Введение к работе
Актуальность гевд. Сдноі: из основных проблем теории функций на римановых многообразиях является проблема взаимосвязи между геометрией многообразия и свойствами решений уравнения Лапласа-Бельтрами на этом многообразии. Данным вопросам посвящены работы А.АД'ригорьяна, В.М.шклюкова, З.В.Їіанахина, С.А.Молчанова, Г.доннелли, П.Ли, С.Т.Яу, Р.Цюена, М.Авдерсона и других советских и зарубежных математиков. Истоки указанной проблематики восходят к классификационной теории римакоЕых поверхностей, основанной на изучении некоторых функциилальных классов на поверхностях и развитой в работах Л.Лльфорса, А.Бейрлинга, Л.Сарио и других математиков.
ІОіассическая теорема .ииувилля утверздаєт, что всякая ограниченная гармоническая в і( функция является тождественной постоянной. Спрааед .ивы также следующие утверждения, которые косят название теорем лиузиллева типа:
I/ если гармоническая функция сі. в //Z имеет конечный интеграл Дирихле, то cCsCO/чб-;
2/ если u& L (/Я-*") - гармоническая функция, где / р < оо , то и. з О .
Теорегсаіг лиузиллева типа па римановых многообразиях посвящена монография Л.Сарио, М.Накаи, Ш.Еонга, Л.О.Ченга "*.
Lea. Mites Afat/i. - //?/. - v. eos;
К числу наиболее ярких результатов относится теорема С.Я.Ченга и СЛ'.Яу утверждающая, что если объел: геодезического шара радиуса /2 на полном многообразии растет не быстрее (Lz при -9 <=> , то ка' зтоы многообразии всякая положительная супергармоническая функция является константой.
Вместе с тем класс многообразий,- на которых существуют нетривиальные ограниченные гармонические щшкции, достаточно обжарен и включает, например, многообразия строго отрицатель- ной секционной кривизны. Б последнее время в связи с развитием теории случайных процессов и теорией потенциала на Романовых многообразиях наметилась тенденция к более общему подходу и теоремам лиувкллева типа, а тленно, оценивается размерность пространств гармонических функций на многообразиях.
Цель работы - дальнейшее исследование связен мекду геометрическим строением некомпактных римановых лшогообразии и поведеїшєм гармонических (р -гармонических^ функций на этих многообразиях.
Католика исследования. Б работе широко применяется . емкостная техника оценок решений уравнения Лапласа-Бельтрами, используются теоретико-функциональные, дифференциально-геометрические и другие методы.
Oft ^iemH/l/ltOJi ЮСІ/lCfofofs a/id ikAet вЄоя? t
Научная нозизна, Следующие результати диссертации
-
Получени точная оценка сверху функции Грина оператора Лапласа и теорема о среднем на многообразиях от ица-тельяой секционной кривизни.
-
Доказаны различные достаточные условия существования предела О -гармонической функции на римановом многообразии " трубчатого "' типа.
-
Установлены точные оценки размерностей некоторых пространств гармонических функций fограниченных, положительных, растущих не быстрее заданной функции ) на римановых многообразиях специального вида.
Апробация работы'. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции но геометрии и анализу (г.Новосибирск, 19Ь9г.) , на научных семинарах МГУ ( март ISsOr, J и Ш СО АН СССР ("ноябрь, IS89r.rj , на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградского государственного университета f1987,1988, 1989,199011.^ . Бее результаты подробно докладывались на семинаре по нелинейному аналізу Волгоградского государственного унпззреитета.
Публикации, Основные результаты диссертации опубликованы в работах [і]- {5J
