Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Численное исследование сходимости методов минимизации при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии 14
1.1. Уравнения установившихся режимов электроэнергетических систем 14
1.2. Оценка обусловленности матрицы Якоби уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии 19
1.3. Линейные методы минимизации ньютоновского типа 28
1.4. Нелинейные методы минимизации 36
1.4.1. Метод квадратичного спуска 36
1.4.2. Двухпараметрический метод минимизации 44
1.5. Численное исследование сходимости решения уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии в форме баланса токов в узлах методами минимизации 50
1.6. Выводы 64
ГЛАВА 2. Применение регуляризованных методов минимизации для расчета установившихся режимов ээс монголии 67
2.1. Регуляризованные методы минимизации на основе метода диагональной релаксации 67
2.1.1. Метод диагональной релаксации 67
2.1.2 Численное исследование сходимости регуляризованных методов минимизации на основе метода диагональной релаксации 69
2.2. Регуляризованные методы минимизации на основе последовательного решения уравнений установившихся режимов в токовой и мощностной формах записи 89
2.3. Выводы 94
ГЛАВА 3. Исследование существования, неоднозначности и сходимости различных решений уравнений установившихся режимов ЭЭС монголии 96
3.1. Неоднозначность решения уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии 96
3.2. Сходимость различных решений уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии 101
3.3. Исследование существования решения уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии 109
3.3.1. Оценка существования решения уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии по сходимости регуляризованных методов минимизации 109
3.3.2. Применение критерия несовместности для оценки существования решения уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии 116
3.3.3. Результаты численного исследования применимости критериев неосуществимости установившихся режимов для ЭЭС Монголии 120
3.4. Выводы 124
Заключение 126
Список литературы
- Уравнения установившихся режимов электроэнергетических систем
- Численное исследование сходимости решения уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии в форме баланса токов в узлах методами минимизации
- Регуляризованные методы минимизации на основе метода диагональной релаксации
- Сходимость различных решений уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии
Введение к работе
Актуальность работы. Либерализация отношений в электроэнергетике Монголии приводит к радикальному изменению и усложнению условий функционирования ее электроэнергетической системы (ЭЭС). Это связано как со структурными преобразованиями электроэнергетики (дезинтеграцией вертикально-интегрированной ЭЭС, созданием конкурирующих генерирующих, сбытовых компаний и обеспечивающих их взаимодействие сетевых компаний), так и с принципиально новым характером совместной работы указанных выше компаний в составе технологически единой ЭЭС на основе реализации механизмов конкуренции на оптовом и розничных рынках электроэнергии при рациональной системе государственного регулирования отношений их участников [1,2].
В результате этого существенно увеличивается неопределенность параметров режимов ЭЭС даже в оперативных условиях вследствие колебания оптовых цен на электроэнергию и, соответственно, потокораспределения в ЭЭС, возрастает вероятность работы ЭЭС в предельных режимах с пониженными запасами устойчивости и ухудшенными показателями качества электроэнергии, увеличивается опасность возникновения аварийных ситуаций с непредсказуемым развитием событий и тяжелыми последствиями для ЭЭС и ее потребителей. Все эти факторы радикально усложняют управление нормальными и аварийными режимами ЭЭС.
В связи с этим от оперативно-диспетчерского управления в новых условиях требуется все большая точность управления режимами, что в настоящее время вызывает значительные трудности ввиду явного несоответствия используемых технических и программных средств современным условиям. Поэтому для надежного и качественного управления режимами необходимо переходить на новые технологии управления, методики и программные средства планирования электрических режимов в различных временных циклах управления, в том числе и в реальном времени, на основе современных тех-
нических средств сбора, передачи, обработки, отображения и документирования информации, современных вычислительных средств и информационных технологии, новейших математических методов, интегрированных в современные автоматизированные системы диспетчерского управления (АСДУ) ЭЭС [3-27].
В основе большинства задач, решаемых в автоматизированных системах диспетчерского управления (АСДУ) лежит задача расчета установившихся режимов ЭЭС, эффективность решения которой во многих случаях определяет возможность и эффективность решения других задач анализа режимов в рамках АСДУ. Поэтому одним из путей совершенствования и развития АСДУ ЭЭС является разработка и применение новых методов и алгоритмов, позволяющих на качественно новом уровне решать задачи анализа электрических режимов и, в первую очередь, задачу определения параметров установившихся режимов [3-27].
