Содержание к диссертации
Введение
1. Математическое моделирование дуги в коммутационных многостадийных процессах 9
1.1. Интегральные динамические модели электрической дуги 9
1.1.1. Динамические модели дуги с постоянными параметрами 10
1.1.2. Динамические модели дуги с переменными параметрами 14
1.1.3. Динамические модели дуги с изменяющимися геометрическими размерами 18
1.2. Методы определения параметров моделей электрической дуги 21
1.2.1. Определение параметров моделей электрической дуги по
специально спланированным опытам 21
1.2.2. Идентификация параметров моделей электрической дуги 24
1.3. Устойчивость электродуговых систем по первому приближению 28
1.4. Выводы 32
2. Разработка математических моделей дуги в дугогасительных системах 34
2.1. Построение математической модели дуги с изменяющимися геометрическими размерами 34
2.2. Разработка методов определения параметров моделей электрической дуги . 39
2.2.1. Постановка задачи 39
2.2.2. Особенности применения методов оптимизации для определения параметров моделей электрической дуги 41
2.3. Алгоритмы определения параметров моделей электрической дуги 45
2.3.1. Определение интегральных оценок параметров динамических моделей дуги с постоянными коэффициентами 46
2.3.2. Определение локальных оценок параметров динамических моделей дуги с постоянными коэффициентами 51
2.3.3. Определение интегральных оценок параметров моделей дуги с изменяющимися геометрическими размерами 53
2.3.4. Определение локальных оценок параметров моделей дуги с изменяющимися геометрическими размерами 58
2.3.5. Проверка адекватности модели дуги 62
2.4. Выводы 70
3. Режимы контактно-дугогасительных систем при многостадийной коммутации 71
3.1. Определение условий реализации стадии растяжения параллельных дуг в процессе коммутации 72
3.2. Существенность малых параметров 76
3.3. Критерии устойчивости параллельных дуг 80
3.4. Выводы 91
4. Разработка аппаратов, осуществляющих периодическую коммутацию цепи 92
4.1. Струйные частотные коммутаторы 94
4.2. Частотные коммутаторы со скользящим контактом 102
4.3. Частотные коммутаторы с катящим контактом 108
4.4. Расчет основных параметров контактно-дугогасительных систем частотных коммутаторов 108
4.4.1. Оценка токонесущей способности струи жидкого металла 110
4.4.2. Расчет электродинамической устойчивости струи жидкого металла 124
4.5. Выводы 133
5. Расчет и экспериментальное исследование сильноточных коммутационных аппаратов с жидкометаллическими контактами 134
5.1. Экспериментальное исследование и расчет частотных коммутаторов 134
5.1.1. Оптимизация параметров струйного частотного коммутатора 135
5.1.2. Частотный коммутатор с композиционным скользящим контактом 142
5.1.3. Частотный коммутатор с герметизацией контактной системы 144
5.1.4. Частотный коммутатор со скользящим жидкометаллическим контактом . 148
5.2. Расчет и экспериментальное исследование сильноточного шунтирующего выключателя с жидкометаллическими контактами 153
5.2.1. Разработка и исследование сильноточного шунтирующего выключателя мостикового типа с жидкометаллическими контактами 153
5.2.2. Оптимизация контактно-дугогасительной системы шунтирующего выключателя 161
5.3. Выводы 165
Заключение 166
Библиографический список 168
Приложение
- Методы определения параметров моделей электрической дуги
- Разработка методов определения параметров моделей электрической дуги
- Критерии устойчивости параллельных дуг
- Расчет основных параметров контактно-дугогасительных систем частотных коммутаторов
Введение к работе
Коммутационные аппараты являются наиболее распространенным средством автоматизации производственных процессов. С их помощью производится распределение электрической энергии, регулируются режимы работы, производится защита электроустановок. При проведении физических экспериментов, а также в таких отраслях промышленности как металлургическая, химическая, для технологических целей используются токи большой величины - 10000 -ь 200000 А при низких напряжениях.
