Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор работ, посвященных численному исследованию уединённых волн на поверхности жидкости, и некоторые лабораторные эксперименты. 12
1.1. Численное исследование уединённых волн в двумерном случае. 12
1.2. Численное исследование уединённых волн в трёхмерном случае и некоторые лабораторные эксперименты . 14
1.3. Численное и аналитическое исследование процессов образования, взаимодействия и отражения уединённых волн от препятствий в отсутствии внешнего воздействия. 17
Глава 2. Численное исследование уединённых волн на поверхности флотирующей жидкости в узком кольцевом канале, возбуждаемых атмосферными возмущениями. 20
2.1. Исследование уединённых волн в лабораторных условиях. 20
2.2. Математическая постановка общей нелинейной задачи о волнах на поверхности флотирующей жидкости в кольцевом аэрогидроканале. 25
2.3. Нелинейные волны на поверхности флотирующей жидкости в узком кольцевом канале в приближении мелкой воды и математическая постановка конкретной задачи. 27
2.4. Неполный метод Галёркина. 30
2.5. Результаты вычислений и их обсуждение. 32
Глава 3. Численное исследование уединённых волн на поверхности флотирующей жидкости в кольцевом канале конечной ширины, возбуждаемых атмосферными возмущениями. 40
3.1. Вывод неоднородной системы Буссинеска в двумерном случае при наличии флотации. 40
3.2. Математическая постановка задачи. 42
3.3. Построение разностной схемы. 44
3.4. Результаты вычислений и их обсуждение. 46
Глава 4. Численное моделирование процессов образования и взаимодействия уединённых волн в достаточно узких кольцевом и прямоугольном каналах в отсутствии внешнего воздействия. 54
4.1. Предварительные замечания, касающиеся уравнения Буссинеска, и вывод безразмерного уравнения Буссинеска в модифицированной форме. 54
4.2. Образование и взаимодействие уединённых волн в узком кольцевом канале, движущихся в одном направлении . 58
1. Математическая постановка задачи и построение разностной схемы. 58
2. Результаты вычислений и их обсуждение. 60
4.3. Образование и взаимодействие уединённых волн, движущихся на встречных курсах в кольцевом и прямоугольном каналах малой ширины. 68
1. Математическая постановка задачи. 68
2. Результаты вычислений и их обсуждение. 69
Заключение 76
Литература 79
- Численное исследование уединённых волн в трёхмерном случае и некоторые лабораторные эксперименты
- Математическая постановка общей нелинейной задачи о волнах на поверхности флотирующей жидкости в кольцевом аэрогидроканале.
- Образование и взаимодействие уединённых волн в узком кольцевом канале, движущихся в одном направлении
- Образование и взаимодействие уединённых волн, движущихся на встречных курсах в кольцевом и прямоугольном каналах малой ширины.
Введение к работе
Как известно, к длинным гравитационным волнам на поверхности мирового океана относятся приливы, штормовые нагоны, волны цунами, а также волны, вызываемые либо атмосферными процессами (анемобарические волны), либо - нелинейным взаимодействием ветровых волн, зыби (инфрагравитационные волны) [1]. Первые три типа длинных гравитационных волн хорошо изучены. Приливы фактически определяют всю жизнедеятельность человека в прибрежных районах морей и океанов, а штормовые нагоны в значительной степени её осложняют. Волны цунами вообще представляют собой серьёзное стихийное бедствие, занимая пятое место в мире по числу жертв согласно статистическим данным за вторую половину двадцатого века [2].