Система оперативного управления режимами ЭЭС предъявляет жесткие требования к методам анализа режимов. Применительно к методам расчета установившихся режимов эти требования заключаются обеспечении высокой надежности и скорости сходимости итерационных процессов и их быстродействия [21-23].
Требование высокой действенности метода или алгоритма расчета установившихся режимов ЭЭС приобретает в настоящее время решающее значение при реализации функций реального времени АСДУ, в системах автоматического противоаварийного управления (САПУ), при решении задач исследования надежности и живучести современных сложных ЭЭС при проектировании и управлении их функционированием, разработке и настройке систем противоаварийного управления ЭЭС, разработке эффективных систем тренажа и обучения оперативного персонала на полномасштабных цифровых режимных тренажерах [3-27]. Применение самых совершенных высокопроизводительных ЭВМ оказываются бесполезным при несходимости итерационного процесса метода. Поэтому вопрос обеспечения гарантированной схо-
димости методов расчета установившихся режимов при решении задач развития и функционирования ЭЭС на основе автоматизированных и, тем более, автоматических систем управления, приобретает первостепенное значение.
К решению указанного вопроса тесным образом примыкают вопросы существования и неоднозначности решения уравнений установившихся режимов ЭЭС. Так, оценка существования решения уравнений исследуемых установившихся режимов уже на стадии их расчета с помощью численных критериев имеет важное значение для эффективного решения многих задач надежности, устойчивоспособности, живучести, ввода режима в допустимую область и оптимизации режимов, что позволяет значительно повысить обоснованность принятия решения и его уровень при управлении функционированием ЭЭС и обеспечивает тем самым повышение качества управления, а значит надежность и экономичность работы ЭЭС.
Эффективным решением проблемы существования решения уравнений установившихся режимов ЭЭС может быть разработка метода, по сходимости которого можно было бы определять несуществование решения исследуемого режима.
Автоматизация управления развитием и функционированием по-новому ставит проблему неоднозначности решений уравнений установившихся режимов ЭЭС. Наряду с такими вопросами, как число решений уравнений установившихся режимов и их характер, возможность существования нескольких решений, отвечающих режимам, допустимым по условиям эксплуатации, в том числе, и статически устойчивым, при каких условиях и для каких режимов и электрических систем возможно проявление неоднозначности решения, имеющими методическое значение, остро стоят вопросы условий сходимости методов расчета к тем или иным решениям, и, следовательно, вопрос адекватности решений, получаемых с помощью ЭВМ, реальным режимам ЭЭС.
Большой вклад в решение этих вопросов внесли Г. Г. Адонц, Д.А. Арзамасцев, В.А. Баринов, П.И. Бартоломей, В.А. Веников, А.З. Гамм,
В.М. Горнштейн, В.И. Идельчик, Л.А. Крумм, В.З. Манусов, В.А. Строев, В.И. Тарасов, Х.Ф. Фазылов, Л.В. Цукерник, H.W. Dommel, СЕ. Hart, A.M. Sasson, B.Stott, W.E. Tinney, E. Van Ness и др.
Настоящая работа посвящена решению поставленных вопросов применительно к ЭЭС Монголии.
Цель диссертационной работы состоит в исследовании математических моделей, методов и алгоритмов, обеспечивающих эффективное решение задачи расчета установившихся режимов на всех временных уровнях оперативно-диспетчерского управления ЭЭС Монголии как самостоятельной задачи, так и основы задач ввода режима в допустимую область, оптимизации режимов, анализа возможных аварийных нарушений, оценки устойчивости, оценки оперативной надежности, советчиков диспетчера и др.
Задачи исследования. Задачами работы являются:
Исследование свойств и особенностей применения нелинейных уравнений узловых напряжений в формах баланса мощностей и баланса токов в узлах в полярной и прямоугольной системах координат переменных этих уравнений для расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии.
Исследование сходимости линейных и нелинейных методов минимизации при решении уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии в формах и системах координат переменных при различных схемно-режимных условиях ее функционирования.
Исследование сходимости регуляризованных на основе метода диагональной релаксации линейных и нелинейных методов минимизации при решении уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии в форме баланса мощностей и форме баланса токов в полярной и прямоугольной системах координат переменных при различных схемно-режимных условиях ее функционирования.
Исследование сходимости регуляризованных на основе последовательного решения уравнений баланса токов в узлах, а затем уравнений баланса мощностей (IS регуляризация) линейных и нелинейных методов мини-
мизации при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии при различных схемно-режимных условиях ее функционирования.