Гашение сильноточной дуги в коммутационных аппаратах постоянного тока
низкого напряжения в основном осуществляется за счет механического, электро
магнитного растягивания дуги или комбинации таких воздействий на дугу. При
разработке математических моделей процессов в контактно-дугогасительных сис
темах сильноточных коммутационных аппаратов целесообразно выделить из пол
ного цикла включенного и отключенного состояния» контактной системы аппарата
основную задачу, решение которой позволяет получить наилучший результат. Так
на стадии отключения важнейшей задачей является создание таких условий горе
ния дуги, чтобы дугогасительным контактам был бы нанесен минимальный вред за
счет электродуговой эрозии. Эта задача должна решаться с учетом того, что при
быстром гашении дуги, то есть быстром уменьшении тока в цепи с индуктивно
стью могут возникнуть недопустимые перенапряжения. Поэтому этапу гашения
дуги должен предшествовать этап токоограничения за счет увеличения сопротив
ления дуги. В работе показано, что на этапе токоограничения в системе с парал
лельными дугогасительными контактами возможно создание условий для сущест
вования параллельных дуг. Реализация условий существования параллельных дуг
на начальной стадии отключения позволило увеличить коммутационную способ-
-, ность контактно-дугогасительной системы шунтирующего выключателя. Показано
; также, что параллельное дугогашение применимо и в ваккумных выключателях.
Разработка конструкций нового класса коммутационных аппаратов, частот-ных коммутаторов, вызвана необходимостью проведения крупномасштабных физических экспериментов. Одной из наиболее сложных проблем является разработка быстродействующих сильноточных коммутационных аппаратов, обеспечивающих
синхронное переключение тока из цепи индуктивного накопителя в цепь нагрузки. Эти аппараты должны иметь возможность осуществлять как многократную, а так и периодическую коммутацию цепи. Перспективным направлением в решении этой проблемы является использование многоступенчатой коммутации, при которой аппараты различных ступеней удовлетворяют ограниченному набору требований по уровню напряжения, длительности протекания тока, падению напряжения. Для создания аппаратов, осуществляющих периодическую коммутацию цепи, необходимо разработать новые контактные узлы и дугогасительные системы.
Целью работы является повышение эффективности контактно-дугогаситель-ных систем сильноточных коммутационных аппаратов с удлиняющейся дугой за счет использования дугогашения на параллельных контактах.
Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решались следующие задачи:
Разработка математической модели электрической дуги отключения в коммутационных аппаратах с удлиняющейся дугой.
Разработка методики определения' параметров модели электрической, дуги по результатам пассивного эксперимента.
Определение условий, обеспечивающих устойчивость горения параллельных дуг в процессе коммутации цепи на стадии токоограничения.
Проведение анализа токонесущей способности струи жидкого металла.
Разработка методики расчета и оптимизации контактно-дугогасительных систем частотных коммутаторов с жидкометаллическими контактами и сильноточного шунтирующего выключателя.
Разработка новых сильноточных коммутационных аппаратов с высокой коммутационной способностью и малым контактным сопротивлением в рабочем режиме, без использования дополнительных средств на этапе дугогашения.
Математическое моделирование электрической дуги отключения осуществляется с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений. Для получения метода определения параметров моделей дуги, была сформулирована задача нелинейного оценивания и решена методами нелинейной оптимизации. При, решении оптимизационных задач использовались метод наименьших квадратов, метод скорейшего спуска, метод неопределенных множителей Лагранжа в виде условий Ку-
7 на-Таккера. Устойчивость в малом исследовалась с применением алгебраических критериев.
Получена математическая модель электрической дуги отключения в сильноточных коммутационных аппаратах, которая позволят анализировать многостадийные процессы коммутации при изменении геометрических размеров дуги. Разработана методика определения параметров моделей электрической дуги по результатам пассивного эксперимента и программы, реализующие ее на ЭВМ. Решены задачи по оптимизации параметров жидкометаллической струи частотного коммутатора и контактно-дугогасительной системы шунтирующего выключателя. Внесены предложения на уровне изобретений по разработке контактно-дугогасительных систем сильноточных коммутационных аппаратов.
