Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Литературный обзор 14
1.1. Этапы математического моделирования химико-технологических схем 14
1.2. Виды кинетических моделей 19
1.3. Оптимизация химико-технологических процессов 22
1.4. Постановка задачи 29
Глава 2. Математическая модель кинетики химической реакции. анализ корректности модели 30
2.1. Кинетическая модель сложной реакции 30
2.2. Математическая корректность постановки задачи 3G
2.3. Математическое описание процесса с переменным реакционным объемом в каталитическом реакторе 41
2.3.1 Математическая модель процесса в реакторе идеального смешения 42
2.3.2 Математическая модель процесса в реакторе идеального вытеснения 45
2.4. Вычислительный эксперимент 47
2.4.1 Построение кинетической модели процесса димеризации а-метилстирола 49
2.4.2 Математическое описание исследуемого процесса в реакторах различного принципа действия 52
2.4.3 Поиск оптимального температурного режима 56
Глава 3. Моделирование каталитического процесса с переменным реакционным объемом в каскаде реакторов 59
3.1. Математическая модель каталитического процесса в каскаде реакторов 59
3.2. Оптимизация процесса в каскаде реакторов 61
3.3. Вычислительный эксперимент 73
3.3.1 Моделирование каталитического процесса димериза-ции а-мєтилстирола в каскадах реакторов 73
3.3.2 Решение задачи этапа технологической оптимизации 76
Глава 4. Комплекс программ для моделирования процессов в каскаде реакторов 78
4.1. Структура,, функциональное назначение программного пакета 78
4.2. Этапы работы и интерфейс программы 81
4.3. Процедуры и функции программного средства 85
Заключение 94
Литература 96
- Виды кинетических моделей
- Математическое описание процесса с переменным реакционным объемом в каталитическом реакторе
- Математическое описание исследуемого процесса в реакторах различного принципа действия
- Оптимизация процесса в каскаде реакторов
Введение к работе
Математическое моделирование химических процессов и реакторов в настоящее время сформировалось в стройную систему понятий и методов, применение которых позволило решить ряд важных научно-технических проблем при разработке технологических процессов и аппаратов. Основой производства большинства химических и нефтехимических продуктов является катализ. Методологические основы моделирования каталитических процессов были заложены в работах отечественных ученых - академика РАН Г. К. Борескова [22)-(24] и чл.-корр. РАН М. Г. Слинько [75]—[78], а также зарубежных исследователей Н. А. Амундсона [92], Р. Ариса [1[—[2]. Они базировались на общей схеме математического моделирования, сформулированной академиком А. А. Самарским [73]—[74]. Несмотря на многообразие и сложность решаемых задач, методология разработки каталитических процессов и реакторов основана на структурированном, иерархическом подходе, суть которого в последовательном решении задач на различных уровнях: кинетическом, зерна и слоя катализатора, реактора, всей химико-технологической схемы в целом. При этом вся полученная информация на предыдущем уровне становится составной частью следующего. Самым первым уровнем моделирования является кинетическая модель. Содержательность кинетической модели зависит от способа ее построения.
Химические процессы сопровождаются изменением реакционного объема или числа молей реакционной среды. Ранее при моделировании химических процессов этот факт не учитывался, что приводило к неточности модели и необходимости корректировки параметров при разработках конкретных промышленных процессов. Благодаря учету изменения числа молей реакционной системы, как показано в работах А. В. Балаева, С. А. Мустафиной, С. И. Спивака, модель становится корректнее, соблюдаются законы сохранения тепла и вещества.
В настоящее время на практике задача повышения производительности химических реакторов решается не за счет увеличения их размеров, а за счет разработки новых способов ведения технологического процесса, осуществления оптимального управления. Оптимизация процессов является одним из важнейших этапов математического моделирования. Развитию методов оптимизации каталитических процессов посвящено значительное число работ А. И. Бояринова, В. В. Кафарова [21), К. Денбига [47], Г. М. Островского, Ю. М. Волина [65]—[68], В. И. Быкова 28]-[31, С. И. Спивака [80], [81], 91], С. А. Мустафиной 44], [61] и др.