Исследование неоднозначности решения уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии при различных схемно-режимных условиях ее функционирования.
Исследование существования решения нелинейных уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии при различных режимных условиях ее функционирования и применимости численных критериев оценки осуществимости режимов при заданных расчетных условиях.
Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использовались элементы теоретических основ электротехники, линейной алгебры, теории матриц, математического анализа, вычислительной математики и нелинейного программирования.
Для выполнения расчетных исследований использовался программный комплекс, разработанный на кафедре электрических станций, сетей систем Иркутского государственного технического университета и апробированный в практике эксплуатации ряда ЭЭС Российской Федерации.
Достоверность результатов работы. В проводимых исследованиях в качестве расчетной схемы замещения ЭЭС Монголии принята расчетная схема, используемая Национальным диспетчерским центром энергетики Монголии. Исходные режимы зимнего максимума и летнего минимума нагрузок соответствуют данным контрольных замеров. Полученные результаты и выводы проверены расчетами ряда ЭЭС, в том числе Сибирских ЭЭС, близким по характеристикам ЭЭС Монголии и хорошо согласуются с известными теоретическими результатами.
Научная новизна и значимость полученных результатов по мнению автора заключается в следующем:
1. Исследованы свойства и особенности применения нелинейных уравнений узловых напряжений в формах баланса мощностей и баланса токов в полярной и прямоугольной системах координат переменных этих уравнений
для расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии. Показано высокая эффективность применения уравнений узловых напряжений в форме баланса токов в узлах, а для их решения - линейных и нелинейных методов минимизации. Полученные выводы справедливы для всех ЭЭС подобной структуры и распределительных сетей.
Впервые проведено комплексное исследование нелинейных свойств математического описания установившихся режимов ЭЭС Монголии - вопросов существования, неоднозначности и сходимости различных решений нелинейных уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии и на его основе даны практические рекомендации по оценке существования решения уравнений установившихся режимов при различных схемно-режимных условиях и в различных циклах управления, исключению негативного проявления неоднозначности решения уравнений установившихся режимов.
Показана высокая эффективность применения регуляризованных на основе метода диагональной релаксации линейных и нелинейных методов минимизации для расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии, практически решающих проблему гарантированного получения решения уравнений баланса мощностей и баланса токов в узлах в полярной и прямоугольной системах координат переменных при расчетах любых установившихся режимов ЭЭС Монголии.
Исследована сходимость нового класса регуляризованных линейных и нелинейных методов минимизации, построенных на основе последовательного решения уравнений баланса токов в узлах, а затем уравнений баланса мощностей (IS регуляризация) на примере ЭЭС Монголии. Показано, что IS регуляризованные метод квадратичного спуска и двухпараметрический метод минимизации сходятся практически за один шаг даже с обычно задаваемых нулевых исходных приближений при расчете любых режимов ЭЭС Монголии.
Обоснована применимость двух численных критериев оценки осуществимости установившихся режимов при анализе ремонтных, аварийных и
послеаварийных режимов ЭЭС Монголии в различных циклах управления.
Практическая ценность работы. Использование полученных в работе результатов обеспечит повышение эффективности АСДУ на всех территориальных и временных уровнях управления ЭЭС Монголии за счет получения надежного инструмента расчета и анализа режимов, расширения на его основе состава решаемых в рамках АСДУ задач, направленных на повышение надежности, экономичности режимов работы и качества электроэнергии, повышения производительности труда специалистов Национального диспетчерского центра энергетики Монголии.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на:
Международной научно-практической конференции «Наш вклад в решение актуальных вопросов развития Монголии», Иркутск, 2004 г.;
Международной научно-практической конференции «Россия-Монголия: современное состояние и перспективы развития сотрудничества», Иркутск, 2005 г.;
Международной научной конференции «Power industry and market economy», Ulaanbaatar, Mongolia, 2005 y.;
Всероссийской научно-технической конференции «Повышение эффективности производства и использования энергии в условиях Сибири», Иркутск, 2005 г.;
Всероссийской научно-технической конференции с международным участием «Энергетика: управление, качество и эффективность использования энергоресурсов», Благовещенск, 2005 г.;
Двенадцатой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика», Москва, 2006 г.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ, в том числе 2 работы в реферируемых изданиях ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем работы составляет 160 страниц, иллюстрирован одним рисунком, содержит 58 таблиц.
