Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор методов решения обратных задач спутниковой метеорологии . 7
1.1 Обратные задачи. 7
1.2. Решение обратной задачи линеаризацией и обращением оператора . 13
1.3. Метод наименьших квадратов. 18
1.4. Априорная информация. 19
1.5. Метод редукции [23,31]. 21
1.6. Наилучшая линейная несмещенная оценка [2]. 24
1.7. Метод наименьших квадратов с учетом автоковариационной матрицы ошибок [3]. 29
1.8 Источники нелинейности в задачах дистанционного зондирования. 30
1.9. Вариационный метод [2,3]. 31
1.10. Нелинейная множественная регрессия. 36
Выводы. 41
Глава 2. Теория решения прямых и обратных задач дистанционного зондирования. 42
2.1. Решение задачи переноса ИК-излучения в атмосфере. 42
2.2. Полинейный расчет коэффициентов поглощения. 50
2.3. Расчет континуального поглощения водяным паром. 53
2.4. Выбор спектральных частот (каналов) для восстановления профилей температуры и поглощающих субстанций атмосферы . 55
2.5. Расчет производных коэффициентов поглощения. 61
2.6. Расчет вариационных производных функционала прямой задачи. 63
2.7. Расчет вариации функционала прямой задачи при помощи метода сопряженных уравнений. 71
2.8. Построение линейных операторов прямой задачи. 80
2.9. Учет взаимных и внутренних корреляционных связей профилей температуры и влажности. Фильтрация предиктанта по ЭОФ. 82
Выводы. 83
Глава 3. Численные эксперименты. 84
3.1. Используемые данные наблюдений. 84
3.2. Расчет ЭОФ совместного вектора. 84
3.3. Выбор частот измерений. 88
3.4. Оценка нелинейности задачи. 90
3.5. Восстановление профилей температуры и влажности при использовании лианеризованной системы уравнений. Наилучшая несмещенная оценка с фильтрацией предиктанта по ЭОФ. 92
3.6. Решение обратной задачи методом редукции при неизвестном и известном операторе. 93
3.7. Решение обратной задачи нелинейной множественной регрессией. 94
3.8. Решение обратной задачи вариационным методом. 95
3.9. Исследование чувствительности различных методов решения обратных задач к ошибкам измеряемых сигналов. 100
3.10. Чувствительность прямой модели AIRS к спектральной стабильности измерительных каналов. 104
3.11. Чувствительности решения обратной задачи к спектральной стабильности измерительных каналов. 105
3.12. Учет возможности сдвига частот при решении обратной задачи. 107
Выводы. 108
- Решение обратной задачи линеаризацией и обращением оператора
- Выбор спектральных частот (каналов) для восстановления профилей температуры и поглощающих субстанций атмосферы
- Восстановление профилей температуры и влажности при использовании лианеризованной системы уравнений. Наилучшая несмещенная оценка с фильтрацией предиктанта по ЭОФ.
- Исследование чувствительности различных методов решения обратных задач к ошибкам измеряемых сигналов.
Введение к работе
Невозможно представить себе современную метеорологию и моделирование климата без спутниковых систем, позволяющих измерять значительное количество параметров атмосферы и океана и имеющих глобальное пространственное покрытие. Спутниковая аппаратура постоянно совершенствуется, возрастают точность измерений, спектральное и пространственное разрешение.
Для эффективного использования современных многоканальных спутниковых систем необходимы новые методы решения обратных задач обработки полученной информации, учитывающие нелинейные связи между измерениями и восстанавливаемыми параметрами. Поэтому первая цель данной работы это построение высокоточных методов решения обратной задачи восстановления температуры поверхности океана, профилей температуры и влажности атмосферы по спутниковым измерениям в ИК-области спектра. Кроме того, представляет интерес проведение сравнительного анализа различных методов, изучение их чувствительности к ошибкам измерения, обусловленным несовершенством аппаратуры.
Чтобы эффективно решать обратную задачу восстановления характеристик атмосферы и подстилающей поверхности по измерениям современных многоканальных ИК-радиометров, необходима методика оптимального выбора измерительных каналов. В диссертации предлагаются подходы, позволяющие решить эту проблему.
Еще одной целью диссертационной работы является исследование и сведение к минимуму чувствительности решения прямой и обратной задачи для современных ИК-радиометров (например, AIRS) к ошибкам сдвига частоты измерительных каналов. Эта проблема обусловлена возросшим спектральным разрешением современных измерительных систем и, как следствие, значительно возросшей чувствительностью к сдвигу частот измерительных каналов.
