Билинейные инвариантные дифференциальные операторы на тензорных полях Грозман П.Я.

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Определения 21

I. Тензорные поля І . 21

2. Инвариантные дифференциальные операторы . 28

ГЛАВА 2. Результаты 37

3. Инвариантные операторы 37

4. ЯГ-инвариантные операторы . 46

ГЛАВА 3. Вычисления 49

.5. Старшие особые векторы 49

6. Доказательство теоремы 3.10 в случае fi-i. 61

7. Особые и 2Г-особые векторы при К1 = 2 . 64

8. Доказательство теорем ЗЛО и 4.4 в случае 94

9. Доказательство теоремы 3.12 132

Литература .137

• Инвариантные дифференциальные операторы
• Инвариантные операторы
• Доказательство теоремы 3.10 в случае fi-i.
• Доказательство теорем ЗЛО и 4.4 в случае

Введение к работе

0.1. Инвариантными оператораим мы будем называть операторы на тензорных полях, одинаково записывающиеся в любой /криволинейной/ системе координат на многообразии

Важность таких операторов для физики стала ясной после открытия общей теории относительности. Согласно принципу эквивалентности, движение тела в гравитационном поле эквивалентно движению вне поля, но в неинерциальной системе отсчета /причем с криволинейными координатами, если гравитационное поле неоднородно/. Воздействие гравитационного поля на различные тела выражается, согласно уравнению Эйнштейна, через метрику пространства. Инвариантность этого уравнения является математической формулировкой принципа эквивалентности.

Аналогичным образом инвариантные операторы должны появляться всегда, когда имеется зависимость между тензорными полями на многообразии, не меняющаяся при замене системы координат, либо условие на тензорное поле, либо алгебраическая структура на пространстве тензорных полей. Примеры - структура алгебры Ли на пространстве векторных полей, формула Стокса, уравнение геодезической, условие локального выпрямления пары векторных полей, условие локальной интегрируемости поля плоскостей, условия Кс-ши - Римана и другие /в последнем примере допускаются только аналитические координаты/.

0.2. Тензорными полями будем называть сечения расслое-

ний вида ЕГИЫТМ)^Р (Т*МУї .

В данной работе мы ограничимся рассмотрением линейных дифференциальных операторов

Г[м, eJ(/M)) — Г(м,Е^р₉(м))

и билинейных дифференциальных операторов

ГИ,е;;(/ч))хГ(/и,є;ч/ч))-.г(^е₉^р(/м)з.

Простейшим линейным инвариантным оператором первого порядка является полный дифференциал функции

і с*) — Ц= Z Ц. ^;

Инвариантность этого оператора является одной из фундаментальных теорем дифференциального исчисления.

Обобщением этого оператора является внешняя производная дифференциальных форм:

Оператор d оказался единственным линейным дифференциальным инвариантным оператором ненулевого порядка на тензорных полях. Это было доказано для дифференциальных форм - Р. Пале, [26], 1959 г., для ковариантных тензорных полей - X. Лейхером, [23], 1973 г., для тензорных полей общего вида - независимо и разными методами - А.Н. Рудаковым, [13*1, 1974 г., А.А. Кирилловым, [7], 1977 г. и Ч.-Л, Тэн, [29] /1976 г. - в диссертации, опубликовано в 1978 г./.

Перейдем к билинейным операторам. Исторически первыми и наиболее известными инвариантными операторами первого

порядка являются производная Ли

L Г(М,тм)х ГСМ, Е*(М)) ^ Г(М, Е₉^Р(м))

/частный случай этого оператора - коммутатор векторных полей/, а также операторы, сводящиеся к внешнему дифференцированию и и операторам нулевого порядка.

В первой половине XX века, после работ Эйнштейна и Гильберта по общей теории гравитации, начался систематический поиск инвариантных операторов. Об этой задаче говорил 0. Веблен на конгрессе математиков в Болонье, Зі], 1928 г. Два новых инвариантных оператора нашел Я. А. Схоу-тен в [27], [28], 1940 и 1954 гг.:

Г(м,л*т) х Г(м,л^етм) - г(м,л^к*^е"тм),

Г(М_>Е^Р_ч(м))»Г(М,Е⁹_р(М)&Л^лТ*М) *

-> гсм т*мл"т*м )

- так называемые антисимметричный и лагренжев конкомитанты
Схоутена. Он также заметил, что скобка Пуассона на кокаса-
тельном расслоении интерпретируется /если огра-

ничиться функциями, однородными на слоях/ как инвариантный оператор первого порядка

р: Г(/И, S^K7W ) х г(м, $^етм) - Г(М, В^'ТМ)

/симметричный ко"нкомитант Схоутена/. Еще один оператор обнаружил ученик Схоутена А. Нейенхёйс, ^247, 1955 г. -коммутирование векторнозначных форм /скобка Нейенхёйса/:

Г(мтме>л^кт*М)х Г(м,тм*л^ет*М)-*

- Г (М, Т/Ч в A^K^T*N ) .

