Содержание к диссертации
Введение
1 Основные определения. Предпосылки использования метода 15
1.1 Постановка задачи 15
1.2 Основная идея метода 19
2 Локальная функция Грина 23
2.1 Определение локальной функции Грина. Квадратный носитель . 23
2.2 Структура матричного шаблона 29
2.3 Локальные функции Грина с круглым носителем 30
2.4 Метод разделения переменных и асимптотика функции Грина . 34
2.5 Локальная функция Грина в трехмерном случае 38
3 Практическая реализация.Численный анализ 44
3.1 Реализация вычисления правой части 44
3.2 Порядок сходимости. Эффективность применения асимптотических формул 45
3.3 Внутренние слои, криволинейные границы, неоднородные поля . 50
3.4 Численные примеры в трехмерном случае 54
4 Анализ метода 57
4.1 Свойства нормальной производной локальной функции Грина 57
4.2 Устойчивость приближенного решения. М-матрица 60
4.3 Связь с методом конечных разностей против потока 62
5 Использование метода локальных функций Грина для решения нелинейных сингулярно возмущенных уравнений 64
5.1 Уравнения Навье-Стокса 64
5.2 Уравнение Бюргерса 72
5.3 Модельная задача процесса обессоливания в электромембранной системе 76
Заключение 82
- Определение локальной функции Грина. Квадратный носитель
- Порядок сходимости. Эффективность применения асимптотических формул
- Свойства нормальной производной локальной функции Грина
Введение к работе
Вопросы экологической безопасности и рационального природопользования включают в себя мониторинг загрязнения воздушной и водной среды. Оценка возможного загрязнения как в результате стихийных природных катастроф, приводящих к выбросам и разливам загрязняющих веществ (ЗВ), так и при повседневной хозяйственной деятельности, предполагает наличие эффективных математических моделей указанных процессов. Математическое моделирование в данном случае особенно важно, учитывая, что экологические системы, изучаемые современной наукой, больше не поддаются исследованию (в нужной полноте и точности) обычными теоретическими методами. Прямой натурный эксперимент над ними долог, дорог, часто либо опасен, либо попросту невозможен, так как многие из этих систем существуют в "единственном экземпляре". Цена ошибок и просчетов в обращении с ними недопустимо высока [51, 45].
Развитие методов прогноза основывается на результатах теоретического и экспериментального изучения закономерностей распространения примесей от их источников. Такое изучение осуществляется главным образом по двум направлениям. Одно из них состоит в разработке теории турбулентной диффузии на основе математического описания распространения примесей. Другое связано в основном с эмпирико-статистическим анализом распространения загрязняющих веществ в атмосфере и с использованием для этой цели интерполяционных моделей большей частью гауссовского типа.
Первое направление является более универсальным, поскольку позволяет исследовать распространение примесей от источников различного типа при разных характеристиках среды. В частности, оно дает возможность использовать параметры турбулентного обмена, применяемые в метеорологических задача о тепло- и влагообмене в атмосфере.
Сравнительно просты для описания закономерностей распределения примеси гауссовы модели, чем объясняется довольно широкое распространение в различных странах работ второго направления.
Более подробное описание обоих направлений содержится в ряде книг отечественных и зарубежных авторов [40, 11, 13, 39, 37, 53, 89, 79] и др., а также в обзорных докладах [12, 74, 94] и др.
В рамках теории атмосферной диффузии изучается распространение примесей в воздухе (см. обзор в [38]). При отсутствии атмосферной диффузии загрязнения накапливались бы в нижнем слое воздуха, что затруднило бы существование людей. Это особенно важно при распространении в воздухе радиоактивных веществ, что тревожит в последние годы все человечество.
Атмосферная диффузия является сложным явлением и зависит от многих факторов. Рассматривается целый ряд факторов влияющих на распространение загрязняющих веществ. Во-первых, нужно знать, как загрязнения поступают в воздух, т.е. каков характер источников загрязнения. Загрязнения могут попадать в воздух от промышленных предприятий, с земли или от искусственных источников. Источники могут быть точечными или же распределены по линии, поверхности, объему.