В первой главе диссертации рассматриваются основные подходы, позволяющие решать обратные задачи дистанционного зондирования, содержится обзор теоретических работ по решению обратных задач.
Вторая глава содержит физические аспекты решения прямой и обратной задач, здесь приведены теория расчета коэффициентов поглощения, теория решения прямой и обратной задачи, а также рассчитываются линейные операторы, аппроксимирующие прямую задачу. Во второй главе предложена методика выбора измерительных частот.
Третья глава описывает проведенные численные эксперименты по решению обратной задачи восстановления температуры поверхности океана, а также профилей температуры и влажности атмосферы.
Решение обратной задачи линеаризацией и обращением оператора
В профиле атмосферы имеются компоненты, которые не дают вклада в спутниковые измерения. В линеаризованном случае, например, мы можем добавить к профилю температуры атмосферы любую функцию, ортогональную ко всем весовым функциям, и это никак не повлияет на сигнал, получаемый спутником. Такие компоненты неизмеримы, и информацию о них необходимо получать из других источников, из априорной информации о состоянии атмосферы. Априорная информация может быть не только статистической природы. Например, априорной информацией могут служить сведения о поведении, гладкости решения, в частности то, что решение представимо в виде суммы некоторого набора функций, как, например, в работе Смитта [5]. Априорной информацией может служить, например, прогноз значения и ошибки некоторой случайной величины, сделанный некоторой физической моделью, или моделью усвоения данных. Роджерс [1] предлагает считать априорную информацию "виртуальными измерениями", которые вместе с реальными измерениями позволяют свести изначально некорректную задачу к корректной. Априорная информация может быть линейной, то есть задавать значение известной линейной функции искомого профиля. Многие статистические методы используют такую линейную априорную информацию. Вот примеры линейной априорной информации: 1) Статистическая информация - климатологическое (среднее) значение и ковариационная матрица ошибок. 2) Предсказанный какой-либо моделью профиль искомой функции и ковариационная матрица ошибок этого профиля. 3) Регуляризация по Тихонову [1, 13, 17].
Виртуальное измерение - средний профиль. Ковариационная матрица ошибки уН, где у - параметр регуляризации Тихонова, Я обычно берут равной единичной матрице. 4) Линейное представление (1.2.3). Если дополнить (конечный) набор функций представления (1.2.3) до полного базиса (бесконечного набора) в пространстве, в котором ищется решение, то предположение, что искомый профиль является суммой функций представления, означает, что он ортогонален остальным функциям построенного базиса. Значит, коэффициенты его разложения по этим остальным функциям равны нулю, что и является линейной априорной информацией. 5) Дискретизация (например, по пространственным координатам) - частный случай линейного представления. Таким образом, в решении задачи восстановления профилей температуры и газового состава атмосферы мы имеем набор дискретных измерений, к которым добавляется необходимое число виртуальных измерений, делая задачу корректной. Обычно это делается в два этапа, сначала проводится дискретизация, а потом используется априорная информация. Далее считается, что дискретизация уже проведена и уравнение (1.2.2) записано в матричном виде: где у - вектор измерений (вместо I), х - неизвестный профиль (вместо Ъ), а матрица А - дискретный аналог весовой функции. В англоязычной литературе этот метод называется методом минимальной вариации [1].