В течении последующих двадцати лет публиковались лишь работы, посвященные изучению и применению уже известных операторов - f20], [22], f25], [ЗО].

В 1977 и 1978 гг. в курсовой и дипломной работах автор исследовал и полностью классифицировал билинейные инвариантные дифференциальные операторы на тензорных полях в случае cti-W Щ &2 /опубликовано в [4], 1980 г./. При этом обнаружено три новых оператора первого порядка -

F . G , Р* .

А.А. Кириллов в C8J, 1979 г. заметил, что при помощи инвариантного спаривания

Г₀ С/ч, eJH) * Г_в (м,\ (/ч)*/Гт*/и) -> R

/индекс о означает, что рассматриваются только тензорные поля с компактным носителем/, можно определить сопряженные операторы к уже известным инвариантным дифференциальным операторам. При этом "лагранжев конкомитант" Схоутена оказался сопряженным к производной Ли, а операторы, сопряженные к двум другим конкомитантам Схоутена и к скобке Нейёнхёйса, оказались /в случае Оим М > 3 / новыми. В этой же работе Кириллов обобщил на случай oiimiM > 2> оператор г :

->Ґ(М,л^р+?+іТ*УЧУ^к^)

^( (А^<"Т*М)^<а("^|<)

к I (Л І ІЛ ) при К > О

при К < О

Наконец, последний билинейный инвариантный оператор первого порядка

Q: Г(М , l\^PTM V* ) х Г(А1,Л^чТМ\/0^ - Г(М, Л^'ТМ V^Kv)

для многообразий произвольной размерности определил автор
в [3], 1980 г. Этот оператор является обобщением антисим
метричного конкомитанта Схоутена и оператора, сопряженного
к нему. В этой же статье приведен список операторов второ
го и третьего порядков. Все они сводятся к внешнему диффе
ренцированию а и билинейным операторам первого порядка.
При Си№ /Ч = 1 имеется еще один инвариантный опе
ратор, определенный не на тензорных полях, а на объектах
вида -f(.) [ах) - тензорных плотностях:

Этот оператор обнаружен автором в 1977 г. в курсовой работе. Б. Л. іейгин и Д.Б. ^укс в [іб], 1979 г. обобщили этот пример на случай иа -линейных операторов, а в [іб], 1982 г. классифицировали все полилинейные кососимметри-ческие дифференциальные операторы на тензорных плотностях на прямой.

Теорема о полной классификации билинейных инвариант-

ных дифференциальных операторов на тензорных полях на конечномерном гладком многообразии анонсирована автором в з], 1980 г. Доказательство опубликовано им в [b], 1984 г, и содержится в настоящей диссертации.

0.3. Если на многообразии фиксирована допол-

нительная структура - форма объема, симплектическая или контактная структура, то имеет смысл рассматривать операторы, инвариантные относительно этой структуры, то есть такие операторы, которые одинаково записываются в любой системе координат, в которой заданная структура имеет каненический вид. Таковы, например, дивергенция на многообразии с фиксированной формой объема и скобка Пуассона на симплектическом многообразии.

Полная классификация линейных инвариантных дифференциальных операторов на многообразии с фиксированной формой объема и на симплектическом многообразии получена А.Н. ^Рудаковым в l4], 1976 г., на контактном многообразии -И.А. Кострикиным в [її], 1979 г.

В настоящей диссертации содержится также полная класе
сификация билинейных инвариантных дифференциальных опера
торов на многообразии с фиксированной формой объема. Она
была опубликована автором в [*4], 1980 г. - для случая
_/Ц - /Я ^{и в} [б], 1984 г. - для общего случая. Все би
линейные инвариантные операторы 1-го порядка получаются
композицией умножения на форму объема в некоторой степени
и билинейных операторов, перечисленных в пункте 0.2. Все би
линейные инвариантные операторы выспшх порядков, кроме одно
го, сводятся к внешней производной CL и операторам

первого порядка. Исключением является симметричный оператор второго порядка

Г(М, S*T*M) х Г(М, <>^гтщ) -* r(M,S^zT*M)

/существует только при di W\ /И - 2 /.

' В случае ил м РЛ ~ -2 форма объема задает также

симплектическую структуру; как оператор на симплектическом многообразии, этот оператор обобщается на многообразия любой четной размерности.

0.4. Опишем методы, применявшиеся для классификации инвариантных операторов.

