Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Сужение множества Парето на основе простейшего набора взаимно зависимой информации 11
1.1. Основные понятия теории многокритериального выбора и относительной важности критериев 11
1.2. Учёт непротиворечивости простейшего набора взаимно зависимой информации 16
1.3. Сужение множества Парсто на основе взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР 29
1.4. Учёт взаимно зависимой информации в случае нечеткого отношения предпочтения 41
Глава 2. Сужение множества Парето с использованием различных наборов взаимно зависимой информации 57
2.1. Учёт непротиворечивости различных наборов взаимно зависимой информации 57
2.2. Сужение множества Парето на основе различных наборов взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР 62
2.3. Инвариантность результатов теоремы 2.1 и теоремы 2.4 относительно линейного положительного преобразования 81
2.4. Учёт взаимно зависимой информации с использованием нелинейных функции минимума 85
Глава 3. Задача выбора оптимального химического состава судостроительной стали 102
Заключение 107
Литература 109
- Учёт непротиворечивости простейшего набора взаимно зависимой информации
- Сужение множества Парсто на основе взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР
- Сужение множества Парето на основе различных наборов взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР
- Инвариантность результатов теоремы 2.1 и теоремы 2.4 относительно линейного положительного преобразования
Введение к работе
Актуальность работы. Согласно принципу Эджворта-Парето «разумный» выбор наилучших решений при наличии нескольких критериев оптимальности должен осуществляться внутри множества Парето (области компромиссов). Однако это множество, как правило, является довольно широким, и лицо, принимающее решение (ЛПР), оказывается не в состоянии определить в нем свой наилучший выбор. По этой причине и возникает актуальная проблема сужения множества Парето, которая не может быть разрешена без наличия дополнительной информации о предпочтениях ЛПР,
К настоящему времени предложено большое число различных подходов к решению проблемы сужения множества Парето (10. Гермейер, А. Лотов, В. Ногин, В. Подиновский, A. Geoffrion, В. Roy, Т. Saaty, R. Steuer, P. Yu и многие др.) которые в зависимости от используемой дополнительной информации можно разделить на несколько групп:
методы, основанные на формировании обобщенного критерия с последующей его максимизацией;
методы, в которых ЛПР предлагается в качестве своего отношения предпочтения выбрать уже известное заранее отношение предпочтения;
интерактивные процедуры, в ходе которых строится последовательность точек, стремящихся к наилучшему решению;
аксиоматический подход последовательного сужения множества Парето.
Общим недостатком упомянутых выше подходов (за исключением последнего) является отсутствие строгого обоснования их применения в том или классе задач. Они, по своей сути, носят чисто эвристический характер.
Аксиоматический подход, получивший свое развитие в основном благодаря работам В. Ногина (и некоторым работам В. Подиновского) в этом смысле является математически безупречным; он основан на принятии ряда «разумных» аксиом и использовании информации об отношении предпочтения ЛПР, за счет которой и производится обоснованное сужение множества Парето.
В данной диссертационной работе изучаются вопросы сужения множества Парето в рамках указанного аксиоматического подхода на основе так называемой взаимно зависимой информации о предпочтениях ЛПР. Подобного рода информация нередко имеется (или может быть получена) в практике решения задач многокритериального выбора и ранее исследователями не изучалась.
Цели и задачи исследования. Цель диссертационной работы состояла в получении правил сужения множества Парето в задачах
многокритериального выбора с различными наборами взаимно зависимой информации об отношения предпочтения ЛПР. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
получить критерии непротиворечивости набора взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛІТР;
получить формулы для вычисления нового векторного критерия, на основе которого может быть построена оценка сверху для неизвестного множества выбираемых решений более точная, чем множество Парето.
Методы исследования. В работе используется математический аппарат выпуклого анализа, теории бинарных отношений и линейной алгебры.
Научная новизна. Главными результатами диссертации являются новые правила сужения множества Парето за счёт различных наборов взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР. Ранее подобные наборы взаимно зависимой информации никем не рассматривались.
Обоснованность и достоверность полученных результатов.
Теоретические положения и выводы сформулированы в виде лемм и теорем, и доказаны математическими средствами.
Теоретическая и практическая значимость работы.
Теоретическая значимость работы заключается в получении новых правил сужения множества Парето при наличии взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР.
Практическая значимость работы состоит в возможности использования полученных результатов для обоснованного сужения множества Парето при решении различных многокритериальных задач из области техники и экономики.