Пусть наша задача приведена к виду: где А- линейный оператор, случайный вектор х - определяемая величина (предиктант), у - вектор измерений (предиктор), є - ошибка представления, случайные векторы и известно, что: 1) ошибка измерения є не коррелирует с восстанавливаемым профилем х. 2) Е(е) = Е(х) = 0 а, следовательно, Е(у) = 0 (здесь и далее (...) - символ математического ожидания), 3) известны автоковариационные матрицы Sx и Se векторов х и є Если математическое ожидание х и у отлично от нуля, как в (1.4.1), то, произведя замену х -» х - Е(х), приведем задачу к виду (1.5.2). Метод редукции [3, 31, 32] заключается в построении линейной оценки: минимизирующей математическое ожидание среднеквадратичной ошибки Е{(х-х)т(х-х)}: Вычислим явно ковариационную матрицу векторов х и у Sxy и автоковариационную матрицу вектора у, Sy:
Выбор спектральных частот (каналов) для восстановления профилей температуры и поглощающих субстанций атмосферы
Для успешного восстановления профилей температуры и поглощающих субстанций по собственному (ИК) излучению атмосферы на спутнике необходимо регистрировать ИК-излучение, приходящее с различных слоев атмосферы и с поверхности. При распространении в атмосфере излучения с частотой v происходят два противоположных процесса - излучение поглощается газами, входящими в атмосферу, и усиливается за счет собственного излучения этих же газов. Зная спектральную характеристику поглощения газами атмосферы, можно изменяя частотную характеристику прибора (проводя измерения на разных частотах) получать информацию о поглощении и излучении на определенной высоте, и по этой информации восстанавливать профили поглощающих субстанций и температуры. Приведем некоторые теоретические оценки, позволяющие оценить набор частот, несущих информацию о нужном слое атмосферы. Задача ставится следующим образом: как, зная зависимость коэффициента поглощения от частоты подобрать частоты так, чтобы как можно большая часть излучения (а значит и информация о профилях температуры и поглощающих субстанций) приходила с определенного уровня (например, с высоты А ). В случае безоблачной равновесной атмосферы сигнал, регистрируемый ИК спектрометром на спутнике (считаем угловую и частотную характеристику спектрометра 8 -функциями), при измерениях в надир, запишется согласно (2.1.22): здесь J,- первое слагаемое - это собственное излучение подстилающей поверхности Земли, J2 - собственное излучение атмосферы, h - высота полета спутника, Т0- температура поверхности, T(z)- профиль температуры атмосферы, v- частота излучения, av(z)- коэффициент поглощения. BV(T) функция Планка (2.1.2).
Очевидно, что для определения параметров поверхности Земли (например, температуры поверхности Т0) необходимо выбирать измерения в окнах прозрачности атмосферы. В этом случае вклад второго слагаемого будет относительно небольшим. Однако из-за наличия континуального поглощения (особенно водяным паром) найти совсем прозрачные участки не удается. Рассмотрим теперь второе слагаемое J2. Интуитивно ясно, что если коэффициент поглощения kv(z) большой, то (за счет экспоненциального множителя) первое слагаемое /, мало, а во втором слагаемом вклад в интеграл дают только верхние слои атмосферы. В случае меньшего поглощения мы, напротив, получаем информацию с нижних слоев атмосферы. Попытаемся теперь определить, каким должен быть коэффициент поглощения при нормальных условиях "=„(0), чтобы максимум излучения приходился на некоторую высоту А . Это позволит нам, изучив спектры поглощения, рассчитанные по современным спектроскопическим моделям, определить оптимальные частоты для восстановления атмосферных профилей температуры и поглощающих субстанций. Рассмотрим второе слагаемое J2. Пусть jv(z) подынтегральная функция во втором слагаемом (2.4.1): в нашем случае это гладкая функция и необходимое условие ее максимума запишется: Введем некоторые упрощения. Прежде всего будем считать атмосферу изотермической, T(z) = Т. Тогда, Упростим теперь выражение для коэффициента поглощения, чтобы записать его как простую функцию от вертикальной координаты z и значения коэффициента поглощения при нормальных условиях av. Выражение для полинейного расчета коэффициента поглощения с использованием спектроскопических баз данных, таких как HITRAN, запишется согласно (2.2.2) Будем считать, что сумма в формуле (2.4.5), обозначим ее Iv, зависит только от частоты. Тогда зависимость коэффициента поглощения от давления и температуры примет вид: где g - ускорение свободного падения, ju - молярная масса воздуха, R-универсальная газовая постоянная. Введем для простоты изотермическую высоту атмосферы: С учетом сделанных упрощений перепишем коэффициент поглощения: а функция jv(z) запишется: Теперь, используя формулу дифференцирования сложной функции, найдем экстремум функции jv(g), как функции от
Восстановление профилей температуры и влажности при использовании лианеризованной системы уравнений. Наилучшая несмещенная оценка с фильтрацией предиктанта по ЭОФ.
Вначале было предпринято несколько попыток восстановления состояния атмосферы без привлечения априорной статистической информации. Оператор прямой задачи был линеаризован в окрестности среднего состояния, которое считалось известным. Было использовано 23 измерительных канала и линеаризованный оператор выражался квадратной матрицей. Попытка восстановить полный вектор при помощи обращения этого оператора (согласно параграфу 1.2) привела к неудовлетворительному результату, особенно для нижних слоев атмосферы. Оператор прямой задачи оказался плохо обусловленным. Аналогичный результат получился и при использовании метода наименьших квадратов (параграф 1.3), при различных размерностях предиктора.
