Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Вспомогательные фукнции 15
1. Множество аппроксимации и приближающие функции 15
2. Масштабирующая функция 17
3. Оценки функций (PE(Z) И ^PK(Z) 26
4. Псевдоаналитическое продолжение функции 37
Глава 2. Прямая теорема приближения 39
Глава 3. Обратная теорема приближения 57
Список литературы 69
- Масштабирующая функция
- Псевдоаналитическое продолжение функции
- Прямая теорема приближения
- Обратная теорема приближения
Введение к работе
В процессе решения поставленной проблемы приближения последовательно решается ряд вопросов:
• Каким условиям должна удовлетворять комплекснозначная функция для того, чтобы некоторая сколь угодно хорошая весовая аппроксимация на некотором подмножестве Ж+ целыми функциями из определённого класса была возможна.
• Каким должен быть класс приближающих функций.
• Каким образом строить функции, осуществляющие указанное весовое приближение рассматриваемых функций на заданном подмножестве Ш+.
• Возможно ли получить конструктивную характеристику функций из рассматриваемого класса непрерывных функций.
Все эти вопросы возникли в ходе исследования общей проблемы аппроксимации целыми функциями на различных областях комплексной плоскости. Ранее ответы на аналогичные вопросы для случая всей полуоси были получены в работе [7]. А именно, там была решена задача о весовом приближении функций класса Гёльдера на всей полуоси целыми функциями порядка \ из специально подобранного класса. При этом удалось доказать прямую и соответствующую обратную теоремы приближения, что позволило говорить о конструктивном описании рассматриваемого класса непрерывных функций. Изменение области приближения привело к постановке сформулированных выше вопросов, появилась новая проблема конструктивного описания некоторого класса непрерывных функций, а также оценки скорости их весовых приближений.
Актуальность темы. Несмотря на то, что аппроксимация целыми функциями составляет сейчас большую ветвь комплексного анализа, некоторые вполне естественные вопросы остаются пока без ответов. К числу подобных проблем относится и конструктивное описание классов непрерывных функций, скорость их весовых приближений. Диссертация выполнена в русле этой тематики и потому актуальна.
Масштабирующая функция
В процессе решения поставленной проблемы приближения последовательно решается ряд вопросов: Каким условиям должна удовлетворять комплекснозначная функция для того, чтобы некоторая сколь угодно хорошая весовая аппроксимация на некотором подмножестве Ж+ целыми фукнциями из определённого класса была возможна. Каким должен быть класс приближающих функций. Каким образом строить функции, осуществляющие указанное весовое приближение рассматриваемых функций на заданном подмножестве Ш+. Возможно ли получить конструктивную характеристику функций из рассматриваемого класса непрерывных функций. Все эти вопросы возникли в ходе исследования общей проблемы аппроксимации целыми функциями на различных областях комплексной плоскости. Ранее ответы на аналогичные вопросы для случая всей полуоси были получены в работе [7]. А именно, там была решена задача о весовом приближении функций класса Гёльдера на всей полуоси целыми функциями порядка \ из специально подобранного класса.
При этом удалось доказать прямую и соответствующую обратную теоремы приближения, что позволило говорить о конструктивном описании рассматриваемого класса непрерывных функций. Изменение области приближения привело к постановке сформулированных выше вопросов, появилась новая проблема конструктивного описания некоторого класса непрерывных функций, а также оценки скорости их весовых приближений.
Актуальность темы. Несмотря на то, что аппроксимация целыми функциями составляет сейчас большую ветвь комплексного анализа, некоторые вполне естественные вопросы остаются пока без ответов. К числу подобных проблем относится и конструктивное описание классов непрерывных функций, скорость их весовых приближений. Диссертация выполнена в русле этой тематики и потому актуальна.
Цель работы состоит в формулировании и доказательстве соответствующих прямой и обратной теорем приближения целыми функциями, что даёт возможность говорить о получении конструктивного описания класса гладкости функции из классов типа Гёльдера при помощи скорости весового приближения. Научная новизна. В диссертации получены утверждения о конструктивном описании классов непрерывных функций на новых типах несвязных множеств. Все основные результаты являются новыми.
Теоретическая значимость. В диссертации конструктивно описаны классы функций в ситуациях, требующих соединения соображений, относящихся к приближениям полиномами на областях комплексной плоскости и соображений, относящихся к приближениям целыми функциями. Достоверность научных результатов. Все результаты диссертации являются строго доказанными научными фактами.
Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на IV-й Петрозаводской международной конференции по комплексному анализу (июль 2008 года), а также на Герценовских чтениях в докладе "Обратная теорема для приближения целыми функциями на подмножествах полуоси,"которые проходили 17 апреля 2008 года в РГПУ им. А. И. Герцена.
