Содержание к диссертации
Введение
1 Использование мембранных методов для очистки воды 13
1.1 Экологические проблемы загрязнения природных вод 13
1.2 Мембранные методы разделения как один из наиболее эффективных способов очистки воды 20
Выводы по главе 1 24
2 Математические модели переноса ионов через ионообменные мембраны 26
2.1 Математические модели электродиффузионного переноса с условием электронейтральности 27
2.2 Математические модели электродиффузионного переноса с учетом пространственного заряда 30
2.3 Математические модели электродиффузионного переноса с учетом диссоциации воды 36
2.4 Математические модели электродиффузионного переноса с учетом электроконвекции 41
2.5 Численные методы решения краевых задач мембранной электрохимии 44
Выводы по главе 2 47
3 Модифицированный численный метод параллельной пристрелки с шагом переменной длины решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений 49
3.1 Описание метода параллельной пристрелки с шагом переменной длины 49
3.2 Использование метода параллельной пристрелки с шагом переменной длины для решения однослойной задачи переноса ионов электролита типа 1:1с учетом пространственного заряда 54
3.3 Использование метода параллельной пристрелки с шагом переменной длины для решения задачи конкурентного переноса двух противоионов в трехслойной мембранной системе при токах выше предельного 67
Выводы по главе 3 72
4 Двойной электрический слой на границе мембрана/раствор в трехслойной мембранной системе 74
4.1 Математическая модель переноса ионов в трехслойной мембранной системе с учетом пространственного заряда 74
4.2 Метод решения задачи 79
4.3 Анализ результатов численного расчета 87
Выводы по главе 4 98
5 Математическая модель запредельного состояния в трехслойной мембранной системе с учетом пространственного заряда, сопряженной конвекции и диссоциации воды 100
5.1 Формулировка исходной задачи 101
5.2 Метод решения задачи 106
5.3 Анализ результатов численного расчета 112
5.4 Сравнение полученных результатов с экспериментальными данными 126
Выводы по главе 5 129
Выводы 131
Список использованных источников 133
Приложение
- Экологические проблемы загрязнения природных вод
- Математические модели электродиффузионного переноса с условием электронейтральности
- Описание метода параллельной пристрелки с шагом переменной длины
Введение к работе
Актуальность. В настоящее время одной из самых острых проблем, стоящих перед человечеством, является неконтролируемое загрязнение окружающей среды, обусловленное техногенной деятельностью человека [60, 74, 88, 83, 91, 92, 99, 116, 120]. В результате пагубного влияния человека на природу сократились площади лесов, исчезли или находятся на грани исчезновения многие виды животных, усилился процесс антропогенного загрязнения атмосферы и гидросферы.
В последние годы существенно обострились проблемы, связанные с загрязнением воды. Согласно проведенным расчетам [83], в 2000 г. потребление воды в мире на промышленные и бытовые нужды составило 23400 км3, что отвечает объему поступающих в океан загрязненных вод. Отмечено значительное повышение в водах открытых водоемов содержания тяжёлых металлов, нефтепродуктов, трудноокисляемых органических соединений, синтетических поверхностно-активных веществ, пестицидов и других загрязнений.
Постоянное употребление человеком воды, содержащей концентрации вредных примесей больше предельно допустимой концентрации (ПДК) в несколько раз, приводит к хроническим заболеваниям кожи, желудка, печени
[7].
Исходя из приведенных данных, с большой долей уверенности можно
считать, что со временем вода может превратиться в стратегическое сырье,
недостаток которого будет сдерживать развитие цивилизации [26]. В связи с
этим необходимо всестороннее изучение процессов загрязнения, а также
способов очистки воды.
Среди методов очистки сточных вод выделяют гидромеханические,
физико-химические, химические, электрохимические, биохимические методы
[7,108].
Наиболее прогрессивным направлением в технологии водоочистки является внедрение электрохимических методов, которые позволяют добиться высокой степени очистки воды, позволяют концентрировать и извлекать из нее ценные химические вещества, избегая вторичного загрязнения.
