2.34) и (2.36) мы используем простое неравенство fi±+ /+ / Н Р±е0± . П Замечание. Используя асимптотическую точность оценки F.Olver a (см. (2.14)), легко видеть, что (2.34) и (2.36) влекут Отметим, что корнями «;(, q) являются собственные числа оператора Tq. Лемма 2.9. Для каждого дЄІ»с( (t+l)-1dt) вронскиан w( q) является целой функций спектрального параметра А Є С. Кроме того, справедлива оценка Доказательство. Ясно, что вронскиан является целой функций, поскольку все функции ф±(х,- ) и ф ±(х, -,q) целые. Заметим также, что (мы опускаем аргументы для краткости). Используя неравенства (2.12), (2.13) и (2.33)-(2.36), получаем что и требовалось доказать. В этом параграфе мы построим решения уравнения (2.1), удовлетворяющие условиям Обозначим невозмущенные функции через $12(2 ) = 1,2(2 ,0) и отметим, что Справедливо формальное представление с первым слагаемым #І2(#,А, 7) = Ї9І2(Ж А). Лемма 2.10. Для всех хбМ, АєС, g Є L(.(K, (f + l)-1dt) u j = 1,2 справедливы неравенства Доказательство. Рассуждения повторяют доказательства леммы 2.7 и следствия 2.8. Мы рассмотрим неравенство (2.46) для j=l и х О, все остальные случаи аналогичны.
Заметим, что Благодаря оценке (2.24), имеем Теперь, используя оценки (2.23) и (2.24), а также равенство легко получить требуемый результат. Наша цель - найти асимптотическое поведение построенных решений при х —» ±оо. Введем функции Лемма 2.11. Для любых АєС и qEL R, (+1)-1 Й) справедливы асимптотики Яри этом (2.51), (2.52) выполняются равномерно на ограниченных множествах X,q. Доказательство. Заметим, что справедлива асимптотика (равномерная по А на ограни ченных множествах) p2(t,X) = \t\(l+o(l)), t—»±оо. Следовательно, выполняется оценка P±(x,X,q) = 0(P±(x,q)), х — ±оо. Теперь утверждение леммы напрямую вытекает из асимптотик (2.37), (2.38), связывающих поведение на ±оо функций -ф± и гр±, а также асимптотик (2.4), (2.5) для невозмущенных фундаментальных решений. Вообще говоря, мы не можем сказать, являются ли функции $i,2 ограниченными на ±оо или же нет. Так, если ip+(Q,X,q) = Q, то ф+ и $2 пропорциональны, и значит $2 ограничена на +оо (но неограничена на —оо, если только А не является собственным числом). Следующая лемма дает точные выражения для растущих слагаемых. Лемма 2.12. Для любых АєС и qEL R, (+l)-1cft) справедливы асимптотики #h2(x,X,q) = фиксированное число и При этом (2.53), (2.54) выполняются равномерно, если спектральный параметр АєС ограничен и q GQ С Lc( )(l l + 1)-1 )» г е мноэюество потенциалов Q таково, что сходимость P±(x,q)— 0, х—»±оо равномерна на Q. Замечание. Легко видеть, что в качестве Q можно рассматривать, например, ограниченные подмножества пространств L,Q(H,(\t\+l) 1+adt), а 0. Доказательство. Мы рассмотрим решение д\ и х-++00, все остальные случаи аналогичны. В силу леммы 2.11, можно найти такое XQ є, что ф+(х,А, д) о О для всех х Хо и Л,q из рассматриваемого множества. Используя равенство {ф+,-ді} = 0+, получаем Заметим, что частное i?i(aro \ Я)/Ф+(хо 5 А, д) равномерно ограничено и, следовательно, нам достаточно рассмотреть только второе слагаемое. Имеем (мы опускаем Л и g для краткости), поскольку интеграл от функции t x+1e l І2 по промежутку \XQ , х—є] экспоненциально мал по сравнению с интегралом от той же функции по промежутку [х—є,х]. В итоге, получаем асимптотика (2.53). Тождество {ф+,д\) = &і влечет (мы опускаем Аид для краткости), откуда легко вывести асимптотику (2.54). Следствие 2.13. Для любых ЛєС и geL(.