Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор конструкций шогополюсных асинхронных двигате лей и особенности их расчета. (обзор литературы)
1.1. Анализ конструкций многополюсных однофазных асинхронных двигателей в зависимости от области применения 8
1.2. Методы построения и исследования математических моделей однофазных асинхронных двигателей 19
1.3. Выводы из обзора конструкций и методов их анализа. Постановка задачи 31
2. Исследование магнитного поля в воздушном зазоре мно гополюсных однофазных асинхронных двигателей
2.1. Основные положения и допущения 35
2.2. Магнитное поле в воздушном зазоре асинхронного конденсаторного двигателя с сосредоточенными обмотками 37
2.3. Особенности расчета магнитного поля в воздушном зазоре асинхронного двигателя с экранированными полюсами 44
2.4. Выводы 49
3. Математическая модель многополюсных однофазныхасинхронных двигателей
3.1. Система уравнений токов и напряжений ОАД с учетом высших гармонических 51
3.2. Определение индуктивных параметров многополюсных асинхронных двигателей 69
3.3. Выводы 75
4. Исследование магнитного поля пазового рассеянияасинхронного двигателя с экранированными полюсамиметодом конечных элементов
4.1. Основные положения 76
4.2. Метод конечных элементов и его применениедля расчета магнитного поля 78
4.3. Расчет магнитного поля пазового рассеяниякороткозамкнутого витка методом конечныхэлементов. Определение параметров 84
4.4. Выводы 89
5. Вопросы расчета и оптимизационного проектирования многополюсных однофазных асинхронных двигателей
5.1. Программный комплекс для расчета ОАД 92
5.2. Анализ результатов поверочных расчетов ОАД для потолочных вентиляторов и их сравнение с экспериментальными данными 94
5.2.1. Анализ результатов поверочных расчетов асинхронных исполнительных двигателей 105
5.3. Постановка задачи оптимизации ОАД для потолочных вентиляторов и выбор критерия оптимальности 108
5.4. Алгоритм оптимизационного расчета ОАД для потолочных вентиляторов 113
5.5. Анализ результатов оптимизации ОАД для потолочных вентиляторов 118
5.6. Выводы 132
Заключение 137
Литература 139
Приложение 148
- Методы построения и исследования математических моделей однофазных асинхронных двигателей
- Магнитное поле в воздушном зазоре асинхронного конденсаторного двигателя с сосредоточенными обмотками
- Определение индуктивных параметров многополюсных асинхронных двигателей
- Метод конечных элементов и его применениедля расчета магнитного поля
Введение к работе
Электротехническая промышленность является ведущей отраслью народного хозяйства СССР. Ее продукция используется почти во всех промышленных установках, в сельском хозяйстве, в быту. Электрические машины в общем объеме производства электротехнической промышленности занимают основное место, их эксплуатационные свойства имеют важное значение для всей экономики в целом.
Повышение культурного уровня и благосостояния советских людей вызывает необходимость расширения производства и совершенствования бытовых приборов, облегчающих условия труда и способствующих комфортному отдыху. К таким приборам относятся, в частности, приборы микроклимата, в которых в качестве приводных двигателей используются однофазные асинхронные двигатели различных конструкций, характерной особенностью которых является большое число полюсов (2р 16) при числе пазов на полюс и фазу равном единице.
Стремление довести до минимума число передаточных звеньев между двигателем и функционально-исполнительным механизмом часто приводит к разработке двигателей специальных исполнений. Высокие темпы роста производства этих двигателей и большие объемы их выпуска делают важной задачу улучшения их качества, снижения материалоемкости, повышения энергетических показателей. Этого можно добиться применением новых, более экономичных материалов, новой прогрессив ной технологии. Экономия материальных и энергетических ресурсов может быть достигнута и за счет расчетной оптимизации.
Однако существующие методики расчета однофазных асинхронных двигателей, разработанные применительно к машинам с небольшим числом полюсов (2р 6), не дают удовлетворительных результатов при использовании их для многополюсных однофазных асинхронных двигателей. Они не учитывают конструктивно-технологических особенное - 5 тей многополюсных машин, в первую очередь малую величину полюсного деления и относительно большое раскрытие пазов. Это приводит к неточному определению индуктивных параметров обмоток машин, связанных с магнитным полем в воздушном зазоре и полями рассеяния этих двигателей.