Анемобарические и инфрагравитационные волны в спектре океанских волн занимают промежуточное положение между приливами и зыбью [3] и имеют характерные периоды от нескольких десятков секунд до нескольких часов, а характерные размеры - от нескольких сот метров до нескольких сот километров [1]. Долгое время значение этих волн недооценивалось, поэтому история их исследования значительно короче, чем приливов или штормовых нагонов. В странах Европы и в США интерес к данному типу длинных гравитационных волн возник только после Второй мировой войны и первоначально был связан с проблемой цунами. Было замечено, что в некоторых случаях (которые встречаются сравнительно редко) изменение метеорологических условий над поверхностью океана приводят к генерации сильных длинноволновых колебаний уровня океана [1]. В отечественной литературе такие волны получили название метеоцунамщ так как по разрушительному воздействию на побережье, длинам и периодам они сходны с сейсмическими морскими волнами цунами, характерная длина которых порядка 200 км [2], [4]. Поэтому эти два
явления иногда оказываются трудно различимыми, если отсутствует
соответствующая сейсмическая информация. Так, пакет длинных волн
(высотой до 60 см с периодами от 24 до 60 мин), замеченный 11 мая
1981 года у побережья Южной Африки, поначалу ошибочно был принят за
«обычное» цунами и даже описан в сентябрьском номере того же года
«Цунами ньюслеттер». И лишь позднее эти волны были
идентифицированы как анемобарические колебания, вызванные
прохождением глубокого циклона [1]. Однако возбуждение метеоцунами -
действительно довольно редкое явление, поскольку далеко не каждый
глубокий циклон, фронт или цуг атмосферных волн приводит к
образованию заметных поверхностных волн в океане. При каких условиях
это всё же происходит? Источники [1] и [2], обобщая многочисленные
статистические данные, указывают на резонансный механизм
возбуждения: скорость распространения атмосферных возмущений совпадает (хотя бы приближённо) со скоростью длинных гравитационных волн. В частности такой эффект привёл к генерации длинных волн на шельфе о. Лонг-Айленд 23 ноября 1953 года и 20 сентября 1958 года, а также явился причиной катастрофического нагона на Великих озёрах 26 июня 1954 года [1]. Этот тип резонанса геофизики называют резонансом Праудмена по имени исследователя, впервые подробно его описавшего [5]. При математическом описании явления генерации метеоцунами, вызываемого движущимися атмосферными возмущениями (например движущимся тайфуном) в случае двумерных волновых движений приходится отказываться от длинноволновой модели и учитывать нелинейные эффекты вследствие резонансного механизма возбуждения [2]. В [2] показано, что аналогичная ситуация встречается при рассмотрении математической задачи о возбуждении сейсмической волны цунами горизонтальной подвижкой дна, движущейся со скоростью длинных гравитационных волн. Но подвижка дна при подводном
землетрясении может перемещаться лишь в пределах зоны очага (которая является относительно небольшой), тайфун же способен передвигаться на значительные расстояния, и тогда учёт резонансных эффектов оказывается наиболее важным. При анализе теоретических и экспериментальных данных в [2] устанавливается тот факт, что на больших расстояниях при любых начальных возмущениях исследуемые волны в отсутствии внешнего воздействия должны описываться нелинейно-дисперсионной теорией. Другими словами, на значительных расстояниях волна приближённо может рассматриваться как уединённая. А это в свою очередь означает, что в резонансном случае возможно усиление уединённой волны движущимся атмосферным возмущением, возникшим на более поздней стадии (при условии одномерности распространения). Вывод упрощённой математической модели взаимодействия уединённой волны с движущимися атмосферными возмущениями приведён в [2]. Таким образом, из приведённых рассуждений однозначно следует, что в реальных условиях явление генерации метеоцунами в форме уединённой волны представляется вполне возможным.
В целом, нелинейные эффекты всегда оказываются доминирующими при подходе поверхностных гравитационных волн к берегу и тогда уже любую волну можно приближённо рассматривать как уединённую.
Определение параметров, характерезующих зарождение и распространение метеоцунами, имеет огромное значение для попыток предсказания рассматриваемого явления, поскольку при набегании на берег такая волна представляет собой серьёзное стихийное бедствие. При этом опасности подвергаются жилые постройки, автострады, линии электропередачи, а также морские нефтедобывающие вышки, расположенные на шельфе, повреждение которых грозит экологической катастрофой в шельфовой зоне. Кроме того, при набегании цунами на берег, образуется обратный грязевой поток, стекающий в море и также
наносящий урон экологической обстановке прибрежной зоны.
