Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Расчетные схемы механических передач 13
I. Приведение моментов инерции масс и , жесткостей 13
2. Системы обобщенных координат 15
3. Упрощение приведенных систем 16
ГЛАВА II. Методы синтеза по допускаемым упругим моментам . 19
I. Метод синтеза с использованием обращения преобразования Лапласа с помощью разложения оригинала в ряд по функциям Чебшева-Лагерра 19
2. Метод синтеза с помощью интегральных уравнений Вольтерра П-го рода | 26
ГЛАВА III. Метод синтеза по расположению полюсов передаточной функции
I. Зависимость характера переходного ' процесса от расположения полюсов I передаточной функции I 43
2. Траектории полюсов передаточной | функции механический системы | 59
3. Методика синтеза характеристик упругих муфт по траекториям полюсов передаточной функции 167
Проверка полученных результатов.196
4, Выбор параметров привода скребкового конвейера СП-бЗ для обеспечения минимально возможного напряженного состояния его деталей 119
5. Органиграмма алгоритма построения траекторий полюсов передаточных функций. , 126
ВЫВОДЫ 130
ЛИТЕРАТУРА , 132
- Приведение моментов инерции масс и , жесткостей
- Системы обобщенных координат
- Метод синтеза с использованием обращения преобразования Лапласа с помощью разложения оригинала в ряд по функциям Чебшева-Лагерра
- Зависимость характера переходного ' процесса от расположения полюсов I передаточной функции
Введение к работе
, Задачи, поставленные ХХШ съездом КПСС в директивах по пятилетнему плану в области увеличения объема производства и повышения производительности труда, а также доведение качества продукции до уровня мировых стандартов, могут быть решены лишь при условии повышения надежности и долговечности машин и их основных составных частей - механических передач*
В связи с тенденцией современного машиностроения к росту скоростей подвижных частей машин и мощности их приводов, обеспечение надежности и долговечности предъявляет повышенные требования к уменьшению динамических составляющих, вызываемых колебательным процессом в машине.
Упругие силы, развиваемые в машине, существенно зависят от ее параметров. Необходимость выбора оптимальных значений этих параметров требует создания методов расчета, конечной цель которых является установление связи между характером силового процесса в машине и ее параметрами.
Приведение моментов инерции масс и , жесткостей
Механическая передача представляет собой сложную систему с определенными инерционными и упругими характеристиками, где роль отдельных элементов передач может быть существенно различной. Некоторые элементы, обладая большой податливостью, имеют малую инерцию, другие же при весьма малой податливости обладают значительной инерцией» Для упрощения составления дифференциальных уравнений исследуемой механической передачи удобно масса адокея-тов, обладающих значительной инерцией, привести к елементу приведения» Когда выполнено приведение масс, вею расчетную схему можно представить состоящей из отдельных масс, связанных между собой упругими связями«,
Вопросам определения приведенных расчетных схем при динамических нагрузках посвящено много работ [27, 28, 29, 30, 31, 33 Наиболее полно эти вопросы изложены в пособии
Закон приведения основан на том, что кинетическая знергия массы, работа сил и энергия деформации упругих элементов доджнк оставаться без изменений; Это непосредственно следует из уравне ний Лагранца;
Различают звено приведения, вращающееся с угловой скорое сОп ч и точку приведения, движущуюся со скоростью \/п Величина приведенной массы всех звеньев, имеющих жесткук кинематическую связь, определяется следующим уравнением:
В качестве обобщенных координат, определяющих положение приведенных систем, можно брать углы поворота масс относительно неподвижной системы отсчета или углы закручивания участков» т.е. разности абсолютных координат масс, находящихся на границах участка Умножая углы закручивания участков на соответствующие жесткости, в качестве обобщенных координат будем иметь упругие моменты на участках. В этом случае в решении будут фигурировать интересующие нас величины, так как расчеты механических передач сводятся к определению упругих моментов или соответствующих деформаций. Другим преимуществом этих координат является то, что их число меншше на единицу числа обобщенных координат в углах поворота масс.