Задача оптимизации каталитического процесса решается в два этапа 29]. Первый этап оптимизации каталитического процесса проводится на основе кинетической модели. Именно этот этап позволяет найти предельные показатели процесса с учетом его физріко-химических закономерностей. Второй этап — технологическая оптимизацрія, заключается в подборе оптимальных конструктивных и режимных параметров реактора: геометрических размеров, форм, узлов, скорости подачи компонентов реакции, температуры, давления, концентрации и т.д.
На практике применяются периодические и непрерывные технологии. Непрерывные технологии в каскаде реакторов более эффективны. В связи с этим моделирование каскада реакторов, разработка алгоритмов и программных комплексов их численного анализа являются актуальными. Целями диссертационной работы являются:
1. Разработка математической модели химических реакций в присутствии катализатора в каскаде реакторов, учитывающей изменение числа молей реакционной среды;
2. Разработка алгоритмов и комплекса программ компьютерного моделирования и оптимизации процессов в каскаде реакторов;
3. Проведение вычислительного эксперимента с целью технологического оформления и анализа влияния режимных параметров на динамику процесса.
Научная новизна.
• Разработана математическая модель многостадийных каталитических реакций в каскаде реакторов смешения и вытеснения, позволяющая учитывать изменение числа молей в реакционном объеме.
• Для разработанной модели сформулирована и решена задача оптимального управления с ограничениями на переменные управления и фазовые переменные.
• В качестве метода решения предложен принцип максимума Понтря-гина. Для численного решения краевой задачи принципа максимума разработаны комбинированные алгоритмы, которые реализованы программно. • Разработано программное обеспечение для расчета и оптимизации каталитических процессов с изменением числа молей реакционной среды в каскаде реакторов идеального смешения и вытеснения.
• Найден оптимальный режим,, позволяющий оценить предельные возможности каталитического превращения а-метил стирола. Найдена допустимая область изменения управляющих параметров данного процесса. Полученные расчеты позволяют предложить каскад реакторов для реализации процесса в промышленных условиях.
Практическая значимость. Разработанный программный комплекс позволяет проводить расчет каскада реакторов, а также осуществлять поиск оптимального управления в каскаде реакторов. Программное обеспечение имеет дружественный интерфейс. Программный продукт зарегистрирован в отраслевом фонде алгоритмов и программ Федерального агентства по образованию Российской Федерации (ОФАП ФАО РФ), Всероссийском научно-техническом информационном центре (ВНТИЦ).
Достоверность результатов обусловлена применением в качестве исходных посылок фундаментальных законов физики и химии. Сопоставление полученных расчетным путем результатов с экспериментальными данными показывает их удовлетворительную согласованность. Работа программного комплекса протестирована на задачах оптимального управления с известными аналитическими решениями.
Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались на: 1. Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" (Стерлитамак, 2008);
2. XX Международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях" (ММТТ-20, Ярославль, 2007);
3. Второй Международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (Воронеж, 2007);
4. Всероссийской молодежной конференции по математической и квантовой химии (Уфа, 2008);
5. Всероссийской научно-практической конференции "Обратные задачи в приложениях" (Бирск, 2008);
6. Научно-исследовательской стажировке молодых ученых "Современные информационные технологии в инженерно-научных исследованиях" (Уфа, 2006);
7. Региональной научно-практической конференции "Современные проблемы химии и окружающей среды"(Чебоксары, 2007);
8. Научных семинарах Института нефтехимии и катализа РАН (Уфа, 2005 - 2008);
9. Научных семинарах физико-математического факультета Стерлита-макской государственной педагогической академии (Стерлитамак, 2005 - 2008). Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 статей и 5 тезисов докладов научных конференций, зарегистрированы 2 программных продукта. В совместных работах постановка задачи принадлежит профессорам С. И. Спиваку и С. А. Мустафиной. Результаты, выносимые на защиту, принадлежат автору.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и 3 приложений. Полный объем составляет 127 страниц, включая приложения на 18 страницах, 23 рисунка, 10 таблиц, библиографию (101 наименование).