(R, (+1)-1 Й) справедливы асимптотики где є 0 - произвольное фиксированное число. При этом оценки 0(...) выполняются равномерно при тех оке условиях на X и q, что и в лемме 2.12. Доказательство. Рассмотрим, например, решение ф-. Имеем где мы опускаем Аид для краткости. Подставляя в это тождество асимптотики (2.53), (2.54) для х— +со, получаем искомый коэффициент перед растущим слагаемым:
Определение нормирующих постоянных и грубые асимптотики спектральных данных
В этом параграфе мы формулируем простейшие свойства спектральных данных для вещественных потенциалов из класса В. Лемма 3.5. Пусть дЄВ. Тогда (і) Спектр оператора Тя полностью дискретен и состоит из простых собственных чисел При этом А является собственным числом Г9, если и только если w(X,q) = 0. (И) Для каждого п О существует конечная нормирующая постоянная где через фп(х,я) -мы обозначаем п-ую нормированную собственную функцию оператора Tq. Кроме того, выполняются тождества В частности, все корни вронскиана ги( , q) простые. (Ш) Справедливы асимптотики Замечание. Тождество (3.5) справедливо и для комплексных потенциалов. Мы видим, что в таком случае вронскиан может иметь кратные корни, поскольку(K). Обратно, пусть А - собственное число оператора Тя и фЄ L2(R) - соответствующая собственная функция. В таком случае ф должна быть 6Это также ясно из доказательства леммы 3.1 и принципа минимакса - см. [30], стр. 91-94. пропорциональна как решению ф-ЄЬ2(Ж-), так и решению ф+Ь2(М.+). Но тогда ф+ и ф- пропорциональны, а значит ги(Л, ) = 0. Наконец, все собственные числа простые, так как уравнение (2.1) не может иметь двух линейно независимых решений в L2(R). (ii) Рассмотрим собственное значение Xn(q). Поскольку w(Xn(q),q) = 0, найдутся такие числа с%, что ф±{х) = с ф {х), с с+ = 1 (здесь и далее мы опускаем Xn(q) и q для краткости). Установим сначала тождество (3.5) для ф , рассуждения для ф+ аналогичны. Простые вычисления показывают, что ф± = {ф±,ф±} , где ф±=дф±/дХ. Имеем Следовательно, первый предел в (3.3) существует и отличен от нуля, так как с ф 0. Заметим, что при А— — со неравенства (2.20), (2.40) влекут \w(X,q)—гу(Л) ш(А), а значит signw(A,g) =signtu(A) = —1. Так как все корни вронскиана w(-,q) простые, находим signс = sign г/(А„) = (—1)п, что дает корректные знаки в (3.3) и (3.4). (iii) Асимптотика собственных чисел (которые совпадают с корнями вронскиана в силу первого пункта леммы) фактически уже получена в лемме 3.4. Установим асимптотику нормирующих постоянных. Оценки (2.34), (2.36) и р(0, А) = Аа/4(1-кэ(1)), А— оо, влекут Используя (2.6), (2.7), легко видеть, что для значений невозмущенных решений в нуле Наша цель - установить инъективность Ф. Теорема 3.6 (теорема единственности). Предположим, что Ф( ?) = Ф(р) для некоторых вещественных потенциалов д,р ЄВ. Тогда q=p. Доказательство. Пусть ге Є К. и д,рбВ. Для АєС положим (A;ar,g,p) = 2„ jf ч,Р . 2(A;x,q для комплексных потенциалов вполне возможно, что ф±{х,Xn(q),q)dx=0. Доказательство, (і) Спектр оператора Tq полностью дискретен, поскольку выполняется общее условие роста потенциала x2+q(x) при х— ioo6. Далее, предположим, что w(\,q) — Q. В таком случае ф- и ф+ пропорциональны, и значит уравнение (2.1) имеет нетривиальное решение в L2(K).