С учётом практической важности проблемы метеоцунами возникла
необходимость исследования процесса генерации и эволюции
анемобарических уединённых волн в лабораторных условиях. Серия таких
экспериментов была поставлена в работах [6] - [9]. С целью длительного
наблюдения за генерируемой уединённой волной в [б] - [9] использовался
кольцевой аэрогидроканал (описание экспериментальной установки
приведено в Главе 2), и в результате многократных опытов были
определены, в частности, критические параметры, характеризующие
возможность зарождения уединённых волн. Одновременно с
лабораторными исследованиями в [6] - [9] был проведён численный
эксперимент по образованию и распространению уединённых волн в
достаточно узком кольцевом канале (двумерная задача), возникающих под
действием атмосферного возмущения. При проведении численного
эксперимента предполагалось, что атмосферное возмущение представляет
собой локализованную область переменного давления,
распространяющуюся с постоянной скоростью, равной скорости длинных гравитационных волн (условие резонанса Праудмена). Эти численные расчёты явились первым шагом в большом численном исследовании уединённых волн, которому и посвящена настоящая диссертация, например численное решение конечно-разностным методом трёхмерной задачи о распространении уединённых волн в кольцевом канале произвольной ширины [10] - [12]. Лабораторные эксперименты во многом стимулировали дальнейшее численное моделирование уединённых волн, распространяющихся уже свободно (в отсутствии внешнего воздействия) и испытывающих нелинейные взаимодействия (столкновения) между собой [13], [14]. Этот вопрос подробно рассматривается в Главе 4.
В публикациях [10] - [12] численный эксперимент по моделированию анемобарических уединённых волн в кольцевом канале
проводился также и для случая флотирующей жидкости. Согласно С.А. Габову [15] под флотирующей жидкостью понимается жидкость, на поверхности которой плавают, не взаимодействующие между собой, весовые частицы некоторого вещества. Тем самым, можно рассматривать свободную поверхность такой жидкости как весомую с поверхностной плотностью распределения массы ju(x,y)>0. В геофизике подобная
ситуация встречается при исследовании гравитационных волн в той части мирового океана, где некоторые области поверхности покрыты плавающей ледовой крошкой (например волны, вызываемые схождением снежной лавины с крутого скалистого берега). С флотирующей жидкостью приходится иметь дело при очистке или обогащении минерального сырья. До появления работ [10] - [12] влияние флотации (флотирующего вещества) на параметры генерируемых уединённых волн было исследовано в лабораторных условиях [16].
Будучи основоположником теории нелинейных волн на поверхности флотирующей жидкости, С.А. Габов в своей монографии [15] указывает и на одну из первых публикаций, посвященных динамике флотирующей жидкости, которая дала мощный импульс к созданию общей теории -работу А.С. Питтерса [17] 1950 года.
В связи с вышеизложенным, в данной диссертации были поставлены следующие задачи.
Показать при помощи численных расчётов возможность образования в кольцевом канале уединённых волн, возбуждаемых атмосферными возмущениями и тем самым на качественном уровне подтвердить эффект, ранее обнаруженный в лабораторных условиях.
При проведении численного эксперимента изучить влияние флотации на параметры генерируемых уединённых волн и провести качественное
сравнение результатов вычислений с данными лабораторных наблюдений. 3. Численно исследовать процессы образования и взаимодействия уединённых волн, движущихся в одном направлении и на встречных курсах в узком кольцевом канале и - на встречных курсах - в узком прямоугольном канале в отсутствии внешнего воздействия.
Краткое содержание диссертации
Первая глава диссертации посвящена обзору публикаций, затрагивающих вопросы численного (и частично - аналитического и лабораторного) исследования уединённых волн на поверхности жидкости.
Во второй главе проводится численный эксперимент по моделированию уединённых волн на поверхности идеальной несжимаемой флотирующей жидкости в достаточно узком кольцевом канале, возникающих под действием атмосферных возмущений. Первоначально приводится описание установки, на которой были выполнены лабораторные эксперименты и перечисляются основные результаты измерений. Далее приводится математическая постановка общей нелинейной задачи (трёхмерной), которая затем значительно упрощается рассмотрением канала настолько малой ширины, что изменениями зависимых переменных вдоль радиуса канала можно пренебречь. Тогда задача становится двумерной, и при выполнении условия мелкой воды [ 15] она сводится к неоднородной системе уравнений Буссинеска в новой форме при наличии флотации. Полученная система с нулевыми начальными и периодическими граничными условиями решается численно неполным методом Галёркина. Результаты расчётов на качественном уровне сравниваются с данными лабораторных наблюдений.