Вторая группа факторов относится к свойствам самого загрязнения. Нужно знать, как влияет сила тяжести, нужно учитывать возможность химических и радиоактивных превращений загрязнения, а также физических превращений, таких как коагуляция, сублимация и абсорбция на аэрозолях.
Третья группа относится к условиям взаимодействия загрязнений с поверхностью земли или воды. Загрязнения могут либо задерживаться этой поверхностью, как бы прилипая к ней или поглощаясь ею, либо отражаться от неё и возвращаться обратно в воздух.
В-четвертых, необходимо определить закономерности распространения загрязнений в воздухе при различных метеорологических условиях [11, 13]. Загрязнения переносятся воздушными течениями и диффундируют в воздухе благодаря действию турбулентности. Причиной турбулентной диффузии являются хаотические гидродинамические движения различных масштабов, вплоть до очень малых, порядка сантиметра.
Необходимо отметить вклад ученых Тейлора [93] и Ричардсона [91], заложивших основы описания и исследования турбулентной диффузии.
В настоящее время имеется большое количество работ посвященных математическому моделированию явлений, связанных с загрязнением атмосферы и воды за счет турбулентной диффузии. Кроме указанных ранее работ, следует отметить исследования академиков Г.И. Марчука и В.А. Бабешко.
Так в работах школы Г.И. Марчука с помощью уравнения переноса с учетом турбулентной диффузии исследованы загрязнения атмосферы и подстилающей поверхности пассивными и активными примесями. Для этого разработаны численные методы решения, проанализированы свойства конечно-разностных аппроксимации уравнения [35, 32, 33].
В реальных условиях атмосфера имеет вертикальную стратификацию, чаще всего можно выделить три слоя со скачкообразными изменениями метеорологических параметров. Именно так было во время выбросов на Чернобыльской АЭС, когда в трех слоях атмосферы было три различных направления ветра. Группа исследователей во главе с В.А. Бабешко разработала методы решения уравнения турбулентной диффузии, учитывающих эту особенность атмосферы [3, 4, 5, 6]. В качестве основы были использованы подходы, оправдавшие себя в задачах теории упругости для многослойных сред [17, 7].
Другой важнейшей экологической проблемой является загрязнение гидросферы, что вызывает дефицит воды используемой для обеспечения жизнедеятельности человека и в технологических целях. Один из самых экологических методов, из-за отсутствия вторичного загрязнения, решением данной проблемы является элетромембранные системы очистки воды. Для оптимизации процессов очистки воды используются математические модели этих процессов [25].
Турбулентная, молекулярная и другие виды диффузий имеют различную физическую природу, но с точки математического моделирования описывают один и тот же процесс. Основным математическим объектом для исследования указанных процессов в движущийся сплошной среде является уравнение конвекции-диффузии. А.А. Самарским исследованы численные методы решения стационарных и нестационарных задач конвекции-диффузии как наиболее важных для практики задач для эллиптических и параболических уравнений второго порядка с несамосопряженными операторами. Выделены три типа таких задач, связанных с использованием дивергентной, недивергентной и так называемой симметричной формой записи операторов конвективного перено- са, а так же рассмотрены итерационные методы решения полученых сеточных задач [49, 50, 48, 52].
Диссертация посвящена разработке метода решения стационарного уравнения конвекции-диффузии:
Си = -єАи + Ъ Vw + си = /, х = (ж, у, z) Є Сі, где и(х) - концентрация вещества, е(х) > 0 - коэффициент диффузии, b(x) = (&ъ&2,&з) - скорость движения среды и с(х) > 0 - коэффициент поглощения.