Отсутствие достаточно точных математических моделей приводило при разработке многополюсных однофазных асинхронных двигателей к большим затратам времени и расходам на макетирование, экспериментальные исследования и доводку.
В связи с этим возникает необходимость создания уточненных математических моделей с применением новых методов исследования электромагнитных и электромеханических характеристик, адекватно отражающих реальные физические процессы в машинах.
Перед диссертантом стояла задача создания математической модели многополюсных однофазных асинхронных двигателей с сосредоточенными обмотками, учитывающей их конструктивные и технологические особенности, бесконечный спектр пространственных гармонических магнитного поля в воздушном зазоре, и разработка на ее основе новых двигателей с улучшенными технико-экономическими показателями.
Для достижения поставленной цели в диссертации решались следующие основные вопросы:
1. Исследование магнитного поля в воздушном зазоре многополюсных однофазных асинхронных двигателей с сосредоточенными обмотками.
2. Исследование магнитного поля рассеяния обмоток двигателей.
3. Уточнение индуктивных параметров двигателей.
4. Создание новой математической модели многополюсных однофазных асинхронных двигателей с сосредоточенными обмотками.
5. Создание комплекса алгоритмов и программ поверочных и оптимизационных расчетов многополюсных однофазных асинхронных двигателей.
6. Разработка многополюсных двигателей для потолочных вентиляторов с улучшенными технико-экономическими показателями.
Первая глава диссертации посвящена обзору конструкций, методов расчета и оптимального проектирования многополюсных однофазных асинхронных двигателей.
Во второй главе исследуется поле в воздушном зазоре многополюсных однофазных асинхронных двигателей с учетом их конструктивно-технологических особенностей. Проводится гармонический анализ поля.
В третьей главе результаты исследования магнитного поля в воздушном зазоре используются для определения индуктивных параметров двигателей. Записана система уравнений электрического равновесия однофазных двигателей с произвольным углом сдвига между фазами. На ее основе как частные случаи рассматриваются конденсаторные двигатели и двигатели с экранированными полюсами.
Четвертая глава посвящена определению индуктивного сопротивления пазового рассеяния короткозамкнутого витка, основанному на расчете методом конечных элементов магнитного поля тока в произвольно расположенном в пазу проводнике.
В пятой главе рассмотрены вопросы оптимизационного проектирования многополюсных однофазных асинхронных двигателей и выработаны рекомендации по улучшению их энергетических и массо-габаритных показателей. Разработаны и внедряются в производство двигатели для потолочных вентиляторов ВПК15-пСоюзи, ВП9-иЗангезур" и ВП12-пЗанзегури с улучшенньши технико-экономическими показателями.
При исследовании многополюсных однофазных асинхронных двигателей в работе использованы аналитические, экспериментальные и численные методы, а также методы физического моделирования. Все расчеты проведены с применением ЭВМ. Программы для ЭВМ написаны на алгоритмическом языке ФОРТРАН и построены по блочному принципу.
Создание математической модели многополюсных однофазных асинхронных двигателей с сосредоточенными обмотками, опирающейся на исследование магнитного поля и теорию цепей, и на ее основе алгоритма и программ автоматизированного поиска оптимального варианта машины позволяет при разработке двигателей нового поколения обеспечить экономию энергетических и материальных ресурсов, повысить уровень качества и значительно сократить общие сроки проектирования с одновременным уменьшением объема макетных испытаний и доводочных работ.
Методы построения и исследования математических моделей однофазных асинхронных двигателей
Развитие теории и методов расчета электрических микромашин тесно связано с растущими потребностями народного хозсйства. Это в первую очередь относится к асинхронным микродвигателям для бытовых приборов, производство которых к 1990 г. составит около 35 тыс.наименований.