В третьей главе рассматривается объёмная (трёхмерная) задача о
распространении уединённых волн по поверхности идеальной несжимаемой флотирующей жидкости в кольцевом канале, генерируемых атмосферными возмущениями. В этом случае считается, что ширина канала конечна, и форма свободной поверхности жидкости, вообще говоря, может меняться вдоль радиуса канала (математическая модель, наиболее приближённая к лабораторным условиям). При выполнении условия мелкой воды общая нелинейная задача сводится к неоднородной системе уравнений Буссинеска в двумерном случае при наличии флотации. В свою очередь, из системы Буссинеска выводится одно нелинейное дифференциальное уравнение четвёртого порядка, для которого ставятся нулевые начальные и однородные граничные условия 2-го рода. Последнее уравнение с указанными дополнительными условиями решается численно конечно-разностным методом, и на основе полученных данных определяется форма свободной поверхности жидкости в канале. Результаты вычислений сравниваются (на качественном уровне) с результатами лабораторного эксперимента.
В четвёртой главе проводится численный эксперимент по моделированию процессов образования и взаимодействия уединённых волн в достаточно узких кольцевом и прямоугольных каналах в отсутствии внешнего воздействия (флотация не учитывается). Для исследования нелинейного взаимодействия (столкновения) уединённых волн (солитонов), движущихся друг за другом и на встречных курсах в отсутствии внешнего воздействия, используется уравнение Буссинеска, которое описывает поверхностные гравитационные волны на мелкой воде и длинные волны в одномерных нелинейных решётках [18] - [20]. В случае прямоугольного канала численный эксперимент позволил наблюдать отражение уединённых волн от торцевых стенок канала.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
Научная новизна диссертации заключается в следующем.
Впервые численно решена двумерная нелинейная задача о генерации уединённой волны движущейся областью переменного давления в узком кольцевом канале в приближении мелкой воды.
Решение указанной двумерной задачи приведено для случая флотирующей жидкости.
Впервые численно решена трёхмерная нелинейная задача о генерации уединённой волны движущейся областью переменного давления в кольцевом канале произвольной ширины в приближении мелкой воды.
Трёхмерная задача решена для случая флотирующей жидкости.
Впервые поставлен численный эксперимент с уравнением Буссинеска по моделированию процессов образования и взаимодействия уединённых волн в достаточно узких кольцевом и прямоугольном каналах в отсутствии внешнего воздействия.
(а) Проведено численное исследование процессов образования и
взаимодействия уединённых волн, движущихся в одном направлении
в узком кольцевом канале.
(б) Проведено численное исследование процессов образования и
взаимодействия уединённых волн, движущихся на встречных курсах
в кольцевом и прямоугольном каналах малой ширины.
Результаты диссертации докладывались на научных конференциях Ломоносовские чтения (секция физики) в 2002 г. (два доклада) и в 2003 г., на VIII Всероссийском научном семинаре «Волновые явления в неоднородных средах» в 2002 г., на научном семинаре по вычислительной математике и математической физике, проводимом на физическом факультете МГУ под руководством профессоров А.Г. Свешникова и А.С. Ильинского, в 2003 г., на научном семинаре кафедры физики моря и вод суши физического факультета МГУ в 2003 г.
Основные результаты диссертации изложены в публикациях [7]—[14], [16].
Численное исследование уединённых волн в трёхмерном случае и некоторые лабораторные эксперименты
При постановке пространственных задач исследователи рассматривают волновые движения жидкости в неограниченных областях: либо на всей горизонтальной плоскости, либо в канале бесконечной длины (глубина слоя в обоих случаях конечна). Причём работ, посвященных изучению нелинейных волн в трёхмерном случае при наличии флотации вообще нет. По этой причине мы рассмотрим публикации, в которых область, заполненная жидкостью, не ограничена хотя бы в одном направлении, а флотация отсутствует (исключение составит одна работа чисто экспериментального характера).