Основные положения, выносимые на защиту:
Результаты исследования свойств и особенностей применения нелинейных уравнений узловых напряжений в формах баланса мощностей и баланса токов для расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии линейными и нелинейными методами минимизации.
Результаты комплексного исследования нелинейных свойств в математического описания установившихся режимов ЭЭС Монголии - существования, неоднозначности и сходимости различных решений нелинейных уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии.
Результаты исследования сходимости регуляризованных на основе метода диагональной релаксации линейных и нелинейных методов минимизации при решении уравнений баланса мощностей и баланса токов в узлах в полярной и прямоугольной системах координат переменных.
Результаты исследования сходимости нового класса IS регуляризованных линейных и нелинейных методов минимизации при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии.
Содержание работы. В первой главе анализируются уравнения узловых напряжений в форме баланса мощностей и баланса токов в полярной и прямоугольной системах координат переменных. Показано, что матрицы Якоби уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии, записанных в форме баланса мощностей в узлах в полярной и прямоугольной системах координат переменных, являются плохо обусловленными. Поэтому метод Ньютона, модифицированный метод Ньютона и его известные модификации являются неэффективными при расчетах установившихся режимов ЭЭС Монголии. Рассмотрено применение линейных и нелинейных методов минимизации для расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии. Показано, что квадратич-
ная функция невязок уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии в форме баланса мощностей в узлах в полярной и прямоугольной системах координат переменных имеет очень сложный рельеф в заданной нулевыми исходными приближениями области, что может приводить к сходимости методов минимизации к локальным минимумам. Показано, что применение токовой формы записи уравнений узловых напряжений позволяет исключить негативное влияние неоднородности параметров электрической сети на обусловленность матриц Якоби, улучшить «геометрические» свойства квадратичного функционала невязок уравнений, «отодвинуть» поверхности вырождения матрицы Якоби от «нулевых» исходных приближений и траекторий итерационных процессов линейных и нелинейных методов минимизации.
Вторая глава посвящена исследованию сходимости регуляризованных на основе метода диагональной релаксации линейных и нелинейных методов минимизации. Показано, что эти регуляризованные методы обладают более надежной и быстрой сходимостью, чем «классические» методы при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии независимо от формы записи уравнений и вида переменных этих уравнений.
Рассмотрены регуляризованные методы, основанные на последовательном решении уравнений баланса токов в узлах, а затем уравнений баланса мощностей (IS регуляризация), для расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии. Показано, что IS регуляризованные метод квадратичного спуска и двухпараметрический метод минимизации обеспечивают сходимость практически за один шаг с обычно задаваемых нулевых исходных приближений при расчете любых режимов ЭЭС Монголии.
В третьей главе приводятся результаты исследования существования, неоднозначности и сходимости различных решений уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии. Показана возможность существования двух решений, соответствующих режимам с допустимыми уровнями напряжений в узлах и статически апериодически устойчивым. Обосновано соответствие реальным режимам ЭЭС Монголии «больших» решений их уравнений. Пока-
зана применимость двух простых численных критериев оценки осуществимости установившихся режимов при анализе ремонтных, возможных аварийных и послеаварийных режимов ЭЭС Монголии.
В приложениях приведены параметры расчетной схемы замещения ЭЭС Монголии и параметры режимов зимнего максимума и летнего минимума нагрузок.
Уравнения установившихся режимов электроэнергетических систем
Установившиеся режимы ЭЭС при задании мощностей нагрузок и генераторов в узловых точках электрической сети описываются системами нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений высокого порядка. В общем виде эти уравнения записываются как [4, 6, 21-23, 30] W(X,Y) = 0, (1.1.1) где W - вектор-функции порядка N 2n; п - число узлов в схеме замещения ЭЭС без учета базисного; X - вектор зависимых параметров режима или вектор зависимых переменных, определяемых их решения уравнения (1.1.1); Y -вектор независимых параметров режима или вектор независимых переменных, являющихся заданными при решении уравнения (1.1.1).
Задача расчета установившихся режимов ЭЭС состоит в определении значений вектора X из (1.1.1), а также других параметров режима, являющихся функциями от X и Y (например, перетоков мощности по связям, токов в элементах ЭЭС и др.) при заданных значениях вектора Y. Размерность X равна размерности вектор-функции (1.1.1), размерность вектора Y в общем случае отлична от размерности вектор-функции W [4, 6].
