Введение к работе
Актуальность темы исследования
Тема исследования является актуальной в свете ряда обстоятельств.
Во-первых, математические науки в современном мире приобретают все больше значение для человека и его развития, математика все более полно проникает в естественные, гуманитарные, медицинские, технические и другие научные отрасли и это проникновение оказывается неизменно успешным. В связи с этим, выявление места и роли математики в системе наук, выявление связи математических истин и объектов с действительностью и процессом познания выступает в качестве важнейшей задачи, решение которой вполне способно ускорить процессы математизации и развития науки в целом.
Во-вторых, проблемы оснований математики, в том числе ее онтологического и гносеологического обоснования интенсивно разрабатываются со второй половины XIX века, благодаря чему на сегодняшний день существует обширнейшее наследие философско-математического, методологического характера, оценка, обобщение и выявление позитивных компонент, перспективных тенденций которого является важной и далеко еще не решенной задачей философии науки (философии математики, в частности) и истории философии.
В-третьих, ситуация с программой формализма в основаниях математики и, прежде всего, в ее философской составляющей, оказывается в настоящий момент весьма неоднозначной. С одной стороны, цели формализма, история развития, мнения его представителей по разным, в том числе онтологическим и гносеологическим вопросам обоснования математики достаточно обстоятельно исследованы в работах отечественных и зарубежных авторов. Однако известно, что полностью реализовать программу формализма оказалось невозможным, из чего следует, что философско-методологические установки этого течения, а именно – представления о природе математики, ее связи с действительностью и процессом познания, в интерпретации представителей формализма, не вполне соответствуют настоящему положению дел. В то же время, формализм выступает в качестве одного из наиболее значимых течений, оказавших огромное влияние на дальнейшее развитие математики и ее оснований. В связи с этим естественно возникает вопрос о причине влиятельности формализма, изначально опирающегося, как принято считать, на неточные установки и представления. Этот вопрос в качестве наиболее значимой составляющей, на наш взгляд, включает в себя следующую проблему: как могут быть на сегодняшний день интерпретированы онтологические и гносеологические основы математики посредством анализа способов содержательного введения и функционирования базисных математических понятий в концепциях формализма, а также посредством анализа развития этого течения?
Данная проблема, на наш взгляд, входит в состав проблем, актуальность которых основывается на вышеперечисленных положениях, и в настоящее время не имеет развернутого решения.
Степень научной разработанности проблемы.
Тема диссертации связана, прежде всего, с различными подходами к осмыслению наследия математического формализма. Программа формализма анализируется во множестве работ отечественных и зарубежных авторов.
Это исследования, направленные на рассмотрение проблем теоретико-множественного обоснования математики, путей преодоления трудностей «наивной» теории множеств, с выявлением позитивного вклада программ формализма, логицизма и интуиционизма. Работы, связанные с проблемами методологии науки вообще и математики в частности, в которых происходит осмысление эволюции аксиоматического метода, осмысление роли метатеории в математических дисциплинах. К числу авторов таких исследований относятся И. Бар-Хиллел, Б.В. Бирюков, Л.Г. Бирюкова, В.Н. Брюшинкин, Ван Хао, М. Даммет, В.Н. Катасонов, В.Я. Перминов, Г.И. Рузавин, Р. Столл, А. Френкель, В.В. Целищев, А. Чёрч, С.А. Яновская и др.
Труды, посвященные логическим, семиотическим и методологическим аспектам развития математики и науки в целом, таких авторов как В.Ф. Асмус, А.В. Бессонов, Н. Бурбаки, Г. Генцен, К. Гёдель, И.Н. Грифцова, А.С. Есенин-Вольпин, А.С. Карпенко, Х.Б. Карри, С.К. Клини, У. Куайн, И. Лакатос, Я. Лукасевич, В.Т. Мануйлов, А.А. Марков, П.С. Новиков, В.Я. Перминов, Е.Д. Смирнова, А.Л. Субботин, В.А. Суровцев, Г. Фреге, В.В. Целищев, А. Чёрч и др.