Инвариантные операторы на тензорных полях простейших
типов можно классифицировать, приводя поля к каненическо-
му виду. Например, векторные поля и формы объема в окрест
ности своей неособой точки выпрямляются /т.е. их компо-
ненты посоянны в некоторой системе координат/. Это значит,
что рациональные инвариантные дифференциальные операторы
на пространстве векторных полей или на ^j>L
/ Ю- cUw) ГЛ / могут быть толькь нулевого порядка,
т.е. являются алгебраическими /поточечными/. Аналогично
доказывается, что любой рациональный инвариантный диффе
ренциальный оператор на или

_{Л СМ)}

алгебраически выражается через оператор внешнего дифференцирования и - Ч.-Л. Тэн, 291 Таким же способом Д.Б.А. Зпстейя в 211 доказал /используя результаты Картана/, что любой инвариантный дифференциальный оператор на квадратичных формах алгебраически выражается через тензор кривизны и его ковариантные производные.

Тензорные поля более сложных видов не приводятся к хорошему каноническому виду по соображениям размерности. Тем не менее, любое тензорное поле можно представить в виде суммы нескольких тензорных полей, каждое из которых приводится к аффинному виду, т.е. к такому, в котором компоненты являются аффинными функциями

Этот факт использовали для классификации линейных инвариантных операторов Р. Пале, {26}, X. Лейхер, 23] и Ч.-Л. Тэн, [29].

А.А. Кириллов в [7] использует другой способ - он рассматривает линейный инвариантный оператор как морфизм двух представлений алгебры Ли векторных полей и ее подалгебры линейных векторных полей /эта подалгебра изоморфна УСи) /. Дальнейшее исследование использует технику теории представлений, в частности, операторы Лапласа на представлениях алгебры ^ С и)

Метод А.Н. Рудакова, l3], состоит в том, что вместо
пространств тензорных полей / рассматриваются со
пряженные пространства J* дифференциальных операторов
с постоянными коэффициентами из Г. в iR .

Определяется сопряженный оператор 7„ —з> У<
Оказывается, что образ этого оператора порождается так
называемыми старшими особыми векторами. Таким образом,
задача классификации линейных инвариантных дифференциальных
операторов сводится к отысканию старших особых векторов в
Jl . Первоначально эти векторы вычисляются для слу
чаев . Для произвольной размерности за
дача решается при помощи различных вложений алгебр Ли

векторных полей на плоскости и на прямой в алгебру Ли векторных полей на "^

Метод А.Н. Рудакова применялся впоследствии для
классификации линейных инвариантных операторов на много
образиях с дополнительной структурой, а также на супер
многообразиях, см. [14], ll], [19], [12], l7]_t [18].
В настоящей диссертации он впервые применен для классифи
кации билинейных операторов. Следует отметить, что оба ос
новных этапа - вычисление старших особых векторов при
УЦ =- (R. > IR. и сведение к этому случаю общего случая

- не описываются общей схемой метода и в каждой из указанных работ проведены независимо, оргинальными способами.

0.5. Целью диссертации является полная классификация билинейных инвариантных дифференциальных операторов на тензорных полях на многообразии без дополнительной структуры и на многообразии с фиксированной формой объема.

0.6. Основные результаты диссертации:

I/. Получена полная классификация билинейных инвариантных дифференциальных операторов на тензорных полях любого типа на гладком конечномерном многообразии.

2/. Обнаружен новый инвариантный оператор

где іГ - произвольная форма объема на /Ч , дивергенция поливекторного поля определяется по формуле

div\S*. d(^-rs)- tr-¹.

3/. Обнаружен новый инвариантный оператор на тензорных плотностях на многообразии размерности I

Т_л : Г(.МУ*)хГ(МУ~*)-~Г(МУ)_л Г₂ (fix) (Ля)'* _t рх) (dx)-*) =

4/. Определены по две инвариантные структуры супералгебр Jul на каждом из пространств

^ + р-о К>0

Л'СИ)-ф Ф Г(М,Л⁹Т*М &\Л)

Р-sO к<о 5/. Дана полная классификация билинейных инвариантных

дифференциальных операторов на тензорных полях любого типа

на многообразии с фиксированной формой объема.

6/. Обнаружен новый инвариантный оператор на двумерных

многообразиях с фиксированной формой объема

$₅: ГСМ, $^гТ*М ) х Г (И, S'T*M) - Г(М, S*T*M).

Если в координатах (У, у ) форма объема имеет вид
lT= dxACty _{t то} j^- записывается в виде

S (adx^z+tdxd# + cdy\ a'dx'+st'dxdf+c'fy).

_Где Q^ac'-zW-rCo.' , {t$] = ъЗс г- ъхъ% '

Все перечисленные результаты являются новыми.

0.7. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах по теории представлений и алгебре в Московском и Ленинградском университетах и опубликованы автором в [3], [4], [5J.

0.8. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны в теории представлений, дифференциальной геометрии и теоретической физике.

Оператор > и его полилинейные обобщения использовали Б.Л. Фейгин и Д.Б. фукс в f 16] для исследования модулей Верма над алгебрай Вирасоро.

0.9. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. Первые две главы содержат по два параграфа, третья глава - пять. Нумерация параграфов сквозная. Параграфы делятся на пункты, нумерация пунктов двойная. При ссылках указывается номер пункта.