В настоящее время в качестве уравнений установившихся режимов ЭЭС применяются в основном уравнения узловых напряжений [4, 6, 7, 10-12, 14-17,21-23,28-131]. Эти уравнения могут быть представлены как в виде баланса мощностей в узлах ЭЭС n+1 n+1 W Si+Ui.Ui-ZVUj. TjjY O, i=1? n? (LL2) так и в виде баланса токов где Sj = Pj + jQj - комплекс задающей мощности в узле і; j = V-l; Up Uj прямой и сопряженный комплексы напряжения в узле j; Y Y» - прямой и сопряженный комплексы взаимной проводимости ветви между узлами і и j; п - число независимых узлов в схеме замещения ЭЭС.
В качестве независимых переменных Y могут быть заданы для части узлов активные и реактивные мощности генераторов и нагрузки, а для остальных узлов - активные мощности и модули напряжений. В качестве зависимых переменных X могут быть приняты модули и углы напряжений узлов (полярная система координат переменных) или активные и реактивные составляющие напряжений (прямоугольная система координат переменных) [21-23].
При решении уравнений (1.1.1) значение вектора Y является заданным. С учетом этого представим систему уравнений (1.1.1) в виде W(X) = {wi(X)i = l,...,N;N 2n} = 0. (1.1.4) Уравнения (1.1.2) в действительной форме в полярной системе координат имеют вид [21-23] w,(X) = {wpj,wQIj = 1,..., n; 1 = 1,..., М}= 0, (1.1.5) где wpi =PGi -Рні -Pci =PGi "Лі -Uf-yiia + + Ui -cosSj -Uj -(cos5j -yija +sin5j -yijr) + + Uj -sinS; XIJj .(sinSj -yija -C0S8J -yijr), і = 1,..., n; (1.1.6) wQi = QGi - Qw - Qci = QGi - QHI - U? yiir 16 - U; cos8i Xuj (sin5j Ууа "cos8j Ууг) + JeS; + Uj sin5; Uj (cosSj yija + sinSj yijr), і = 1,..., M; (1.1.7) J6S; ( у... Л +ьі; J njc Уііа j ija оі Уііг Z i УіІг 7Г V l J и в прямоугольной системе координат [21-23] Wj(X) = {w pj;wQI;wukj = 1, ...,n; 1 = 1,..., M; k = 1,..., к}= 0, (1.1.8) Pj WQl где Wpi=PGi-PW-Pci=PGi-PHi-Uf-yiia + + U.i-(uj.-yij.+ujr-yijr) + + Uir-2(Ujr-yija-Uja.yijr), i = l n; (1.1.9) JsSi wQi = QGi - QHI - Qd = QGI - QHi - u? yiir -Uia-E(Ujr yija-Uja-yijr) + + Uir-E(Uja.yija+Ujr-yijr), i = l,...,M; (1.1.10) ww=U?„-U?-U?;i = l,...,K; (1.1.11) Ui2=Ui2a + Ui2r; M + K = n. В выражениях (1.1.6)-(1.1.11) обозначены: PGi,QGi; PHI QHJJ Pd Qci " соответственно активная и реактивная мощности генерации, нагрузки, активная и реактивная сетевые мощности узла і; Упа,уПг,Ууа, Уцг - соответственно активная и реактивная составляющие собственной проводимости узла і и взаимной проводимости ветви между узлами і и j; 1 ,8 11 ,1 - модуль, фаза, активная и реактивная составляющие напряжения U узла і; ущс - емкостная проводимость ветви і - j на землю; gh b,- - соответственно активная и реактивная проводимости шунтов, подключенных в узле і; иізад - заданный постоянным модуль напряжения узла i; s, - множество индексов узлов, смежных с узлом i; п - число узлов схемы замещения ЭЭС без учета базисного; М - число узлов с заданными в качестве независимых переменных активными и реактивными мощностями генераторов и нагрузок; К - число узлов с заданными в качестве независимых переменных активными мощностями и модулями напряжений.
