Содержание к диссертации
Введение
1. Использование базиса уравнений ур в методах анализа и комплексной оптимизации ур ЭЭС 13
1.1. Задачи и методы анализа и комплексной оптимизации УР ЭЭС. Базис уравнений УР ЭЭС 13
1.2. Связь базиса уравнений УР с имитацией управления ЭХ ; 21
1.3. Задачи и методы выбора и смены базиса 28
Выводы 38
2. Аналитические методы смены и оптимизаций базиса .. 39
2.1. Роль базиса при решении уравнений УР методами ньютоновского типа 39
2.2. Оптимизация базиса при расчете УР без учета ограничений в форме неравенств...?. 42
2.3. Экспериментальное исследование оптимизации базиса при расчете УР без учета ограничений
в форме неравенств 46
2.4. Оптимизация базиса при расчете допустимых и оптимальных УР 52
2.5. Определение существенных и несовместных ограничений ... 57
2.6. Экспериментальное исследование оптимизации базиса с целью облегчения учета ограничений в форме неравенств 66
2.7. Достоинства и недостатки аналитических методов смены и оптимизации базиса. Область практического применения 72
Выводы 75
3. Топологические методы выюра, смены и оптимизации базиса 77
3.1. Выбор исходного базиса 77
3.2. Смена базиса 86
3.3. Критерии оптимальности. Оптимизация базиса... 94
3.4. Решение задачи выбора оптимального базиса... 101
3.4.1. Нахождение исходного паросочетания... 103
3.4.2. Нахождение паросочетания В« с числом ребер на I большим, чём у исходного паросочетания В (решение задачи сме-
ны оптимального базиса) 105
3.5. Сравнение некоторых методов, позволяющих решать задачи выбора и смены оптимального базиса в виде задачи о назначении ИЗ
3.6. Методы выбора и смены базиса в программах серии СДО 119
Выводы 123
4. Практическое использование методов выбора, смены и оптимизации базиса в ПВК СДО-5 127
4.1. Основные принципы использования 127
4.2. Учет имеющихся в ЭЭС возможностей регулирования напряжения и перетоков активной мощности . 129
4.2.1. Обобщенный алгоритм определения компонент векторов уравнений и переменных.. 132
4.3. Программная реализация 134
4.4. Эффект от использования 138
5. Заключение 140
6. Литература
- Задачи и методы анализа и комплексной оптимизации УР ЭЭС. Базис уравнений УР ЭЭС
- Роль базиса при решении уравнений УР методами ньютоновского типа
- Критерии оптимальности. Оптимизация базиса...
- Учет имеющихся в ЭЭС возможностей регулирования напряжения и перетоков активной мощности
Введение к работе
В решениях ХХУІ съезда КПСС указывается [i] , что "основным направлением развития энергетики в СССР является создание объединенных энергосистем и дальнейшее формирование Единой энергетической системы, а также разработка и реализация вопросов, связанных с повышением надежности работы этих энергосистем и улучшением качества электроснабжения потребителей".
Надежность и экономичность работы современных энергосистем могут быть обеспечены только при комплексном решении задач управления. В этой связи большое значение имеет разработка автоматизированных систем диспетчерского управления - АСДУ режимами электрических систем.
В настоящее время осуществляется переход от отдельных программ к созданию больших комплексов, позволяющих производить всесторонние исследования энергосистем. Такие комплексы требуют разработки специальных организационных принципов. Под руководством ЦДУ ЕЭХ СССР создается вычислительный комплекс ВК АСДУ для отраслевой автоматизированной системы управления производством ОАСУ "Энергия" [2І . Целью ВК АСДУ является согласование всех видов расчетов при использовании единой информационной базы.
Существующая концепция управления ЭХ предусматривает возможность декомпозиции основной задачи управления на ряд более простых задач. Одним из видов декомпозиции является ситуативная, при которой характерные свойства ЭЭС определяются ее режимами -нормальными, утяжеленными, аварийными и послеаварийными [з] . Такая классификация применительно к установившимся режимам (УР) ЭХ может быть положена в основу создания комплексных математических моделей.