Псевдоаналитическое продолжение функции
В большинстве случаев ультратонкие пленки исследуют в геометрии зеркального отражения при скользящих углах, так что возник специальный термин для подобных исследований - ядерно-резонансная рефлектометрия. Этот неразрушающий метод позволяет расшифровывать магнитную структуру резонансных пленок и их интерфейсов селективно по глубине. Ввиду многообещающих перспектив использования магнитных мультислоев в спинтронике, магнитооптике и т.д., подобная информация является для многих приложений решающей.
В настоящее время на станциях ядерно-резонансного рассеяния СИ происходит быстрое накопление экспериментальных данных, в то же время методы обработки и интерпретации таких уникальных данных развиты недостаточно. Настоящая работа и посвящена теоретической разработке нового метода ядерно-резонансного отражения.
Цель работы. Практическое применение метода ядерно-резонансной рефлектометрии для исследования магнитной структуры ультратонких пленок (в том числе и в экстремальных условиях, например, при низких температурах, необходимых для возникновения сверхпроводящего состояния в соседней с резонансным слоем пленке), процессов диффузии и самодиффузии в многослойных пленках, состоящих из чередующихся слоев резонансного и нерезонансного изотопа. Разработка методики восстановления профиля распределения по глубине резонансных ядер с различными типами сверхтонких взаимодействий. Развитие и тестирование компьютерных программ для обработки временных спектров ядерно-резонансного отражения и угловых зависимостей ядерно-резонансного отражения.
В работе впервые проанализирован вопрос об однозначности определения направления остаточной намагниченности пленок из экспериментальных временных спектров ядерно-резонансного отражения. Исследование показало, что при анализе следует учитывать возможную не-однодоменность ультратонких пленок. Было сделано также важное заключение, что для корректного определения предпочтительного остаточного направления намагниченности ультратонкой пленки по данным ядерно-резонансной рефлектометрии, необходимо проводить измерения спектров при разных азимутальных ориентациях пленки относительно пучка СИ.
Впервые методом ядерно-резонансной рефлектометрии с применением методики стоячих волн исследовано влияния сверхпроводящего слоя Nb на сверхтонкое магнитное поле в прилежащем ферромагнитном слое Fe, которое не обнаружило изменения величины или ориентации этого поля при температурах выше и ниже температуры сверхпроводящего перехода в слое Nb. Этот результат имеет значение для развития электронной теории систем сверхпроводник/ферромагнетик.
Анализ влияния динамических эффектов на формирование задержанных по времени регистрации кривых ядерно-резонансного отражения обнаружил существенные принципиальные отличия кривых ядерно-резонансного отражения от кривых рентгеновской рефлектометрии. Оказалось, что относительные интенсивности брэгговских максимумов на ядерно-резонансных кривых зависят не только от интердиффузии слоев в периодической структуре, но и от эффекта ускорения распада ядерной подсистемы в условиях полного внешнего или брэгговского отражения в условиях ограниченного временного окна регистрации ядерно-резонансного отклика, от сверхтонких параметров, уширения линий и других параметров резонансного спектра.
Было установлено, что для корректного определения коэффициента диффузии по кривым ядерно-резонансной рефлектометрии нельзя опираться только на интегральные интенсивности брэгговских максимумов, а необходимо восстанавливать концентрационный профиль резонансных ядер по временным спектрам и угловым кривым отражения и затем анализировать его Фурье компоненты. Обработка конкретных экспериментальных данных для образца [57Fe(4 HM)/56Fe(8 нм)]!0 показала, что ошибка при кинематическом подходе при определении коэффициентов диффузии может составлять порядок и более.
Прямая теорема приближения
Практическая работа с конкретными экспериментальными данными по восстановлению профилей распределения резонансных ядер с различными типами сверхтонких взаимодействий позволила внести существенные коррективы и усовершенствовать комплекс программ для обработки спектров ядерно-резонансного отражения «REFTIM», помещенный в настоящее время на сайте ESRF [4]. 1. Методика обработки временных спектров ядерно-резонансного отражения, измеренных для нескольких углов скольжения, и угловых зависимостей интегральной задержанной по времени распада интенсивности отражения (кривых ядерно-резонансной рефлектометрии), позволяющая восстанавливать как параметры сверхтонких взаимодействий, так и профили распределения по глубине резонансных ядер, характеризующихся различными типами сверхтонких параметров. 2. Применимость метода стоячих рентгеновских волн, формирующихся в условиях брэгговского отражения от периодических многослойных пленок, для селективных по глубине исследований профиля распределения плотности резонансных ядер, характеризующихся различными сверхтонкими взаимодействиями, методом ядерно-резонансного отражения. 3. Вывод о том, что определение азимутального угла, характеризующего направление намагниченности в плоскости слоя структуры и являющегося основой ядерно-резонансной магнитометрии [5], не является корректным, если измерения проводятся только при одной ориентации образца относительно пучка СИ (за исключением вырожденного случая, когда намагниченность направлена вдоль пучка). 4. Заключение о существенном искажении кривых ядерно-резонансной рефлектометрии, и, в частности, изменении интегральных интенсивностей брэгговских максимумов ядерно-резонансного отражения, вследствие ограниченного в реальных экспериментальных условиях временного окна регистрации ядерно-резонансного сигнала. Такое искажение вносит существенную погрешность в определение коэффициентов диффузии по угловым кривым ядерно-резонансного отражения.