Одним из перспективных способов электрохимической очистки воды в настоящее время является метод электродиализа. Эффективность электродиализного процесса можно значительно повысить, если проводить его при запредельных токовых режимах, когда плотность протекающего электрического тока превосходит плотность так называемого «предельного тока». Однако процесс переноса ионов соли в этом случае усложняется появлением сопряженных явлений: пространственного заряда; диссоциации воды, протекающей на границе диффузионный слой/мембрана; сопряженных конвективных явлений, вызывающих изменение толщины диффузионного слоя.
В ранних работах, посвященных математическому моделированию массопереноса ионов соли через мембраны (Ю.А. Гуревич, Ю.И. Харкац, А.В. Сокирко, Э.К. Жолковский, В.И. Заболоцкий, Н.П. Гнусин, В.В.Никоненко, К.А. Лебедев, T.R. Brumleve, R.P. Buck, V.M. Aguilella, J. Carrido, S. Mafe, J. Pellicer, R.J. French, A. Sipila, G.B. Wills), рассматривалось допредельное состояние мембранной системы, когда отсутствуют описанные выше сопряженные явления. Причем в этих работах рассматривался как отдельно взятый диффузионный слой (Ю.А. Гуревич, Ю.И. Харкац, А.В. Сокирко, T.R. Brumleve, R.P. Buck, V. Aguilella, J. Carrido, S. Mafe, J. Pellicer, R.J. French), либо отдельно взятая мембрана (A. Sipila, A. Ekman, К. Konttury, S. Mafe, J. Pellicer, V. Aguilella), так и трехслойная мембранная система, включающая мембрану и прилегающие к ней диффузионные слои (Э.К. Жолковский, В.И. Заболоцкий, Н.П. Гнусин, В.В. Никоненко, К.А. Лебедев, G.B. Wills).
Дальнейшим логическим шагом стал переход к изучению запредельного состояния мембранной системы. Так же, как и в случае допредельного состояния, задача ставилась либо одном слое (Б.М. Графов, А.А. Черненко,
Ю.И. Харкац, А.В. Листовничий, В.И. Заболоцкий, Н.П. Гнусин, М.Х. Уртенов, В.В. Никоненко, I. Rubinstein, L. Shtilman, B.Zaltzman, О. Kedem), либо в трех слоях (В.И. Заболоцкий, Х.А. Манзанарес, С. Мафе, В.В. Никоненко, К.А. Лебедев). В работах Ю.И. Харкаца, А.В. Сокирко, Э.К. Жолковского, В.И. Заболоцкого, Н.П. Гнусина, В.В. Никоненко, Н.В. Шельдешова, М.Х. Уртенова, Н.Д. Письменскои исследовался механизм диссоциации воды; в работах И. Рубинштейна, Л. Штильмана, Б. Зальцмана, В.А. Бабешко, В.И. Заболоцкого, М.Х. Уртенова, В.В. Никоненко, В.А. Шапошника, В.И. Васильевой исследовалось явление сопряженной конвекции.
Однако, механизм переноса ионов через мембранные системы в сверхпредельном состоянии нельзя считать до конца раскрытым, так как в работах перечисленных авторов либо каждое из вторичных явлений рассматривалось отдельно, либо задача ставилась в одном слое.
Необходимость построения математической модели трехслойной области (диффузионный слой/мембрана/диффузионный слой) с одновременным учетом сопряженных явлений продиктована следующими обстоятельствами:
Как было показано в [23, 40, 45, 46, 53, 101, 102, 119, 161, 163], в диффузионном слое не существует условий для существенного ускорения диссоциации воды вследствие проявления эффекта Вина. В связи с этим, нахождение распределений плотности заряда, напряженности электрического поля и электрического потенциала в самой фазе мембраны имеет важное значение для раскрытия механизма аномально высокой скорости диссоциации воды в мембранных системах.
Экспериментально скачок потенциала может быть измерен только для всей трехслойной мембранной системы. Поэтому построение трехслойной модели имеет важное значение с точки зрения верификации теории.
Только при одновременном учете нарушения электронейтральности, сопряженной конвекции и диссоциации воды удается количественно согласовать расчетные и экспериментальные вольт-амперные кривые и зависимости эффективных чисел переноса от плотности тока.