Расчеты асинхронных микродвигателей отличаются значительной сложностью, так как в большинстве случаев это машины несимметричные. Асимметрия обусловлена устройством и принципом действия машин, схемой питания, наличием фазосмещающих элементов, технологическими причинами. Таким образом появляется необходимость в выполнении расчетов машин в общем случае при пространственной, магнитной и электрической несимметрии, при произвольной форме питающих напряжений. Все указанные явления приводят к тому, что на работу асинхронных микродвигателей большое влияние оказывают высшие пространственные гармонические. Особенно велика их роль для двигателей с двухфазными обмотками на статоре при числе пазов на полюс и фазу я =1, у которых в кривых ВДС и поля имеются сильно выраженные третьи гармонические. Вопросам расчета и проектирования одно- и двухфазных асинхронных двигателей уделяли и уделяют большое внимание как отечественные так и зарубежные ученые. У нас в стране наиболее значительный вклад в области теории одно- и двухфазных асинхронных двигателей внесли такие видные ученые как М.П. Костенко, B.C. Кулебакин, А.И. Адаменко, Й.М. Постников, В.В. Хрущев, Ю.С. Чечет, Е.М. Лопухина, Ф.М. Юферов и др. За рубежом разработкой этих машин занимались В.Р. Динов, &іуіп$кі Т- КъопаР A/, SiefOina. j.f Sa/u;i&K s \Х/.} ТЫске-и . и др.
Работы этих авторов можно условно разделить на несколько групп. В большинстве из них рассматриваются отдельные вопросы, связанные с анализом различных показателей одно- и двухфазных асинхронных двигателей /27,28,29,30,31,32,33,41,87,89,90/.
Работы другой группы посвящены методам анализа и синтеза . двигателей, 9THxVl,2,3,4,5,6,7,8,I6,I9,88/. Сравнительно подробно обзор и критический анализ большинства работ по одно- и двухфазным асинхронным двигателям проведен в /36,37/.
Растущая и вполне заслуженная популярность математических методов проектирования и исследования технических устройств, в том числе и электрических машин, прежде всего связана со стремительным ростом возможностей ЭВМ. Они явились тем мощным средством, которое дало возможность исследователям учитывать весь комплекс факторов, определяющих сложные физические процессы в электрических машинах при минимальных упрощающих допущениях. Поэтому в последнее время большое внимание уделяется разработке методик, ориентированных на применение ЭВМ для расчетов электрических машин.
Одной из основных задач проектирования асинхронных двигателей является получение у них заданных электромеханических и электромагнитных характеристик. Поэтому основное внимание исследователей было направлено на создание расчетных методик, обеспечивающих хорошее совпадение с экспериментальными данными.
В данной работе ставится задача разработки математической модели однофазных многополюсных асинхронных двигателей с сосредоточенными обмотками для приборов микроклимата и на ее основе алгоритмов и программ поверочного и оптимизационного расчетов. Наиболее полно, как показал обзор литературы, она может решаться на основе сочетания методов: - теории цепей для составления уравнений напряжений и токов; - теории поля для определения индуктивных параметров; - поиска оптимального варианта с учетом конструктивных и технологических особенностей ОАД-ВР. Методы теории цепей
Для исследования асинхронных машин, работающих в несимметричных режимах, применяются три метода: - продольного и поперечного полей; - двух полей, вращающихся в противоположных направлениях; - симметричных составляющих.
Разработке этих методов применительно к различным асинхронным машинам посвящено большое количество работ.
Метод продольного и поперечного полей или метод двух реакций использовался в работах В.В. Хрущева и других авторов /16,37/. Суть его заключается в замене системы взаимно перемещающихся обмоток эквивалентной системой взаимно неподвижных двухфазных обмоток. Этот метод удобен при анализе переходных процессов и явнопо-люсных машин.
Второй метод основан на разложении ЭДС обмоток каждой фазы на две вращающиеся в противоположные направления. Сложение МДС одной и той же последовательности всех фаз машины дает возможность рассматривать раздельно прямое и обратное поля машины. Этот метод получил свое развитие в работах А.В. Иванова-Смоленского, И.М. Постникова, А.И. Дцаменко и др. /2,3,18,27/.
Наибольшее распространение получил метод симметричных составляющих /4,5,6,8,43,46,83/. Он позволяет получить сравнительно простые и удобные выражения, в которых параметры прямого и обратного полей учитываются раздельно. Основным преимуществом этого метода является возможность использования при расчетах таких же параметров, как и при изучении симметричных многофазных машин параметров эквивалентной фазы /I/.
Сравнение трех методов на примере конденсаторного двигателя приведено в /26/ И.М. Постниковым. Автор предпочтение отдает методу симметричных составляющих.