Важнейшим классом проблем являются ситуации, когда скорость конвективного переноса на много порядков больше, чем у диффузионных процессов, однако последние нельзя исключить из математической модели, так как без их учета невозможно получить корректное решение, удовлетворяющее всем требуемым граничным условиям. Ввиду разномасштабности процессов коэффициенты при конвективных и диффузионных членах уравнения отличаются на порядки, т.е. рассматриваемые задачи относятся к классу сингулярно возмущенных с малым параметром при старших производных. При этом в качестве малого параметра выступает либо коэффициент диффузии (є) либо, после перехода к безразмерным параметрам, величина обратная к числу Пекле (1/Ре), Ре = тах\Ъ\Ь/е, где L - характерная длина для рассматриваемой задачи.
Характерной особенностью таких задач является наличие узких пограничных и внутренних слоев, в которых решение имеет большой градиент (порядка 0(1/е)) [15, 14]. Это делает невозможным применение обычных сеточных методов численного решения без достаточного измельчения сетки в пределах погранслоя. Увеличение числа узлов, а тем самым и размерности алгебраической системы, возникающей в результате дискретизации, приводит не только к быстрому росту вычислительных затрат, необходимых для ее решения, но главное, к быстрой потере численной устойчивости ввиду роста числа обусловленности матрицы системы.
Начало систематическому изучению уравнений с малым параметром было положено А.Н. Тихоновым. Существенные результаты для сингулярно возмущенных уравнений в частных производных получены Л.А. Люстерником, М.И. Вишиком [15], предложивших метод экспоненциального пограничного слоя.
В настоящее время имеется ряд метод построения асимптотического разложения синугялрно возмущенных задач. Развитие этой идеи привело к созданию метода пограничных функций [14].
В тоже время основной проблемой является разработка численных схем, у которых погрешность и вычислительные затраты незначительно зависят от малого параметра [9, 26, 19].
Одним из способов решения данной задачи является использование специальным образом сгущаемых (априорно или апостериорно) сеток в районе слоя, при этом часто используются сетки Н.С. Бахвалова [9] или Г.И. Шишкина [63]. Хотя априорные методы более просты в реализации, в то же время необходимо обладать достаточной информацией о точном решении, что особенно трудно сделать в случае внутренних слоев. Поэтому большой интерес вызывают адаптивные методы, автоматически сгущающие сетку в подобластях, где решение оказывается недостаточно точным [36]. Эти методы объединены общей идеей - уменьшение локального параметра возмущения: в случае уравнения конвекции-диффузии этим параметром является локальное число Пекле Pe/j = |Ь|/г/є (здесь h - характерный размер ячейки сетки).
Поиск преодоления относительно медленной сходимости итерационных методов привел к созданию многосеточных методов. Идея состоит в решении задач на последовательности измельчаемых сеток, при этом решение на новом уровне вычисляется с учетом предыдущего уровня, что сокращает необходимое количество итераций. Так в работах Р.П. Федоренко [55, 56] был сформулирован многосеточный алгоритм для стандартной пятиточечной дискретизации уравнения Пуассона в единичном квадрате, который позволяет получить численное решение, выполняя O(N) арифметических операций (N - число узлов сетки). Позднее его идеи получили развитие в работах Н.С. Бахвалова [8] и других отечественных и зарубежных математиков [2, 68, 78].
Теория и практика хорошо разработаны в случае самосопряженных задач [62]. К сожалению, уравнение конвекции-диффузиии не является самосопряженным, поэтому разработка методов и анализ сходимости для таких задач является сложной проблемой [30]. Для получения "универсальных методов" ис- пользуются "универсальные" сглаживания, операторы перехода с одно сеточного уровня на другой, зависящие от матрицы системы [95]. Но такие модификации основываются в основном на эвристических доводах и эмпирических исследованиях. В то же время в специальных случаях получены удовлетворительные результаты [41].
Итерационные методы решения с несамосопряженными операторами можно найти в общих руководствах [52], [61]. Это направление достаточно активно развивается, появляются новые итерационные методы, а так же развиваются подходы связанные с использованием различных переобусловливателей, позволяющих ускорить сходимость уже существующих итерационных методов (см., например, [29, 28],[75]).