Во введении обоснована актуальность темы, цели и задачи исследования, новизна, практическая значимость, выносимых на защиту результатов.
В первой главе проводится обзор литературы, посвященной математическому моделированию химико-технологических схем. Описываются способы построения кинетических моделей. Рассматриваются этапы оптимизации каталитических процессов, формулируется задача оптимального управления и проводится обзор существующих методов ее решения.
Вторая глава посвящена построению кинетической модели каталитических процессов, на основании которой строятся математические модели процесса в реакторах идеального смешения и вытеснения, в частности, проведен вычислительный эксперимент по расчету процесса димеризации се-метилстирола.
В разделе 2.1 приводится общая схема построения кинетической модели каталитического процесса, учитывающей изменение мольного объема реакционной среды.
В разделе 2.2 рассматриваются вопросы математической корректности поставленной задачи, обосновано существование решения полученной системы дифференциальных уравнений с помощью теории двудольных графов.
В разделе 2.3 проводится математическое моделирование процесса с переменным реакционным объемом в одиночном реакторе.
В подразделах 2.3.1 и 2.3.2 построены нестационарные неизотермические модели каталитического процесса в реакторе идеального смешения и вытеснения соответственно.
В разделе 2.4 проведен вычислительный эксперимент по расчету процесса димеризации а-метилстирола в присутствии цеолитного катализатора.
В подразделе 2.4.1 приводится общая схема построения кинетических уравнений скоростей каталитической реакции димеризации гамети л стирол а.
В подразделе 2.4.2 проведены моделирование и расчет нестационарных нсизотермических моделей процесса димеризации а-метилстирола в реакторе идеального смешения и вытеснения.
В подразделе 2.4.3 решена задача теоретической оптимизации и найден оптимальный температурный профиль для процесса димеризации а-метилстирола.
Третья глава посвящена математическому моделированию и оптимизации каталитических процессов в каскаде реакторов.
В разделе 3.1 приводится общая схема построения математического описания каталитического процесса с переменным реакционным объемом в каскаде реакторов на основе уравнений и теплового балансов.
В разделе 3.2 сформулирована задача оптимизации каталитического процесса с переменным реакционным объемом в каскаде реакторов.
В разделе 3.3 проведен вычислительный эксперимент по расчету и оптимизации процесса димеризации сі -метилстирола в различных каскадных схемах из реакторов смешения и вытеснения.
В подразделе 3.3.1 проведены моделирование и расчет нестационарных неизотермических моделей процесса димеризации а-метилстирола в каскадах из реакторов смешения, вытеснения и их комбинациях.
В подразделе 3.3.2 решена задача технологической оптимизации в каскаде реакторов и осуществлен выбор технологической схемы.
В четвертой главе на основе вычислительных схем был создан программный комплекс на языке Delphi в среде визуального программирования Borland Delphi 7, снабженный пользовательским интерфейсом.
В разделе 4.1 описываются принципы и средства разработки, структура, особенности и функциональное назначение программного пакета, а также минимальные требования для работы с программным комплексом.
В разделе 4.2 описывается оболочка комплекса программ.
В разделе 4.3 приводится описание основных библиотек, функций и модулей программного комплекса, позволяющего моделировать и решать задачу оптимального управления для каталитических процессов с переменным реакционным объемом в каскаде реакторов. В приложениях приведены свидетельства о регистрации программных комплексов в ОФАП ФАО РФ и ВНТИЦ, таблицы и кинетических параметров процесса димеризации метилстирола и текст программы.
Виды кинетических моделей
Первым уровнем модели любого процесса или реактора является кинетическая модель, представляющая собой совокупность стадий, реакций и уравнений, характеризующих зависимости скоростей отдельных реакций от состава реагирующих веществ, температур и давлений во всей области их изменений, охватывающей практические условия реализации химико-технологического процесса [46, 48, 76, 79, 88, 89, 90]. Эти зависимости не могут быть найдены с помощью только теоретических методов и должны определяться экспериментально при отсутствии искажающего влияния на скорости реакций процессов переноса вещества и тепла.