Вместе с тем, раскрытие взаимного влияния диссоциации воды, пространственного заряда и сопряженной конвекции на массоперенос в мембранных системах есть ключ к повышению производительности электродиализных аппаратов очистки воды.
Цель работы.
Теоретическое исследование переноса ионов соли через трехслойные анионо- и катионообменные мембраные системы, которые лежат в основе чистых безотходных технологий, при интенсивных токовых режимах; разработка теории и математических моделей процессов очистки воды; совершенствование математического аппарата для решения краевых задач, возникающих в теории и моделях электродиализного способа очистки воды.
Научная новизна.
1. Впервые показано, что при токах выше предельного существуют три
режима работы трехслойной мембранной системы: квазиравновесный,
промежуточный и режим Шоттки, причем в квазиравновесном режиме физика
процесса переноса ионов на границе раздела фаз определяется
преимущественно диффузией, а в режиме Шоттки - электромиграцией.
2. На основе предложенной новой математической модели диссоциации
воды в реакционной зоне развита теория переноса ионов сильного электролита
типа 1:1 в трехслойной мембранной системе при интенсивных токовых
режимах с одновременным учетом сопряженных явлений концентрационной
поляризации: диссоциации воды, пространственного заряда и сопряженной
конвекции раствора.
3. Впервые найдена зависимость толщины диффузионного слоя от
плотности тока в трехслойных мембранных системах с одновременным учетом
перечисленных сопряженных явлений.
4. Предложен новый алгоритм численного решения краевых задач для
систем сингулярно возмущенных уравнений Нернста-Планка и Пуассона на
основе метода параллельной стрельбы с продолжением по параметрам,
автоматическим выбором шага переменной длины и логарифмической заменой переменных.
Научная и практическая значимость.
Расчеты напряженности электрического поля на межфазной границе и распределения пространственного заряда в мембране, полученные в результате исследования двойного электрического слоя на границе мембрана/раствор дают объяснение механизму экспериментально наблюдаемой высокой скорости диссоциации воды в мембранных системах, что позволит на практике оптимизировать режимы работы электродиализных аппаратов, повысить их к.п.д. Полученные знания могут служить основой для расчетов технологических параметров нового поколения электродиализаторов, работающих при интенсивных токовых режимах.
Предложенная математическая модель массопереноса в трехслойных мембранных системах при токах выше предельного с одновременным учетом сопряженных явлений качественно и количественно описывает поведение мембранных систем в запредельном состоянии (в зависимости от величины приложенного напряжения, плотности электрического тока, входной концентрации, геометрических параметров). Расчеты по модели предоставляют данные для экспериментальной проверки распределения концентраций с помощью метода лазерной интерферометрии.
3. Модификация метода параллельной стрельбы с продолжением по
параметрам, автоматическим выбором шага переменной длины и
логарифмической заменой переменных позволяет расширить круг решаемых
методами стрельбы краевых задач для сингулярно возмущенной системы
дифференциальных уравнений, обладает расширенной областью сходимости
пристрелочного алгоритма и может быть использована при решении
плохообусловленных краевых задач в экологии, электрохимии и ряде других
областей науки, где используются уравнения Нернста-Планка и Пуассона.
Основные положения, выносимые на защиту.
1. Обоснование наличия трех интенсивных токовых режимов переноса
ионов в мембранной системе: квазиравновесного, промежуточного и режима
Шоттки, и механизма их функционирования на основе разработанной
математической модели двойного электрического слоя на границе
мембрана/раствор.
2. Основные закономерности переноса ионов в трехслойной мембранной
системе при интенсивных токовых режимах, а именно:
а) утверждение, что одновременный учет трех факторов: диссоциации
воды, пространственного заряда и сопряженной конвекции объясняет
экспериментально наблюдаемые зависимости толщины диффузионного слоя от
плотности тока;
б) объяснение механизма влияния диссоциации воды,
пространственного заряда и сопряженной конвекции на формирование
зависимости толщины диффузионного слоя от плотности тока;
в) количественный анализ зависимости толщины диффузионного слоя от
плотности тока и результаты сопоставления расчетных зависимостей с
экспериментальными;
г) строение области пространственного заряда (ОПЗ) в диффузионном
слое и в мембране;
д) теоретические оценки величин пространственного заряда и
напряженности электрического поля в трехслойной мембранной системе.