Обратно, пусть А - собственное число оператора Тя и фЄ L2(R) - соответствующая собственная функция. В таком случае ф должна быть 6Это также ясно из доказательства леммы 3.1 и принципа минимакса - см. [30], стр. 91-94. пропорциональна как решению ф-ЄЬ2(Ж-), так и решению ф+Ь2(М.+). Но тогда ф+ и ф- пропорциональны, а значит ги(Л, ) = 0. Наконец, все собственные числа простые, так как уравнение (2.1) не может иметь двух линейно независимых решений в L2(R). (ii) Рассмотрим собственное значение Xn(q). Поскольку w(Xn(q),q) = 0, найдутся такие числа с%, что ф±{х) = с ф {х), с с+ = 1 (здесь и далее мы опускаем Xn(q) и q для краткости). Установим сначала тождество (3.5) для ф , рассуждения для ф+ аналогичны. Простые вычисления показывают, что ф± = {ф±,ф±} , где ф±=дф±/дХ. Имеем Следовательно, первый предел в (3.3) существует и отличен от нуля, так как с ф 0. Заметим, что при А— — со неравенства (2.20), (2.40) влекут \w(X,q)—гу(Л) ш(А), а значит signw(A,g) =signtu(A) = —1. Так как все корни вронскиана w(-,q) простые, находим signс = sign г/(А„) = (—1)п, что дает корректные знаки в (3.3) и (3.4). (iii) Асимптотика собственных чисел (которые совпадают с корнями вронскиана в силу первого пункта леммы) фактически уже получена в лемме 3.4. Установим асимптотику нормирующих постоянных. Оценки (2.34), (2.36) и р(0, А) = Аа/4(1-кэ(1)), А— оо, влекут Используя (2.6), (2.7), легко видеть, что для значений невозмущенных решений в нуле Наша цель - установить инъективность Ф. Теорема 3.6 (теорема единственности). Предположим, что Ф( ?) = Ф(р) для некоторых вещественных потенциалов д,р ЄВ. Тогда q=p. Доказательство. Пусть ге Є К. и д,рбВ. Для АєС положим (A;ar,g,p) = 2„ jf ч,Р . 2(A;x,q-,p) = _(x,A,p) +(x,A,g)- +(x,A,p) _(a:,A,g-). w{X,g) Покажем, что обе функции р\, ір2 - целые. В самом деле, все корни знаменателя w(X, q) простые и равны An = A„(p) =Хп(д). Но эти значения являются также корнями числителей F\, F2, поскольку где c = (-l)ne, «) = (-l),Wp (см. лемму 3.5). Используя (2.33) и (2.35), получаем оценки Рассмотрим контуры VN = {X : A = 2iV}. Для А Є V/v и достаточно больших значений N мы имеем ги(А,д) г (А) в силу леммы 3.4. Далее, используя следствие 2.5, получаем, что ги(А) (1-е-,Г) 1а2(А), AeV v- Следовательно, для С = 4С$(1 — е п), справедливы неравенства Отметим, что /3(Х,д)+(3(Х,р) —»0 и р(х,А) — +оо при А— оо. Используя асимптотику (2.19) и оценки (2.33)-(2.36), легко получить, что pi(X;x,q,p)— l при А—+—оо. Значит, принцип максимума влечет В итоге, имеем линейную систему 2x2 (мы опускаем х и А для краткости):
Аналитическое продолжение спектральных данных на комплексные потенциалы
Мы показали (леммы 4.3 и 4.5), что для любого вещественного потенциала q каждое собственное число и каждую нормирующую постоянную можно продолжить до отображения, аналитического в некоторой комплексной окрестности q. В этом параграфе изучается вопрос одновременного аналитического продолжения всех спектральных данных. Будем обозначать открытый шар в Ь (Ш) через Bc[q, г). Лемма 4.6. (і) Для каэюдого R 0 найдется такое целое число N = N(R) 0, что все собственные числа и нормирующие постоянные An(-), vn(-), п N, допускают аналитическое продолжение в Bc(0,R). (и) Для каэюдого вещественного потенциала рЄI?