Несмотря на это, для расчета некоторых динамических систем необходимо использовать абсолютные обобщенные координаты - углы поворота масс, когда внешние воздействия на массы являются их ф$ циями или левые части дифференциальных уравнений имеют такой ви; что переход к упругим моментам на участках затруднителен. Например, система дифференциальных уравнений описывающая движение электромеханической системы имеет вид:
В этом случае переход к упругому моменту целесообразно осуществить в пространстве преобразования Лапласа. Необходимо заметить, что знаменатель изображения упругого момента полностью определяется определителем системы ( 1,7 ) Предполагая в дальнейшем использование преобразования Лапласа, необходимо отметить некоторые его преимущества»
Как известно, в общее решение дифференциального уравнения, получаемое посредством классического метода, входят постоянные, которые подлежат определению из начальных условий. Для определения их, необходимо дополнительно решить систему линейных алгебраи ческих уравнений Если порядок дифференциального уравнения превышает три, то решение такой системы довольно громоздко. При применении преобразования Лапласа не требуется определения постоянных, что приводит к значительному сокращению вычислений Важное преимущество преобразования Лапласа заключается в том, что каждая неизвестная функция может быть вычислена сама пс себе, независимо от вычисления остальных функций, которые не ЩІ ставляют интереса»
Как показывают результаты исследований [20, 2Ї], деформации упругих участков определяются несколькими низшими собствеї ными частотами и соответствующими им собственными формами. Это позволяет в значительной мере упростить вычисления, заменяя шю-гомаесовые приведенные системы системами с двумя или тремя массами. Так в подавляющем большинстве случаев при расчете однопривод-ных машин, имеющих один исполнительный орган, эквивалентная схема может быть представлена в виде двухмассовой упругой системы, в которой моменты инерции деталей трансмиссии распределены между моментом инерции ротора двигателя и моментом инерции исполнительного органа. Наличие в механической передаче турбомуфты позволяет разбить ее на независимые в отношении крутильных колебаний системы.
При упрощении эквивалентной приведенной системы необходимо выполнить условия, обеспечивающие динамическую эквивалентность [8 К
1. Для равенства собственных частот упрощенной системы и соответствующих частот исходной системы необходимо выполнение равенств максимумов кинетической и потенциальной энергий системе
2. Для эквивалентности по упругим моментам необходимо по-ложить, что упругие моменты в участках с узлами собственных форм исходной системы равны упругим моментам в участках с узлами собственных форм упрощенной системы 3» Искомые собственные формы упрощенной системы должны быть ортогональны.
При расчете динамических систем возникают неудобства, связанные с тем, что значения различных параметров отличаются на многие порядки, тогда как одноименные параметры соизмеримы Эти неудобства устраняются введением безразмерных величин, что несколько усложняет первоначальные теоретические выкладки.
Системы обобщенных координат
Методика синтеза характеристик упругих муфт с использованием обращения преобразования Лапласа с помощью разложения оригинала в ряд по функциям Чебышева - Лагерра сводится к следующему:
1) составляется приведенная схема механической передачи и система дифференциальных уравнений ее движения ;
2) система дифференциальных уравнений переводится в пространство изображений преобразования Лапласа и решается в нем оригинале , уменьшаемого до допустимых значений
3) используя простоту вычисления выражения ( 2»Ю) для ма лых значений П и ( п. - к )у несколькими пробными расчетами подбирается значение варьируемой жесткости таким образом, чтобы уменьшаемый упругий момент был не больше допускаемого.
Изложенный выше метод синтеза применим для любой линейной механической передачи, если обеспечена достаточно быстрая сходимость ( J Ц- ) ряда Л п. и в тех случаях, когда система дифференциальных уравнений может быть сведена к одному уравнению относительно упругого момента Для механических передач, не обладающих этим свойством» может быть предложен метод синтеза с использованием интегральных уравнений Вольтерра П-го рода.