Чтобы построить кинетическую модель сложной химической реакции, выполняют следующие операции: 1. На основе детального представления сложной реакции в виде совокупности стадий выводят модель, содержащую только исходные вещества и продукты реакции. 2. Опытным путем находят скорости реакций. 3. С учетом экспериментальных данных о кинетике химических превращений определяют константы скоростей соответствующих реакций. При построении кинетической модели и проведении опытных исследований скорости сложной реакции встречаются значительные трудности, обусловленные увеличением размерности системы и взаимосвязанностью отдельных стадий процесса. В настоящее время существуют два основных подхода к ретттению проблемы построения кинетической модели [51]: 1. Формально кинетический или макроскопический. 2. Физико-химический или микроскопический.
Макроскопический подход опирается главным образом на кинетический эксперимент, проводимый со смесью сложного состава в области температур и давлений. Основное внимание концентрируется на конкретной постановке этих экспериментов и последующей конкретной математической обработке данных. В то же время при использовании этого подхода часто возникает ситуация, в которой вид уравнений макрокинетики отвечает только требованиям адекватного описания экспериментальных данных и однозначности оценок констант и не учитывает механизм реакции.
Физико-химический подход основан на изучении элементарного акта химического превращения. Объектами исследования являются частицы (атомы, молекулы, радикалы, поверхностные соединения и т.д.). Их взаимодействие определяет отдельные элементарные стадии реакции. В результате исследования элементарных стадий выявляется детальный механизм реакции, даются характеристики промежуточных продуктов, состояния поверхности катализатора, динамики изменения свойств поверхности. Физико-химический подход дает глубокое понимание сути элементарных процессов, происходящих в реагирующей системе.
Из-за трудности идентификации промежуточных продуктов на поверхности, вследствие их малой концентрации и стабильности, в практических условиях при создании кинетических моделей имеем дело с неполной информацией. Поэтому следует говорить не об одном кинетическом уравнении или одной кинетической модели реакции, а необходимо заботиться о системах частных моделей, каждая из которых передает наиболее важные черты для решения заданной задачи в заданных условиях.
Важнейшей количественной характеристикой процесса химического превращения является скорость. Понятие скорости характеризует количество вещества, вступающего в реакцию, в единицу времени. Но поскольку в реакции принимает участие в качестве исходных и промежуточных веществ тт в качестве продуктов реакции несколько веществ, то следует говорить о скорости по некоторому компоненту.
Кинетическая модель в этом случае удовлетворяет требованию самоопределения — независимости от более высоких уровней. Так, собственно химическое взаимодействие протекает на молекулярном уровне и не зависит от более высоких уровней. Однако само оно влияет па все более высокие уровни.
Следующим этапом математического моделирования является определение оптимальных условий проведения процесса. Критерий оптимизации отражает технико-экономические показатели производства. Поэтому полная задача по оптимизации должна решаться в зависимости от общей технологической схемы и экономических характеристик данного производства. При этом необходимо найти большое число оптимальных параметров процесса: температуры, давления, соотношения компонентов реакционной смеси, конечной степени превращения, избирательности, продолжительности отдельных циклов для периодических процессов 26, 29, 61] и т.д. Для оценки эффективности проведения реакции используют такие показатели, как скорость реакции, конверсия и селективность. Скорость реакции характеризует интенсивность ее протекания. Конверсия характеризует полноту превращения данного исходного вещества и определяется как его прореагировавшая доля. Селективность характеризует эффективность проведения сложных реакций, в которых образуются целевые и побочные продукты. Селективность является показателем целевого использования исходных веществ. Ее можно определить как отношение количества исходного вещества, превратившегося в целевой продукт, ко всему количеству прореагировавшего исходного вещества.