На защиту выносятся следующие основные результаты и научные положения:
динамическая модель электрической дуги отключения с изменяющимися геометрическими размерами;
методика определения параметров, моделей электрической дуги отключения, по результатам пассивного эксперимента, применимая к широкому классу интегральных динамических моделей дуги;
результаты анализа отключения электрической цепи как многостадийного процесса;
результаты анализа токонесущей способности струи жидкого металла;
методика расчета основных параметров сильноточных коммутационных аппаратов с удлиняющейся дугой с элементами оптимизации их контактно-дугогасительных систем.
Разработанная математическая модель электрической дуги отключения в сильноточных коммутационных аппаратах с учетом изменения геометрических размеров дуги и метод определения ее параметров позволили получить методику расчета повышения эффективности контактно-дугогасительных систем сильноточных коммутационных аппаратов: сильноточного шунтирующего выключателя с жидкометаллическим рабочим телом на ток 24000 А, напряжение 100 В и частотных коммутаторов с жидкометаллическими контактами. Внесены предложения на уровне изобретений по разработке контактно-дугогасительных систем сильноточных коммутационных аппаратов.
8 Результаты представленной диссертационной работы внедрены в Филиале института атомной энергии им.И.В.Курчатова, ОАО «Волжская ТГК», ООО Управляющая компания «Электрощит»-Самара». Результаты работы использовались при выполнении госбюджетной НИР министерства образования Российской Федерации по теме «Исследования адаптивных электродинамических моделей электрической дуги в электрических аппаратах» и в учебном процессе ГОУ ВПО «Самарский государственный технический университет».
Основное содержание и отдельные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзной научно-технической конференции «Специальные коммутационные элементы», г.Рязань, 1984; Пятой Всесоюзной научно-технической конференции «Состояние и перспективы развития производства аппаратов низкого напряжения», г.Ульяновск, 1985г.; Всесоюзном научно-техническом совещании «Пути повышения качества и надежности электрических контактов», г.Ленинград, 1986 г.; X, XI Всесоюзных конференциях «Генераторы низкотемпературной плазмы», г.Каунас, 1986 г., г.Новосибирск, 1989 г.; Всесоюзном семинаре «Пути повышения качества и надежности жидкометаллических контактов», г.Каунас, 1987 г.; III Всесоюзной научно-технической конференции «Проблемы нелинейной электротехники», г.Киев, 1988 г.; областной научно-технической конференции, посвященной 60-летию института, г.Куйбышев, 1990 г.; Всесоюзном семинаре «Нестационарные дуговые и приэлектродные процессы в электрических аппаратах и плазмотронах», г.Улан-Удэ, 1991 г.; региональном межотраслевом семинаре «Автоматизация информационных, технологических и управленческих процессов», г.Самара, 1991 г.; Международном симпозиуме по электрическим контактам, г.Алма-Ата, 1993 г.; Международной конференции «Электрические контакты», г.Санкт-Петербург, 1996 г.; 2-ом Международном симпозиум по энергетике, окружающей среде и экономике, г.Казань, 1998 г.; Международной конференции «Надежность и качество в промышленности, энергетике и на транспорте», г.Самара, 1999 г.; Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы электротехники, электроэнергетики и электротехнологии», г.Тольятти, 2004 г.; IX Симпозиуме «Электротехника 2030 год», Московская обл., 2007 г.
Методы определения параметров моделей электрической дуги
После того, как структура модели определена, встает вопрос об определении неизвестных параметров, входящих в уравнение модели дуги. Неизвестными параметрами в рассмотренных выше моделях являются постоянная времени дуги, мощность теплоотвода от ствола дуги и т. д. Для их определения разработан ряд экспериментальных методов. Все методы можно разделить на методы, в которых параметры дуги определяются в результате специально спланированных опытов, и методы, в которых используются временные зависимости тока i(t) и напряжения и(t), снятые во время обычных эксплуатационных испытаний. Последняя группа методов значительно дешевле первой и, базируясь на использовании численных методов и современных средствах вычислительной техники, находит все более широкое применение.