3. Метод и алгоритм расчета толщины диффузионного слоя с
использованием экспериментальных зависимостей эффективных чисел
переноса от плотности тока и вольтамперной кривой.
4. Модификация метода параллельной стрельбы с продолжением по
параметрам, автоматическим выбором шага переменной длины и
логарифмической заменой переменных при численном решении краевой
задачи системы уравнений Нернста-Планка и Пуассона.
Апробация работы. Основные результаты работы неоднократно докладывались на Всероссийских и Международных конференциях по экологии, мембранной электрохимии, прикладной математике: 6-ой Международной конференции «Экология и здоровье человека. Экологическое образование. Математическое моделирование и информационные технологии» (Краснодар, 2001), I Всероссийской конференции «Физико-химические процессы в конденсированном состоянии и на межфазных границах «Фагран-2002» (Воронеж, 2002), X Всероссийской конференции грантодержателей РФФИ (Туапсе, 2002), 30-й Всероссийской конференции "Мембранная электрохимия. Ионный перенос в органических и неорганических мембранах" (Туапсе, 2004), Международной конференции «Citem05 Congreso Iberoamericanode Ciencia Y Tecnologia De Membranas» (Валенсия, 2005).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 14 печатных работ, из них 7 статей, 7 тезисов докладов.
Структура работы.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованных источников (171 наим.) и приложения. Работа изложена на 151 стр., в том числе содержит 46 рисунков и 3 таблицы.
В первой главе приведен обзор научных исследований по экологическим проблемам загрязнения водных ресурсов, а также по проблеме нехватки пресной воды. Дан сравнительный анализ используемых методов для очистки воды. Особое внимание уделено мембранным методам очистки, как одним из наиболее перспективных.
Во второй главе приводится обзор математических моделей переноса ионов через ионообменные мембраны. Рассмотрены модели электродиффузионного переноса в допредельных токовых режимах, когда выполняется условие электронейтральности; математические модели переноса ионов при интенсивных токовых режимах, в которых учтен пространственный заряд; модели электродиффузионного переноса с учетом диссоциации воды;
математические модели переноса ионов с учетом возникающей при токах выше предельного сопряженной конвекции. Также дан обзор численных методов решения краевых задач, применяемых в мембранной электрохимии. Показано, что ни одна из существующих однослойных и многослойных моделей не в состоянии адекватно эксперименту описать вольт-амперные характеристики и зависимости эффективных чисел переноса от плотности протекающего тока.
В третьей главе предлагается модификация с переменным шагом численного метода параллельной стрельбы для решения краевых задач. Дано описание алгоритма. Рассмотрена возможность применения данного численного алгоритма для решения краевых задач в мембранной электрохимии. Описаны преимущества метода.
Четвертая глава посвящена исследованию строения двойного электрического слоя на межфазной границе. Рассматриваемая математическая модель представляет собой трёхслойную задачу (мембрана с отдающим и принимающим противоионы диффузионными слоями), с учётом пространственного заряда как в диффузионном слое, так и в фазе мембраны. Проанализирована структура двойного электрического слоя на границе диффузионный слой/мембрана. Показано, что в диффузионном слое не существует условий для существенного ускорения диссоциации воды вследствие проявления эффекта Вина. Сделан вывод о том, что для согласования экспериментальных и теоретически рассчитанных вольт-амперных кривых и зависимостей эффективных чисел переноса от плотности тока необходим одновременный учет в математической модели диссоциации воды, пространственного заряда и сопряженной конвекции.