Математическое описание процесса с переменным реакционным объемом в каталитическом реакторе
Любой химико-технологический процесс, как правило, сопровождается перемещением материальных потоков жидкостей, газа или твердых частиц [43]. Уравнения гидродинамики реальных потоков обычно очень сложны (например, уравнения Навье-Стокса для однофазных потоков) или часто не могут быть записаны в общем виде (например, для двухфазных потоков типа газ-жидкость) из-за отсутствия возможности задания граничных условий на нестационарной поверхности раздела фаз. Поэтому предположим, что движение потоков в реакторе характеризуется простейшей гидродинамической моделью „идеального смешения .
Реакторы идеального смешения могут быть непрерывно или периодически действующими. В первом случае в реактор непрерывно подаются реагенты и выводится смесь продуктов реакции и непрореагировавших реагентов. Реактор периодического действия одновременно загружают всеми видами исходных веществ или их смесью и через определенное время, необходимое для достижения заданной степени завершенности процесса, выгружают продукционную смесь. Процесс функционирования представляет собой периодически повторяющиеся циклы [65]. В современной химической технологии наблюдается тенденция отхода от периодических процессов к использованию реакторов непрерывного действия. Однако периодические процессы используются как составная часть в цепи операций, повторяющихся с циклом, постоянным по времени. Следует, также, отметить, что в периодически действующих реакторах проводятся, как правило, малотон 43 нажные процессы. В дальнейіпем в работе будем рассматривать реактор идеального смешения периодического действия.
В реакторе с перемешиванием теплосъем можно осуществить двумя путями: с помощью внутреннего змеевика и/или внешнего кожуха, используя в качестве хладоагента воду. При разработке математической модели принято, что отсутствует градиент свойств реакционной среды во всем объеме реакционного пространства в данный момент времени; процесс предполагается проводить при достаточном энергичном перемешивании (500... 600 об/мин); общая масса в РИС-П постоянна; остальные характеристики (состав, температура) изменяются лишь во времени. Отсюда следует, что химический процесс в реакторе периодического действия может протекать лишь нестационарно; реакция проводится для свежего катализатора, то есть не учитывается процесс дезактивации катализатора; процессы внутренней и внешней диффузии не тормозят протекание процесса. Это объясняется тем, что используется мелкодисперсный цеолитный катализатор с диаметром зерна 0,1мм. Наличие катализатора учитывается в значеннях кинетических констант реакции.
Поскольку значения физических величин одинаковы во всем реакционном объеме, уравнения материального и теплового балансов можно записать для реактора в целом. Уравнение теплового баланса РИС-П.
Рассмотрим математическое описание неизотермического каталитического процесса в трубчатом реакторе. При его создании примем следующие допущения: диффузия не оказывает существенного влияния на протекание процесса; распределение реакционного потока равномерно по сечению реактора; в реакторе обеспечивается идеальный контакт сырья с катализатором; ртзменение свойств катализатора во времени не учитывается, наличие катализатора учитывается в значениях кинетических констант реакции.
Математическое описание исследуемого процесса в реакторах различного принципа действия
На основе экспериментов, проведенных в Институте нефтехимии и катализа РАН (г.Уфа), в адиабатических условиях выяснилось, что реакция обладает высокой экзотсрмичностью, и разогрев в реакторе превышает . Поскольку основной целью процесса является получение линейных димеров, такой разогрев в реакторе недопустим не только из-за потери управляемости процесса, но и вследствие преимущественного образования циклических димеров. Поэтому моделирование процесса димеризации -метилстирола необходимо осуществлять в реакторах с теплосъемом, используя в качестве хладоагента воду.
Процесс димеризации -метилстирола в присутствии цеолитного катализатора является дорогостоящим и малотоннажным производством. Например, производительность по линейным димерам на ОАО „Каучук (г. Стерлитамак) составляла порядка 500 т за 2-3 месяца. Для подобного производства в основном применяются реакторы периодического действия.
На основе построенной модели процесса димеризации -метилстирола проведен вычислительный эксперимент. Графическое сравнение экспериментальных данных и расчетных, полученных с помощью математического описания, приведено на рис.2.3 и рис.2.4. Сравнение расчетных и экспериментальных данных приведено в табл.2.1—2.4.