(Ж) найдется такой радиус є(р) 0, что все спектральные данные А„(«), vn{ ), п 0, допускают аналитическое продолжение в Вс(р,є(р)). Доказательство, (і) В силу леммы 3.4, найдется такой номер iVi = N\(R), что для каждого потенциала дЄДс(0, R) вронскиан w(-,q) имеет ровно один простой корень в каждом круге {А : [А — А }, п АГа. Применяя теорему о неявной функции так же, как в доказательстве леммы 4.3, видим, что все собственные числа An(-), п iVi, допускают аналитическое продолжение в Дс(0, R) Рассмотрим нормирующие постоянные. Используя следствие 2.8 и тождество (2.6), получаем, что для всех достаточно больших четных номеров 2n N(R) Ni(R) и потенциалов qBc(0,R) выполняется неравенство Следовательно, формула корректно задает аналитическое продолжение нормирующей константы V2n( ) на шар BQ(0,R)- Для нормирующих постоянных с нечетными номерами мы можем провести аналогичные рассуждения с использованием значений производных 1р ±(0) вместо значений самих решений ±(0). (ii) Положим Я=р+1. В силу первой части леммы, все собственные числа и нормирующие постоянные А„(-), п( )) п (Я)» можно аналитически продолжить в шар Вс(р, 1) С Вс(0, R). В то же время, в силу лемм 4.3 и 4.5, каждое собственное число или нормирующая постоянная с меньшим номером допускает аналитическое продолжение в шар Вс(р, п(р)) ,n=0, ...,JV — 1. Следовательно, все спектральные данные могут быть аналитически продолжены в шар Вс(р,є(р)), где є(р) = тт{єо(р),... ,лг-і(р), 1} Лемма 4.7. Для каждого потенциала q(EL2(R) и всех тг О верно Кроме того, справедливы равенства Доказательство. В силу лемм 2.11, 2.12, для некоторых постоянных Ап = An(q) и Вп — Вп(д) выполняются асимптотики При этом АпВп =—1, поскольку {х„, фп} = 1. Используя эти асимптотики, легко видеть, что ф\, (ф2) , фпХп Є L2(R+). В частности, последняя функция убывает на +оо как 1/х. Кроме того, имеем (фпХпУ(х, q) = 0(/3+(х — e,q)). Проверим, что P+(-,q) Є L2(R+). В самом деле, применяя неравенство Коши-Буняковского, получаем Таким образом, (фпХп) Є Ь2(Ш+).
Используя аналогичные соображения, легко доказать, что все рассматриваемые функции также принадлежат пространству L2(R_), откуда вытекает первая часть леммы. Проверим тождества (4.7). Мы докажем последнее из них, два других аналогичны. Положим Іпт — {{ФпУіФтХт) Интегрирование по частям дает Если же п=т, то имеем {фп, фп} = 0 и {хп , Фп] = 11 что дает 21пп = 1. В дальнейшем нам также понадобится информация о поведении функций (ф2) и (ФпХп) для более узкого, чем Ь2(Ш), класса потенциалов. Лемма 4.8. Для каждого потенциала q Є L2(R), такого что xq(x) Є L2(R), и всех тг О выполняется х(ф1) (х, q) , х{фпХп) {х, Ч) Є L2(R) , (ф2п)"(х, q), {фпХп)"{х, q) Є L2(R). Доказательство. Утверждения, относящиеся к функции (ф2) очевидны из-за ее экспоненциального убывания на ±оо. Далее, используя асимптотическое поведение функций Фп, Хп и их производных (см. доказательство предыдущей леммы), получаем Имеем (х)—\)(фпХп)(х, q)b2(R), поскольку функция фпХп убывает на ±оо, как 1/х. С другой стороны, из замечания на странице 31 (см. (2.55)) вытекает х/3±(х, q) Є L2(R±), то есть формальный линейный оператор, составленный из скалярных произведений потенциала на градиенты отдельных спектральных