0.10. Содержание диссертации.

В первой глаєе определяются основные понятия и доказываются некоторые факты, необходимые для формулировки результатов диссертации.

Первый параграф посвящен тензорным полям. Определяется
действие диффеоморфизма на тензорное .

поле

где d_x - производная ^f в точке JC & AJ . Устанавливается взаимно-однозначное соответствие между J){ff.M. -инвариантными подрасслоениями и G- L (М ) -инвариантными подпространствами V d Vq

^{где v; = ro*p*c*,,*)e*}

Пространство называется при

этом пространством тензорных полей типа V

Второй параграф посвящен инвариантным дифференциальным операторам. Доказывается эквивалентность двух определений инвариантного оператора - как оператора, коммутирующего с действием группы диффеоморфизмов как оператора, одинаково записывающегося в любой локальной системе координат на многообразии. Далее доказывается, что инвариантный оператор на тензорных полях на и\. переносится на тензорные поля на любом Л-мерном многообразии и обратно. Тем самым задачу классификации инвариантных операторов достаточно решать для многообразия

Если на многообразии фиксирована невырожденная форма объема IT , оператор называется 15-инвариантным,

если он инвариантен относительно диффеоморфизмов, сохраняющих форму 1У . Классификация 1-Г -инвариантных операторов сводится к случаю

Во второй главе диссертации формулируются основные результаты /см. также 0.6/.

Большую часть третьего параграфа составляет список билинейных инвариантных дифференциальных операторов на тензорных полях. Теорема 3.10 утверждает, что этот список полон. Пункт 3.II посвящен оператору (^ , а в 3.12 вводится структура супералгебр Ли на пространствах

_sz-oi) , sl\(m ), si:см) .

Четвертый параграф состоит из списка іГ -инвариантных операторов и теоремы 4.4, утверждающей полноту списка.

Третья глава посвящена доказательству основных результатов диссертации.

В пятом параграфе задача классификации инвариантных / of -инвариантных/ билинейных дифференциальных операторов сводится к отысканию так называемых старших особых / ТУ -особых/ векторов в пространстве 7_Р ^ J^ где о _> & - представления алгебры <И I и ) в пространствах \7р ^\7^ ; Jр - пространство дифференциальных операторов от 17 переменных с постоянными коэффициентами из v₀ :

У - Э

Действие алгебры Ли векторных полей J р определяется по формуле

где о - композиция дифференциальных операторов. Если определить спаривание

\*г(*\rxv,) _> v_Pcv;,

то определенное выше действие \/в<СЛ> ІГК на Jo

сопряжено к производной Ли.

Рассматривается также подалгебра полиномиальных векторных полей, обращающихся в нуль в начале координат; ее градуировка с = <Ф L _и

К.=о

я=о 1

и фильтрация т ~ ^L'-'K Имеем L₀~ Qf'Cw ) .

/_, ₀ -подмодуль \Д/ с Зр ( ^ё ^/или ^ ^р /

называется особым, если он аннулируется подагеброй о± .
В частности, у ^ J р - особый подмодуль.

Если В : T_Vf С Л") х r_Vd (Л" ) - Гц. (Л" ) - инва-риантный оператор, то сопряженный к нему оператор

В* ' J<цУ4 является -морфизмом, следовательно, ( Vq- 3 ^е *ля/&-^ " особый подмодуль. Его старший вектор /относительно борелевской подалгебры 9 ~/^Z. ftr.-^j і'} / называется старшим особым вектором. Можно проделать и обратную операцию - по старшему вектору особого подмодуля \Д/ <^ J_p (2^ Jg восстановить инвариантный дифференциальных оператор.

Аналогичная конструкция проводится и в случае чГ-инва-риантных операторов, только здесь вместо алгебры

рассматривается ее подалгебра бездивергентных векторных полей.

В пункте 5.10 приведены уравнения для нахождения старших особых и ТІ -особых векторов. При У1 Ъ2 вектор ^6 Х>/ J< или Є Jo является старшим и if-особым тогда и только тогда, когда он весовой и

Для особых векторов - еще одно дополнительное уравнение В случае ҐІ - 1 особый вектор удовлетворяет условиям

В шестом параграфе разбирается случай И - 1 При помощи несложных вычислений находятся все случаи, когда в J_Q &>( J имеется особый вектор ненулевой степени. Оказывается, это кафаз те случаи, в которых существуют перечисленные в 3 инвариантные операторы. Отсюда следует полнота списка.

В седьмом параграфе найдены все особые и ^/-особые
старшие векторы Ч У <), Э^ в случае И =- 2 .