Методы определения параметров моделей дуги по специально спланированным опытам основаны на физическом моделировании с использованием дополнительных экспериментальных устройств, которые обеспечивают режим протекания тока дуги с особыми свойствами, что позволяет просто рассчитать параметры электрической дуги.
Наиболее известный метод из этого класса заключается в том, что за счет наложения на коммутационную дугу токов высокой частоты, моделируются дополнительные переходы тока через нуль [45]. На рисунке 1.1 представлена схема цепи, которая позволяет реализовать этот метод. Через испытуемый коммутационный аппарат, характеризуемый проводимостью g, протекает ток /0 со стандартной частотой 50 Гц. В заданный для определения параметров дуги момент времени срабатывает разрядный промежуток F2 и включает цепь наложения тока /,, имеющего частоту 20 кГц (для воздушного выключателя) или 70 кГц (для элегазового выключателя). Ток ц имеет такую амплитуду, которая обеспечивает переход суммарного тока / через нуль. Ток снимается с шунта RS, а напряжение с делителя напряжения RP. Параметры модели Майра в этом случае определяются по следующим выражениям:
Так как определение постоянной времени производится в точке / = 0, когда проводимость g имеет неопределенное значение, то величина проводимости в выражении (1.42) должна находиться путем интерполяции: где t0 - момент времени, когда і = 0;
At- интервал времени, через который производится регистрация значений тока и напряжения в эксперименте.
В случае наличия паразитных индуктивностей и емкостей в испытательной схеме между током и напряжением может появиться некоторый сдвиг фаз, что ведет к существенным погрешностям при определении постоянной времени.
В работе [46] рассмотренный метод был модифицирован таким образом, чтобы ток наложения не вызвал перехода суммарного тока через нуль. В этом случае величина мощности теплоотвода определяется по выражению (1.43), а затем рассчитывается величина постоянной времени:
Эти методы имеют тот недостаток, что наряду с дорогими стационарными испытательными стендами необходимо иметь дополнительные устройства и что во время каждого коммутационного испытания могут быть определены лишь несколько значений 9 и Р0. Поэтому определение зависимостей в и Р0 от проводимости или других параметров цепи требует проведения большого числа испытаний.
Расчетные методы позволяют осуществить анализ стандартных эксплуатационных испытаний коммутационных аппаратов. Преимущество таких методов состоит в том, что они позволяют во время переходного процесса определить параметры модели дуги без применения дополнительных дорогостоящих устройств. Однако большой объем расчетных работ требует использования ЭВМ.
Во время ограниченного применения ЭВМ в инженерной практике для определения параметров дуги использовались графические построения. Один из таких методов, предложенный в работе [46], служит для определения параметров модели Майра:
Разработка методов определения параметров моделей электрической дуги
Задача по определению параметров динамических моделей дуги формулируется в общем виде следующем образом [62, 60]. Пусть имеется система дифференциальных уравнений вида: где а- вектор определяемых параметров, например, в случае модели Майра - это постоянная времени дуги и мощность теплоотвода от ствола дуги.
Часть переменных х,-, например, проводимость дуги, не могут быть непосредственно получены в эксперименте, а определяются по наблюдаемым переменным yj, например, току и напряжению дуги: где — вектор случайных величин, влияющих на измерения в момент времени /.
Положим, что форма функций ft и hj и статистические свойства известны. Тогда, задача заключается в нахождении оценки для вектора параметров а по наблюдаемым значениям у. Для этого могут использоваться такие известные методы, как метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия, байесовский метод оценивания [63, 64]. Наибольшее распространение в практических расчетах для оценивания параметров получил метод наименьших квадратов, так как использование его не требует знания закона распределения ошибок наблюдений. Известно, что в случае нормального закона распределения ошибок наблюдений, оценки по методу наименьших квадратов совпадают с оценками по методу максимального правдоподобия [65]. Для получения оценок вектора параметров методом наименьших квадратов необходимо минимизировать функцию суммы квадратов невязок:
Задача нелинейного оценивания, выраженная в форме условия минимума функции (2.16), является задачей оптимизации в пространстве параметров, когда величины х/с и хк считаются заданными, а параметры а - переменными; п число наблюдений в выборке исходных данных.