Для преодоления недостатков МКЭ (метод конечных элементов), больших нефизических осцилляции, развиваются стабилизированные методы конечных элементов, в частности, в работах Т. Хьюза представлены противопо-точный метод Петрова-Галеркина (SUPG) [73, 82] и модификация метода наименьших квадратов - Galerkin/least-squares (GLS) [83]. Также следует отметить метод residual-free bubbles (RFB), где устойчивость обеспечивается за счет добавления к пространству конечных элементов специальных функций, равных нулю на границе сетки конечных элементов [69], [70]. Эти методы являются развитием метода классической искусственной вязкости в рамках галеркинской аппроксимации дифференциальной задачи, причем стабилизацию обеспечивает учет мелкомасштабных компонентов решения [84],[85].
Подход, связанный со специальной аппроксимацией оператора дифференциального уравнения, привел к использованию противопоточных разностных схем, которые широко используются в вычислительной гидродинамике и задачах тепломассообмена [46, 43, 42]. К этому же подходу относится явный учет погранслойной структуры решения выбором базисных функций, как в [80, 66]. Рассматриваемый в диссертации метод локальных функций Грина является вариантом схемы Петрова-Галеркина со специальным выбором тест-функций (проекторов), учитывающим структуру решения [1, 67, 21].
В последнее время развиваются так называемые бессеточные (meshless) методы. Авторы подчеркивают, что эти методы рассматриваются в качестве альтернативы к традиционным методам конечных элементов. Основной идеей является отказ от разбиения области решения конечно-элементной сеткой, при этом область покрывается облаком узлов-центров базисных функций. В качестве носителей используются удобные для интегрирования формы - круг и шар. Обзор литературы по этим методам и применение одного из них, локального бессеточного метода Петрова-Галеркина, к задаче конвекции-диффузии можно найти в работах С.Н. Атлури [64, 65].
Несмотря на большое количество существующих методов решения сингулярно возмущенных задач, требование времени приводит к необходимости рассматривать все более сложные экологические модели. При этом структура решения зачастую не поддается прогнозу на предварительном этапе, что существенно затрудняет применение этих методов. Другой проблемой является обеспечение независимой скорости сходимости метода от величины малого параметра.
Таким образом, для мониторинга загрязнения экологических систем и анализа динамики распространения примесей в воздушной и водной среде актуальной является проблема разработки адекватных математических моделей, базирующихся на численных методах устойчивых при сингулярном вырождении уравнений конвекции-диффузии, описывающих процессы переноса.
Целью работы является: создание на основе метода локальных функций Грина математической модели, адекватно описывающей процесс переноса примесей при сильном доминировании конвекции; компьютерная реализация метода локальных функций Грина для сингулярно возмущенных процессов переноса примесей в двумерном и трехмерном случае; апробация метода на эталонных задачах переноса загрязнений конвективно-диффузионными потоками; обобщение метода для решения нелинейных уравнений Навье-Стокса и Бюр-герса.
Развитие идеи учета погранслойной структуры в базисных функциях привело к схеме Петрова-Галеркина, где проекторами являются локальные функции Грина. Такая схема продемонстрировала свою эффективность, так как устойчивость обеспечивается уже на грубых сетках, не требуя специального сгущения сетки в районе слоя [80, 66]. Однако в случае двух и более переменных, несмотря на все достоинства, метод локальных функций Грина не использовался. Причина состоит в отсутствии в этом случае явного вида локальной функции Грина. В отличие от глобальной функции Грина, являющейся фундаментальным решением сопряженного уравнения во всем пространстве, локальные функции Грина определяются в элементарных окрестностях узлов сетки. При этом, являясь проекторами (тестовыми функциями), они должны удовлетворять главным граничным условиям используемой вариационной схемы. Таким образом, для построения локальных функций Грина необходимо решить краевую задачу для неоднородного сопряженного уравнения (с дельта- функцией в правой части) и главными краевыми условиями на границе элементарной ячейки (однородными условиями Дирихле).