Параграф начинается со списка, содержащего 22 особых старших вектора и, кроме того, 19 if-особых старших * векторов. Около двадцати страниц занимает доказательство полноты этого списка. Особое место здесь занимает доказательство того, что іГ-особые векторы могут иметь сте-

пень не выше 5-ой, а особые - не выше 3-ей /т.е. гГ -инвариантные операторы бывают не выше пятого порядка, а инвариантные - не выше третьего/. Наконец, в пункте 7.30 доказывается 1Г-инвариантность оператора S^

Восьмой параграф содержит доказательство теорем ЗЛО и 4.4 в случае Al = R, , УІ "Ъ 3 , а также доказательство инвариантности оператора Ст

Основной прием доказательства следующий: пусть

- подалгебра, изоморфная . Обозначим

проекцию, состоящую в подстановке нулей вместо О і I ^ К. Очевидно, что образ особого, гГ-особого, старшего вектора

- либо особый, iF-особый, старший /относительно борелев-
ской подалгебры /, либо равен нулю.

Пусть Я , А* - старшие веса представлений Р , 6 . Так как мы знаем все особые векторы при ё-2 * то, комбинируя различные проекции, мы находим условия, при которых в J р <8>^ J < может существовать старший особый / 1Г-особый/ вектор веса 0 .

Обозначим Я^Я,- Я», , M^^i'J⁴^ ) ^~ ^i'^vi . Достаточно искать особые векторы при условии Я $ /К ^ \) , так как операторы, соответствующие другим случаям, сопряжены /в смысле Кириллова, см. 0.2/ к тем, которые соот-

' 19 1

ветствуют тому случаю.

Лемма 8.8 утверждает, что яГ-особые векторы степени I /при условии Д ОЛ 4 \> / могут быть только в случаях

^{a/;u2, 0-+jk-i , б/ Д = ;г, ju~ 0 >з>}

в/ ^ = ^-=0-3 ,г/^і , д/ Д-/<=0=2 .
Дальнейшее исследование показывает, что в случае а/ имеет
ся единственный оператор - скобка Пуассона на кокасатель-
ном расслоении, в случаях б/ и в/ операторов нет, в слу
чае г/ - производная Ли и операторы вида 2 і"⁰⁰) X) »
где Z, - оператор нулевого порядка, в случаях М * *
и 0 ^ f имеются также операторы 2 ґ^і > " ^2. )

, наконец, в случае д/ - скобка Нейенхёйса и операторы, сопряженные к ней.

Параллельно выясняется вопрос, в каких случаях -инвариантный оператор /а если их несколько - то линейная комбинация/ является инвариантным оператором. Так, в пункте 8.14 разбирается случай ^=. (К,** , ^,К-1,.. K-i)

Определяется, при каких значениях К , с , <ґу\ и коэффициентов Ск ₉ 0 ₉ С инвариантен оператор

Тем самым доказывается инвариантность оператора Ст По аналогичной схеме проводится и классификация операторов высших порядков.

В девятом параграфе доказывается , что оператор (-1) d^^^z + ^/ Л и ^2 задает структуру супералгебры Ли на J2. (М ) , а операторы —^- fT _и

--? Cr - на каждом из пространств

и _Q. - (_А1 ) . Свойства первых двух операторов доказываются непосредственно, а третьего - при помощи вложения

_52. + Ґ-А1 ) ^и —^ ^- - v-*! у ^в супералгебру Ли

бездивергентных поливекторных полей на

0.II. Автор выражает благодарность А. А. Кириллову, В.П. Паламодову и Д.А. Лейтесу за помощь и поддержку в работе.

Инвариантные дифференциальные операторы

Этот оператор является обобщением антисим метричного конкомитанта Схоутена и оператора, сопряженного к нему. В этой же статье приведен список операторов второ го и третьего порядков. Все они сводятся к внешнему диффе ренцированию а и билинейным операторам первого порядка. При Си№ /Ч = 1 имеется еще один инвариантный опе ратор, определенный не на тензорных полях, а на объектах вида -f(.) [ах) - тензорных плотностях: Этот оператор обнаружен автором в 1977 г. в курсовой работе. Б. Л. іейгин и Д.Б. укс в [іб], 1979 г. обобщили этот пример на случай иа -линейных операторов, а в [іб], 1982 г. классифицировали все полилинейные кососимметри-ческие дифференциальные операторы на тензорных плотностях на прямой.

Теорема о полной классификации билинейных инвариантных дифференциальных операторов на тензорных полях на конечномерном гладком многообразии анонсирована автором в з], 1980 г. Доказательство опубликовано им в [b], 1984 г, и содержится в настоящей диссертации. 0.3. Если на многообразии фиксирована допол нительная структура - форма объема, симплектическая или контактная структура, то имеет смысл рассматривать операторы, инвариантные относительно этой структуры, то есть такие операторы, которые одинаково записываются в любой системе координат, в которой заданная структура имеет каненический вид. Таковы, например, дивергенция на многообразии с фиксированной формой объема и скобка Пуассона на симплектическом многообразии.