Р.С. Эртекин, B.C. Вебстер и Й.Ф. Вехаузен [29] рассмотрели прямоугольный канал постоянной глубины и ширины (ось симметрии -ось Ох), над поверхностью которого в положительном направлении оси Ох с постоянной скоростью бежала волна давления. Профиль такого возмущения представлял собой изолированный импульс в обоих горизонтальных направлениях. Для описания движений жидкости в канале авторы использовали уравнения Грина - Нагди, численное решение которых конечно-разностным методом показало, что при достаточно сильном внешнем воздействии впереди возмущения образуются трёхмерные волны солитонного типа, движущиеся быстрее возмущения. Чуть позже аналогичный эффект получили С. Катсис и Т.Р. Акилас [30], проведя численные расчёты для специально выведенного вынужденного уравнения Кадомцева - Петвиашвили (вКП). В процессе исследования авторы показали, что в том случае, когда распределение давления в форме одиночного импульса ( узко направленного в поперечном направлении относительно оси канала) движется с околокритической скоростью волновой отклик на свободной поверхности описывается вКП-уравнением.
В работах [31], [33] - [35] исследовались трёхмерные поверхностные волны в отсутствии внешнего воздействия. М.Ф. Гобби, Дж.Т. Кирби и Г. Вай [31] вывели систему уравнений Буссинеска, учитывающую члены, пропорциональные квадрату параметра дисперсии, который определяется невозмущённой свободной поверхности, Я - характерная длина волны. При этом в [31] предполагалось, что слои жидкости неограничен в горизонтальных направлениях. Ю.А. Дроздова [33] предложила вывод новой формы двумерного нелинейного уравнения для нулевого члена разложения потенциала скоростей в ряд по степеням z с учётом слабой неровности дна. На основе полученного уравнения в работе [33] изучалось влияние искривления донной поверхности на распространение уединённой волны в цилиндрическом горизонтальном канале с неизменным поперечным сечением. Г. Педерсен и В. Гьевик [34] затронули проблему наката уединённых волн на относительно крутой берег (с углом наклона а 2 ), бегущих в осесимметричном канале с переменным поперечным сечением. С этой целью они вывели нелинейное уравнение для волн в канале малой глубины, учитывающее изменение площади поперечного сечения канала. Далее авторы представили результаты численных расчётов возвышения свободной поверхности и высоты наката уединённых волн на берег в случае прямоугольного поперечного сечения. П.Д. Вайдман и Р. Цахем [35] выполнили экспериментальное и численное исследование поверхностных уединённых волн, обладающих осевой симметрией. В результате лабораторных экспериментов было установлено, что изолированное возмущение превращается в осесимметричную уединённую волну с медленно меняющейся по закону г амплитудой, где г - длина радиус-ветора, проведённого из точки источника возмущения. Численный эксперимент в работе проводился с цилиндрическим уравнением КдФ, впервые выведенным С. Мэксоном и Дж. Вичелли [36] для описания волн различной природы, которое затем получил Дж.У. Майлс [37] конкретно для случая гравитационных волн на поверхности жидкости.
Математическая постановка общей нелинейной задачи о волнах на поверхности флотирующей жидкости в кольцевом аэрогидроканале.
Скорость наблюдавшихся в экспериментах уединённых волн приближенно может быть описана известной формулой [32]: где С0 = slghQ , g— ускорение силы тяжести. Отличие реальной скорости волны от величины, вычисленной по этой формуле во всех экспериментах не превышало 10%, и экспериментально определенная скорость всегда превосходила теоретическую. Анализ результатов экспериментов позволил выявить следующие закономерности процесса генерации и трансформации поверхностных уединенных волн: 1. Время образования уединенной волны зависит от скорости ветра Wa в канале и оно уменьшается при увеличении Wa (при постоянной глубине). 2. Скорость распространения уединенной волны с возрастает при увеличении глубины жидкости hQ. Так при изменении hQ от 12.0 см до 14 см (при постоянной скорости ветра 9,7 м-с ) с увеличивается от 147 см-с 1 до 159 см-с . 3. Скорость распространения уединенной волны возрастает при увеличении скорости ветра (при постоянной глубине жидкости): например, в случае h0 = 14 см, при изменении скорости ветра от 8,7 м-с до 10,7 м-с , с возрастает от 156 см-с до 164 см-с 1. Таким образом, скорость распространения наблюдавшихся уединенных волн зависела от глубины жидкости и от скорости ветра, и в наших экспериментах изменялась в пределах от 144 см -с до 164 см-с . Для исследования влияния флотации на процесс формирования и параметры уединённой волны были проведены специальные эксперименты. В кольцевой аэрогидроканал загружалось флотирующее вещество определённой массы (кубики льда, деревянные пластинки). При включении вентилятора, в отличие от случая с чистой водой, на поверхности жидкости возникали периодические волны, минуя стадию ряби.