данных (см. леммы 4.3 и 4.5). Ключевую роль играет лемма 5.6, которая фактически определяет корректный выбор пространства спектральных данных, как образа Ф,. Мы также устанавливаем простейшие свойства этого пространства, необходимые при доказательстве теоремы 1.1. Детальному исследованию пространства спектральных данных посвящена глава 8. Нам потребуется техническая Лемма 5.1. Справедливы тождества где через Нп(х) мы обозначаем п-ый полином Эрмита. Доказательство. Мы используем хорошо известную (см. [27], стр. 194) производящую функцию для полиномов Эрмита Сравнивая коэффициенты перед тп в левой и правой частях полученного тождества и используя равенство что дает тождество (5.4). Дифференцирование (5.4) с учетом равенства Н п = 2пНп-\ приводит к (5.5). Ясно, что система {Фп} является ортонормированным базисом пространства L2(R). Нам также потребуется вспомогательный ортонормированный базис, составленный из собственных функций оператора Ту=—\у"-\-2х2у . Положим Хп(х) — Хп(х, 0), где решение Хп(х, q) задано определением 4.410. Отметим, что функция ФпХп обязана быть нечетной для каждого значения п 0, поскольку в силу леммы 4.5 для всех четных потенциалов qeven выполняется равенство (qeven, ФпХп) Доказательство. Первое тождество является прямым следствием формул (5.4), (5.6), (5.7). Для того, чтобы получить второе, найдем сначала разложения по вспомогательному базису функций ((V m)2) » еті О. Отметим, что Заметим теперь, что все рассматриваемые функции ((Ф )2) тп О, и Хп я О, нечетные И лемма 4.7 Дает СООТНОШеНИЯ биОрТОГОНаЛЬНОСТИ (((ФтУУіФпХпі) = \&тпп Следовательно, зная коэффициенты разложения первого набора функций по базису подпространства нечетных функций { "fc+iJo0 мы можем найти коэффициенты разложения второго набора по тому же базису. Для этого рассмотрим тождество и соответствующее ему матричное равенство Поскольку коэффициенты набора {(( т)2) }о в разложении по ортогональному базису {((2к+1)Ек) - V +ilo0 СУТЬ (с точностью до константы (27г)-1/4) элементы первого матричного сомножителя, получаем, что коэффициенты набора { Хп}о в разложении по базису {((2к+1)Ек) ї 2-ф2к+і}о СУТЬ (с точностью до константы —К27Г)1/4) элементы второго сомножителя, что и требовалось доказать. В дальнейшем мы будем рассматривать потенциалы из более узкого, чем L2(R), гильбертова пространства Н. Это ограничение связано с необходимостью получения точных асимптотик спектральных данных (глава 6), что оказывается возможным (но, тем не менее, технически громоздким) для потенциалов из пространства Н, и представляющим намного большие трудности для произвольных потенциалов из L2(R). Определение 5.3. Положим Легко видеть, что, в частности, справедливы вложения HcC(R), HcZ R). Далее мы будем использовать гильбертовы пространства последовательностей и соответствующие им пространства функций, аналитических в круге Ю = {z : \z\ 1}: Замечание. По определению, отображение f(z) - {/п}о является линейным изоморфизмом HWI и ?. Отметим, что для г 0 справедливо HW% = Я2(В) П W$(T), где Я2(Р) является пространством Харди в единичном круге, a WJ (Т) - пространством Соболева на окружности Т = { : = 1} (здесь и далее мы отождествляем функцию /(г)бЯ2(Р) и ее граничные значения /()є,2(ТГ)). Кроме того, для r \ справедливы вложения Є?сЄг и HW;cC(3). Для каждого потенциала q из пространства Н мы каноническим образом определяем две аналитические в круге D функции (Fq)(z) и (Gq)(z): Определение 5.4. Для дєН положим