Многие методы решения задачи детерминистической нелинейной оптимизации [66, 67] можно с успехом перенести и на данную задачу. Описанный метод всегда позволяет получить оценки параметров модели дуги, но по следующим причинам этим оценкам не всегда можно давать широкую физическую интерпретацию.
Во-первых, принимаемая форма функции f(x,a,t), то есть структура модели, всегда в некоторой степени является предположительной, так как получается при пренебрежении некоторыми эффектами, которые предполагаются малыми или не существенными. Поэтому можно говорить лишь о получении оценок параметров модели дуги, отличающихся от соответствующих параметров самой дуги в той степени, в которой модель описывает поведение дуги. Во-вторых, если малым изменениям значений переменных соответствуют большие изменения параметров, а эксперименты проводятся в небольшой зоне возможных изменений переменных, то в этом случае по результатам наблюдений можно прийти к неверным оценкам параметров. Следовательно, для достоверной оценки параметров модели дуги, диапазон изменения переменных величин, входящих в модель, должен, по возможности, охватывать всю рабочую область, а распространение полученных результатов за пределы диапазона экспериментов нужно производить очень осторожно.
Для идентификации параметров моделей дуги необходимо минимизировать целевую функцию, представляющую собой сумму квадратов невязок (2.16). Минимизация целевой функции в этом случае должна осуществляться либо в один, либо в два этапа [60]. Это зависит от того, какую оценку - локальную или интегральную, необходимо получить.
На первом этапе минимизации естественно использовать метод наименьших квадратов, так как он не требует знания начального приближения при определении неизвестных. Метод наименьших квадратов дает интегральную оценку параметров модели дуги по обрабатываемой выборке экспериментальных данных. Дальнейшее уточнение значений параметров для каждого наблюдения возможно провести одним из градиентных методов [66, 67], например, методом скорейшего спуска, начальные приближения параметров для которого, целесообразно взять из расчета по методу наименьших квадратов.
Метод наименьших квадратов может применяться для идентификации моделей, которые линейны по параметрам [68]. Поэтому прежде чем приступить к минимизации целевой функции суммы квадратов невязок (2.16), которые для многих моделей дуги являются нелинейными относительно параметров модели, необходимо путем замены переменных привести ее к линейному виду [69]. Метод скорейшего спуска можно применить для минимизации лишь положительно определенных форм типа (2.16) [67]. Положительно определенной функция (2.16) будет в том случае, если для всех ненулевых вектора а выполняется неравенство [70]: где а- вектор параметров; х - матрица коэффициентов.
Таким образом, прежде чем минимизировать целевую функцию (2.16), необходимо доказать, что она является положительно определенной. Уточнение параметров производится до тех пор, пока значение градиента или функции Ф(я) не станет меньше наперед заданной малой величины є.
Если данные в обрабатываемой выборке сильно зашумлены, то параметры модели дуги, определенные методом наименьших квадратов или методом скорейшего спуска, могут принимать отрицательные значения, что противоречит их физическому смыслу. В этом случае целесообразно использовать для идентификации параметров методы условной оптимизации, например, метод комплексов [67]. Этот метод относится к методам прямого поиска и сходится значительно медленнее, чем градиентные методы, но практически всегда позволяет получить удовлетворительные результаты. В случае, если и методом комплексов не удается определить параметры модели дуги с требуемой точностью, то это значит, что либо необходимо более тщательно провести эксперимент, для того чтобы получить незашумленные данные, либо следует сделать вывод о том, что модель, для которой определяются параметры, неадекватно описывает поведение дуги, то есть необходимо перейти к другой модели дуги, а процедуру идентификации начать сначала.