С течением времени в канале образовывались 3—4 уединённые волны, взаимодействовавшие друг с другом, в результате чего формировалась одна устойчивая уединённая волна. Эксперименты проводились при трёх различных скоростях ветра, изменяющихся от 3.3 до 6.0 м с и для пяти различных глубин жидкости от 7 до 12 см, при этом масса флотирующего вещества изменялась от 1 до 5 кг. Анализ экспериментальных данных показал, что при малых массах флотирующего вещества исчезала стадия ряби. Дальнейшее увеличение массы приводило к исчезновению не только ряби, но и стадии периодических волн. Кроме того, при увеличении массы флотирующего вещества амплитуда генерируемой уединённой волны уменьшалась, а длина увеличивалась. После успешного проведения серии лабораторных экспериментов возникла необходимость качественного подтверждения эффекта генерации уединённой волны в кольцевом аэрогидроканале численными расчётами. С этой целью приступим к построению соответствующей математической модели. Рассмотрим общую нелинейную задачу о волнах на поверхности идеальной несжимаемой флотирующей жидкости в ограниченной области D. Считаем, что движения жидкости потенциальные, а область D ограничена твёрдыми стенками S и свободной поверхностью S. Движения жидкости будем рассматривать в декартовой системе координат, причём ось z направим вертикально вверх. Пусть уравнение S в момент времени t есть z = h0 + rj(x,y,t), где h0 -уровень невозмущённой свободной поверхности, r/(x,y,t) - возвышение свободной поверхности. Тогда для потенциала скоростей частиц жидкости Ф имеем следующую начально-краевую задачу [15]: давление, являющееся известной функцией, р = const - плотность жидкости, ju = const - поверхностная плотность флотирующего вещества, g - ускорение силы тяжести, п - вектор внешней нормали к границе области Z), а произвольная константа в динамическом условии (2.4) выбрана равной jug из соображений удобства.
Образование и взаимодействие уединённых волн в узком кольцевом канале, движущихся в одном направлении
Рассмотрим нелинейную начально-краевую задачу о свободных поверхностных волнах, распространяющихся в одном направлении в достаточно узком кольцевом канале длины /. В случае кольцевого канала под длиной / будем понимать длину окружности радиуса 0.5(R] +R2), где Rx и R2 - безразмерные внутренний и внешний радиусы канала соответственно и 1 « 1. В качестве модельного уравнения возьмём безразмерное уравнение Буссинеска (4.7). Тогда имеем: Задачу (4.8) - (4.10) будем решать численно конечно-разностным методом. Воспользуемся трёхслойной неявной схемой с весом 7 = 0.45 [49] при второй производной по х, действующей на функцию Г] в уравнении (4.8), положив а — 0 при аналогичных производных, действующих на функции г/ и г\п. Для этого в области G : [0 X I] х [0 t Т] введём прямоугольную равномерную сетку с шагами по пространству h и времени т. Обозначим через fm и (f2)m значения функций 7] и 7] в узлах сетки соответственно, где к - номер шага по t, т - номер шага под:, 0 к К, 0 т М. Тогда указанная разностная схема имеет вид (для упрощения записи нижний индекс у f временно опускаем): Учитывая условие периодичности (4.10), для решения системы (4.11) - (4.12) применим метод циклической прогонки [51]. Оптимальными значениями шагов в данном случае являются: h = 0.033, т = 5h. Численный эксперимент будем проводить при следующих условиях: сначала исследуем задачу (4.8) - (4.10) при изменении 8 от 0.011 до 0.044 и постоянном є — 0.13, затем - при изменении є от 0.2 до 0.08 и постоянном 5 = 0.024. При этом мы, естественно, учитываем, что исходные параметры а и /? являются малыми величинами одного порядка, и произведения а , а(3, /? значительно меньше самих а и /?. 2. Результаты вычислений и их обсуждение. Расчёты показали, что в зависимости от значений є и 8 начальное возмущение 7]0 (х) = 7](х, 0) с течением времени трансформируется и распадается на 2 - 4 уединённые волны различной амплитуды, движущиеся в одном направлении со скоростями, прямо пропорциональными амплитудам. Аналогичный эффект наблюдался в [39], [40] в результате численного эксперимента с уравнением КдФ.