Основная идея диссертационной работы - обобщение метода локальных функции Грина на случай двух и трех переменных, базирующегося на предложенном Аксельсоном О., Глушковым Е.В. и Глушковой Н.В. [1] подходе, основанном на использовании техники интегральных преобразований. Разработанная в диссертационной работе модель конвективно-диффузионного распространения примесей основана на реализации данного метода.
В соответствии с указанными целями в первой главе, которая носит вспомогательный характер, дается физическая постановка задачи и математическая постановка краевой задачи Дирихле для стационарного уравнения конвекции-диффузии, рассматривается обобщенная постановка задачи, формулируется метод Петрова-Галеркина.
Вторая глава посвящена способам построения локальных функций Грина в случае двух и трех переменных для различных форм носителей, а также выводу их асимптотики при предельных значениях малого параметра. В начале главы рассматривается двумерная постановка, а затем метод обобщается на трехмерный случай. В п. 2.1 формулируется краевая задача для локальной функции Грина в случае квадратного носителя, рассматривается построение локальной функции Грина на основе интегрального представления. В п. 2.2 рассматривается шаблон линейной алгебраической системы, к которой исходная краевая задача сводится методом локальных функций Грина. Это система обладает разреженной матрицей, свойства которой позволяют использовать итерационный метод Гаусса-Зейделя для её решения. В п. 2.3 строится локальная функция Грина для круглого носителя, что сокращает вычислительные затраты всей схемы, если в области решения меняется только направление конвективного поля. В п. 2.4 рассмотрено представление локальной функции Грина в виде ряда по собственным функциям, что позволяет получить асимптотику при стремлении малого параметра к предельному значению. Полученная асимптотика существенно расширяет границы применимости метода. В п. 2.5 дается обобщение разработанных алгоритмов и методов на трехмерный случай.
В третьей главе приводятся численные результаты решения модельных задач переноса примесей, демонстрирующие эффективность применения разработанного метода при решении экологических проблем. В п. 3.1 показывается, что важным аспектом практической реализации общей схемы является эффективное вычисление интегралов правой части. В п. 3.2 на примере задачи с резким погранслоем анализируется сходимость и устойчивость метода. В п. 3.3 рассматриваются результаты численного моделирование распространения примесей в различных постановках, в том числе и в случае вихревых течений. В п. 3.4 моделируется перенос примесей в трехмерной постановке.
Четвертая глава посвящена анализу метода и доказательству его устойчивости. В п. 4.1 рассматриваются свойства нормальной производной локальной функции Грина, которые и определяют положительные свойства всего метода. В п. 4.2 доказывается устойчивость приближенного решения, для этого анализируются свойства матрицы линейной алгебраической системы. В п. 4.3 проводится аналогия с методом конечных разностей против потока.
В пятой глава рассматривается использование метода локальных функций Грина для решения нелинейных уравнений, определяющих движение сплошной среды. В п 5.1 рассматривается уравнения Навье - Стокса. В п 5.2 решает- ся невязкое уравнение Бюргерса, особенностью которого является образование разрывов в решении. В п 5.3 рассматривается модельная задача процесса обес-соливания в электромембранной системе.
Заключение содержит основные положения, выносимые на защиту.
Научная новизна определяется тем, что в работе дано обобщение метода локальных функций Грина на случай многих переменных; разработаны методы построения локальных функций Грина, основанные на интегральном представлении для квадратного и круглого носителей и на представлении в виде ряда по собственным функциям, а также асимптотика локальной функции Грина для предельных значений параметра возмущения; разработаны алгоритмы и программы, а также получены на их основе численные результаты решения эталонных задач; получена устойчивая схема дискретизации нестационарных нелинейных уравнений гидродинамики (Навье-Стокса) при больших числах Рейнольдса, основанная на использовании разработанных в диссертационной работе алгоритмов построения локальной функции Грина; предложена устойчивая схема аппроксимации разрывных решений (на примере нелинейных уравнений Бюргерса); проведен численный анализ характерных особенностей переноса загрязнений и примесей при значительном доминировании конвективных потоков над диффузионными; продемонстрировано образование пограничных и внутренних слоев, формирующихся в потоках переноса веществ в случае малой диффузии.