Актуальность. В настоящее время в методике расчетов режимов ЭХ сложилось положение, когда ее развитие происходит в двух направлениях, которые определяются требованиями, предъявляемыми к ним АСДУ ЭЭС: первое - создаются упрощенные методы, позволяющие быстро получать решение задачи в ущерб точности решения, и второе - методы, обладающие высокой точностью получаемых решений, но требующие больших затрат времени. Оптимальным с точки зрения задач АСДУ будет метод, обладающий достоинствами обоих направлений. Одним из путей создания таких методов можно рассматривать совершенствование методов второго направления. По такому пути ведутся многочисленные работы как у нас в стране, так и за рубежом. Причем большинство методов расчетов УР ЭЭС, в основном, совершенствуется за счет применения в своих вычислительных схемах различных эффективных математических методов. Такой подход приводит к тому, что происходит определенное сближение методов, в результате чего в настоящее время в большинстве методов используется, по сути дела, вычислительная схема обобщенного метода приведенного градиента (ОМПГ) [4] .
Под руководством СЭИ СО АН СССР рядом организаций СССР разрабатывается программно-вычислительный комплекс (ПВК) СДО-5
85J , предназначенный для расчетов нормальных, утяжеленных и послеаварийных УР ЭЭС. Имеется решение Г2І , что СДО-5 будет использоваться в ВК АСДУ для решения задач анализа и комплексной оптимизации УР ЭЭС.
Основу единого математического аппарата в СДО-5 составляет ОМПГ. Одним из специфических свойств ОМПГ, отличающих его от большинства других методов, является использование в вычислительной схеме методов выбора и смены базиса. Последние используются, во-первых, как основное средство для учета ограничений в форме неравенств, наложенных на параметры режима, и, во-вторых, как одно из основных средств повышения эффективности расчетов в целом (например, для более точной имитации реальных физических процессов, протекающих в ЭХ, для более надежной сходимости ОМПГ, для минимизации количества вычислительных операций и т.п.).
Цели работы можно сформулировать следующим образом: выявление достоинств и недостатков существующих методов выбора и смены базиса, классификация этих методов; исследование влияния базиса уравнений УР на решение задач анализа и комплексной оптимизации УР ЭЭС; разработка, исследование и внедрение в рамках ПВК СДО-5 новых более эффективных критериев и алгоритмов выбора и смены базиса.
Научная новизна в подходах к достижению поставленных целей заключается в том, что на основе экспериментальных исследований установлено большое влияние оптимизации базиса уравнений ур на сходимость методов ньютоновского типа при расчете предельных режимов, характеризующихся плохо обусловленной матрицей Якоби, а также на сходимость ОМПГ при расчете допустимых и оптимальных режимов; разработан метод определения существенных и несовместных ограничений в форме неравенств, наложенных на зависимые параметры режима; разработана постановка задач выбора, смены и оптимизации базиса на графе уравнения-переменные; разработаны критерии оптимальности базиса и показано, что их использование позволяет значительно ускорить процесс решения задач анализа и комплексной оптимизации УР ЭЭС; разработан топологический метод решения задачи выбора оптимального базиса в виде известной в теории графов задачи о назначении;
6) разработана методика имитации имеющихся в ЭХ возможностей регулирования напряжения и перетоков активной мощности.
Практическая ценность работы. Разработанные методы и алгоритмы реализованы в ПВК СДО-5 для ЭВМ БЭСМ-6 и Единой серии в виде подпрограмм выбора и смены базиса. Использование этих подпрограмм позволяет достаточно точно учитывать имеющиеся в энергосистемах возможности регулирования напряжения и перетоков активной мощности; определять наиболее существенные ограничения в форме неравенств и минимизировать их число, а также судить о наличии или отсутствии допустимой области УР; рассчитывать УР вблизи границы расчетной устойчивости; с большой эффективностью учитывать ограничения в форме неравенств при расчетах допустимых и оптимальных УР. Кроме того, разработанные методы выбора и смены базиса могут быть легко реализованы в вычислительной схеме любой дрзггой современной программы расчета УР, использующей для решения системы нелинейных уравнений метод ньютоновского типа.