После этого была предпринята попытка восстановления профиля температуры при фиксированном профиле влажности и профиля влажности при фиксированном профиле температуры. В зависимости от размерности вектора измерений использовалось обращение либо метод наименьших квадратов. Этот подход также привел к большим ошибкам, оказалось, что задача восстановления профиля температуры чувствительна к влажности, и наоборот, задача восстановления влажности чувствительна к температуре. Регуляризация по Тихонову (для метода наименьших квадратов по Филипсу) позволила восстанавливать верхние компоненты профилей (ближайшие к спутнику) с не слишком большой ошибкой, однако, результат для слоев ниже 850 мбар оказался неудовлетворительным. Некоторым объяснением, почему точность восстановления хуже для приземных слоев, может служить рисунок 10 приведенный во второй главе, изображающий весовые функции для наиболее информативных каналов. Видно, что максимумы весовых функций, отвечающих за излучение, приходящее с нижних слоев сильно размыты, следовательно, невозможно получить локальную информацию о приземных слоях. Такая информация может быть получена из корреляционных связей между температурой поверхности океана и компонентами температуры и влажности.
Тогда решено было использовать фильтрацию предиктанта по ЭОФ, для построения которых пришлось использовать статистические данные. Был использован метод наилучшей несмещенной оценки, описанный в параграфе 1.6, совпадающий с методом наименьших квадратов в случае некоррелированных, имеющих равную дисперсию, ошибок. Наилучший результат достигается при использовании 7-8 ЭОФ и 10-12 измерений. В результате удалось восстановить температуру поверхности с точностью 0.9 К, температуру атмосферы с точностью 1,9 К, а влажность с точностью 1.4 г/кг.
Для повышения точности восстановления характеристик атмосферы и подстилающей поверхности решение искалось методом редукции, рассмотренном в параграфе 1.5. При построении линейного оператора R использовались априорные данные калибровочного ансамбля. Были проведены как эксперименты по восстановлению редукцией с неизвестным оператором прямой задачи - регрессией, так и редукцией [31, 32], причем в качестве линейного оператора А использовался Якобиан либо линейный оператор, полученный с помощью сопряженных уравнений, которые приведены в параграфе 2.8 второй главы. Точность восстановления оказалась несколько выше для линейной регрессии, поскольку метод редукции с известным оператором требует отсутствия корреляций между ошибкой измерения є и восстанавливаемым профилем х (1.5.1), в то время как небольшая корреляция существовала. Когда корреляции между ошибкой и предиктором были учтены, решения, полученные при помощи редукции и регрессии, совпали. В результате обратная задача была решена с среднеквадратичной точностью 0.8 К для температуры поверхности, 1.5 К для температуры атмосферы, и 1 г/кг для абсолютной влажности атмосферы.
Вследствие нелинейного характера связи между измеряемыми на спутнике функционалами и определяемыми параметрами в ИК-области спектра процесс линеаризации обратной задачи приводит к существенным погрешностям при ее решении. В связи с этим в последнее время начали развиваться нелинейные методы решения задач, позволяющих учесть нелинейные связи между измерениями и восстанавливаемым вектором. Метод нелинейной регрессии, описанный в параграфе 1.11 первой главы, позволяет построить полином, который учитывает корреляции между предиктантом и различными степенями компонент предиктора, причем доказано, что получающийся полином позволяет для данного статистического ансамбля получить решение с наименьшей среднеквадратичной ошибкой в классе полиномов данной степени. В задаче восстановления профилей температуры и влажности атмосферы и температуры поверхности использовался полином второй степени. Даже при использовании полинома лишь второй степени, размерность задачи значительно возрастает, поскольку вместо предиктора размерности N = 30 используется расширенный вектор размерности позволило значительно увеличить точность восстановления: температура водной поверхности измеряется со среднеквадратичной ошибкой менее 0.2К, температура атмосферы менее 1К, абсолютная влажность менее 0,8 г/кг для верификационного ансамбля. В заключение необходимо заметить, что с возросшей размерностью задачи регрессии можно бороться, используя проектирование расширенного вектора на различные подпространства, например, на подпространство ЭОФ. В данной задаче ЭОФ - разложение значительного уточнения не дало.
Исследование чувствительности различных методов решения обратных задач к ошибкам измеряемых сигналов.
Современные измерительные спутниковые системы постоянно совершенствуются. Первая тенденция - это увеличение спектрального разрешения, позволяющее точно выбирать спектральные линии, необходимые для восстановления концентрации газовых составляющих атмосферы. Современные ИК Фурье - спектрометры имеют спектральное разрешение порядка 0.1 обратного сантиметра, что позволяет различать отдельные линии поглощения и рассматривать задачу восстановления профилей метана, озона и других малых газовых составляющих атмосферы.