Достоверность результатов обеспечивается корректностью постановок задач, строгим доказательством выводов и утверждений, и сравнением решений задач, полученных разработанным методом, с результатами других авторов.
Практическая значимость работы. Разработана и реализована в виде пакета компьютерных программ математическая модель процесса распространения примесей в экологических системах, дающая устойчивые результа- ты как при сильном сингулярном возмущении, так и при учете нелинейных механизмов формирования гидродинамических потоков.
Теоретическая значимость работы. Разработан новый метод решения сингулярно возмущенных задач на основе схемы Петрова-Галеркина в случае многих переменных.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на 2-ой и 3-ей объединенной научной студенческой конференции факультета прикладной математики Кубанского государственного университета «Прикладная математика XXI века» (Краснодар, 2002 г., 2003 г.), на международном семинаре «Environmental Problems and Ecological Safety» (Wiesbaden, Germany, 2004), на XI Всероссийской школе-семинаре «Современные проблемы математического моделирования» (Дюрсо, 2005), на заключительной конференции грантодержателей регионального конкурса РФФИ и администрации Краснодарского края мр2003юг"(Краснодар, 2005). В целом диссертация обсуждалась на семинарах кафедр прикладной математики и численного анализа КубГУ и на семинаре «Краевые задачи математической физики» в Южно-Российском региональном центре информатизации Ростовского государственного университета (Ростов-на-Дону, 2006).
Диссертационные исследования проводились в рамках выполнения проектов РФФИ 03-01-96626-р2003юг «Метод локальных функций Грина для сингулярно возмущенных задач конвекции-диффузии» и NATO PST.CLG.980398 «Boundary Meshless Methods for Solving Large Scale Problems».
Основные результаты диссертационого исследования содержаться в публикациях [21], [76], [22], [23], [24], [77].
Автор выражает глубокую признательность д.ф-м.н., профессору Е.В. Глушкову за постановку задачи и консультации. Особую благодарность автор выражает научному руководителю д.ф-м.н., ст. науч. сотруднику Н.В. Глушко-вой за постоянное внимание и помощь в работе.
Определение локальной функции Грина. Квадратный носитель
В этом параграфе работоспособность метода проверяется и на численных примерах для широкого круга задач, описывающих распространение примесей в ограниченной областях.
В рассмотренном выше примере при малых є узлы сетки не попадают в зону погранслоев, поэтому может показаться, что предлагаемый метод дает только вырожденное решение «о, не удовлетворяющее всем граничным условиям. Примеры решения задач с внутренними слоями показывают, что это не так - метод дает приближение в узлах сетки именно к полному решению и(х), обладающему резкой градиентностью в слоях. Например, если выброс загрязнений происходит только на части границы области с наветренной стороны, то образуется ярко выраженный поток частиц, который постепенно размывается за счет диффузии и поглощения части вещества (рис.9). На противоположной границе области примесь полностью абсорбируется, что является причиной образования погранслоя. Приведенный на рис.9 пример соответствует разрывным граничным условиям Дирихле (1.2): р = 1 на ограниченном участке границы Г+ (х = 0,0.25 у 0.5) и р = 0 на остальной части Г; е = 10 7,& = с = 1,9 = тг/8,/1 = 0.02,N = 50-50 = 2500,f = 1 с. В решении данной задачи формируются два внутренних слоя, идущих от точек разрыва граничных условий вдоль прямых, задаваемых конвекционным потоком b, а также погранслой на правой границе х = 1, 0 у 1. Несмотря на резкий перепад значений и{Х{) для узлов, лежащих по разные стороны от слоев, численное решение устойчиво строится при любых є « 1.