Для поиска оптимального температурного режима ведения процесса в реакторе с неподвижным слоем катализатора в качестве критерия оп тимизации выбран максимальный выход линейных димеров ( ) в мольных долях. Тогда задача оптимального управления формулируется следующим образом: для системы дифференциальных уравнений (2.43) с начальными условиями (2.43) найти такой температурный режим , до ставляющий максимум выбранному критерию оптимизации. Для решения поставленной задачи применялись методы Ньютона и простых итераций.
Возможны два варианта ведения процесса. Первый - перед подачей в реактор подогреть сырье до температуры „зажигания (при которой начи нается заметное изменение концентраций реагирующих веществ, особенно стью является „мгновенное выделение большого количества тепла). Од нако такой подход, по-видимому, экономически не совсем целесообразен, т.к. потребует дополнительных энергетических затрат. Второй - вести про цесс при постоянной входной температуре сырья . Естественно, что все сложности такого варианта связаны с пуском реактора. На начальном этапе внутренний змеевик необходимо использовать в качестве подогрева теля, подавая в него перегретый пар, и только после „зажигания процесса использовать его непосредственно для съема тепла и охлаждения реакци онной массы, подавая холодную воду. Реализация подобного режима в одном реакторе вызывает затруднения, с технологической точки зрения, ввиду быстрого изменения температуры в реакторе. При этом в начале хладоагент используется для разогрева реакционной смеси (водяной пар), а затем для снятия выделяющегося тепла (холодная вода). В связи с этим возникла задача реализации оптимального режима в каскаде реакторов. В этом случае в первом реакторе смесь доводится до температуры "зажигания", а во втором реакторе осуществляется теплосъем.
Химический реакторы всегда работают совместно с другими аппаратами и машинами: насосами и компрессорами, массообменной аппаратурой (ректификационными колоннами, адсорберами и десорберами, конденсаторами и т.д.), тепловоіі аппаратурой (теплообменниками, нагревателями, котлами—утилизаторами и т.п.), смесителями, сепараторами и другими аппаратами. Эти аппараты, соединенные между собой определенным образом системой трубопроводов, образуют химико-технологическую схему. В схему могут входить несколько аппаратов одного и того же функционального назначения, например реакторов.
Так, например, при проведении экзотермических реакций тепло реакции отводится с помощью внутренних или выносных холодильников. Тогда при переходе на непрерывный процесс в целях интенсификации и улучшения состава реакционной массы при необратимых последовательно-параллельных реакциях эффективнее применять каскад реакторов [95]. Использование каскада реакторов может существенно уменьшить стоимость производства.
Оптимизация процесса в каскаде реакторов
Рассмотрение всей технологической схемы, а не отдельных аппаратов, наиболее правильно и позволяет получить наибольший экономический эффект. Действительно, значения варьируемых параметров, являющиеся оптимальными для каждого аппараты в отдельности, могут быть не оптимальными для всей схемы в целом. Естественно, такой подход связан с определенными вычислительными трудностями [65].
Используя динамическое программирование, рассмотрим сначала последнюю стадию процесса. Основная идея заключается в том, что поток изменяется на каждой стадии процесса, но какой бы ни был режим работы на всех стадиях до последней, если на последней стадии режим работы не будет оптимальным по отношению к поступающему на нее продукту, то он не будет оптимальным в целом [2]. Итак, первый шаг состоит в определении такого режима работы, который максимизирует доход на этой стадии для любых возможных состояний продукта. Таким образом, максимальный доход от двух стадий задается так:
Чтобы найти максимум, необходимо варьировать условия работы лишь на первой из двух стадий.Таким образом построим полный оптимальный режим постадийно. Изложенный принцип применяется во многих отраслях химического производства [2J.