В силу нелинейности уравнений (1.1.4) и большой размерности систем этих уравнений задачу расчета установившихся режимов ЭЭС в настоящее время можно решить только итерационными методами. Поэтому методам и алгоритмам расчета установившихся режимов ЭЭС, исследованию, ускорению и обеспечению их сходимости посвящено большое количество работ [4, 6, 7, 10-12, 14-17, 21-23, 28-113]. Однако результаты этих работ, а также накопленный опыт применения в практике эксплуатации и проектирования ЭЭС методов и алгоритмов расчета установившихся режимов ЭЭС, основанных как на классических методах решения систем нелинейных уравнений общего вида, так и на тех или иных их модификациях, свидетельствуют о том, что эти реализации не обеспечивают необходимой действенности итерационного решения задачи (1.1.4) [21-23]. Сходимость используемых в настоящее время методов расчета установившихся режимов ЭЭС часто бывает или очень медленной, или совсем необеспеченной, особенно при расчетах режимов, близких к предельным и предельных по статической устойчивости и существованию решения уравнений (1.1.4). Сходимость и скорость сходимости методов существенно зависят от параметров режима и конфигурации рассчитываемых ЭЭС, наличия в них длинных и коротких линий электропередачи разных классов номинальных напряжений, в том числе линий электропередачи высокого и сверхвысокого напряжения, устройств продольной компенсации, трехобмоточных трансформаторов и т.д. [21-23]. Сходимость методов зависит от таких расчетных факторов, как способы задания исходных данных, выбор исходных приближений, вид переменных и т.д. [21-23]
Численное исследование сходимости решения уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии в форме баланса токов в узлах методами минимизации
Прежде всего отметим такую особенность систем уравнений баланса токов (1.1.12) и (1.1.15), как их линейность при заданных нулевых значениях мощностей генераторов и нагрузки в узлах. Число таких узлов, а следовательно и число линейных уравнений, может быть достаточно велико. В расчетной схеме замещения ЭЭС Монголии число таких узлов превышает 50%. Поэтому более 50% уравнений баланса токов (1.1.5) и (1.1.8), описывающих установившиеся режимы ЭЭС Монголии, являются линейными. Естественно, что такое число линейных уравнений уменьшает общую нелинейность задачи расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии (1.1.4), улучшает геометрические свойства функционала (1.3.1), значительно влияющие на вычислительные характеристики методов минимизации и улучшает такие вычислительные характеристики методов, как надежность и скорость сходимости их итерационных процессов.
Из сходимости метода Ньютона при решении уравнений установившихся режимов в форме баланса токов в узлах как в полярной, так и прямоугольной системах координат следует, что обусловленность матрицы Якоби уравнений баланса токов лучше, чем обусловленность матрицы Якоби уравнений баланса мощностей (для одной и той же ЭЭС). Другими словами, неоднородность параметров сети и ее конфигурация проявляется значительно слабее в ухудшении обусловленности матрицы Якоби уравнений баланса токов, чем матрицы Якоби уравнений баланса мощностей. В значительной мере это обуславливается тем, что диагональные элементы матрицы Якоби уравнений баланса токов зависят не только от параметров сетевых элементов, но и от активных и реактивных мощностей генераторов и нагрузки в узлах, что и определяет их доминирование в строке. При этом чем меньше связность схемы замещения ЭЭС, тем это доминирование выше, и следовательно, лучше обусловленность матрицы Якоби.
Хорошая обусловленность матрицы Якоби уравнений баланса токов в узлах (1.1.12) и (1.1.15) подтверждается и величинами параметра Р(р)к, вычисляемого на каждом шаге итерационного процесса метода (1.3.3), (1.3.5).
Величина этого параметра практически всегда меньше единицы (табл. 1.21-1.24).
Из характера итерационных процессов метода Ньютона (1.3.3) и метода минимизации ньютоновского типа (1.3.2), (1.3.5) при решении уравнений баланса токов в узлах (1.1.12) и (1.1.15) следует, что функция (1.3.1) выпукла в заданных исходными приближениями областях Q. = {Х(0) є RN ф(Х) (Х -1)}.
Поэтому методы (1.2.3) и (1.3.2), (1.3.5) обеспечивают при решении уравнений баланса токов (1.1.12) и (1.1.15), в отличие от уравнений баланса мощностей (1.1.5) и (1.1.8), не только надежную, но и быструю сходимость.
При этом, сходимость метода Ньютона и метода минимизации ньютоновского типа более высокая при решении уравнений баланса токов в прямоугольной системе координат переменных.
В силу незначительного числа генераторных узлов в расчетной схеме ЭЭС Монголии задание в них постоянными модулей напряжений не приводит к ухудшению обусловленности матрицы Якоби уравнений баланса токов (1.1.12) и (1.1.15). Напротив, задание постоянными напряжений в генераторных узлах ЭЭС Монголии улучшает обусловленность матрицы Якоби уравнений баланса токов в узлах.