Как известно, изучение движения механической системы с помощью интегральных уравнений Вольтерра П-го рода не требует решения характеристических уравнений. Используя это обстоятельство, можно предложить метод синтеза характеристик упругих муфт, который рассмотрим на примере двухмассовой системы [24] , приводимой электродвигателем постоянного тока с парадлельным возбуждением. Система получает возбуждение от источника энергии ограниченной мощности. Для нее неприменимы методы синтеза, рассмотренные выше, так как из-за наличия отрицательной обратной связи, в системе дифференциальные уравнения описывающие ее движение не могут быть записаны в функции упругого момента. Считая электродвигатель линейным элементом и пренебрегая переходным процессом в обмотке возбуждения, запишем систему дифференциальных уравнений
Таким образом, методика синтеза характеристик упругих муфт состоит в следующем:
1) строится приведенная схема механической передачи и записывается систеш дифференциальных уравнений ее движения ;
2) система дифференциальных уравнений переводится в пространство изображений преобразования Лапласа и составляется структурная схема системы ;
5) на структурной схеме системы выбираются цепи, не охваченные обратной связью, и выражения, им соответствующие, переводятся в пространство оригиналов ;
4) выражение, соответствующее контуру с обратной связью, преобразовывается к виду, в котором неизвестной функцией является реакция системы на единичный импульс ;
5) реакция системы на единичный импульс находится в функции резольвенты интегрального уравнения Зольтерра П-го рода ;
6) определением величины параметров Q и Сг число членов ряда, составляющего резольвенту, ограничивается.
Следовательно, все неизвестные для определения упругого момента найдены и, зная величину допускаемого упругого мшмента» можно подобрать соответствующее значение характеристики упругой муфты.
Из рассмотренного очевидно, что метод синтеза с помощью интегральных уравнений Волътерра П-го рода применим для любой линейной механической передачи.
Применимость метода будет ограничиваться лишь громоздкостью вычислений и наличием средств уменьшающих ее.
Метод синтеза с использованием обращения преобразования Лапласа с помощью разложения оригинала в ряд по функциям Чебшева-Лагерра
Оптимальной Б смысле минимальности нагрузок, обусловленных колебательным процессом, необходимо называть механическую передачу, значение параметров которой обеспечивают минимальность коэффициента динамичности для любых видов нагрузок.
Изложенные выше методы могут быть использованы лишь для обеспечения минимальности коэффициента динамичности для известного вида нагрузки»
Для обеспечения оптимальности при любом виде нагрузок необходим критерий, выражающий свойства только механической передачи обособлено от характера внешних нагрузок.
В качестве такого критерия могут быть использованы траектории полюсов передаточной функции. Таким образом, получены выражения для оценки величины максимального момента через координаты полюсов передаточной функции.
При непрерывном изменении значений характеристик муфт полюсы передаточных функций опишут на плоскости комплексного переменного непрерывные траектории. Зная зависимость характера переходного процесса от расположения полюсов передаточной функции, можно таким образом выбрать их положение, что движение системы, в определенном смысле, будет оптимальным.
Переход от качественной оценки переходного процесса механической передачи к его количественной оценке можно осуществить, получив оригинал упругого момента по известным полюсам передаточной функции.
Пусть, как и прежде, изображение по Лапласу упругого момента в рассматриваемом звене системы имеет вид
Так как все коэффициенты уравнений ( 3.53) и ( 3.54) конечны, то начальные и предельные точки всегда дежат в конечной области плоскости комплексного переменного.
Уравнение полюсов является алгебраическим уравнением с действительными коэффициентами и все корни его могут быть только действительными или комплексно-сопряженными. Поэтому на плоскости комплексного переменного полюсы всегда расположены симметрично относительно действительной оси. Так как при непрерывном изменения варьируемого параметра полюсы изменяются также непрерывно, то они опишу ГЛ. непрерывных траекторий.