Малозатратность метода позволяет быстро получать результаты и для уравнений с переменными коэффициентами, когда функции ф{ необходимо строить в общем случае для каждого из ./V узлов Xj. На рис. 10 в качестве примера приведены вид поля Ь(х) = (1.5sin(/?, — 0.5cos /?), где /? - полярный угол точки (ж, у) в системе координат с центром в точке хо = (0,0.5) и график решения им для этого поля при / = 0,р = 1 только на отрезке х = 0,0.8 у 1 = 10 9, с = 1, N = 2500, Nit = 85, і = 118 с. На рис. И пример решения для другого неоднородного векторного поля - b(x) = ( sin(5y), cos(5x)) и граничных условий р — 1 на отрезке х = 0,0.5 у 0.8.
Разрывные граничные условия приводят к формированию двух внутренних слоев, исходящих из точек разрыва. Пограничны слои формируется на границе, куда поток принесит вещество, для первого примера - вдоль границы х = 0, для второго - х — I.
В рассмотренных примерах область fi точно разбивается квадратной сеткой на подобласти fy. Для областей с криволинейными границами использованиє базисов ipijtpj с квадратными или прямоугольными элементарными носителями фактически означает аппроксимацию Q областью со ступенчатой границей. Однако, сходимость в узлах численного решения и К точному и при h — О сохраняется и в этом случае. В качестве иллюстрации рассмотрим пример Хем-кера [81] для области с круговым отверстием С1С: х2 + у2 1 и горизонтальным конвекционным потоком b = (1,0); уравнение (1.1) однородное (/ = 0), на границе отверстия Гс = дО,с заданы условия Дирихле и\ге = 1.
Порядок сходимости. Эффективность применения асимптотических формул
Модель распространения примесей на основе стационарного уравнения конвекции-диффузии предполагает, что конвекционное векторное поле (Ь) уже известно. Оно может быть определено по фактическим измерениям, либо на основе применения моделей, описывающих движение среды. К таким моделям можно отнести уравнения Навье-Стокса и уравнение Бюргерса. Здесь возникает несколько проблем, основные из них это нелинейность и сингулярное возмущение. В качестве малого параметра выступает величина обратная к числу Рей-нольдса, І/Re, характеризующего соотношение между скоростью и вязкостью в рассматриваемом масштабе.
Основная идея применения метода локальных функций Грина состоит в том, что нелинейные сингулярно возмущенные уравнения после дискретизации по времени сводятся к серии стационарных линейных уравнений конвекции-дифффузии, для которых применим рассматриваемый метод.
Основными уравнениями, описывающими плоское течение несжимаемой ньютоновской вязкой жидкости с постоянными коэффициентами при отсутствии внешних сил, являются два уравнения количества движения (уравнения Навье-Стокса) и уравнение неразрывности, имеющие следующий вид [46]:
Уравнения записаны для физических переменных - для составляющих вектора скорости и = (и, v) и давления р ; свойства жидкости характеризуются плотностью р и кинематическим коэффициентом вязкости V.
При моделировании более удобно пользоваться безразмерными уравнениями, так как в этом случае удается выделить один или несколько безразмерных параметров, которые полностью характеризуют течение. Тогда можно применять закон подобия. Эксперименты, проводящиеся при различных условиях, будут приводить к одним и тем же результатам при условии совпадения тех самых безразмерных параметров. Это используют в своей работе исследователи, которые на малоразмерных моделях моделируют движения крупногабаритных кораблей, авиалайнеров и т.д.