Ефименко Е.И. в /44/ предлагает новый метод анализа асинхронных машин с магнитной асимметрией статора, названный методом симметричных режимов, по которому реальный режим заменяется двумя расчетными режимами - прямым и обратным. На основе метода симметричных режимов разработан аппарат анализа машин с магнитной асимметрией, который можно рассматривать в качестве развития теории несимметричных машин и метода симметричных составляющих.
Наиболее сложны для расчета однофазные двигатели с экранированными полюсами (АДЭП), в которых объединены все виды асимметрии. Работы по теории АДЭП отличаются значительным разнообразием применяемых методов. При этом делаются те или иные допущения, которые в определенной степени снижают точность анализа. Выражения, описывающие основные процессы в АДЭП, оказываются весьма сложными. Поэтому вряд ли какой-нибудь из этих методов можно безоговорочно признать предпочтительным.
Первой отечественной работой, в которой сделана попытка систематического рассмотрения основных вопросов теории АДЭП, явилась статья Т.Г. Сорокера и Е.М. Лопухиной /42/. Целью этой работы было рассмотрение только основных электромагнитных процессов в двигателе и вывод формулы для расчета вращающего момента двигателя через его параметры. При этом используются два основных метода: вращающихся полей и теории двух реакций. Однако ввиду принятых в работе допущений возможен лишь качественный анализ характеристик двигателя. В работе не рассматривается влияние конструкции машины на ее параметры. Метод комплексных магнитных сопротивлений для исследования АДЭП использован в работах В.И. Мельникаса и В.А. Каткявичуса /39,40/. Сущность метода состоит в следующем. Для определенного участка магнитной цепи отношение ЬЩС к соответствующему магнитному потоку представляет собой комплексное магнитное сопротивление, которое может быть выражено через активное и реактивное удельные магнитные сопротивления и геометрические размеры участка магнитопровода. При этом действительная часть комплексного магнитного сопротивления определяется магнитной проницаемостью участка, а мнимая - активными магнитными потерями. Для определения эквивалентного магнитного сопротивления ротора его ко-роткозамкнутая обмотка заменяется эквивалентной с числом витков и осью совпадающей с осью главного потока. На основании анализа
Магнитное поле в воздушном зазоре асинхронного конденсаторного двигателя с сосредоточенными обмотками
Рассмотрим часть зазора асинхронного двигателя, развернутого на плоскость (рис.2.1). Пусть заданы Zi произвольных мгновенных значений магнитного потенциала Fl зубцов по отношению к ротору, потенциал которого принимается равным нулю. Исходя из принятых допущений, можно сказать, что на величины Fl накладывается единственное условие
Магнитные напряжения создаются токами лежащей в пазах стато-ра обмотки. Применение закона полного тока к і -ому одиночному пазу легко доказывает, что потенциал слева от паза отличается от потенциала справа от лаза на ток в пазу:
Определим значение индукции магнитного поля под пазом статора на поверхности ротора, которое определяет электромагнитное взаимодействие между статором и ротором.
Поле под пазом удобно рассмотреть как сумму "четного" и "нечетного" полей. где Jbs и (hcL - соответственно четная и нечетная функция относительной индукции под пазом. Четная часть создана полусуммой магнитных потенциалов соседних с I -ым пазом зубцов (рис. 2.2). нечетная часть - полуразностью этих потенциалов
Физически данное разложение поля на четную и нечетную составляющие можно пояснить следующим образом. Четное поле - это поле, которое повторяется вправо и влево от начала отсчета (середина паза) с одним и тем же знаком (рис. 2.3). Нечетное поле повторяется при отрицательном и положительном перемещнии от оси паза с различными знаками (рис. 2.4).
На рис. 2.5 изображены функции относительной индукции поля Jh$ под пазом, не занятым током, (кривая I), и Jboi - под пазом, занятым током кривая 2), полученные методом комформногоРассмотрим часть зазора асинхронного двигателя, развернутого на плоскость (рис.2.1). Пусть заданы Zi произвольных мгновенных значений магнитного потенциала Fl зубцов по отношению к ротору, потенциал которого принимается равным нулю. Исходя из принятых допущений, можно сказать, что на величины Fl накладывается единственное условие
Магнитные напряжения создаются токами лежащей в пазах стато-ра обмотки. Применение закона полного тока к і -ому одиночному пазу легко доказывает, что потенциал слева от паза отличается от потенциала справа от лаза на ток в пазу:
Определим значение индукции магнитного поля под пазом статора на поверхности ротора, которое определяет электромагнитное взаимодействие между статором и ротором.
