Введение к работе
Актуальность темы. Задачи о приближениях нелинейными множествами в линейных нормированных пространствах относятся к числу центральных в теории приближений. Начало исследованию такого рода задач было положено П.Л. Чебышёвым [1], который изучал приближение непрерывных на отрезке функций рациональными дробями с фиксированными степенями числителя и знаменателя. Естественным шагом при переходе к нелинейным аппроксимациям явилось рассмотрение задач о приближениях конечномерными поверхностями и многообразиями.
В пространстве функций непрерывных на отрезке задача о наилучшем приближении элементами конечномерных поверхностей была впервые рассмотрена Юнгом [2], который получил ряд результатов, касающихся характеризации, существования и единственности элементов наилучшего приближения. Его исследования были продолжены Моц-киным [3], Торнхеймом [4], М.И. Морозовым [5] и Райсом [6]. Последний рассматривал эту задачу уже в произвольном линейном нормированном пространстве. Методы исследования, предложенные Райсом, нашли
[1] ЧЕБЫШЁв П.Л. Вопросы о наименьших величинах, связанных с приближенным представлением функций // (1859), Соч., т. II, с. 151-235.
[2] YOUNG J.W. General theory of approximations by functions involving a given number of arbitrary parameters // Trans. Amer. Math. Soc. 1907. V. 8. P. 331-344.
[3] Motzkin T.S. Approximation by curves of a unisolvent family // Bui. Amer. Math. Soc. 1949. V. 55. P. 789-793.
[4] TORNHEIM L. On n-parameter families of functions and associated convex functions II Trans. Amer. Math. Soc. 1950. V. 69. P. 457-467.
[5] Морозов М.И. О некоторых вопросах равномерного приближения непрерывных функций посредством функций интерполяционных классов // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1952. Т. 16. С. 75-100.
[6] RlCE J.R. Best approximations and interpolating functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1961. V. 101. P. 477-498.
свое развитие в работах [7], [8], [9]. В этих работах было установлено, в частности, что наложение дополнительных требовании типа гладкости на рассматриваемые множества влечет улучшение их аппроксимативных характеристик. Этот факт имеет большое значение, поскольку во многих конкретных задачах теории приближений гладкость приближающего множества можно гарантировать изначально. В ряде работ [10], [11], [12] отмечалось, что существует также и обратная зависимость: некоторые аппроксимативные свойства множества гарантируют его гладкость. В связи с этим возникает вопрос об описании аппроксимативных свойств приближающего множества в зависимости от его гладкости.
Еще более общими среди задач о нелинейных аппроксимациях являются задачи о приближениях произвольными множествами. Наиболее актуальными среди них оказываются задачи об исследовании структуры чебышёвских множеств, т.е. множеств для которых каждая точка пространства имеет ровно один элемент наилучшего приближения. В работах Кли, Н.В. Ефимова и СБ. Стечкина, Л.П. Власова и др. (см. обзоры [13], [14]) были заложены основы теории чебышёвских множеств в линейных нормированных пространствах. В дальнейшем свойства
[7] СНШ С.К., SMITH P.V. Unique best nonlinear approximation in Hilbert spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 1975. V. 49. P. 66-70.
[8] ChUI C.K., ROZEMA E.M., SMITH P.V., Ward J.D. Metric curvature, following and unique best approximation // SIAM J. Math. Anal. 1976. Vol. F, № 3. P. 436-499.
[9] AbaTZOGLOU T. Unique best approximation from a C2-manifold in Hilbert space // Pacific J. Math. 1980, vol. 87, № 2, p. 233-244.
[10] FEDERER H. Curvature measures // Trans. Amer. Math. Soc. 1959, v. 93. № 3. p. 418-491.
[11] Ferry S. When є-boundaries are manifolds // Fund. Math. 1976. V. 90. P. 199-210.
[12] HoWLAND J.G.F. Tubular neighbourhood in euclidean spaces // Duke. Math. J., 1985, v. 52, № 4. P. 1025-1046.
[13] Власов Л.П. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах // УМН. 1973. Т. 28. N» 6. С. 3-66.
[14] БаЛАГАНСКИЙ B.C., ВЛАСОВ Л.П., Проблема выпуклости чебышёвских множеств // УМН, 1996. Т. 51, вып. 6 (312). С. 125-188.
чебышёвскнх множеств исследовались также в различных классах метрических пространств (см. монографию Зингера [15] и цитированную там литературу). Важным классом метрических пространств являются рнманопы многообразия. В связи с этим этим возникает вопрос об исследовании структуры чебышёвскнх множеств на римановых многообразиях.
Цель работы. Исследовать зависимость между гладкостью множеств и их аппроксимативными характеристиками. Изучить структуру чебышёвскнх множеств на полных конечномерных римановых многообразиях.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1. Установлены необходимые условия и достаточные условия на
гладкость вложенного в гильбертово пространство многообразия, у ко
торого существует чебышёвский слой заданной величины.
2. Найден правильный показатель гладкости вложенного в гильбер
тово пространство многообразия, для которого множество неединствен
ности нигде не плотно.
3. Получены конструктивные характеристики чебышёвскнх мно
жеств на многообразиях со сферическим местом среза и на двумерных
связных компактных многообразиях без края.
Методы исследования. В работе используются методы нелинейного анализа, геометрической теории приближений и дифференциальной геометрии.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в
[15] Singer I. Best Approximation in Normed Linear Spaces by Elements of Linear Subspaces, Grundlehren math. Wiss. 171, Springer — Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1970, Bucharest, Acad. RSR, 1970. - 416 с
задачах приближения функций различными конкретными нелинейными множествами и в других экстремальных задачах.
Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на семинарах по теории функций и приближений в МГУ (под руководством проф. СБ. Стечкина, под руководством чл.-корр. РАН П.Л. Ульянова, под руководством проф. Т.П. Лукашенко и проф. В.А. Скворцова) и МИРАН (под руководством проф. СБ. Стечкина и проф. СА.Теляковского), на Международных школах по теории приближений под руководством СБ. Стечкина в 1993-1995 годах и на школе памяти СБ. Стечкина в 1996 году, на 7-й Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (1994 г.), на 22-й Воронежской зимней школе по теории функций (1995 г.), а также на Чебышёвских чтениях, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л. Чебышёва (1996 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ (список публикаций приведен в конце автореферата). Работ, написанных в соавторстве, нет. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1-5.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, разделенных на параграфы. Объем диссертации — 86 страниц. Список литературы содержит 62 наименования.