В пятой главе рассматривается математическая модель электродиффузионного переноса четырех сортов ионов (Na+, СГ, Н*, ОН') в трехслойной области, состоящей из мембраны и двух прилегающих к ней диффузионных слоев. Модель учитывает диссоциацию молекул воды, нарушение электронейтральности в диффузионном слое (I) и в мембране, а также изменение толщины диффузионного слоя (І) в зависимости от плотности
электрического тока в системе /'. Предлагаемая модель принципиально отличается от предшествующих моделей, посвященных диссоциации воды, тем, что она одновременно учитывает влияние на массоперенос ионов соли пространственного заряда, диссоциации воды и сопряженной конвекции в трехслойной мембранной системе.
Диссертация выполнена в рамках грантов Российского фонда фундаментальных исследований «Селективная сорбция и проницаемость ионообменных материалов» (№ 00-03-96025, 2000-2003) и «Теория электродиффузионного переноса ионов через мембранные системы с одновременным учетом нарушения электронейтральности, электроконвекции и диссоциации воды» (№ 03-03-96643,2003-2006).
Автор выражает глубокую признательность заведующему кафедрой физической химии Кубанского государственного университета, доктору химических наук, профессору Заболоцкому Виктору Ивановичу за научные консультации и помощь, оказанную в ходе работы над диссертацией.
Экологические проблемы загрязнения природных вод
Стремительное развитие всех отраслей промышленности, энергетики, транспорта, увеличение численности населения и урбанизация, химизация всех сфер деятельности человека привели к определенным изменениям окружающей среды, в том числе и неблагоприятным. Воздействие вредных веществ антропогенного происхождения на природную среду становится глобальным [7, 55, 57, 58, 60, 88, 91, 92, 99, 116, 118]. Природные ресурсы все интенсивнее используются для нужд человечества. Наблюдается устойчивая тенденция к увеличению содержания в атмосфере оксидов углерода и азота, пыли, токсичных соединений металлов, аминов и других вредных веществ [91, 92, 99]. Происходит загрязнение сточными водами промышленных и коммунальных предприятий больших и малых рек, озер, прибрежных морских вод. В водоемах содержатся нефтепродукты, фенол, легко окисляемые органические вещества, соединения черных и цветных металлов, аммонийный и нитратный азот и другие загрязнители [91]. Кроме перечисленных веществ, к опасным загрязнителям водной среды можно отнести неорганические кислоты и основания, обуславливающие широкий диапазон рН промышленных стоков (1,0 - 11,0) и способных изменять рН водной среды до значений менее 5,0 или более 8,0, тогда как большинство живых организмов в пресной и морской воде может существовать только в интервале рН 5,0 - 8,5 [92].
Математически степень загрязнения воды сточными водами оценивается, например, методом, описанным в работе [51].
Суть метода состоит в следующем.
1. Коэффициент загрязнения водной среды G представляется как совокупность от всех потенциально возможных загрязнителей S, отнесенная к приведенному числу загрязнителей тр:
Степень загрязнённости вод в мировом океане постоянно возрастает [92]. Его способность к самоочищению оказывается порой недостаточной, чтобы справиться с постоянно увеличивающимся количеством сбрасываемых отходов. Под влиянием течений загрязнения перемешиваются и очень быстро распространяются, оказывая вредное воздействие на зоны, богатые животными и растительностью, наносят серьёзный ущерб состоянию морских экосистем и экономике в целом.
Ежегодно только в водоемы России сбрасывается около 20 млрд. м неочищенных вод [91]. При этом загрязнение водных систем более опасно, чем загрязнение атмосферы, потому что процессы очищения воды протекают значительно медленнее [7].
Основной вклад в загрязнение водоемов вносят промышленные [74, 116], сельскохозяйственные и коммунальные предприятия вследствие сброса недостаточно очищенных сточных вод (рис. 1, 2) [60, 88, 91]. Как видно из приведенных данных, источником 60% всех загрязненных сточных вод является сектор жилищно-коммунального хозяйства. На долю промышленности приходится 33% сбрасываемых сточных вод. Среди всех отраслей промышленности в нашей стране по сбросу загрязненных сточных вод лидируют деревообрабатывающая и целлюлозно-бумажная промышленность
(24,0%), химическая и нефтехимическая промышленность (19,5%), а также электроэнергетика (14,2%) и черная металлургия (12,4%). К группе приоритетных загрязнителей, исследованию которых должно уделяться особое внимание, Всемирной организацией здравоохранения отнесены тяжелые металлы (мышьяк, хром, ртуть, свинец, медь, цинк и другие) [99]. Особую опасность в этом плане представляют соединения свинца, используемые, в частности, как присадки к бензину, а также соединения ртути, оказывающие чрезвычайно сильное разрушительное действие на живые организмы [83], вызывая тяжелые заболевания [57]. В морскую среду ежегодно попадает около 5000 т ртути [7].