Поле под пазом удобно рассмотреть как сумму "четного" и "нечетного" полей. где Jbs и (hcL - соответственно четная и нечетная функция относительной индукции под пазом. Четная часть создана полусуммой магнитных потенциалов соседних с I -ым пазом зубцов (рис. 2.2). нечетная часть - полуразностью этих потенциалов
Физически данное разложение поля на четную и нечетную составляющие можно пояснить следующим образом. Четное поле - это поле, которое повторяется вправо и влево от начала отсчета (середина паза) с одним и тем же знаком (рис. 2.3). Нечетное поле повторяется при отрицательном и положительном перемещнии от оси паза с различными знаками (рис. 2.4).
На рис. 2.5 изображены функции относительной индукции поля Jh$ под пазом, не занятым током, (кривая I), и Jboi - под пазом, занятым током кривая 2), полученные методом комформного отображения на основе теории скалярного магнитного потенциала /73/. Связь функций fib и Ы с координатой X, отсчитываемой по поверхности ротора от оси L -го паза, определяется следующими соотношениями: tf. S-K,v - величина эквивалентного воздушного зазора, T!Z - зубцовое деление статора. Для упрощения и убыстрения расчета поля с использованием ЭВМ введем относительную координату в тангенциальном направлении
Тогда с учетом (2.10) (2.8) можно записать: В общем случае расчет поля и связанных с ним индуктивных параметров ОАД ведется раздельно для главной и вспомогательной фаз, что продиктовано необходимостью учета различной конфигурации пазов (неодинаковые раскрытие и расположение по диаметру). Рассмотрим решение задачи более подробно на примере главной фазы, выполненной с диаметральным шагом при Оу =1.
Известно, что ЩС одной диаметральной катушки с числом вит ков W« имеет вид прямоугольной пульсирующей волны, ее амплитуда определяется /74/ выражением
На рис. 2.6 изображен один период распределения ЦЦС главной фазы (два полюсных деления) АКД, В первом, третьем и пятом пазах расположены проводники главной фазы, во втором и в четвертом -вспомогательной фазы. Раскрытие пазов вспомогательной фазы больше раскрытия пазов главной фазы. Так как исследуемая функция является симметричной, расчет поля можно выполнить на половине полюсного деления на участке между осями первого и второго пазов. Как видно из; рис. 2.6, у первого паза ЩС имеет только нечетную составляющую, у второго - только четную. Из (2.8) следует, что при \Кі{ равном или большем Др +2$ jbd и, следовательно, fis (2.9) отличаются от единицы очень незначительно. Посередине зубцового деления (У=1) относительную индукцию можно принять равной
Определение индуктивных параметров многополюсных асинхронных двигателей
Так как многополюсные ОАД обычно ненасыщенные, то их параметры практически не изменяются в зависимости от режима работы. Особое внимание уделим определению индуктивных сопротивлений взаимоиндукции статора и ротора и сопротивления дифференциального рассеяния обмотки статора на основе исследования магнитного поля в воздушном зазоре машины.
Как известно, индуктивное сопротивление - это коэффициент пропорциональности между ЭДС переменного тока Е, которые индуктируются магнитным полем, и током I, создающим это поле где Еv - ЭДС У -ой гармонической поля Магнитный поток Ф\ \) -ой гармонической определяется следующим соотношением где ь - активная длина машины; Tv - полюсное деление У -ой гармонической
Коу - обмоточный коэффициент V -ой гармонической. Значение индукции в воздушном зазоре определяется следующим соотношением Учитывая, что рассматриваемые двигатели имеют о/ 1, амплитуда ВДС обмотки статора равна
При совместном решении (3.58)-(3.62) получим где /Зу - амплитуда У -ой гармонической индукции в воздушном зазоре в относительных единицах. Имея распределение магнитного поля для фаз А и В (см. гл. 2) и принимая во внимание (3.60) можно написать для сопротивлений взаимоиндукции их с ротором: где j2 jfV и /3J3V - амплитуды У -ых гармонических индукции соответственно фаз А и В в относительных единицах. Индуктивные сопротивления взаимоиндукции по основному полю между обмотками фаз статора XmA&v для АДЭП равно где JZAV - амплитуда \) -ой гармонической индукции обмотки возбуждения в относительных единицах.