При своём движении по окружности уединённые волны неминуемо испытывают столкновения, однако по окончании взаимодействия полностью восстанавливают свою форму подобно тому, как это описано в [39]. Результаты вычислений приведены на рисунках 22 — 27, на которых представлены графики зависимости функции Tj{xm,tk) = t]km для шести комбинаций значений є и 5 в те моменты времени tk = тк, когда начальное возмущение Г}0(х) практически полностью распалось на группу уединённых волн различной амплитуды. На рисунках 22 - 24 показаны графики T](xm,tk) при = 0.13 и J = 0.011, 0.022 и 0.044 соответственно, а на рисунках 25-27 - графики rj(xm,tk) при S = 0.024 и 5 = 0.2, 0.14 и 0.08 соответственно. Как и следовало ожидать, при фиксированном по мере увеличения S наблюдается характерное «расплывание» уединённых волн, особенно заметное для волн малой амплитуды. При возрастании д высота таких волн падает, а длина увеличивается, что в конечном счёте приводит к сокращению числа волн, на которые распадается начальное возмущение. Так, при 5 = 0.13 и = 0.011 наблюдается образование четырёх уединённых волн (рис.22), далее заметными оказываются уже три более широкие волны (рис.23) и, наконец, когда S достигает значения, в четыре раза превосходящее первоначальное, картина меняется существенно: rj0 (х) распадается на две «расплывшиеся» уединённые волны (рис.24). При фиксированном 8 = 0.024 «расплывание» уединённых волн и сокращение их числа происходит по мере убывания Є, что и отражено на рисунках 25 - 27. Эволюцию начального возмущения Т]0(х) проанализируем для случая : = 0.13, = 0.011, что соответствует а = 0.087, /3 = 0.033, ее Ur = 2.636 ( Ur = — - параметр Урсела). На рис.28 (стр. 65) штрих-пунктирной линией показан профиль функции 7оС ) который с течением времени начинает трансформироваться: на начальном этапе его передний фронт становится круче (пунктирная линия на этом же рисунке, tk=43v), а затем появляется ярко выраженный локальный максимум (сплошная линия, там же, tk=72r). Далее от главного максимума постепенно отделяется второй, меньшей высоты, что хорошо видно на рис.29 в моменты времени tk = 97г и 130г. Наконец при tk =232г начальное возмущение почти полностью распалось на четыре уединённые волны различной амплитуды, которые расположились в порядке возрастания амплитуд аналогично [39], [40] (рис.30). Если волны занумеровать в таком порядке, то на рис.31 мы наблюдаем процесс нелинейного взаимодействия волн 1 и 3, 2 и 4 (сплошная линия соответствует tk =383г, пунктирная - tk =455г). Подобные взаимодействия (или столкновения) происходят всякий раз, когда больший импульс (движущийся с большей скоростью по окружности) встречает на своём пути меньший. Однако эти взаимодействия не повторяются "бесконечное" число раз, т.к. с некоторого момента времени начинается процесс восстановления или возврата в первоначальное состояние ]0(х) в полной аналогии с результатами численного эксперимента для уравнения КдФ [39]. Причём профиль функции J](xm,tk) во время процесса восстановления как в зеркальном отражении повторяет формы кривых во все последовательные моменты распада. Так, графики на рис.32 соответствуют графикам на рис.29, а сплошная и пунктирная кривые на рис.33 представляют собой почти полное зеркальное отражение кривых, изображённых на рис.28 теми же линиями. На рис.33 хорошо видно, что в определённый момент времени (который назовём временем возврата tB) профиль 7] вернулся в исходное состояние г/0(х) (штрих-пунктирная линия). В данном случае tB = 9\1т.