Основные результаты работы были доложены на следующих конференциях: Moscow International Symposium on Magnetism (MISM) (Moscow, MSU, June 2005), IT Всероссийской молодежной научной школе «Микро-, нанотехнологии и их применение» (ИПТМ РАН, Черноголовка, 2005), Национальной конференции по применению рентгеновского, синхротронного излучений, нейтронов и электронов для исследования материалов (г. Москва, Институт кристаллографии РАН, ноябрь 2005), X Международной конференции "Мессбауэровская спектроскопия и ее применения" (г. Ижевск, июнь 2006). Симпозиуме "Нанофизика и Наноэлектроника" (г. Нижний Новгород, март 2007). Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ (4 статьи в реферируемых журналах, 3 статьи в сборниках трудов конференций и 3 тезисов докладов на перечисленных выше конференциях [6-15]). Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, основных выводов и содержит 141 страницу текста, 44 рисунка, и список литературы из 153 наименований. Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цель и задачи исследовании, показана научная новизна полученных результатов и их практическая ценность, изложены основные защищаемые положения диссертации. Первая глава является обзором литературы по теме диссертационной работы. Рассмотрены особенности возбуждения СИ ядерно-резонансных переходов, методика экспериментов при импульсном возбуждении резонансных ядер и регистрации ядерно-резонансного рассеяния на временной шкале распада возбужденных состояний. Описана методика исследования сверхтонких взаимодействий по квантовым биениям на временных спектрах. Приведены примеры исследований методом ядерно-резонансного рассеяния на синхротронах магнитных свойств и их температурных зависимостей, процессов диффузии, а также изменения свойств материалов под давлением. Описана новая методика исследования неупругого ядерно-резонансного рассеяния, активно развиваемая на станциях ядерно-резонансного рассеяния и позволяющая восстанавливать фононные спектры исследуемых материалов. Рассмотрены когерентные эффекты в рассеянии вперед и при зеркальном отражении от резонансных пленок. Приведены некоторые результаты исследования ультратонких пленок методом ядерно-резонансной рефлектометрии. Во второй главе диссертации изложена матричная теория отражения мессбауэровского излучения от анизотропных резонансных мультислоев при скользящих углах падения, лежащая в основе пакета компьютерных программ [4], используемых в дальнейшем для расчетов энергетических и временных спектров отражения, а также рефлектометрических кривых ядерно-резонансного отражения. Проанализированы поляризационные особенности ядерно-резонансного рассеяния. Показана роль фазовых соотношений для волн, отраженных разными границами раздела, в появлении селективности информации по глубине структуры в энергетических или временных спектрах отражения. Рассмотрена применимость метода стоячих волн в рефлектометрии, обеспечивающего дополнительные возможности для селективных по глубине исследований. Третья глава диссертации посвящена описанию процессов самодиффузии в периодических структурах [ Fe/ 7Fe]n, активно исследуемой в последние годы [16-18], а также интерпретации экспериментальных спектров и кривых ядерно-резонансного отражения от периодической сверхструктуры [ FeN/ FeN]10 , измеренных на Европейском источник сихротронного излучения в г. Гренобль (Франция). Четвертая глава диссертации посвящена исследованию взаимовлияния сверхпроводимости и магнетизма [ 19], а также интерпретации экспериментальных временных спектров ядерно-резонансного отражения от периодической многослойной пленки Nb(70 нм)/ Fe(3.8 HM)/[Si/Mo]45/Si измеренных на Европейском источник сихротронного излучения в г. Гренобль (Франция). Пятая глава диссертации посвящена исследованию магнитных свойств и, в частности, ориентации остаточной намагниченности в тонкой пленке [57Fe/Co]35 на подложке MgO. Проанализированы временные спектры ядерно-резонансного отражения от данной пленки измеренные на Европейском источник синхротронного излучения в г. Гренобль (Франция).