Определение пространства потенциалов Н и представление оператора Фц во вспомогательном базисе
Ясно, что система {Фп} является ортонормированным базисом пространства L2(R). Нам также потребуется вспомогательный ортонормированный базис, составленный из собственных функций оператора Ту=—\у"-\-2х2у . Положим Хп(х) — Хп(х, 0), где решение Хп(х, q) задано определением 4.410. Отметим, что функция ФпХп обязана быть нечетной для каждого значения п 0, поскольку в силу леммы 4.5 для всех четных потенциалов qeven выполняется равенство (qeven, ФпХп) Доказательство. Первое тождество является прямым следствием формул (5.4), (5.6), (5.7). Для того, чтобы получить второе, найдем сначала разложения по вспомогательному базису функций ((V m)2) » еті О. Отметим, что Заметим теперь, что все рассматриваемые функции ((Ф )2) тп О, и Хп я О, нечетные И лемма 4.7 Дает СООТНОШеНИЯ биОрТОГОНаЛЬНОСТИ (((ФтУУіФпХпі) = \&тпп Следовательно, зная коэффициенты разложения первого набора функций по базису подпространства нечетных функций { "fc+iJo0 мы можем найти коэффициенты разложения второго набора по тому же базису. Для этого рассмотрим тождество и соответствующее ему матричное равенство Поскольку коэффициенты набора {(( т)2) }о в разложении по ортогональному базису {((2к+1)Ек) - V +ilo0 СУТЬ (с точностью до константы (27г)-1/4) элементы первого матричного сомножителя, получаем, что коэффициенты набора { Хп}о в разложении по базису {((2к+1)Ек) ї 2-ф2к+і}о СУТЬ (с точностью до константы —К27Г)1/4) элементы второго сомножителя, что и требовалось доказать. В дальнейшем мы будем рассматривать потенциалы из более узкого, чем L2(R), гильбертова пространства Н. Это ограничение связано с необходимостью получения точных асимптотик спектральных данных (глава 6), что оказывается возможным (но, тем не менее, технически громоздким) для потенциалов из пространства Н, и представляющим намного большие трудности для произвольных потенциалов из L2(R). Определение 5.3. Положим Легко видеть, что, в частности, справедливы вложения HcC(R), HcZ R). Далее мы будем использовать гильбертовы пространства последовательностей и соответствующие им пространства функций, аналитических в круге Ю = {z : \z\ 1}: Замечание. По определению, отображение f(z) - {/п}о является линейным изоморфизмом HWI и ?. Отметим, что для г 0 справедливо HW% = Я2(В) П W$(T), где Я2(Р) является пространством Харди в единичном круге, a WJ (Т) - пространством Соболева на окружности Т = { : = 1} (здесь и далее мы отождествляем функцию /(г)бЯ2(Р) и ее граничные значения /()є,2(ТГ)). Кроме того, для r \ справедливы вложения Є?сЄг и HW;cC(3). Для каждого потенциала q из пространства Н мы каноническим образом определяем две аналитические в круге D функции (Fq)(z) и (Gq)(z): Определение 5.4. Для дєН положим Лемма 5.5. Отображения F : q ь- (Fqr)(2) «G:gH ( 9)(2) являются линейными lodd изоморфизмами F : Heven — HW2 и G : Н ц — HW2 , где через Heven и Н0 обозначены подпространства четных и нечетных потенциалов соответственно.