На защиту выносятся: экспериментальные исследования эффективности различных методов выбора и смены базиса; три крит метод определения существенных и несовместных ограничений; постановка задач выбора, смены и оптимизации базиса в виде задач на графе уравнения-переменные, при которой наиболее общей является задача выбора оптимального базиса; метод решения задачи выбора оптимального базиса; программная реализация методов и алгоритмов выбора и смены базиса.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на конференциях молодых ученых Сибирского энергетического института СО АН СССР (Иркутск, 1974, 1976, 1978 гг.); на Всесоюзных совещаниях "Управление ЭХ с помощью ЭВМ 3-го поколения" (Свердловск,1976 г.) и "Разработка программных комплексов для анализа и управления установившихся и переходных режимов энергосистем на ЕС ЭВМ" (Таллин, 1979 г.); на Всесоюзном семинаре "Оптимизация энергетических режимов электростанций и энергосистем" (Фрунзе, 1982 г.); на восьмой Всесоюзной научной конференции "Моделирование электроэнергетических систем" (Баку, 1982 г.); на Всесоюзном научно-техническом семинаре "Советчики диспетчера для управления режимами ЭХ" (Иркутск, 1983 г.) и др.
Реализация полученных результатов. ПВК СДО-5 используется в настоящее время для решения задач анализа и комплексной оптимизации УР ЭХ в ВГПИ и НИИ "Энергосетьпроект" и его отделениях (Сибирском, Среднеазиатском, Киевском, Горьковском и др.), а также в РЭУ "Иркутскэнерго". Сведения о внедрении прилагаются. Годовой экономический эффект от использования ПВК СДО-5 составляет около 50 тысяч рублей.
Имеющиеся публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано б работ [15, 61, 68-70, 85І .
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех основных разделов и заключения, изложенных на 143-х страницах машинописного текста, содержащего в том числе 18 рисунков и 3 таблицы, а также из 13-ти страниц двух приложений. Список литературы содержит 86 наименований.
В разделе I рассматривается использование базиса уравнений УР в методах анализа и комплексной оптимизации УР ЭХ. При этом в разделе I.I рассмотрена роль базиса уравнений при примене- ний так называемой второй формы математического описания задач анализа и комплексной оптимизации УР ЭЭС, а также особая роль методов выбора и смены базиса в ОМПГ. В разделе 1.2 показано, что следствием адекватного отражения базисом уравнений УР тех степеней свободы, которые имеются в энергосистемах для управления режимами, является возможность использования методов выбора и смены базиса для имитации реальных физических процессов, протекающих в ЭХ, и, в частности, для имитации имеющихся в ЭЭС возможностей регулирования напряжения и перетоков активной мощности. В разделе 1.3 рассмотрены неформальные постановки задач выбора и смены базиса; показано, что смена базиса использовалась при расчетах УР не только в рамках ОМПГ, но и в рамках других методов; установлено, что разработанные в рамках ОМПГ методы выбора и смены базиса можно разделить на два типа - аналитические и топологические.
Так как с точки зрения математического описания аналитические и топологические методы сильно отличаются друг от друга, обзор у них производится по отдельности и вынесен в соответствующие разделы - 2 и 3.
Аналитические методы наиболее полно разработаны и представлены в [4] - см. также [72, 73, її] . В данной работе, в разделе 2, аналогичные подходы развиваются дальше. В разделах 2.2 и 2.4 рассмотрены в основном известные критерии оптимальности базиса. При этом главное внимание уделено их объяснению, обоснованию и геометрической интерпретации, т.к. в первоисточниках этим вопросам обычно отводится мало места. В разделе 2.5 разработаны критерий оптимального с точки зрения удовлетворения ограничений в форме неравенств базиса и метод определения существенных и несовместных ограничений в форме неравенств, наложенных на зависимые параметры режима. Эффективность рассмотренных критери- - II - ев и методов исследована в разделах 2.3 и 2.6.