Безразмерная система уравнений, используемая в дальнейшем, основывается на конвективном масштабе времени L/Uo, где L - характерная длина, a UQ - характерная скорость задачи; например, если L - длина хорды крыла крылового профиля и Щ - скорость набегающего потока, то L/UQ - время, за которое частица набегающего потока проходит весь профиль. Введем следующие безразмерные величины:
Перед тем как переходить к описанию алгоритма решения уравнения, необходимо отметить ряд аспектов. Важно отметить особую роль давления, для которого нет эволюционного уравнения. Она заключается в обеспечении соленоидальности векторного поля и поэтому играет такую же роль, что и потенциальная скалярная функция ір в разложении произвольного векторного поля w(x): где divu(x) = 0. Выделение в поле скоростей безвихревой составляющей, т.е. составляющей, которая может быть получена из потенциала скорости, лежит в основе метода проекций Чорина [72], позднее такой подход применялся к созданию проекционных методов, полунеявный алгоритм SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equations) [43] и метод дробных inaroB(fractional step method) [86].
Другим аспектом является выбор пространственной разностной сетки. Широкое распространение получила так называемая разнесенная сетка (см. рис. 16). На этой сетке разные физические величины определяются в различных пространственных узлах:
Видно, что давление определяется в центре ячейки, а компоненты скорости - на границах. В этом случае уравнение неразрывности аппроксимируется в узлах давления, достоинством такого подхода является естественный характер аппроксимации со вторым порядком точности
Свойства нормальной производной локальной функции Грина
Очистка сточных вод, создание безотходных технологий является актуальной задачей, необходимость решения которой обусловлена чувствительным воздействием на окружающую среду. Наиболее экологичными способами очистки воды являются электромембранные технологии (электродиализ), позволяющие производить отчистку от солей тяжелых металлов и других загрязнений. Для оптимизации процессов очистки воды необходимо использовать математические модели этих процессов.
Элетродиализный аппарат имеет периодическую структуру, поочередно идут камеры обессоливания и камеры, в которых концентрируется раствор. При математическом моделировании процесса обессоливания во многих случаях достаточно рассмотреть процесс только в камере обессоливания, считая концентрации в камерах концентрирования постоянной и учитывая обмен только в граничных условиях.
Общая структура электродиффузионных уравнений достаточно сложна, так как включает наряду с нелинейными дифференциальными уравнениями и конечные уравнения. В тоже время оказывается возможным получить уравнение для концентрации, не зависящее от потоков и напряженности электрического поля, т.е. провести декомпозицию системы электродиффузионных уравнений. Декомпозиция для бинарного симметричного электролита при выполнении условия электронейтральности и ряда упрощающих предположений известна, где для концентраций были получены классические уравнения диффузии [92]. Далее, следуя работе [25], можно получить уравнение конвекции-диффузии для концентрации для произвольных электролитов.
Одна из актуальных проблем - это моделирование влияния камфоры на массоперенос в электродиализном аппарате. Введение в мембранную систему камфоры и ряда других поверхностно-активных органических веществ (ПОАВ) приводит к возрастанию предельного тока. Отличительной особенностью этих ПОАВ заключается в том, что они формируются прочные абсорбирующие слои на границе раствора и мембраны.
При моделирования влияния ПАОВ (на примере камфоры) будем использовать модель, расмотренную в монографии [54]. В модели предполагается, что задача рассматривается не во всем канале. Во-первых, по ширине моделируется только часть канала вблизи мембраны (для определенности рассматривается катионная мембрана), при этом размерная величина х изменяется в диапазоне от х = 0, что соответствует ядру электролита, где концентрация сохраняет постоянное значение, до х = h - граница раствор мембрана. Во-вторых, расположение участка вдоль канала выбрано в зоне с развивающемся профилем концентрации, где четко выделяется область изменения (рис. 23).
Поверхности мембраны, содержащие камфору, чередуются со свободными поверхностями, поэтому, если участки с камфорой достаточно удалены друг от друга, то можно рассмотреть расположение камфоры в центре моделируемого участка.
При моделировании течения жидкости в канале считается, что раствор хорошо смачивает поверхность мембраны, и для скорости на границе ставиться условие прилипания, т.е. равенство нулю скорости. На поверхности, покрытой камфорой, касательная составляющая скорости отлична от нуля, так как коэффициент трения между электролитом и камфорой много меньше, чем между мембранном и электролитом, поэтому ставиться условие скольжение.