Выпуклость функции (1.3.1) уравнений баланса токов в узлах (1.1.12) и (1.1.15) в области заданных исходных приближений и решения уравнений (1.1.12) и (1.1.15) подтверждается и характером сходимости метода квадратичного спуска (1.4.2) и двухпараметрического метода минимизации (1.4.10). Из таблиц 1.25-1.32 видно, что сходимость методов обеспечивается в подавляющим большинстве случаев за два шага. Столь быстрая сходимость метода квадратичного спуска свидетельствует о том, что кривая спуска (1.4.1) практически целиком лежит в плоскости векторов (АХ!0), ДХ 0)), и с высокой степенью точности представляется ее квадратичной аппроксимацией (1.4.6) в этой плоскости. Дополнительным свидетельством этому является и очень малые величины параметра ц (табл. 1.25-1.32). Из таблиц 1.25-1.32 видно также, что итерационные процессы метода квадратичного спуска и двухпа-раметрического метода минимизации практически совпадают, т.е. глобальные минимумы функции (1.3.1) в плоскостях векторов (АХ,, АХ2) практически «лежат» на кривых (1.4.6) в этих плоскостях.
Таким образом, применение для анализа установившихся режимов ЭЭС Монголии уравнений баланса токов в узлах является более эффективным, чем уравнений баланса мощностей.
Регуляризованные методы минимизации на основе метода диагональной релаксации
Регуляризованные методы получают комбинированием надежных, но не слишком быстрых вычислительных методов, с быстродействующими, но не очень надежными по сходимости [21-23, 81, 97, 113, 135]. В результате получаются алгоритмы, которые в «хороших» случаях сходятся достаточно быстро, а в «плохих» работают немногим хуже обычных гарантированных процедур [21-23, 81, 97,113,135].
Для конструирования эффективных регуляризованных методов определяющими являются выбор используемых базовых методов комбинации и определение условия наиболее своевременного и оптимального использования каждого метода комбинации [21-23]. Именно удачно подобранный состав методов комбинации и удачно заданное условие, определяющие наибольшую рациональность использования того или иного метода на каждом шаге такой вычислительной процедуры, и обеспечивает достижения высоких вычислительных характеристик регуляризованных методов [21-23]. Рассмотрим регуляризованные методы, основанные на сочетании методов минимизации с методом диагональной релаксации [21-23,111,113].
Полагая, все узлы типа PQ, запишем систему уравнений (1.1.15) в следующем виде [21-23, 111] гДе Уііа = ЕУііа +еі УІІГ = Х(УІ]Г --JfO + bi" активная и реактивная состав ляющие собственной проводимости узла і; уї}а, у- - соответственно активная и реактивная составляющие проводимости ветви между узлами і и j; g;,bj активная и реактивная проводимости шунтов узла і; уП:с- емкостная прово димость ветви і - j на землю; U6 - напряжение базисного узла; уіба, уібг - ак тивная и реактивная составляющая проводимости ветви между узлом і и ба зисным узлом; п - число узлов схемы замещения ЭЭС без учета базисного. В матричном виде системы уравнений (2.1.1) записывается [21-23,111] [П + Б(Х)]хХ = А, (2.1.2)
Рассмотрим сходимость регуляризованных методов минимизации на основе метода диагональной релаксации при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии. Рассмотрим в начале сходимость регуляризованных методов [21-23, 113]: метода Ньютона - диагональной релаксации, метода ньютоновского типа - диагональной релаксации, квадратичного спуска - диагональной релаксации, двухпараметрического метода минимизации - диагональной релаксации при решении уравнений установившихся режимов в форме баланса мощностей в узлах в полярной и прямоугольной системах координат пере менных. В таблицах 2.1 - 2.7 приведены некоторые результаты расчетов установившихся режимов ЭЭС Монголии указанными регуляризованными методами, в которых роль стартового выполняет метод диагональной релаксации. При этом методом диагональной релаксации выполняется только один шаг. Как видно из таблиц 2.1 - 2.7, регуляризованные методы обеспечивает более надежную и быструю сходимость, чем «классические». Даже метод Ньютона, наиболее «слабый» из рассмотренных, в сочетании с методом диагональной релаксации сходится к решению.
Столь высокий вычислительный эффект рассмотренных регуляризован-ных методов достигается благодаря применению на их первом шаге метода диагональной релаксации, обладающим очень высокой скоростью сходимости в начале итерационного процесса. В качестве иллюстрации этому в таблице 2.8 приведены значения максимальных небалансов мощности в узлах после первых шагов метода Ньютона, метода минимизации ньютоновского типа, квадратичного спуска, двухпараметрического метода минимизации и диагональной релаксации.