Относительные индукции /Зу для гармонических поля по осям об и р отличаются друг от друга. Это обстоятельство при одинаковых обмоточных данных приводит к различию индуктивного сопротивления взаимоиндукции статора и ротора Xyriv по соответствующим осям, а также к появлению индуктивной связи между токами прямой и обратной последовательностей ротора.
Как известно /50/, дифференциальное рассеяние представляет из себя разность между полным полем воздушного зазора и его основной гармонической. Когда ротор выполнен в виде беличьей клетки, то для токов, наведенных высшими гармоническими, образуются контуры с малым сопротивлением. При этом происходит ослабление поля соответствующей гармонической статора токами, которые наво дятся ими в обмотках ротора. Это ослабление учитывается коэффициентом демпфирования /77/: для гармонических, которые не входят в систему уравнений (3.45).
Индуктивные сопротивления рассеяния обмоток статора АКД для главной фазы где )\пьд, Xns&j Ау» л, Д/is/a - коэффициенты магнитной проводимости пазового и лобового рассеяния для фаз А и В. В общем случае АПЬА Ф Лте и /1/»SA Т Л/ise , их необходимо определять отдельно для каждой фазы в зависимости от размеров и формы паза, а также от типа обмотки /II/.
Поскольку у ДДЭП стороны КЗ витка лежат в разных пазах, то для разных сторон ее магнитная проводимость разового рассеяния будет отличаться друг от друга. Магнитную проводимость пазового рассеяния стороны КЗ витка, лежащего в "собственном" пазу АП$Б можно определить по общепринятым формулам, приведенным например в /II/. Нетрадиционное расположение второй стороны КЗ витка в "большом" пазу не позволяет без грубых допущений определить магнитную проводимость пазового рассеяния этой стороны. В данной работе определение магнитной проводимости пазового рассеяния стороны КЗ витка, лежащей в "большом" пазу и проводимости его взаимной индуктивности с обмоткой возбуждения проводится на основе решения полевой задачи.
Поскольку магнитная проводимость пазового рассеяния для разных сторон КЗ витка различна, индуктивное сопротивление рассеяния КЗ витка где Ап$4. - проводимость поля пазового рассеяния стороны КЗ витка, лежащей в "большом" пазу.
Индуктивное сопротивление рассеяния обмотки возбуждения ДЦЭП определяется по Сопротивление взаимной индукции по полям рассеяния между КЗ витком и обмоткой возбуждения в ДЦЭП определится следующим выражением где Тіп&Аіь - проводимость взаимной индуктивности между обмоткой возбуждения и стороной КЗ витка, лежащей в "большом" пазу по полям пазового рассеяния.
Имея систему уравнений токов и напряжений с учетом высших гармонических и определив все параметры можно рассчитать характеристики ОДЦ в любом режиме. Так как коэффициент насыщения /i/v много-полюсннх ОДЦ обычно не велик ( rfyv/ = 1,1 - 1,25), он принимается одинаковым для всех гармонических. Величина AV определяется на основе расчета магнитной цепи и уточняется с помощью итераций. По разработанной математической модели составлены и отлажены FORTRAN - программы применительно к ВС ЭВМ поверочных и оптимизационных расчетов многополюсных двигателей с внешним ротором, предназначенных для потолочных вентиляторов. Подробное описание программного комплекса и анализ результатов расчетов приведены в гл. 5.