Полная классификация линейных инвариантных дифференциальных операторов на многообразии с фиксированной формой объема и на симплектическом многообразии получена А.Н. Рудаковым в l4], 1976 г., на контактном многообразии -И.А. Кострикиным в [її], 1979 г.

В настоящей диссертации содержится также полная класе сификация билинейных инвариантных дифференциальных опера торов на многообразии с фиксированной формой объема. Она была опубликована автором в [ 4], 1980 г. - для случая _/Ц - /Я и в [б], 1984 г. - для общего случая. Все би линейные инвариантные операторы 1-го порядка получаются композицией умножения на форму объема в некоторой степени и билинейных операторов, перечисленных в пункте 0.2. Все би линейные инвариантные операторы выспшх порядков, кроме одно го, сводятся к внешней производной CL и операторам первого порядка. Исключением является симметричный оператор второго порядка /существует только при di W\ /И - 2 /. В случае ил м РЛ -2 форма объема задает также симплектическую структуру; как оператор на симплектическом многообразии, этот оператор обобщается на многообразия любой четной размерности. 0.4. Опишем методы, применявшиеся для классификации инвариантных операторов. Инвариантные операторы на тензорных полях простейших типов можно классифицировать, приводя поля к каненическо му виду. Например, векторные поля и формы объема в окрест ности своей неособой точки выпрямляются /т.е. их компо ненты посоянны в некоторой системе координат/. Это значит, что рациональные инвариантные дифференциальные операторы на пространстве векторных полей или на j L / Ю- cUw) ГЛ / могут быть толькь нулевого порядка, т.е. являются алгебраическими /поточечными/. Аналогично доказывается, что любой рациональный инвариантный диффе ренциальный оператор на или алгебраически выражается через оператор внешнего дифференцирования и - Ч.-Л. Тэн, 291 Таким же способом Д.Б.А. Зпстейя в 211 доказал /используя результаты Картана/, что любой инвариантный дифференциальный оператор на квадратичных формах алгебраически выражается через тензор кривизны и его ковариантные производные. Тензорные поля более сложных видов не приводятся к хорошему каноническому виду по соображениям размерности. Тем не менее, любое тензорное поле можно представить в виде суммы нескольких тензорных полей, каждое из которых приводится к аффинному виду, т.е. к такому, в котором компоненты являются аффинными функциями Этот факт использовали для классификации линейных инвариантных операторов Р. Пале, {26}, X. Лейхер, 23] и Ч.-Л. Тэн, [29]. А.А. Кириллов в [7] использует другой способ - он рассматривает линейный инвариантный оператор как морфизм двух представлений алгебры Ли векторных полей и ее подалгебры линейных векторных полей /эта подалгебра изоморфна УСи) /. Дальнейшее исследование использует технику теории представлений, в частности, операторы Лапласа на представлениях алгебры С и) Метод А.Н. Рудакова, l3], состоит в том, что вместо пространств тензорных полей / рассматриваются со пряженные пространства J дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами из Г. в iR . Определяется сопряженный оператор 7„ —з У Оказывается, что образ этого оператора порождается так называемыми старшими особыми векторами. Таким образом, задача классификации линейных инвариантных дифференциальных операторов сводится к отысканию старших особых векторов в Jl . Первоначально эти векторы вычисляются для слу чаев