Математические модели электродиффузионного переноса с условием электронейтральности
Математическая модель электродиффузионного переноса ионов с условием электронейтральности имеет место в случае, когда плотность протекающего через систему тока меньше предельного значения.
Под предельным током понимается максимальное значение плотности протекающего тока в модели электродиффузионного переноса ионов через диффузионный слой постоянной толщины 8 при выполнении условия электронейтральности и отсутствии диссоциации воды [41]. Величина предельного электродиффузионного тока в случае идеально селективной мембраны может быть вычислена по формуле [41]:
В таких моделях уравнения Нернста-Планка (2.1, 2.2), записанные для каждого из N ионов рассматриваемого электролита дополнялись условием электронейтральности:
Постановка и решение задачи электродиффузионного переноса ионов при токах меньших предельного в одном диффузионном слое рассмотрены в работах ряда отечественных (Ю.А. Гуревич, Ю.И. Харкац, А.В. Сокирко, Э.К. Жолковский, В.И. Заболоцкий, Н.П. Гнусин, В.В. Никоненко, К.А. Лебедев) и зарубежных (Т. Brumleve, R. Buck, V. Aguilella, J. Carrido, S. Mafe, J. Pellicer, R.J. French, A.H. Sipila, G.B. Wills) исследователей [24, 33, 52, 68, 79, 122, 127, 130, 131, 136, 143, 164, 168]. В большинстве из них задача ставилась для отдельного изолированного слоя. В работах [24, 122, 127, 131, 136] задача ставилась только для отдающего противоионы диффузионного слоя, мембрана и принимающий противоионы диффузионный слой не рассматривались. Наоборот, в [130,143,164] рассматривалась только мембрана. Постановка и решение трехслойной (мембрана и два прилегающих к ней диффузионных слоя Нернста) задачи для двух сортов ионов проводились в работах [33, 65, 79, 168], для трех и более сортов ионов - в [39, 52, 65, 66, 68, 83].
Во многих из них для упрощения решения делались те или иные допущения. Так, например, в [ 168] рассматривался случай одинаковых внешних концентраций по обе стороны от мембраны; кроме того, коэффициенты диффузии всех ионов в диффузионных слоях и мембране предполагались равными.
В работе [65] численно была решена задача с двумя, тремя и четырьмя сортами ионов для неидеально селективной мембраны без упрощений подобного рода, получены зависимости эффективных чисел переноса от плотности протекающего через систему тока.
Авторами [64, 67, 82] решалась проблема теоретического обоснования экспериментальных методик измерения чисел переноса в ионообменных мембранах при токах меньших предельного.
В работе [82] была поставлена задача моделирования процесса электродиффузии для неидеально селективной мембраны и рассмотрен способ ее численного решения. Анализ полученного решения показал, что поведение мембранной системы в основном определяется значением безразмерного переносу противоионов мембраны и равновесного (неполяризованного) отдающего противоионы диффузионного слоя. Физически параметр г отражает вклад диффузионной составляющей потока через мембрану в общий поток ионов данного сорта при заданном токе и заданном перепаде концентраций на мембране. В статье [67] рассмотрено влияние плотности протекающего тока на эффективные числа переноса при различных значениях внешних концентраций и различных значениях параметра г. Предложены приближенные аналитические формулы для расчета эффективных чисел переноса при различных значениях параметра г.
В [98] была предпринята попытка исследования запредельного состояния мембранной системы с использованием уравнений Нернста-Планка и условия электронейтральности, однако рассчитанная вольт-амперная кривая достаточно сильно отличается от наблюдаемой на практике.