Впервые формализованные топологические методы для выбора и смены базиса используются в J67J - см. также [55, бб] . В этих работах задача выбора базиса была сведена к задаче нахождения максимального паросочетания в двудольном графе (уравнения-переменные) , для решения которой предлагалось применение прадерева перебора базисов [67, 55 J и метода ветвей и границ [55J . В связи с тем, что оба эти метода обладали чрезмерной громоздкостью и трудоемкостью, они не были реализованы в программах расчета УР ЭХ, а был реализован метод окаймляющих множеств (см. раздел 3.1). При использовании последнего все решение производится на графе сети, причем смена базиса сводится к выбору базиса при новых условиях. Как выяснилось на практике (подробнее см. раздел 3.1), такая методика обладает довольно значительными недостатками.
В данной работе задачи выбора (раздел 3.1) и смены базиса (раздел 3.2) сведены к задачам нахождения максимального паросочетания на графе уравнения-переменные на основе исходного паросочетания. Показано, что при такой постановке смена базиса является частным случаем выбора базиса и поэтому может быть реализована значительно проще. Произведено определенное слияние подходов, применяющихся в рамках аналитических и топологических методов. Для этого в разделе 3.3 разработаны два специальных критерия оптимальности базиса, с помощью которых задача оптимизации базиса сведена к известной в теории графов задаче о назначении. Показано (раздел 3.3), что и с использованием этих критериев задача смены оптимального базиса является частным случаем задачи выбора оптимального базиса. В связи с тем, что при таких постановках из всех задач (выбора, смены, выбора оп- тимального и смены оптимального базиса) наиболее общей является задача выбора оптимального базиса, для ее решения в разделе 3.4 разработан специальный метод. Для этого метода доказана сходимость и оптимальность в смысле используемых критериев решения. В разделе 3.5 этот метод (детальное описание см. в приложении - раздел 7.1) сравнивается с одним из самых эффективных методов решения задачи о назначении (описание см. в разделе 7.2). При этом показывается, что применительно к расчетам УР ЭЭС разработанный метод требует меньшего количества вычислений.
В разделе 4 рассматривается практическое использование методов выбора, смены и оптимизации базиса в ПВК СДО-5. При этом в разделе 4.1 рассмотрены основные принципы использования; в разделе 4.2 разработана методика учета имеющихся в ЭХ возможностей регулирования напряжения и перетоков активной мощности, основанная на применении топологических методов выбора и смены базиса; в разделе 4.3 даны основные сведения о программной реализации, а в разделе 4.4 - эффект от использования. - ІЗ -
Задачи и методы анализа и комплексной оптимизации УР ЭЭС. Базис уравнений УР ЭЭС
В практике эксплуатации ЭЭС, а также для проектных и исследовательских работ важнейшее значение имеют расчеты УР. Данный факт обусловлен тем, что они имеют не только самостоятельное значение при определении напряжений, потокораспределе-ния и потерь в сети, но и являются предшествующими при расчетах статической и динамической устойчивости переходных процессов, решении задач оптимизации, определении токов короткого замыкания и т.п.
Установившийся режим ЭХ можно считать определенным _5,б] если известны: в узлах сети - активная Р и реактивная Q, мощности, модуль U и фазовый угол S напряжения; в ветвях сети - активная и реактивная мощности, протекающие в начале или конце ветви; в ветвях, содержащих трансформаторы, - комплексный коэффициент трансформации. Общее число комплексных параметров режима равно Л/ + 2М + Л/ , где А/ - число ветвей; М - число узлов; /V - число ветвей, кт содержащих трансформаторы. В качестве уравнений, описывающих УР ЭХ, W(Z)=0, (I.I) - 14 где W(Z) = {& и) І = (і,...,т)} - (1.2) - in -мерная в общем случае нелинейная вектор-функция П -мерного вектора параметров режима Z = {Z. Je3 = (i„..,rO} - (1.3) j могут применяться любые уравнения, основанные на законах Ома и Киргофа. Обычно это либо уравнения контурных токов, либо уравнения узловых потенциалов, записанные в той или иной форме [3-9].