Работы, посвященные рзработке историко-философских аспектов развития математики, исследованию философско-математических течений и программ обоснования, таких авторов как Б.В. Бирюков, А.Ф. Грязнов, В.Н. Катасонов, М.С. Козлова, В.И. Колядко, А.Ф. Кудряшев, З.А. Кузичева, Г.Г. Майоров, П. Мартин-Лёф, В.В. Мороз, М.И. Панов, А.А. Побережный, А.В. Родин, В.А. Шапошников, А.П. Юшкевич и др.
Исследования, освещающие современную ситуацию в философии математики, выявляющие перспективы ее дальнейшего развития и, в том числе, роль формализма Гильберта в этом развитии. Это работы таких авторов как А.Г. Барабашев, М. Детлевсон, М.И. Панов, В.Я. Перминов, З.А. Сокулер, В.В. Целищев, С. Шапиро и др.
При разработке темы диссертации использовались результаты, содержащиеся в учениях, работах таких классиков и выдающихся представителей мировой философии и науки, как Аристотель, П. Бернайс, Г. Вейль, Л. Витгенштейн, А. Гейтинг, К. Гёдель, Д. Гил ьберт, Р. Дедекинд, Р. Декарт, Евклид, И. Кант, Г. Кантор, Р. Карнап, А.Н. Колмогоров, Р. Курант, Г. Лейбниц, А.Ф. Лосев, К. Маркс, Папп, Прокл, А. Пуанкаре, Б. Рассел, Г. Фреге и др.
Тема диссертации связана с работами, в которых исследуются проблемы математизации человеческого знания, гуманизации математических дисциплин, связи математики с другими научными областями, с трудами, посвященными философско-методологическим проблемам физических наук и естествознания в целом, таких авторов как В.В. Аристов, Е. Вигнер, А.В. Волошинов, О.А. Габриелян, В.И. Жог, В.П. Казарян, О.И. Кедровский, В.Н. Князев, А.Н. Кочергин, М.А. Розов, Г.И. Рузавин, В.А. Успенский и др.
Формирование установок и представлений, выступающих основами диссертационного исследования, связано также с результатами отечественных исследователей философско-методологических проблем науки и теории познания. Это работы таких авторов как В.И. Аршинов, В.Ф. Асмус, П.П. Гайденко, Д.П. Горский, И.Т. Касавин, Л.М. Косарева, А.Н. Кочергин, В.А. Лекторский, Л.А. Микешина, А.П. Огурцов, Б.И. Пружинин, В.Н. Садовский, Ю.В. Сачков, Ю.С. Степанов, В.С. Степин, В.С. Швырев, Я.С. Яскевич и др.
Наконец, тема диссертации связана с современными отечественными исследованиями, направленными на разработку теоретико-познавательных и онтологических проблем математического знания на настоящем этапе развития науки, философии, методологии. Это труды таких авторов как Е.И. Арепьев, Г.Б. Гутнер, С.Л. Катречко, А.В. Коганов, А.Н. Кричевец, А.Ф. Кудряшев, В.Я. Перминов, В.В. Целищев и др.
Вместе с тем, развернутого исследования бытийных и познавательных установок программы формализма, на основе принятия установки о наличии трех равноправных компонент фундамента математического знания – логической, арифметической и геометрической, а также попыток реконструкции идей этого течения для построения интерпретации, раскрывающей связь логических, арифметических и геометрических истин и объектов с действительностью и процессом познания, до настоящего времени не предпринималось ни в отечественной, ни в зарубежной литературе. Данная диссертация, таким образом, призвана до определенной степени заполнить пробел в рассматриваемой проблемной области.
Цель и задачи диссертационного исследования
Целью диссертационного исследования является выявление, развитие и реконструкция онтологических и гносеологических оснований математики в программе формализма.