Сразу заметим, что процесс восстановления является зеркальным отражением процесса распада не только в пространстве, но и во времени. Например, сплошная и пунктирная кривые на рис.32 построены при условии tk — tB — 91т и tk=tB —130г соответственно, где 91т и 130г моменты времени, в которые показаны сплошная и пунктирная кривые на рис.29, а сплошная и пунктирная кривые на рис.33 построены при условии tk=tB— 11т и tk=tB— ЛЪт соответственно, где 12т и 43г - моменты времени, в которые показаны соответствующие профили Т] на рис.28, изображённые там теми же линиями. При tk tB снова начинается процесс распада, проходящий последовательно все упомянутые выше стадии. На рисунках 34-36 приведены графики функции г\ в такие моменты времени tk, которые получаются прибавлением к tB соответственно 43г, 12т, 91т, 130г и 232г, то есть в моменты времени, в которые построены кривые на рисунках 28 - 30.
Образование и взаимодействие уединённых волн, движущихся на встречных курсах в кольцевом и прямоугольном каналах малой ширины.
Результаты численного решения задачи (4.13) - (4.15) (кольцевой канал) приведены на рисунках 37-42 (стр.72-73), на которых представлены графики зависимости функции T](xmitk) = Tjk в различные моменты времени tk —тк. На рис.37 мы видим распад начального возмущения Т](х,0) — TjQ{x) (штрих-пунктирная линия) на два основных импульса, расходящиеся в противоположные стороны (сплошная линия на этом же рисунке). Затем импульсы приобретают сильно заострённую форму, и уже становятся заметными дополнительные максимумы значительно меньшей высоты, характерезующие начало процесса распада основных импульсов на группы уединённых волн, движущихся в противоположных направлениях (рис.37, пунктирная линия). Профиль функции T]{xm,tk) в момент дальнейшего распада показан на рис.38 пунктирной линией. При tk=212z начальное возмущение rj0 (х) практически полностью распалось на две группы уединённых волн ( по две волны в каждой группе), движущиеся на встречных курсах вследствие периодичности (рис.38, сплошная линия). На рисунках 39-40 мы наблюдаем столкновение (взаимодействие) наибольших из волн (на рис.40 масштаб по оси Оу изменён), которые при tk = 320г выходят из взаимодействия, но тут же сталкиваются со встречными волнами меньшей амплитуды (рис.41). На рис.42 сплошной линией показан момент взаимодействия меньших волн, а пунктирной линией - положение групп уединённых волн, полностью прошедших процесс взаимодействия. Не трудно заметить, что по окончании взаимодействия уединённые волны восстановили свою форму.
Результаты численного решения задачи (4.13), (4.14), (4.16) (прямоугольный канал) приведены на рисунках 43 - 48 (стр. 74 - 75). Здесь также начальное возмущение с течением времени распадается на две группы уединённых волн (по две волны в каждой группе), которые следуют в противоположных направлениях. До момента столкновения основных импульсов с неподвижными стенками результаты расчётов (с учётом сдвига начального возмущения) полностью совпадают с результатами, полученными для случая кольцевого канала. Поэтому при tk 212т кривые на рис.43 идентичны кривым на рисунках 37 и 38. Далее наибольшие волны каждой группы заплёскиваются на торцевые стенки канала (рис.44, масштаб по оси Оу изменён) и после отражения сталкиваются с набегающими на стенки волнами меньшей амплитуды (рис.45, пунктирная линия). В конечном счёте обе группы после полного отражения от торцевых стенок движутся на встречных курсах (штрих-пунктирная линия на рис.45) и вступают в последовательные взаимодействия между собой. Процесс взаимодействия наибольших уединённых волн показан на рисунках: 45 (сплошная линия), 46 (масштаб по оси Оу снова изменён) и 47 (пунктирная линия). Профиль функции г\ в момент столкновения основных (наибольших) волн со встречными волнами меньшей амплитуды изображён на рис.47 сплошной линией. Затем столкновения испытывают меньшие волны (рис.48, сплошная линия), и на этом же рисунке мы видим положение уединённых волн в канале по окончании процесса взаимодействия (пунктирная линия).
Проведённая серия численных экспериментов позволила нам наблюдать тонкую структуру процессов образования и взаимодействия уединённых волн в достаточно узких кольцевом и прямоугольном каналах. В данном случае численный эксперимент оказался единственно возможным способом исследования конкретного физического явления.