Основу изучения УР ЭЭС составляют задачи анализа. Их можно сформулировать следующим образом. Поскольку при использовании любой системы уравнений, описывающей УР, число переменных всегда больше числа уравнений, т.е. n m , и система (I.I) является недоопределенной, то для того чтобы решить (I.I), вектор параметров режима Z разбивается на два подвектора: вектор зависимых параметров X - базисные переменные (или просто базис), с числом компонент m , и вектор независимых параметров Y -внебазисные переменные с числом компонент р = (n - т4) где злпзч =0, 3XU3Y =3.
Задачи анализа УР сводятся к определению вектора зависимых параметров режима X при заданных начальных условиях (заданных схемах замещения ЭХ, характеристиках оборудования и т.п.) и заданном векторе независимых параметров Y . Таким образом, задачи анализа УР непосредственно связаны с определением базиса уравнений УР ЭЭС.
В общем случае при расчетах УР вектор параметров режима должен удовлетворять ограничениям в форме неравенств накладываемых на него из условий надежности и качества электроснабжения потребителей. Ограничения в форме неравенств определяют так называемое допустимое множество или допустимую область режимов. При решении задач управления какой-либо физико-технической системой вводят скалярную функцию F , которая характеризует и позволяет сопоставлять состояния этой системы. При комплексной оптимизации режимов ЭЭС в качестве F(7) используется чаще всего суммарная стоимость расхода топлива в заданном цикле управления [З] .
Задача комплексной оптимизации режимов ЭЭС является очень сложной экстремальной задачей, вследствие нелинейности большинства характеристик и уравнений, случайного и неопределенного характера исходной информации, многовариантности возможных сочетаний элементов системы, наличия ограничений и динамичности задачи (т.к. решение должно быть найдено за совокупность отдельно рассматриваемых интервалов времени). В настоящее время общее решение находят путем последовательно-параллельного решения ряда подзадач, на которые разбивается эта задача при ее декомпозиции [IOJ .
Задача комплексной оптимизации УР ЭЭС занимает весьма важное место в иерархии этих подзадач. Она получается из общей задачи, если задан состав элементов, включенных в работу, и не учитываются переходные процессы. Но даже при таких допущениях эта задача относится к классу задач общего нелинейного программирования IIIJ. И может быть представлена в двух формах, из которых первая является исходной. Вторая форма получается из пер вой с помощью теории неявных функций [4, 12J .
Первая форма. При заданном векторе исходной информации, характеризующем условия работы системы, и в частности схему соединений электрической сети, сопротивления и проводимости ветвей, нагрузки в узлах, напряжения в базисном и балансирующих узлах и т.п. необходимо по вектору параметров режима Z минимизировать функцию F(Z") (1.6) при ограничениях в форме равенств (I.I) и неравенств (1.5).
Роль базиса при решении уравнений УР методами ньютоновского типа
Выше уже отмечалось, что в настоящее время для расчетов УР признаны наиболее эффективными методы ньютоновского типа. Сходимость этих методов исследована многими авторами (см., например, обзор в [4, 9J ). В общем виде условия сходимости рассмотрены в [74, 75J . Достаточное условие Канторовича [76] сходимости метода Ньютона не выполняется для нелинейных уравнений УР. Более того, во многих работах указывается, что экспериментально получены случаи расходимости метода Ньютона при расчетах УР [4, 9] .