Инвариантные операторы

Пусть Ks t i,... le] с {1,2,.. п$ A -{la;} } : ; -,JеК 5 %Є[ґі) - подалгебра, изоморфная Н . Обозначим через проекцию, состоящую в подстановке нулей вместо Oj } j К . Очевидно, что если Ч - особый / іГ-осо бый, старший/, то 77 « . U jV. J « - также особый / ЯГ -особый, старший относительно борелевской подалгебры /. Пространство Fj \д разлагается в прямую сумму где О . - неприводимые представления алгебры r\ , значит 17і у разлагается в сумму векторов, лежащих в 3 р. & J . , каждый из них либо особый /чУ -осо бый, старший/, либо равен нулю. Вти векторы мы будем обозначать Уіі}.. lp /поясняя, если надо, какое именно из слагаемых имеется в виду/. Так как в неприводимых вів(п ) -модулях нет базисов, в которых хорошо записывается действие Of (п,) , мы будем, по возможности, избегать формул с точными коэффициентами. Дяя этого приспособлены следующие обозначения. Если 2 " вес представления О , то через Ы -обозначается произвольный вектор веса Все равенства предполагаются выполнеными при подходящем выборе этих векторов. Однако, в пределах одного подпункта, Uj-обозначает всегда один и тот же вектор. Мы будем иметь дело с векторами, лежащими в разных пространствах У о . Поэтому там, где возможна путаница, все параметры, относящиеся к вектору будем сопровождать буквой у. в скобках: Mjf) » f J и т.д. 8.2. ЛЕММА. Пусть \/1 V - конечномерные вполне приводимые Н -модули, U-i , V - базисы V и V из весовых векторов, 2 = 5" й». U. (& V/. м J - старший вектор. Пусть VK - вектор наименьшего /лексивографически/ веса среди встречающихся в сумме О.;? UlV\ с ненулевыми коэффициентами. Тогда 21 ft » к Ь(. Є V - старший вектор. Действительно, {3-рдт} 2 &;к W & \/к при т. не может взаимоуничтожиться с другими слагаемыми суммы (Хг т ) X &г М; Vj = О . Следовательно, (ОС Ъ \Т(Х и 0 Т,Є вектор "QI KW« - старший, г 8.3. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть -2; % &У?&Уё - старший вектор. Тогда "П у о . Если у(о)фО , то 7( (о)фО Доказательство. Как ( с (и) -модуль Jp» lj d-к изоморфен (V(K, е... о ) Vfd-к А.. о 0 ( V V/ Как известно, /см. 2 , 6 /, значит все старшие векторы в V(K 0 0 \ "V/J_K 0 Л Ї имеют вес ( р, }, , . О ) qK , то есть являются мно-го членами, зависящими только от of } ол , &л , 0 /при К = 0} d - только от oi )oi /. Осталось применить лемму 8.2 к V- V(K,o..o) Vfa-K,o,..oV V = у V/ . 8.4. ЛЕММА. Пусть И " 3 ; V , Vyu - неприводимые g Си)-модули, Vp[ = V , где \J -линейная оболочка множества весовых векторов U Є \J- , для кото рых 96( .)- /т.е. собственное подпространство элемента а,Э,-дЛ /.Если Z TZ(t) cVj Vp: старший вектор, г для всех целых [Э(2)-/и } Л ] Доказательство. Для крайний значений 1 = Я и 1 = &[2)-/И утверждение следует из леммы 8.2. Для осталь ных Ъ , если 2 =0 , то векторы 1 = Е и 2,= Х Н - старшие, что противоречит той же лемме. 8.5. Пусть Vp - неприводимый Ofu(n) -модуль, 2 = 2J U. & V/ е Vp Vd - старший вектор, ./ а. у - базис из весовых векторов пространства Vp » о старший вектор. Согласно 8.2, вектор 2 однозначно восстанавливается, если известно слагаемое U0 & V0 Это дает основание записывать старший вектор.

Доказательство теоремы 3.10 в случае fi-i.

Рассмотрим сначала случай Д=( .. » О J Пусть о « _з _ у р " - инвариантный /или ХГ -инвариантный/ оператор -го порядка. Определим оператор 8+: jzh"ax Гя - Q в+ (чХ) = В (dco, і) (К+1)-го порядка. Если В.ҐЦ, ЗІ ) =0 » определим другой оператор, (К-1 ) -го порядка, 6_ S2. Гр - Г, следующим образом: пусть СО Є _J2- » так как любая И -форма на (К, точна, то найдется 00 Si " такая, что 0І U ., = сО . Положим В. ( л, Л - 8(ы, у ) . роверим корректность. Если ly SZ c/u)t c/tj то существует ЬО , такая, что со,- осі = Инвариантность операторов 6+ и 8- очевидна /или "іГ-инвариантность, если В яУ-инвариантен/. Таким образом, операторы третьего порядка вида О S2. У1 I р -? / J сводятся к операторам четвертого порядка _$2.И у frt PJ и операторам второго порядка Si Рр - \ Как мы увидим в дальнейшем, имеевся единственный V -инвариантный оператор 4-го порядка нужного вида - Ц) /см. 8.26, 8.27/, соответствующий оператор 3-го порядка -Т . Инвариантных операторов 4-го порядка нет. Что же касается операторов второго порядка, то это инвариантные - S, : _52 .32 - -52. и О, j l Х_з2 „ -" _J i , им соответствуют операторы 3-го порядка I д , І и IT -инвариантные S, : C xJ2 - - J2, и \ : C x _&- / о 4 в данном случае сводится к остальным трем/, им соответствуют операторы 3-го порядка з, » з » я 8.23. Случай \) і . Пусть "5=С .. , .. о) Л7 С ,.., Л 4,. о; /с точностью до аддитивных констант/. Так как при р = п-1 или ( = кг-1 яГ -инвариантные операторы найдены в 8.22, можем считать р Yl-2, , YI-%, a/ p+q+2 ? и , тогда \} (/,.., /, о,. . о) .Но 0, (S) бУц .о, eVj-eVjr , в этих пространствах нет старшего вектора нужного веса. б/р+9 + 3л+ , тогда y) ,v j.f,.. -/ ) В Vf3 о о) Т " нет стаРших векторов нужного веса, следовательно у о = ч 0 и (L 4 ) @ , т.е. #С V«0j..0) Vj Ф 4 о,..о) / V( f,,. о», о) -L " яТ -особый подмодуль/, в этом 9-й пространстве всего один старший вектор нужного веса. Следовательно, в Dp ) J имеется два старших вектора нужного вида - $( и Я . Согласно лемме 7.6, каждый из них в отдельности не может быть ЯТ -особым. Следовательно, возможен только один 15 -инвариантный оператор, а именно Пусть теперь 3-(ftl,„ Л-j, ..1) , /u-(m4j,. 4"У- ) г/ - старший особый вектор. Если р YI- а п-2 » т0» как мы показали, Ч - У С1 +Н (г и» согласно 7.6, он может быть особым только при с— VY\- О . Однако и в этом случае оператор ) , очевидно, неинвариантен. Если p=n-i , Ц п-2, , то, согласно 8.22, инвариантный оператор О должен быть линейной комбинацией операторов /3 , / , но тогда z - іг -0 , что противоречит лемме 7.6. В случае р- .= п-4 оператор D - линейная комбинация /3 , / з » з Случай или т=б? рассмотрен в 8.22. Если же Оу т-фО , то векторы Уі,2. не могут равняться ни одному из особых векторов is » /5 » с? 5 » следовательно Н гН и, согласно 8.3.