Сформулируем задачу оптимизации. В системе дифференциальных уравнений (3.1) — (3.3), описывающих каталитический процесс, вектор (концентрации веществ, относительное изменение реакционного объема) являются переменными состояния (абсолютная температура) в зависимости от постановки задачи оптимизации может рассматриваться в качестве фазовой переменной и тогда (температура хладо-агента) — управляющая переменная, значение которой можно изменять по ходу реакции, или саму переменную можно рассматривать в качестве управления. Отсюда возникает задача оптимального управления [11]. Определить оптимальный температурный режим процесса, описываемого системой (3.1) —(3.2) с граничными условиями (3.4) —(3.5), доставляющий экстремум выбранному критерию оптимальности, с учетом ограничений (3.6) - (3.7).
Критерий оптимальности в зависимости от постановки задачи для конкретной каталитической реакции может иметь, следующий вид: задача о максимальном выходе -го продукта; цел задача о максимальном выходе нескольких целевых продуктов; цел поб задача о максимальном выходе целевых продуктов при минимальном выходе побочных продуктов. Обобщим сформулированные критерии в следующем виде (3.8) выражающем максимальный выход целевых продуктов или минимальное содержание примесей в зависимости от коэффициентов (положительных или отрицательных). Также можно задать некоторый экономический критерий, тогда коэффициенты становятся стоимостными коэффициентами реагентов.
Решение двухточечной краевой задачи (3.9) —(3.13) определяется из условия максимума функции яр у по управлению. Таким образом, задача определения оптимального управления с по мощью принципа максимума сводится к решению краевой задачи для си стемы дифференциальных уравнений -го порядка. Одним из наиболее распространенных методов решения указанной краевой задачи являются методы последовательных приближений (метод итераций) в про странстве управлений, метод Ньютона, метод линеаризации и др.
Для решения этой системы можно воспользоваться итерационным методом Ньютона решения систем нелинейных алгебраических уравнений [25, 87], согласно которому на каждой итерации требуется определять значения частных производных что является одним из недостатков данного метода. Во-первых, в случае поиска численных значений частных производных с помощью конечных разностей, для проведения одной итерации систему (3.16) -го по рядка придется решать раз. Во-вторых, при решении системы урав нений (3.16) в каждый момент времени приходится в общем случае нахо дить максимум функций при наличии ограничений (3.19). В общем случае это задача решается методами „спуска [38]. Причем, чем больше требуемая точность определения максимума, тем больше время поиска. В связи с этим в работе [67] рассматриваются аналитические методы вычис ления производных. Поскольку или у у не имеют физического смысла, вопрос о выборе начального приближения для них может вызвать определенные затруднения. Одним из способов преодоления возникших трудностей является применение методов первого порядка [67]. В этом случае можно поступить следующим образом. Проинтегрируем систему уравнении (3.16) в обратном направлении от до и решим полученную задачу аналогичным методом.
Поскольку величины , являющиеся выходными пере менными процесса, имеют физический смысл, то в данном случае проще задать для них начальное приближение, исходя из физических соображений.
Алгоритм метода последовательных приближений. Данный способ решения задачи оптимального управления рассматривается в работах [21, 37]. Этот метод метод является разновидностью описанного выше метода Ньютона. Задача поиска корней системы нелинейных уравнений (3.23) сводится к эквивалентной задаче поиска минимума функции конечного числа переменных.
После того как начальные значения для функций заданы, решается задача Коши для системы дифференциальных уравнений (3.16), при этом на каждом шаге интегрирования оптимальное управление ищется из условия максимума (3.17). В результате находится некоторое решение системы уравнений (3.16), определяющее траекторию , которая, вообще говоря, не проходит через заданную конечную точку (3.13). При этом важно установить момент прекращения численного интегрирования для принятой совокупности значений (3.20), поскольку оно становится бесполезным после того, как траектория достигла минимального рассогласования с конечной точкой, заданной условиями (3.13), и это рассогласование начинает увеличиваться. Поэтому в процессе численного интегрирования нужен контроль за степенью приближения получаемой траектории к заданной конечной точке.
Похожие диссертации на Математическое моделирование и численное исследование каталитических процессов в каскаде реакторов