Критерии устойчивости параллельных дуг
Анализируя расположение кривых на рис. 3.4, можно сделать заключение, что в начальный период горения дуги при определенных скоростях ее растяжения и положительного знака перед производной поперечного сечения дуги, условие устойчивости параллельных дуг RdJ + г,- 0 можно обеспечить даже без дополнительных балластных сопротивлений в ветвях с дугами. Поперечное сечение дуги увеличивается, то есть dS/dt О, когда теплосодержание в стволе дуги больше, чем те-плоотвод от поверхности ствола дуги:
Соотношение (3.28) соблюдается в первой части процесса горения растягивающейся дуги, при условии, что поперечное сечение дуги при ее возникновении было небольшим и расширялось в процессе горения, как это показано на рис. 2.5. Ситуация, когда поперечное сечение дуги сначала расширяется, не так уж редка. Она возникает, если в качестве промежуточного рабочего тела между твердометал-лическими контактами используется.жидкий металл, и на стадии размыкания, контактов образуется жидкометаллический мостик. После разрыва жидкометалличе-ского мостика дуга загорается между твердометаллическим подвижным контактом и остатками жидкометаллического мостика, сечение которого мало по сравнению с сечением ствола дуги.
Для нахождения характеристического уравнения динамической системы возможно использование передаточных функций, связывающих между собой входной и выходной сигналы. В этом случае изучается устойчивость в пространстве сигналов. Одной и той же передаточной функции может соответствовать неограниченное число описаний в различных пространствах состояний.
Если выбрать передаточную функцию для электродуговой цепи такой, чтобы произвольный по виду входной сигнал был мал по величине, то в соответствии с теоремой Малкина [88] отклонения переменных состояния будут таюке малы при длительно действующих возмущениях в случае отрицательных корней знаменателя передаточной функции,или числителя обратной функции. Для трех параллельных дуг, горящих в активно-индуктивной цепи, в качестве такого сигнала может быть выбрано напряжение на зажимах цепи со стороны источника или суммарный ток
Это характеристическое уравнение совпадает с уравнением (3.21), полученным ранее по системе уравнений (3.18) - (3.20).
Простейшая передаточная функция представляет собой отношение полиномов первого порядка, может быть использована и для вакуумных дуг. Как показали исследования, проведенные Ульяновым К.Н. [89], проводимость дуги зависит от собственного и внешнего магнитного поля, мгновенное изменение которого не возможно при наличии дополнительных контуров для создания поля. Из этого следует, что активное сопротивление дуги не меняется скачком, и при повышенных частотах равняется отношению коэффициентов при старших членах полиномов числителя и знаменателя передаточной функции. Как показано в работе Белкина Г.С. [90], дифференциальное сопротивление вакуумной дуги является положительным при токах более 1000 А. В монографии Раховского В.И. [91] приведены вольт-амперные характеристики дуги в вакууме на электродах из меди, вольфрама, серебра для диапазона токов 10 - 500 А, также с положительным дифференциальным сопротивлением. То есть, параллельные дуги в вакууме могут устойчиво гореть вплоть до приближения переменного тока к нулю и эффективно выполнять токоо-граничивующую роль за счет увеличения своего сопротивления. Аналогичные выводы можно сделать и о параллельных дугах в воздухе. Так в работе Кулакова П.А., Новикова О.Я., Тимошевского А.Н. [56] приведены вольт-амперные характеристики воздушных параллельных дуг в плазмотронах в диапазоне токов 150 - 400 А с положительным дифференциальным сопротивлением.
Режим функционирования коммутационных аппаратов целесообразно рассматривать в виде отдельных этапов или стадий. На каждой стадии один из протекающих процессов является доминирующим относительно других процессов. Поэтому важно определить условия либо для сохранения этого режима (условия устойчивости режима), либо выявить условия нарушающие устойчивость режима. На предыдущей стадии формируются начальные условия для следующей стадии.
Подтверждено, что исследование устойчивости много дуговых систем следует проводить в два этапа — анализ устойчивости быстрой подсистемы и анализ устойчивости медленной подсистемы. Пренебрежение одним из них может приводить к неверным выводам.