Доказательство теорем ЗЛО и 4.4 в случае

Инвариантные операторы на тензорных полях простейших типов можно классифицировать, приводя поля к каненическо му виду. Например, векторные поля и формы объема в окрест ности своей неособой точки выпрямляются /т.е. их компо ненты посоянны в некоторой системе координат/. Это значит, что рациональные инвариантные дифференциальные операторы на пространстве векторных полей или на j L могут быть толькь нулевого порядка, т.е. являются алгебраическими /поточечными/. Аналогично доказывается, что любой рациональный инвариантный диффе ренциальный оператор на или алгебраически выражается через оператор внешнего дифференцирования и - Ч.-Л. Тэн, 291 Таким же способом Д.Б.А. Зпстейя в 211 доказал /используя результаты Картана/, что любой инвариантный дифференциальный оператор на квадратичных формах алгебраически выражается через тензор кривизны и его ковариантные производные. Тензорные поля более сложных видов не приводятся к хорошему каноническому виду по соображениям размерности. Тем не менее, любое тензорное поле можно представить в виде суммы нескольких тензорных полей, каждое из которых приводится к аффинному виду, т.е. к такому, в котором компоненты являются аффинными функциями Этот факт использовали для классификации линейных инвариантных операторов Р. Пале, {26}, X. Лейхер, 23] и Ч.-Л. Тэн, [29]. А.А. Кириллов в [7] использует другой способ - он рассматривает линейный инвариантный оператор как морфизм двух представлений алгебры Ли векторных полей и ее подалгебры линейных векторных полей /эта подалгебра изоморфна УСи) /. Дальнейшее исследование использует технику теории представлений, в частности, операторы Лапласа на представлениях алгебры С и) Метод А.Н. Рудакова, l3], состоит в том, что вместо пространств тензорных полей / рассматриваются со пряженные пространства J дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами из Г. в iR . Определяется сопряженный оператор 7„ —з У Оказывается, что образ этого оператора порождается так называемыми старшими особыми векторами. Таким образом, задача классификации линейных инвариантных дифференциальных операторов сводится к отысканию старших особых векторов в Jl . Первоначально эти векторы вычисляются для слу чаев . Для произвольной размерности за дача решается при помощи различных вложений алгебр Ли векторных полей на плоскости и на прямой в алгебру Ли векторных полей на " Метод А.Н. Рудакова применялся впоследствии для классификации линейных инвариантных операторов на много образиях с дополнительной структурой, а также на супер многообразиях, см. [14], ll], [19], [12], l7]t [18]. В настоящей диссертации он впервые применен для классифи кации билинейных операторов. Следует отметить, что оба ос новных этапа - вычисление старших особых векторов при УЦ =- (R. IR. и сведение к этому случаю общего случая - не описываются общей схемой метода и в каждой из указанных работ проведены независимо, оргинальными способами. 0.5. Целью диссертации является полная классификация билинейных инвариантных дифференциальных операторов на тензорных полях на многообразии без дополнительной структуры и на многообразии с фиксированной формой объема. 0.6. Основные результаты диссертации: I/. Получена полная классификация билинейных инвариантных дифференциальных операторов на тензорных полях любого типа на гладком конечномерном многообразии. 2/. Обнаружен новый инвариантный оператор где іГ - произвольная форма объема на /Ч , дивергенция поливекторного поля определяется по формуле 3/. Обнаружен новый инвариантный оператор на тензорных плотностях на многообразии размерности I

Похожие диссертации на Билинейные инвариантные дифференциальные операторы на тензорных полях

Спектр и рассеяние для оператора Шредингера в магнитном полеГалимов Артур Нилович

Применение спектральной теории систем коммутирующих несамосопряженных операторов к исследованию неоднородных случайных полей Аббауи Лиазид