Основные результаты диссертации, выносимые на защиту:
Получены критерии непротиворечивости различных наборов взаимно зависимой информации;
Сформулированы и доказаны теоремы, показывающие, каким образом следует производить сужение множества Парето на основе различной взаимно зависимой информации;
Установлены правила, позволяющие производить учет некоторой взаимно зависимой информации в случае нечеткого отношении предпочтения ЛПР.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 37-й и 40-й международных конференциях студентов и аспирантов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2006, 2009), на 5-й Московской международной конференции по исследованию операций (Москва, 2007). а также на 13-й Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов» (Зеленогорск, 2007).
Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 5 публикациях, в том числе в 2 статьях, опубликованных в изданиях, рекомендованных ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа в 112 страниц содержит введение, три главы, заключение и список литературы из 44 наименований.
Учёт непротиворечивости простейшего набора взаимно зависимой информации
Приведем простой пример, когда информация о предпочтениях ЛПР имеет взаимно зависимой информации и как на её основе происходит сужение множества возможных решений.
Допустим, человек, приобретая билеты в театр, руководствуется двумя пожеланиями: во-первых, чтобы цена была относительно невысокая, а во-вторых, чтобы место располагалось достаточно близко к сцене. Таким образом, в качестве критериев выступают цена билета и удаленность места относительно сцены. Говоря, что первый критерий важнее второго, человек исключает из рассмотрения первые / рядов. Но в то же время, заявляя о важности второго критерия по сравнению с первым, он отбрасывает из вариантов последние к рядов. В итоге учет подобного типа информации приводит к ограничению выбора с / -го по к -й ряд.
В дальнейшем нам понадобиться понятие конусного отношения.
Определение 1.4. Бинарное отношение 0, заданное на RmxR"\ называют конусным, если существует такой конус К {К a Rm\ что для произвольных у , у" є R" справедлива эквивалентность у 0 у" у -у" е К.
Замечание 1.1. Выполнение аксиом 2-4 дает возможность рассматривать отношение предпочтения как конусное отношение с острым, выпуклым конусом К, не содержащим начало координат ([16], с.55, теорема 2.3) и содержащим неотрицательный ортант R" ([16], следствие 2.1, с.57).
Замечание 1.2. Задание информации об относительной важности двух групп критериев, согласно определению 1.2, эквивалентно заданию пары векторов (1.1) и, согласно определению 1.4, равносильно тому, что вектор у из (1.1) принадлежит конусу К, т.е. У От у єК. Задание к сообщений об относительной важности групп критериев равносильно заданию набора из к пар векторов У иОт,...,/иОш. (1.2) В этом случае справедлив ряд эквивалентностей у1 От у1еК,...,ук -От укеК.
Когда речь идет о задачах выбора с взаимно зависимой информацией, то это означает, что имеется, по крайней мере, два сообщения об отношении предпочтения ЛПР. Каждое новое сообщение может оказаться противоречащим (несовместным) уже имеющимся сообщениям. Это связано с тем, что информация, получаемая от ЛПР, чаще всего имеет желательный характер, далекий от действительности. Вследствие данной противоречивости, ЛПР, само того не желая, может выйти за рамки задач, в которых справедливы аксиомы «разумного» выбора. Поэтому необходимо уметь проверять полученную информацию о предпочтениях ЛПР на непротиворечивость.
Ниже приведено формальное определение непротиворечивости набора векторов, задающих информацию об отношении предпочтения ЛПР.
Определение 1.5 [16]. Набор векторов (1.2) будем называть непротиворечивым, если существует хотя бы одно бинарное отношение -", для которого выполняются аксиомы 2-4 и соотношения у1 0т,..., у1 - 0т.
Замечание 1.3. Поскольку существование набора пар векторов (1.2), для которых выполняются соотношения у1 -0т,...,ук -0т, эквивалентно заданию набора информации об относительной важности, то, говоря о непротиворечивости набора информации о предпочтениях ЛПР, будем подразумевать непротиворечивость набора пар векторов (1.2). На примере двух задач исследуем вопрос непротиворечивости набора взаимно зависимой информации в простейших случаях.
Задача 1.1. Пусть даны два сообщения, состоящие в том, что группа критериев А = {/1,/2] важнее группы критериев В = {/3} с двумя заданными наборами положительных параметров {wl,w2} и w3, соответственно, а группа критериев В = {/3] важнее группы критериев A = {fx,f2) с наборами положительных параметров уъ и {ух, у2}. Обозначим набор информации, состоящий из двух указанных сообщений, символом (И 1.1).