Из таблицы видно, что метод диагональной релаксации дает на первом шаге точку Х(1), более близкую к решению X уравнений установившихся режимов (1.1.4), чем другие методы. Кроме того, эта точка «попадает» в область выпуклости функции (1.3.1), в которой рассмотренные методы сходятся очень быстро, а метод квадратичного спуска и двухпараметрический метод минимизации сходятся с этой точки практически за один шаг. То, что точка Х(1), определенная методом диагональной релаксации, «попадает» в область выпуклости функции (1.3.1) хорошо видно по значениям параметров РД и ц, вычисляемых в методе квадратичного спуска (табл. 2.5, 2.6): величины параметров р и ц значительно меньше единицы, а величина X - больше единицы.
Сходимость различных решений уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии
Существование двух допустимых по величинам напряжений решений возможно только при задании в качестве исходных данных активных и реактивных мощностей генераторов и при рассмотрении сильно нагруженных режимов, близких к предельным по существованию решения уравнений установившихся режимов.
При задании в качестве исходных данных активных мощностей генераторов и модулей напряжения на их шинах среди полученных решений только одно соответствовало режиму с допустимыми по условиям эксплуатации величинами напряжений в узлах. Другие решения соответствовали режимам с очень низкими значениями напряжений в нагрузочных узлах, неприемлемыми в эксплуатации. Кроме того, эти режимы являлись статически апериодически неустойчивыми.
Таким образом, практически важным свойством уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии при существующей конфигурации электрической сети, структуре, размещению и мощности генерирующих источников является то, что независимо от расчетных условий реальному режиму ЭЭС соответствует «большее» решение. Остальные решения уравнений установившихся режимов соответствуют в большинстве случаев режимам с недо пустимо низкими величинами напряжении в узлах и, следовательно, являются неприемлемыми в практике эксплуатации.
Характер изменения «большего» решения при изменении режима принципиально отличается от изменения остальных решений уравнений установившихся режимов. Если при увеличении нагрузки узлов, т.е. при утяжелении режима, напряжения в узлах, соответствующие «большему» решению, уменьшаются, то напряжения в узлах, соответствующие другим, «меньшим» решениям, возрастают. При этом напряжения возрастают до значений, соответствующих предельным по существованию этих решений значений, значительно меньших номинальных. И наоборот, при снижении нагрузки узлов напряжения в узлах, соответствующие «большому» решению, увеличиваются, а напряжения в узлах, соответствующие «меньшим» решениям, уменьшаются. Таким образом, в точке «большего» решения при изменении нагрузки в узлах имеют место следующие соотношения
При утяжелении режимов последними исчезают «большие» решения. Рассмотрим условия проявления неоднозначности решения уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии при их расчете рассмотренными в работе методами. Сходимость методов минимизации к тому или иному решению уравнений установившихся режимов ЭЭС (1.1.4) зависят от формы записи уравнений установившихся режимов, способов задания и исходных данных для генераторных узлов (узлы PQ или PU), заданного исходного приближения, способов задания нагрузки (постоянной величиной мощности или статической характеристикой по напряжению) [23]. Рассмотрим влияние всех этих факторов на проявление неоднозначности решения при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии.
При исследовании влияния исходного приближения на сходимость методов к тем или иным решениям дополнительно к ранее рассмотренным исходным приближениям рассмотрим еще два. Одно из них определим как точку с координатами Х(0) = Ucp.H = {Uai = Ucp.Hi; Uri = 0 І і = 1,..., n;} (3.2.1) при решении уравнений (1.1.8) и (1.1.15) и точку с координатами Х(0) =Ucp.H ={Ui =исрл,; 5j =0i=l,..., n; j = l,..., n + 1} (3.2.2) при решении уравнений (1.1.5) и (1.1.12). где U J - среднее номинальное напряжение в узле і. В качестве другого исходного приближения примем решение линейной системы уравнений вида [21] А,(Х) = Uaiyiia + Uriyiir - (Uajyija + U0.yijr) = 0, в,(Х)=игіУііа - иаіУііг - (и .Yija - uajyijr)=о, (3 2 3) соответствующее режиму холостого хода ЭЭС. Обозначим это исходное приближение как Uxx. Исходное приближение, отвечающее номинальным значениям напряжений узлов и нулевым значениям их аргументов, обозначим вектором UH, а исходные приближения (1.2.10) и (1.2.11) обозначим как U6.