Доказательство. Установим сначала, что отображение q - {(q, )}о является линейным изоморфизмом пространств Н и l\,2. В самом деле, заметим, что где Ty=—\y"+2x2y. Функции ip являются собственными функциями оператора Т и отвечают собственным значениям А = А =2п+1, п О. Следовательно, отображение Q {(9) п)}о " изоморфизм пространств Н и %/2- Далее, используя формулу Стерлинга, легко найти асимптотику Наконец, наборы { 2fc}o и { 2fc+i}o являются базисами подпространств Heven и Н соответственно, что завершает доказательство. Нам будет удобно использовать обозначения Лемма 5.6. Для любого дН справедливы тождества круге Ю функций.11 Кроме того, выполняется равенство Замечание. В силу предыдущей леммы имеем Gq Є HW С С(Т), откуда вытекает (l—Q l 2(Gq)(Q&Ll(T). Значит, проектор Р+ в формуле (5.18) корректно определен. Доказательство. Используя лемму 5.2, получаем Аналогично, Для того, чтобы найти значение (Fq)(l), проинтегрируем тождества (5.8) и получим линейную систему уравнений Используя тождество Yln o Е 2 1 — (1— z) 2t легко видеть, что для каждого п О выполняется равенство Ylk=o n-kEk = 1. Следовательно, ук = (27г)1 4у/Ек, к 0, и значит смысле обобщенных функций. Наконец, отсюда вытекает что и требовалось доказать. Замечание, (і) Такое определение пространств спектральных данных мотивировано леммами 5.5 и 5.6. В самом деле, используя тождества (5.18) легко видеть, что отображения А 0: Heven — fi и MQ : Нш — W являются линейными изоморфизмами, (ii) Проверим корректность определений. Для любой функции g HW справедливо (1 — С)-1 25(С) Є LX(T) и, следовательно, проектор Р+ в (5.22) корректно определен. Заметим также, что условие h = 0 в формулах (5.20), (5.22) влечет f(z)=0 или g(z) = 0 соответственно и, значит, нормы \\п и И о корректно определены. В частности, если h = 0 в формуле (5.22), то Р+((1 — С) 29(0) = 0 откуда вытекает антианалитичность функции р, что невозможно. (iii) На самом деле подпространство "Но совпадает с пространством Л и соответствующие нормы эквиваленты.
Мы, однако, отложим доказательство этого факта до главы 8, параграф 8.2, и установим необходимые свойства Но и Ті0 независимым образом. Будем использовать обозначения Как и прежде, отображение f(z) «- {/п}о является линейным изоморфизмом HW2 и 2. Ясно, что для каждой функции gGHW2 справедливо разложение g(z) = g(l)+g0(z), где д0 Є HWl/4. Так_как HWf4 С Lip1/4(T), выполняется \g0(Q\ Cl -С1/4, С Є Т. Следовательно, (1 — С)-1 25о(С) Є L2(T) и тождество из определения пространства Ті0 можно переписать в виде гдеР_/ = /-Р+/. Далее мы доказываем две простые леммы, которые содержат всю информацию о пространствах Ті и Н, необходимую для доказательства того, что спектральное отображение Ф : Н —» Н ф И? является вещественно-аналитическим изоморфизмом. Детальному исследованию пространств спектральных данных посвящена глава 8. Лемма 5.8. (г) Каждая последовательность {/гп}ое единственным образом представляется в виде K = v- (\)-1 2 + № , где v Є К и {Лп0)}о Є Но. Отображение Л -» {v,f№) является линейным изоморфизмом пространств Ті иШ 7io- Наконец, если h = A 0q, то v=7r 1fRq(t)dt. (И) Справедливы вложения Доказательство. Установим сначала вложения (5.25). Предположим, что h Chx и рассмотрим функцию h{z) = 2п 0 hnzn. Мы имеем heHW2/4 = H2(B) П W23/4(T). Легко видеть, что класс W2 (Т) замкнут относительно операции поточечного умножения функций. Так как v/b1 HWl/A, то y/T zh(z) Є HW 4, а значит h Є 7Ї0. Используя аналогичные соображения, получаем \f\—C,h{C,).W2 (Т), откуда в силу определения проектора Р+, вытекает P+(\/l—C,h{C,)).HW2 , то есть hE7i. Докажем первую часть леммы. Заметим, что каждая функция / Є HW2 допускает единственное представление в виде f(z) = u+f (z), где иеЁи /(0) 6 HWT- Следовательно, для каждой последовательности {/гп}о существует единственное разложение hn = En u+hn , где {hn }єТСо, а коэффициенты Еп определены формулой (5.10).