Информация (И 1.1) в переводе на геометрический «язык», согласно замечанию 1.2, означает, что для векторов У =(w1,w2,-w3) и / =(-ух -у2,уг) (1.3) выполняются У - 03, у2 - 03 и у1, у2 принадлежат конусу К конусного отношения предпочтения . В [16] разработано несколько критериев непротиворечивости конечного набора векторов. Приведем один из них —геометрический: Для того чтобы набор пар векторов (1.2) был непротиворечивым, необходимо и достаточно, чтобы конус, порожденный векторами el,.,.,e" ,y\...,yk, являлся острым ([16], теорема 4.6, с. 113). Здесь и далее через е обозначен т -мерный вектор, у которого / -ая компонента равна 1, а все остальные равны нулю. Полагаясь на приведенный выше критерий, установим, при каких условиях набор информации (И1.1) будет непротиворечивым. Для векторов у1 и у2 вида (1.3) будем использовать также обозначения OF и OG соответственно, где точка О есть начало координат.
Сужение множества Парсто на основе взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР
Суппорт конуса М, согласно доказательству теоремы 1.2, совпадает с множеством всех ненулевых решений системы линейных неравенств (1.21).
Рассмотрим нечеткое конусное отношение , конус которого М. Согласно рассуждениям, приведенным выше, С в точности совпадает с отношением, определенным равенством (1.33). Тогда множество, функция принадлежности которого представлена равенством (1.38), есть нечеткое множество недоминируемых векторов относительно отношения . Из включений ЯЦсМсК вытекает, что множество Парето содержит множество недоминируемых векторов относительно отношения С, а оно в свою очередь содержит множество недоминируемых векторов, порожденное конусным отношением предпочтения с функцией принадлежности //
На основании нечеткого принципа Эджворта-Парето, последнее множество содержит внутри себя нечеткое множество выбираемых векторов. Это означает справедливость (1.38).
Доказательство случая, когда выполняется только одно из неравенств (1.5) или (1.6) аналогично выше приведенному. Отметим, что теперь суппорт конуса М, согласно доказательству теоремы 1.2, будет совпадать с множеством всех ненулевых решений системы линейных неравенств (1.24), а нечеткое конусное отношение будет иметь вид (1.35). Теорема 1.4 доказана.
Как показывает анализ формулировки теоремы 1.4, для того чтобы построить нечеткое множество с функцией принадлежности 2% (у), необходимо решить три четкие задачи многокритериального выбора. На первом этапе следует найти множество Парето в задаче с множеством возможных решений X и исходной векторной функцией / = (/і,/2,/3)- В результате всем векторам, принадлежащим найденному множеству Парето, присвоить степень принадлежности равную единице, а остальным - равную нулю. Следующим шагом будет решение задачи многокритериального выбора на том же множестве возможных решений X, но уже с новой векторной функцией Оз/і +УіА,Гз/2 +Т2/з- /з) «пересчитанной» с учетом имеющейся информации об относительной важности критериев. Теперь всем векторам множества Парето, полученного на предыдущем этапе, которые не попали во множество Парето, найденного во второй задаче многокритериального выбора нужно присвоить степень принадлежности l-jU\- И, наконец, третьим шагом на множестве X решается задача с вновь «пересчитанной» векторной функцией, вид которой зависит от того, выполняются оба неравенства (1.5), (1.6) или одно из них. Если справедливы оба неравенства, то размерность новой векторной функции увеличивается на единицу, и она принимает вид (w-ifl+wlfi,w3f2+w2f3,r3fl+rlf3,r3f2+r2A)- в том случае, если выполняется только неравенство — —"-, векторная функция в третьей задаче имеет вид У\ Уз (щ/і+ /з, ГзА+Уі/з, (Г2Щ-2Гз)Аі+(ЩГз-ЩГі)А2+(Г2Щ ЛЩ)/з), если w2 w3 же верно только — — то Уг Уъ (w3f2 + w2f3, yj2 + y2f3, (y3w2 - w3/2)Ai + Ь зУх ЩУз)А2 + (Уі 2 У2Щ)Аз) Всем парето-оптимальным векторам из второй задачи, не попавшим во множество Парето третьей задачи, следует присвоить степень принадлежности l-ju2. Таким образом, будет построено нечеткое множество недоминируемых решений с функцией принадлежности ЛА/ (у), представляющее собой более точную оценку сверху для неизвестного множества выбираемых векторов C(Y).