Зная начальные и предельные точки уравнения полюсов ( 3.52), можно записать в следующем виде
Отсюда видно, что положительным значением варьируемого параметра соответствует нечетные значения -л/ . Это обстоятельство позволяет разбить действительную ось на траектории, соответствующие положительным значениям варьируемого параметра»
Уравнение ( 3,57 ) можно использовать для определения направления и угла выхода траекторий из начальных точек к входа мх в предельные точки Так как свойства начальных и предельных точек аналогичны, рассмотрим лииь начальные точки. В случае простой начальной точки угол, образованный действительной осью и траекторией, выходящей из рассматриваемой точки, будет
Поскольку V и WJ - целые числа, то наименьший корень ( 3.58) равен нулю. Это означает, что траектория, проходящая через любую действительного простую точку, лежит на действительной оси и выход ее на комплексную плоскоаь возможен только в кратных действительных точках.
Если простая начальная точка комплексна, то Б уравнении ( 3.58 ) разность ( 3.59 ) не равна целому числу , В этом случае наименьшее значение &С = =/0 не равно нулю и дает угол наклона траектории относительно действительной оси.
Зависимость характера переходного ' процесса от расположения полюсов I передаточной функции
Методика синтеза основывается на изложенных выше рассуждениях. Постоянная составляющая упругого момента в любом участке приведенной механической системы не зависит от ее упругих свойств при любом виде переходного процесса Она находится как частное решение неоднородного дифференциального уравнения, нагрузочной функцией которого является постоянная составляющая действующей на массы нагрузки.
Прежде чем делать синтез характеристик упругих муфт, необходимо оценить напряжения в элементах механической системы от постоянной составляющей. Если эти напряжения выше допустимых,то никакими изменениями характеристик упругих муфт их нельзя понизить В этом случае необходимо увеличивать моменты сопротивлений ослабленных сечений.
Метод синтеза по траектории полюсов передаточных функций применим в тех случаях, когда необходимо добиться, чтобы механическая передача в целом наименьшим образом реагировала на внешние возмущения. Если требуется увеличить прочность какого-либо ее звена за счет даже уменьшения прочности остальных звеньев, то необходимо, сообразуясь с реальными обстоятельствами, применять методы, описанные в главе 1«
Рассмотренный ранее метод построения траекторий полюсов передаточной функции предполагает следующий вид уравнения полюсов, т.е. знаменателя передаточной функции.
Считаем, что жесткость С/г и Сгв целиком принадлежат соответствующим муфтам с демпфированием и момент трения в них пропорционален скорости закрутки.
Необходимо, варьируя жесткостью Огъ , достичь наилучшего в смысле величины упругого момента, переходного процесса»
Рассмотрим пуск механической системы. Начальные условия полагаются нулевыми для упрощения записи уравнений. Это не нарушит правильности выводов, так как поиск наилучшего расположения полюсов от начальных условий не зависит Пусть система дифференциальных уравнений ( 3.73) описывает движение рассматриваемой трехнассовой системы
Рассуждая подобным образом, можно в любой механической системе с конечным числом степеней определить границы изменений величины жесткости упругой муфты, при которых системе в переходном процессе будет осуществлять монотонное движение.
Если при некоторых границах значений жесткости муфты их реализовать не представляется возможным, то, взяв из всех оставшихся вариантов минимально достигшую величину жёсткости, мы получим механическую систему оптимальную в заданных условиях. Построить график процесса ют его огибающую можно, воспользовавшись выбранным расположением полюсов или любым иным методом,Пост рои в график, или определив аналитически максимальную величину упругого момента, мы будем констатировать оптимальный в заданных условиях коэффициент динамичности системы.
Решение будем производить на аналоговой вычислительной машине МН-М. Аналоговые машины менее точны, чем цифровые. Однако количество значащих цифр или точность ответа не следует смешивать с точностью решения задачи, в которую входит точность сведений о входящих переменных и постоянных, выбранной структурной схеме, соответствия математической модели физической. На стадии технического проекта конструктор располагает такой точностью исходных данных, что, учитывая время на подготовку задачи для моделирования и стоимость работы, желательно применение аналоговых машин для построения графика решения» Поэтому и в данной работе для проверки результатов была использована аналоговая машина.