Условия Канторовича гарантируют сходимость метода Ньютона при расчете установившегося режима, если якобиан системы уравнений (1.8) не равен нулю и начальное приближение выбрано достаточно близко к решению. В то же время эти условия не обеспечивают сходимость метода Ньютона с любого начального приближения даже в Р-области, в которой якобиан системы (1.8) не равен нулю. Поэтому при расчетах УР часто применяют специальные методы, улучшающие сходимость, и в частности [з] методы естественной и искусственной деформации уравнений, которые в совокупности с методом Ньютона образуют класс методов ньютоновского типа
Оценка Канторовича скорости сходимости метода Ньютона зависит от нормы обратной матрицы Якоби системы уравнений (1.8). Чем ближе якобиан этой системы к нулю, тем больше норма обратной матрицы. Соответственно, если якобиан системы (1.8) равен нулю, то метод Ньютона не сходится. Медленная сходимость метода Ньютона наблюдается также и при плохой обусловленности системы
Следует подчеркнуть, что все сказанное выше не отрицает того факта, что методы ньютоновского типа значительно более надежны с точки зрения сходимости, чем методы простой итерации или Зейделя _4j ,
Очевидно, что объем вычислений, необходимых для решения (1.8) методом Ньютона, зависит от объема вычислений на каждой итерации и числа итераций. При расчетах УР скорость сходимости, а, следовательно, и число итераций до получения решения с заданной точностью, в значительной степени зависит от того, на сколько близко при данном базисе решение к границе Р-области и на сколько плохо при данном базисе обусловлена система (1.8), а также от начального приближения.
При близости решения к границе Р-области резко возрастает норма матрицы частных производных зависимых переменных по независимым д . Поэтому в [4] предлагается с точки зрения сходимости вычислительного процесса решения системы уравнений (1.8) считать допустимым такой базис, который удовлетворяет не только (I.I8), но и (2.1) где Ь - заданное положительное число, выбираемое на основе опыта, при котором обеспечивается достаточно быстрая сходимость. Если начальное приближение выбрано достаточно близко к решению, то метод Ньютона устойчиво сходится за две-четыре итерации [77] . В том случае, если начальное приближение выбрано недостаточно удачно, итерационный процесс сходится либо медленно, либо вообще может оказаться расходящимся. Обычно, если не известны параметры предшествовавшего режима, в качестве начального приближения берется так называемое нулевое приближение, характеризуемое номинальными напряжениями сети и нулевыми аргументами.
В большинстве случаев метод Ньютона сходится с нулевого приближения. Однако в общем случае начальное приближение может быть выбрано таким образом, что не будут выполняться условия сходимости. Но это еще не означает, что процесс Ньютона не сойдется, тем более если применяются методы естественной и искусственной деформации уравнений. В этом случае он обычно также сходится, но сходится медленнее, и кроме того, может сходиться к какому-либо корню (из другой Р-области), не принадлежащему области реальных режимов, тем более, если для такого корня удовлетворяются условия сходимости. В связи с этим в [4] дается определение допустимой Р-области, как подмножества точек Р-области, определяемого ограничением (2.1). Именно внутри этой подобласти целесообразно решать задачи анализа и комплексной оптимизации УР ЭЭС [4] .
Значительного уменьшения объема вычислений на одной итерации у методов ньютоновского типа можно добиться при помощи учета факта слабой заполненности матрицы Якоби. Чтобы этот факт использовать, обычно для точного решения линеаризованных уравнений (1.8), применяется метод упорядоченного исключения Гаусса в сочетании с обработкой только ненулевых элементов этой матрицы. При этом объем вычислений определяется в основном появлением после каждого исключения Гаусса новых ненулевых элементов. В свою очередь появление последних в наибольшей степени зависит от связанности уравнений и порядка исключения уравнений и переменных [4, 29, 66J .
Критерии оптимальности. Оптимизация базиса...