Реализация цели предполагает решение следующих задач:
— раскрытие современной проблемной ситуации в осмыслении онтологических и гносеологических установках программы формализма;
— выявление предпосылок формализма в эволюции математического знания, экспликация историко-философских предпосылок математического формализма;
— интерпретация онто-гносеологических основ содержательного введения логических базисных понятий в формализме;
— истолкование онто-гносеологических основ содержательного введения арифметических базисных понятий в формализме;
— выявление онто-гносеологических основ содержательного введения геометрических базисных понятий в формализме;
— построение интерпретации онтологических и гносеологических принципов формалистского обоснования математики в свете современной ситуации в математическом знании и его философских основаниях.
Научная новизна исследования
В работе реализуется новый подход к осмыслению, развитию и реконструкции философско-математического наследия программы формализма. Он состоит в следующем:
- принята установка о наличии в основах математики как минимум трех сущностно первичных и самостоятельных компонент – арифметической, геометрической и логической;
- выявлено, что возникновение формалистской программы обоснования математики обусловлено теоретическими предпосылками в истории математики и философии, начиная с античности;
- обосновано, что теоретико-познавательное и онтологическое значение логической составляющей математики в формалистской трактовке предполагает, во-первых, априорную заданность и объективность логических истин, неотъемлемость логической компоненты в формировании научных (математических) областей знания; во-вторых, наряду с логической составляющей, необходимость содержательного понятийного аппарата, специфического для самой области; в-третьих, отражение логической компонентой связей между понятиями и принципами, соответствующими фактам, отношениям, объектам и явлениям изучаемой области действительности;
- выявлено, что арифметическая составляющая математического знания в трактовке формализма может быть интерпретирована как равнозначная с логическими и геометрическими фундаментальными компонентами в онтологическом и гносеологическом плане; что исходные арифметические объекты и истины фундаментальны для математики, что они являются абстрактным и априорно заданным отражением объективных свойств действительности;
- обосновано, что содержательные установки формалистского построения математики аргументируют несводимость геометрической компоненты к логической и арифметической компонентам, указывают на то, что она может трактоваться с реалистических позиций, позволяют признать априорность, включенность в структуру разума базисных геометрических понятий, истин и интуиций;
- выявлено, что в философско-методологическом аспекте связь результатов Геделя (теорем о неполноте) с формализмом состоит в том, что они подтвердили уже признанную Гильбертом онтологическую и гносеологическую значимость арифметической и геометрической компонент математики, а также недостаточность логической компоненты, несводимость к ней всех основ математики.
Теоретическая и практическая значимость работы
Теоретическая значимость диссертации определяется тем, что ее результаты дополняют картину онтологического и гносеологического истолкования природы математического знания, расширяют методологический аппарат исследования проблем философии науки, способствуют более глубокому и целостному осмыслению философского наследия программы формализма. Положения и выводы, полученные в настоящей работе, позволяют более полно оценить значимость её результатов.
Результаты диссертации могут применяться в разработке проектов, связанных с проблемами обоснования математического и научного знания в целом, программ, затрагивающих историко-философские аспекты осмысления оснований математики, в исследованиях по истории философии и истории математики.
Апробация диссертации
Основная часть задач настоящего исследования вошла в содержание научно-исследовательского проекта «Онтологические и гносеологические основы математического знания в направлениях философии математики конца XIX–XX столетия», получившего поддержку РГНФ, грант № 08-03-00049а (продолжающийся коллективный проект, в котором автор является исполнителем). Результаты, полученные автором и входящие в данную диссертацию, отражены в публикациях (в том числе центральных периодических изданиях, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертационных исследований).
Результаты диссертационного исследования апробированы также на научных конференциях, в частности, на международной научной конференции «Философия математики: актуальные проблемы» - (Москва, 28-30 мая 2009 г.); на международной научной конференции «Философия математики: актуальные проблемы» - (Москва, 15-16 июня 2007 г.); на всероссийской научной конференции «Проблема свободы личности и общества в социально-гуманитарном дискурсе» - (Курск, 16-17 мая 2006 г).
Структура диссертации
Структура диссертационного исследования определяется его целью и задачами. Работа состоит из введения, двух глав, включающих в себя три и четыре параграфа, соответственно, заключения и списка литературы.