Метод конечных элементов и его применениедля расчета магнитного поля
В ряде работ /67,68/ показана эффективность расчета магнитного поля в электрических машинах и других электромагнитных устройствах методом конечных элементов. При этом считается, что кривые намагничивания ферромагнитных материалов - однозначны, токи распределены по токонесущим областям равномерно, магнитное поле машины зависит только от двух пространственных координат Х,У. Принимая эти допущения, магнитное поле можно описать /21/ уравнениями:
Для облегчения определения поля вводится векторный магнитный потенциал А, который определяется соотношением Используя (4.1) и (4.2) и принимая во внимание, что векторы А и «7 имеют составляющие только по оси Z , можно записать в декартовой системе координат Уравнение (4.3) при использовании МКЭ не решается непосредственно. Краевая задача заменяется эквивалентной вариационной, суть которой заключается в минимизации нелинейного энергетического функционала
Применение МКЭ начинается с разбиения исследуемой области на треугольники (триангуляция). Их число, размеры и расположение может быть совершенно произвольным: необходимо лишь, чтобы стороны треугольников проходили по границам раздела сред. Применение неравномерной сетки позволяет брать больше узлов там, где градиент рассчитываемой функции больше, и наоборот. В каждом треугольнике Т закон изменения векторного магнитного потенциала заменяется полиномом невысокой степени:
Значения А в вершинах треугольника i, rr , К равны Для составляющих вектора магнитной индукции по осям X и У в треугольнике Т воспользуемся соотношениями (4.2). Получим Минимизация функционала (4.4) достигается построением и решением системы нелинейных уравнений где А - число узлов сетки, в которых надо определить А. Для любого треугольника с вершинами І, л/ К дифференцирование по Ар дает результат отличный от нуля только в том случае, если р равно одному из номеров вершин этого треугольника. Согласно /68/ для каждой вершины треугольника Т можно записать
Таким образом для каждого треугольника Т можно получить три уравнения Используя (4.13) для всех треугольников области, составляется система нелинейных алгебраических уравнений, решение которой приводит к минимуму функционала (4,4.).Число уравнений системы равно числу точек, в которых рассчитываются векторные магнитные потенциалы.
Как показано в /51/, при решении больших систем нелинейных алгебраических уравнений быструю сходимость обеспечивает метод Ньютона. Решение системы нелинейных уравнений заменяется последовательным решением системы алгебраических линейных уравнений где J - якобиан функций /е , построенный в / -той итерации; /е(АЛ ; іД] - вектор невязок системы (4.20); л Аг - вектор поправок, вычисленный при решении (4.21) и позволяющий найти уточненные значения переменных. Для решения большой системы линейных алгебраических уравнений используются многие методы /24/: итерационные, методы быстрого преобразования Фурье, методы исключения. Одним из наиболее эффективных методов исключения, как показано в /20/, является метод исключения Гаусса.
Пусть имеем систему уравнений в матричной форме При применении метода исключения Гаусса из матрицы К сначала исключаются неизвестная Ui из последних М-і уравнений, затем из последних N-2 уравнений исключается Uz и т.д.; наконец, исключается Qw-i из последнего уравнения. Система (4.22) преоб разуется в эквивалентную систему заключается в разложении матрицы К в произведение l U нижней треугольной и верхней треугольной матриц, а решение системы Lux=F сводится к решению систем с треугольными матрицами /20/. - 84 Рассмотрим магнитное поле стороны короткозамкнутого витка, расположенной в "большом" пазу (рис. 4.1). Область расчета включает в себя часть паза без тока, КЗ виток с равномерно распределенным током и прилегающие стальные стенки. Толщина стальных стенок выбирается из условия проникновения в них поля /9/. Можно утверждать, что значение векторного магнитного потенциала на границах АВ и СД постоянны, (их можно принять равными нулю). Граница ВС является дном паза, граница АД принадлежит противоположному магнитопроводу-ротору. На этих границах должны быть удовлетворены условия Неймана, т.е. касательные составляющие вектора магнитной индукции равны нулю.
Как было отмечено в 4.2, стороны треугольников не должны пересекать границы раздела сред. Поэтому разбиение области на треугольники необходимо начать с разбиения исследуемой области ломаными линиями, так чтобы они не пересекали друг друга и проходили по границам раздела сред. Выбирая на этих ломанных линиях точки можно разбить всю область на треугольники, причем, там где это необходимо берется большее число точек (4.2). Для построения треугольной сетки используется алгоритм, описанный в /69/.
Область расчета магнитного поля короткозамкнутого витка в "большом" пазу ДЦЭП-ВР в окончательном виде будет иметь вид, приведенный на рис. 4.2. Далее составляется система уравнений (4.II), порядок которой равен числу вершин треугольников, в которых должны быть рассчитаны значения векторного магнитного потенциала. Для составления и решения системы уравнений с целью определения значений векторного магнитного потенциала в расчетных точках рис. 4.2 при