Выявлены условия, которые могут обеспечить устойчивость горения параллельных дуг в процессе коммутации цепи на стадии токоограничения. Показано, что в начальный период горения дуги при определенных скоростях ее растяжения и положительного знака перед производной поперечного сечения дуги, условие устойчивости параллельных дуг Rdj + rj 0 можно обеспечить даже без дополнительных балластных сопротивлений в ветвях с дугами.
Расчет основных параметров контактно-дугогасительных систем частотных коммутаторов
Основными параметрами, характеризующими работу частотных коммутаторов, являются: номинальный коммутируемый ток, рабочее напряжение, частота коммутации, ресурс работы, надежность функционирования. Так как, конструкции частотных коммутаторов со струйным, скользящим или катящим контактами, существенно различаются друг от друга, затруднительно рекомендовать общую методику для расчета их контактно-дугогасительных систем. Поэтому определение основных параметров частотных коммутаторов будем рассматривать применительно к конкретным типам конструкций. Как уже отмечалось выше, струйные частотные коммутаторы наиболее просто, по сравнению с другими конструкциями, позволяют осуществлять периодическую коммутацию сильноточных цепей. Основным токонесущим элементом в струйном частотном коммутаторе является струя жидкого металла. На рис. 4.10 показана упрощенная картина коммутации цепи жидкометаллической струей. Струя жидкого металла 1 выбрасывается из объема 2, который одновременно служит одним из полюсов аппарата, и, достигнув второго полюса 3, замыкает цепь.
Цепь остается замкнутой некоторое время - /и , называемое временем импульса. Жидкий металл, достигнув.электрода 3, выходит из рабочего цикла, например, стекая1 вниз по- электроду в какую-то вспомогательную емкость. Эта модель наиболее характерна для рассмотренных в параграфе 4.1 компоновок частотных коммутаторов. В рассматриваемой модели струи приняты следующие допущения [104]. 1. Струя имеет одинаковое сечение S по всей своей длине /. 2. Жидкость в струе является несжимаемой. 3. Скорость жидкого металла постоянна во всех точках объема струи. 4. Струя вытекает из неограниченного объема с постоянной начальной температурой Т0. 5. Сопротивление среды струе жидкого металла пренебрежимо мало. Учитывая принятые в модели струи допущения, общая система уравнений, описывающая распространение тепла в вещественной среде [105] для единицы объема струи жидкого металла, имеет следующий вид: Здесь у— плотность жидкого металла, кг/м ; с — удельная теплоемкость жидкого металла, Дж/кг-град; Я - коэффициент теплопроводности, Вт/м-град; Т- температура жидкого металла, К; v - скорость жидкого металла в струе, м/с; q - внутренний источник тепла, Вт/м . Первое уравнение является уравнением конвективного теплообмена жидкоме-таллической струи.