Обратная теорема приближения
Отличия мессбауэровской дифракции от дифракции рентгеновских лучей, нейтронов, электронов позволяют, используя ее, извлечь такую информацию о кристалле, получение которой другими дифракционными методами очень сложно или практически не возможно. Сюда прежде всего относится возможность определения фазы структурной амплитуды [22,23]. Знание этой фазы необходимо в структурном анализе для однозначной расшифровки структуры соединения.
Мессбауэровская дифракция позволяет также исследовать магнитную структуру кристалла, и на ее основе может быть создан метод прямого определения магнитной структуры кристаллов. Физической причиной возможности исследования магнитной структуры с помощью мессбауэровской дифракции является зависимость амплитуды мессбауэровского рассеяния от направления магнитного поля на рассеивающем ядре, которое, как известно, связано с ориентацией атомного магнитного момента. Зависимость мессбауэровской амплитуды рассеяния от градиента электрического поля на ядре предоставляет возможность с помощью мессбауэровской дифракции исследовать структуру градиентов электрического поля в кристалле [24-27].
С помощью эффекта Мессбауэра можно исследовать медицинские объекты [28,29], решать задачи экологии (контроль загрязнения окружающей среды), криминалистики (определение места происхождения объекта, подлинность произведений искусства и ценных бумаг) и фармакологии (контроль качества лекарственных препаратов).
Метод мессбауэровской спектроскопии является одним из немногочисленных физических методов, позволяющих проводить неразрушающую диагностику свойств поверхности. Для этой цели используется, в основном, геометрия рассеяния. Разрешение по глубине может быть получено регистрацией различных типов вторичных излучений, возникающих в процессе разрядки возбужденного уровня ядра после резонансного поглощения гамма-кванта [30].
Для исследования ультратонких слоев поверхности используется метод скользящей мессбауэровской спектроскопии [31-39]. Метод объединяет возможности двух явлений — эффекта Мессбауэра и эффекта полного внешнего отражения резонансного излучения. Изменение угла падения первичного излучения на исследуемую поверхность в области углов полного внешнего отражения позволяет определять профиль распределения по глубине физических и химических свойств поверхности.
После создания синхротрониых источников, стали вестись дискуссии о возможности использования СИ в качестве источника в мессбауэровских экспериментах. Однако, СИ имеет практически белый спектр, а энергетическая ширина мессбауэровских (безотдачных) переходов составляет всего 10" эВ. Обычные рентгеновские монохроматры (монокристаллы кремния или германия) позволяют выделить из белого спектра СИ энергетическую область 1 эВ. Такое «монохроматическое» с точки зрения рентгеновской оптики излучение является все же белым спектром для ядерно-резонансных переходов. Выделение их этого спектра энергетической области, сопоставимой с шириной ядерно-резонансного уровня, представляло огромную проблему.
Долгие годы основная надежда связывалась с использованием чисто ядерных дифракционных максимумов [1,24-27] или резонансных антиотражательных пленок скользящего падения (Grazing Incidence antireflection (GIAR) -films) [41-43]. В случае чисто ядерных дифракционных максимумов возникновение запрещенных отражений обусловлено анизотропией ядерно-резонансного рассеяния, которое изменяет законы погасания, существующие в рентгеновской дифракции [24-27,44,45]. Первые наблюдения магнитных ядерных отражений были проведены на традиционном мессбауэровском источнике [46]. Первый эксперимент по возбуждению мессбауэровских ядер на синхротроне был проведен в Новосибирске [47]. Вскоре подобный эксперимент на качественно более высоком уровне был проведен Гамбургской группой ученых [48]. В случае резонансных анти- отражательных пленок скользящего падения подбором толщины и электронной восприимчивости слоев в тонкой пленке можно получить подавление отражения в узком угловом интервале за счет деструктивной интерференции волн, переотраженных в пленке. При энергиях, когда «включается» в дополнение к электронному рассеянию ядерно-резонансное в одном из слоев, эффект антиотражения пропадает, так что такая пленка должна отражать только в резонансной (для мессбауэровских ядер в пленке) области энергий. Такие пленки были рассчитаны [49], синтезированы [50,51] и протестированы. Экспериментальные исследования были проведены для пленок, включающих изотопы " Fe [50] и Sn [51,52]. Фактически же, поскольку эффект антиотражения — это очень тонкий интерферометрический эффект, его рассогласование наступает уже для энергий, достаточно смещенных от точного ядерного резонанса [53,54]. Поэтому GIAR монохроматоры способны давать разрешение только до микроэлектронвольт (а не до наноэлектровольт, необходимых для измерения мессбауэровских спектров на энергетической шкале), однако и такое разрешение является рекордным и может быть полезно в изучении неупругого ядерного рассеяния.