Другая тенденция - это уменьшение ошибок измерений. На спутниковых системах устанавливается охлаждающее оборудование, позволяющее значительно снизить тепловые шумы. Представляет интерес, как зависит ошибка восстановления от ошибки измерений для различных методов решения обратной задачи. Измерение было промоделировано при помощи решения прямой задачи, после чего к нему был добавлен Гауссов шум. Результаты зависимости точности измерения для температуры поверхности, температуры атмосферы и удельной влажности от ошибки измерений приведены на рисунках 20-22.
Показано, что в широком диапазоне ошибок измерительной аппаратуры нелинейные методы решения данной обратной задачи позволяют получить значительный выигрыш по сравнению с линейными. Видно, что нелинейные методы не демонстрируют значительно более высокой чувствительности к ошибке измерения сигнала, чем линейные.
Современные спектрометры (AIRS, IASI, МІР AS), работающие в ИК-диапазоне, имеют множество измерительных каналов и высокое спектральное разрешение. Недостатком таких приборов является то, что центры измерительных каналов прибора могут со временем несколько смещаться по частоте, что может привести к значительным ошибкам при решении прямой и обратной задачи. ИК-спектрометры являются достаточно сложными приборами, проводящими измерения на основе интерференции приходящего излучения. Измерительные каналы таких приборов могут со временем сдвигаться по спектру (см. рисунок 23). Эта проблема усугубляется тем, что спектральная зависимость измеряемого сигнала является сильно осциллирующей функцией, поскольку ширина спектральной характеристики таких приборов сравнительно мала (порядка десятых обратного сантиметра), и измерения чувствительны к спектральному сдвигу. На рисунке 24а изображен спектральный ход измеряемого прибором AIRS излучения и монохроматического излучения, а также отмечены точки на спектре, где расположены каналы AIRS. Расчеты проведены при стандартных атмосферных условиях. Рисунок 24Ь, отображающий малый отрезок спектра, позволяет оценить величину изменения сигнала, при сдвиге частоты для двух измерительных каналов на частотах 691.66 и 691.94 обратных сантиметрах. Видно, что, например, на частоте 691.94 измеряемое излучение может меняться более чем на градус радиояркостной температуры при сдвиге частоты на 0.005 обратных сантиметра.
Обратная задача решалась методом линейной редукции, а также комбинированным методом, то есть вариационным методом с начальным приближением, получаемым методом редукции. Восстанавливались температура поверхности океана То и высотные профили температуры и влажности атмосферы, соответственно T(z) и q(z). Была смоделирована ситуация, представленная на рисунке 23. Поскольку для данного численного эксперимента все чувствительные к сдвигу частоты каналы находятся в области 690 - 800 обратных сантиметров, решено было сдвиг частоты взять равным -0.005 обратных сантиметра для всех измерений. Точность восстановления методом редукции для температуры поверхности, профиля температуры и влажности упала, соответственно, с 0.82 К, 2.03 К, 1.14 гр/кг до 0.83 К, 2.86 К, 1.19 гр/кг. Для вариационного метода ошибка увеличилась с 0.4 К, 1.94 К, 1,10 гр/кг до 0.38 К, 3.53 К, 1.17 гр/кг. Видно, что вариационный метод (нелинейный) значительно более чувствителен к ошибкам сдвига частоты по сравнению с линейным методом редукции.
Кроме того, точность восстановления температуры поверхности практически не уменьшилась при сдвиге по частоте, это может быть объяснено тем фактом, что основной источник информации о температуре поверхности - измерения в полосах пропускания, которые слабо зависят от сдвига частоты.
Первый подход при решении обратной задачи с учетом возможности сдвига частот - это выбор измерительных каналов, слабо зависящих от сдвига частоты. Например, из рисунка 246 видно, что спектральный канал на частоте 691.66 будет более чувствителен, чем канал на частоте 691.94. Однако при такой фильтрации каналов могут быть потеряны информативные компоненты предиктора.
Другой способ - учет возможности сдвига частоты при построении калибровочных множителей весовой функции (1.9.7) и оператора редукции (1.5.10). При вычислении данных статистических характеристик частота может быть случайным образом возмущена. Данный метод, однако, не учитывает возможность изменения при сдвиге частоты оператора Якоби прямой задачи, который используется при решении обратной задачи.
Похожие диссертации на Моделирование спутникового эксперимента для определения вертикальных профилей температуры и влажности атмосферы в ИК-области спектра