Второе представляет собой уравнение движения и показывает, что скорость жидкого металла в струе постоянна. Третье - уравнение сплошности (оно отражает тот факт, что жидкость является несжимаемой). Внутренним источником в уравнении (4.1) является тепло, выделяющиеся в струе жидкого металла при протекании по ней постоянного тока. Представим его следующим уравнением: где S — плотность тока в струе, А/м ; р - удельное сопротивление жидкого металла, Омм. В рассматриваемом случае, так же как и во многих встречающихся на практике задачах тепловых расчетов электрических аппаратов [106], примем линейную зависимость от температуры удельных сопротивления, теплоемкости, плотности и коэффициента теплопроводности жидкого металла, с той лишь разницей, что на D чальные значения удельных величин следует брать не при 0 С, как это принято для твердометаллических контактов, а при температуре плавления [107]. Это вполне естественно, так как рабочий диапазон температур жидких металлов и их сплавов лежит выше температуры плавления. С учетом сказанного, температурные зависимости удельных величин, входящих в уравнение теплопроводности, примут вид: Здесь рпд - удельное сопротивление жидкого металла при температуре плавления, а — температурный коэффициент удельного сопротивления, 1/град; Спд - удельная теплоемкость жидкого металла при температуре плавления, Дж/кгтрад; /? - температурный коэффициент удельной теплоемкости, 1/град; Упл - плотность жидкого металла при температуре плавления, кг/м ; - температурный коэффициент плотности, 1/град; Яш, - коэффициент теплопроводности жидкого металла при температуре плавления, Вт/м-град; С- температурный коэффициент коэффициента теплопроводности, 1/град; Гдл - температура плавления жидкого металла, С Г-текущая температура, С В таблице 4.1 сведены коэффициенты, входящие в уравнения (4.5) - (4.8), полученные в результате аппроксимации данных, приведенных в литературе [108, 109, 110, 111] для галлия, индия, олова, эвтектического сплава галлий-индий-олово, ртути, натрия, калия, эвтектического сплава натрий-калий. Примем так же для упрощения расчетов, что перепады температурив плоскости любого сечения струи отсутствуют: При времени импульса жидкометаллической струи порядка нескольких миллисекунд тепло, отводимое от поверхности струи в окружающее пространство посредством конвекции невелико, поэтому процесс нагрева струи примем адиабатическим [99, 112]. С учетом перечисленных допущений уравнение ( 4.1 ) примет вид:
Согласно приведенной в [113] классификации, уравнение (4.11) является нелинейным уравнением нестационарной теплопроводности в движущейся среде с нелинейностями общего вида. Получение решений уравнений типа (4.11) с точностью, пригодной для технических расчетов, возможно, как это указывается в работе [114], лишь с применением средств вычислительной техники. Так, например, в статье [115] приведена методика моделирования сеткой омических сопротивлений уравнения типа (4.11), но с источником тепла, независящим от температуры. Ряд методов решения нелинейных задач теплопроводности численными методами с применением ЭВМ рассмотрены в работах [113, 116]. Но на первом этапе проектирования для того, чтобы выявить качественные и некоторые существенные количественные особенности нелинейной задачи, незаменимы аналитические методы [113]. В ряде характерных для частотных коммутаторов случаях, определяемых их конструктивными особенностями, уравнение (4.11) существенно упрощается; что позволяет осуществить его аналитическое решение. Так.для определения термически стойкого сечения-струи процедуру решения уравнения. (4.11) можно существенно упростить, если перейти в1 движущуюся со скоростью v систему, координат. Тогда уравнение (4.11) примет вид:
Дифференциальное уравнение первого порядка вида (4.12) легко решается путем разделения переменных. Для того чтобы определить пределы интегрирования, рассмотрим физические процессы, происходящие в принятой модели струи. Струя нагревается протекающим по ней электрическим током в течение некоторого времени tn - времени нагрева. За это время элементарный объем жидкого металла, перемещаясь со скоростью v в направлении от одного электрода к другому электроду, нагревается от начальной температуры Т0 до некоторой конечной температуры Т\ . При этом элементарный, объем жидкого металла пролетает путь либо равный, длине струи / , либо меньше ее - 1\ . Это зависит от соотношения длины струии скорости течения жидкого металла в ней. Режим работы частотного коммутатора зависит от того, какое время контакты его находятся в замкнутом положении, то есть от времени импульса - ґ„ . Возмож ны следующие соотношения между временем импульса и временем нагрева струи [117]: Таким образом, если выполняется соотношение (4.13), то время нагрева струи принимается равным времени пролета элементарного объема жидкого металла между контактами: tH = 1/v . Если же имеет место соотношение (4.14), то время нагрева струи следует принять равным времени импульса: tH = tK . Поэтому задавая конечную температуру жидкого металла Т\ , время нагрева струи /ц и учитывая допущение о том, что в начальный момент времени струя имеет температуру Т0, получим: После интегрирования с учетом того, что S = I/S из соотношения (4.15) получаем величину минимального термически, стойкого сечения струи для Заданного времени нагрева: где параметр а, зависящий от физических свойств жидкого металла, определяется по следующему выражению