В разделах 3.1 и 3.2 были рассмотрены некоторые топологические методы выбора и смены базиса. Их основное достоинство по сравнению с аналитическими методами заключается в простоте реализации и быстроте решения. И хотя в большинстве случаев они достаточно удовлетворительно справляются со своими задачами, но все-таки встречаются ситуации (см. раздел 3.6), когда они работают не верно. Объясняется это тем, что рассмотренные топологические методы удовлетворяют только необходимому условию разрешимости уравнений (І.І), т.к. основываются на получении любого базиса, при котором каждому уравнению поставлена в соответствие своя разрешающая переменная. Поэтому применение этих методов может привести к получению такого базиса, при котором какое-либо уравнение будет использовать неподходящую переменную. Например, при решении системы уравнений (I.I) в матрице Якоби на главной диагонали может появиться элемент с весьма малой производной этого уравнения по этой разрешающей переменной, что приведет (см. раздел 2.1) к резкому ухудшению сходимости или вообще расходимости вычислительного процесса.
То есть для топологических методов даже из условия разрешимости системы уравнений следует выводить критерии оптимальности, по которым можно было бы оценивать тот или иной базис. Кроме того, в зависимости от поставленных целей при расчетах режимов ЭЭС, критерии оптимальности базиса могут выводиться не только из условия разрешимости уравнений (которое, конечно, должно соблюдаться в любом случае), но и из какого-нибудь другого соображения (см., например, разделы 2.2 и 2.4).
Таким образом, в рассматриваемых вопросах складывается пока следующая ситуация. С одной стороны, имеются эффективные (топологические) методы нахождения разрешающих переменных, но при этом можно найти один конкретный, зачастую не самый оптимальный базис. С другой стороны, имеются критерии оптимальности (аналитические), по которым можно было бы оценить тот или иной базис, но при этом вопрос о способе нахождения базиса,удо-влетворяющего этим критериям, остается в значительной степени открытым. Чтобы соединить эти два подхода вместе, необходимо получить такие критерии оптимальности, которые позволили бы свести задачу оптимизации базиса к задаче на графе уравнения -переменные.
Для этого можно поступить следующим образом. Как уже отме чалось, скорость сходимости задач анализа и комплексной оптимизации УР ЭХ зависит от различных факторов. Так, сходимость методов решения системы уравнений (I.I) определяется в основном обусловленностью матрицы Якоби (см. раздел 2.1). При нахождении допустимых режимов важное значение приобретает еще и диапазон допустимого изменения переменных (см. раздел 2.4). При оптимизации, кроме изложенных выше соображений, существенное влияние оказывают такие глобальные свойства целевой функции, как овраж-ность, одноэкстремальность и т.п. [з] .
Обусловленность матриц характеризуется числами обусловленности Гб2J . Непосредственный расчет этих чисел трудоемок, но в [83j предложено легко проверяемое достаточное условие плохой обусловленности матрицы Якоби при расчетах УР. Смысл его заключается в том, что чем больше неоднородность диагональных элементов матрицы Якоби, тем хуже обусловленность. Можно показать, что приближенный учет этого условия приведет к критерию, при котором, исходя из сходимости методов решения системы уравнений (I.I), оптимальным является базис с максимальной суммой модулей диагональных элементов матрицы Якоби:
Справедливость критерия (3.4) подтверждается также следующими соображениями. В связи с тем, что заполненность матрицы Якоби в (I.I) крайне слабая (всего 2-4$), то величина детерминанта определяется в основном произведением элементов, стоящих на главной диагонали. Таким образом, оптимизация базиса по это му критерию позволяет при помощи смены координат уходить как можно дальше от базиса, в котором якобиан равен нулю, и тем самым в наиболее возможной степени позволяет удовлетворить условию критерия (2.1).