Описание метода параллельной пристрелки с шагом переменной длины
Метод стрельбы (или пристрелки) используется для решения краевых задач [8]. Сущность метода состоит в сведении краевой задачи к задаче Коши путем выбора произвольным образом неизвестных начальных параметров интегрирования. Полученное таким образом решение не будет удовлетворять всем заданным граничным условиям, в результате чего формируется вектор невязок. В результате минимизации целевой функции, представляющей собой сумму квадратов невязок, одним из численных методов (например, методом Ньютона) находятся неизвестные значения начальных параметров интегрирования задачи Коши (говорят, что производится «пристрелка» неизвестных параметров), после чего проводится решение задачи Коши с уже известными начальными параметрами интегрирования.
Недостатком метода стрельбы является его плохая устойчивость к возмущениям входных параметров. Особенно эта неустойчивость проявляется при решении сингулярно возмущенных задач. При интегрировании сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений интегрируемые функции очень резко возрастают, что вызывает ошибку переполнения в ходе решения таких задач на ЭВМ. Таким образом, простой метод пристрелки не подходит для решения сингулярно возмущенных задач и требуется его модификация.
Одной из модификаций простого пристрелочного алгоритма является метод параллельной пристрелки [8, 63, 113, 140].
Метод параллельной пристрелки позволяет решать сингулярно возмущенные задачи для значений параметра при старшей производной
10 . При меньших значениях малого параметра є отрезок интегрирования приходится разбивать на очень большое количество подотрезков 1 Г-Ч0 . В результате размерность системы увеличивается настолько, что реализация итерационной процедуры на ЭВМ становится невозможной из-за большого объема хранимых данных (большего, чем объем оперативной памяти ЭВМ), а продолжительность времени вычислительного процесса становится недостижимо большим.
В то же время во многих задачах область, в которой интегрируемая функция резко возрастает, занимает сравнительно небольшую часть внутри отрезка интегрирования. В его же большей части возникающие градиенты не столь большие, а, следовательно, здесь нет необходимости разбиения на большое количество подотрезков малой длины. В области резкого возрастания функции, наоборот, необходимо разбиение на большое количество подотрезков. Так как в классической реализации метода параллельной пристрелки длины всех подотрезков предполагаются одинаковыми, то наличие узкой области, в которой градиент интегрируемой функции достигает больших величин, определяет размерность всей итерационной процедуры. Использование же разбиения области интегрирования на подотрезки разной длины позволяет значительно (на несколько порядков) сократить размерность процедуры параллельной пристрелки за счет разбиения области, в которой градиент функции не очень велик, на меньшее число подотрезков [73].
Опишем алгоритм на примере простейшей задачи для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка с краевыми условиями, заданными в общем виде.
В силу того, что начальные условия (3.3) задачи Коши выбраны произвольно, попытка численного интегрирования данной задачи (например, методом Рунге-Кутта или методом Эйлера), вообще говоря, может привести к ошибке переполнения, если хотя бы одна из функций f(x,u(x),v(x)), g{x,u(x),v(x)) является сильно чувствительной к малым изменениям параметров TJ0, 0 (т-е- является быстрорастущей на отрезке [a; b}).
Так же, как и метод параллельной пристрелки с постоянным шагом, данный метод основан на разбиении исходного отрезка интегрирования на подотрезки. Однако, в отличие от метода параллельной пристрелки с шагом постоянной длины, в методе параллельной пристрелки с переменным шагом длины подотрезков могут иметь различные величины.
Ограничим рост функций и(х), v(x) некоторой наперед заданной константой М 0 (либо двумя константами: константой М+ ограничим рост функций сверху, а константой М_ - снизу). Выберем некоторый шаг интегрирования системы уравнений (3.1) т. Проинтегрируем задачу Коши (3.1), (3.3) на отрезке [а;а + г] одним из численных методов (например, методом Рунге-Кутта или методом Эйлера). Таким образом, будут получены значения функций и{х), v{x) в точке х = а + т: и, = и{а + т), v, = v(a + т).