Учет имеющихся в ЭЭС возможностей регулирования напряжения и перетоков активной мощности
В ПВК СДО-5 в качестве уравнений (I.I), описывающих . УР ЭЭС, применяются уравнения баланса узловых мощностей первой формы [4J . При этом, как отмечалось в разделе 2.3, все уравнения можно сгруппировать в две системы уравнений: ОГ.Р-0-, 1-1,..., -, (4.1) а/. =0 -, і = 1,...,М (4.2) р где OJ. є\Д/ - уравнения баланса активных мощностей в узлах, (tf єМ - уравнения баланса реактивных мощностей в узлах, г\ і Ч число узлов в схеме замещения ЭХ. Аналогично вектор параметров режима Z можно разбить на два подвектора Z = (Z , "Z.J), где Zp =(РГ, 6,КГ ), (4.3) =Ur U Ka - (4.4)
В СДО-5 уравнения из VVp используют в качестве разрешающих только переменные из Z , а уравнения из VV_ - только переменные из Z . Тем самым при выборе и смене базиса приближенно удовлетворяется критерий оптимальности базиса (3.4) и не допускается большая неоднородность диагональных элементов якобиана, которая может быть вызвана выбором для какого-либо уравнения разрешающей переменной из неподходящего подвектора параметров режима.
В разделе 2.7 отмечалось, что основными недостатками ана литических методов смены и оптимизации базиса являются сложности получения, хранения и обработки матрицы частных производных зависимых параметров режима по независимым -ї - и сложности реализации полученного при помощи этой матрицы базиса. Вследствие этого в СДО-5 аналитические методы применяются лишь для решения некоторых частных задач (например, для определения существенных и несовместных ограничений в форме неравенств, для оптимизации базиса при расчетах УР в типовых ситуациях и т.п.) и обязательно в комбинации с топологическими методами (как это рассматривалось, например, при исследованиях в разделе 2.3). А в качестве основных при выборе и смене базиса используются топологические методы.
Если для выбора и смены базиса использовать топологические методы, то первое, что необходимо сделать, - это определить множество уравнений W , описывающих установившийся режим ЭХ, и множество входящих в эти уравнения переменных Z . На этапе определения компонент векторов W и Z можно решить задачу учета фиксированных модулей напряжения в узлах (в том числе и в нагрузочных узлах) и задачу учета фиксированных перетоков активной мощности в ветвях (см. раздел 4.2).
При использовании для выбора базиса топологических методов после определения компонент векторов VV и Z решается задача нахождения максимального паросочетания на графе уравнения-переменные. В ПВК СДО-5 для этого используется алгоритм \JBIJ .
При смене базиса с применением топологических методов этап определения компонент векторов уравнений и переменных, по сути дела, отсутствует, так KaKW и Z уже были определены при по-лучении предшествуйте базиса, а переменная X. , которую не-обходимо по каким-либо причинам вывести из состава вектора X , и соответствующее этой переменной уравнение известны из условия. Поскольку смена базиса в СДО-5 используется в основном при расчетах допустимых и оптимальных УР, то задача смены базиса в уравнениях (4.2) решается в этом ПВК при помощи алгоритма, рассмотренного в разделе 3.4.2, и критерия оптимальности базиса (3.5), позволяющих (см. раздел З.б) значительно облегчить учет ограничений в форме неравенств. Причем, так как ограничения в форме неравенств на фазы напряжений в узлах накладываются сравнительно редко (например, при работе линий электропередач в режимах близких к пределу передаваемой мощности), то при смене базиса в уравнениях (4.1) оптимизация базиса не производится, а используется только алгоритм [8IJ .
Оптимизация исходного базиса при помощи критерия (2.8) в ПВК СДО-5 используется сравнительно редко.. Причем задача оптимизации исходного базиса решается в виде отдельной подзадачи, предшествующей корректировке режима, серии расчетов типовых режимов и т.п. В основном в СДО-5 производится дооптимизация исходного базиса в процессе расчета заданного УР при помощи решения на каждом шаге ОМПГ задачи оптимальной смены базиса с применением критерия (3.5). А для того, чтобы с наибольшей эффективностью можно было использовать рассчитанный режим в качестве базового для дальнейших исследований, предусмотрена возможность записи этого режима вместе с оптимальным базисом в библиотеку режимов.