Пример 1.2. Рассмотрим задачу многокритериального выбора с векторным критерием / = Ц,/2 /з) и нечетким отношением предпочтения ЛПР, для которого выполняются аксиомы 1 -4 . Пусть множество возможных решений X состоит из семи вариантов. Соответствующее ему множество возможных векторов Y состоит из следующих элементов
У =(2,7,4), у2 =(3,5,0), У =(6,8,2), У» =(1,1,3), У =(0,2,6), У =(5,2,5), У =(7,0,4). Множество Парето задачи многокритериального выбора с исходной векторной функции образовано пятью элементами P(Y) = (y\y3,y5,y6,y7). Присвоим данным элементам степень принадлежности равную единице, а векторам у2, у4 - нулевую степень принадлежности, т.е. выполняется ЛР(у1) = Лр(у3) = Лр(у5) = Лр(у6) = 4(у1) = Лр(у2) = Лр(у4) = 0. Пусть группа А состоит из первого и второго критериев, а группа В — из третьего критерия. Предположим, что имеется информация о том, что группа А важнее группы В с двумя наборами параметров {wuw2} = {7,3}, w3 = 2 и степенью уверенности /лх =0,3, а группа В важнее группы А с наборами параметров уъ =2, {Гі,У2) = (5 4) и степенью уверенности ju2 = 0,6. Согласно лемме 1.4, данный набор нечеткой взаимно зависимой информации непротиворечив, причем выполняется только неравенство (1.5).
Решая вторую задачу многокритериального выбора с новой векторной функцией (ГзА + ГіА Гз/2 + УгАз /з) » вычислим у1 =(24,30,4), f =(6,10,0), у3 =(22,24,2), у4 =(17,14,3), у =(30,28,6), J?6 =(35,24,5), у1 =(34,16,4). Парето-оптимальными векторами в данной задаче являются первый, пятый и шестой вектора. Поскольку в новое множество Парето из «предыдущего» множества Парето не попадают третий и седьмой вектор, то этим векторам присваиваем степень принадлежности 1-/лх. Остальные вектора сохраняют свои прежние степени принадлежности Л\1{ух) = Л)!{у5) = %{у6) = \, Я?(У) = Л (/) = 0,7, 4 Си2) = (/) = 0. И, наконец, на множестве X решаем третью задачу многокритериального выбора с векторной функцией (щЛ+Щ/з, ГзА +Гі/з (г2з-2Гз)Аг +(щУз -w3y,)/2 +(y2w, -/,w2)/3). Получаем у1 =(32,24,84), у2 =(6,6,26), у3 =(26, 22,70), у4 =(23,17,45), у5 = (42,30,86), у6 =(45,35,83), у7 =(42,34,66) . Здесь множество Парето состоит только из пятого и шестого векторов, поэтому первому вектору присваиваем степень принадлежности 1 - ц2
Сужение множества Парето на основе различных наборов взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР
Введем конус Мбез вершины (начала координат), порожденный совокупностью единичных векторов е1,е2,...,ет пространства R" и векторами у\у2,у3,у4. Поскольку всякая совокупность всех неотрицательных линейных комбинаций произвольного набора векторов представляет собой выпуклый конус, то конус М выпуклый. Поскольку конус М является подмножеством острого конуса К, то он также является острым конусом.
Возможны следующие случаи (и только они). 1) каждая из групп А,В,С содержит более одного критерия, 2) только группа А состоит из одного критерия fx, 3) только группа В состоит из одного критерия /г+1 (или только группа С состоит из одного критерия /г+/+1), 4) каждая из групп А, В, С состоит в точности из одного критерия, 5) группа А и группа В состоят из одного критерия, 6) группы В и С содержат по одному критерию. Рассмотрим сначала первый случай, когда все четыре вектора у1,у2,у3,у4 имеют более одной положительной компоненты. Здесь образующими конуса М являются векторы набора е\е2,...,е" ,у1,у2,у3,у4, поскольку ни один из них невозможно представить в виде линейной неотрицательной комбинации остальных векторов этого набора. В самом деле, если, например, вектор es, S E{A\JBKJC), представляется в виде линейной неотрицательной комбинации es = V + wl + м2У2 + мУ + мУ, (2.34) к=\ k s то найдутся / є А, ІФ s, j є В ,j s и к єС ,k s, для которых Mi ! Mifi + fh t- мУ= -Л, - м 1+щуІ = -Лк. Отсюда следуют неравенства М І thf, + иУ,- иУ, о, которые приводят к неравенствам —-4 - —i- ИЛИ — — — , Ту Мі її Ґк М3 ГІ противоречащим условию теоремы. Если же вектор es таков, что е/\(,4и5иС),то равенство (2.34) сразу влечет противоречие т i = XV+/v0+/vO+/vO+/vo. к=1 k s Теперь предположим, что вектор У представляется в виде т У = IXе + th? + W + W" =1
Тогда для каждого j є В имеет место противоречивое равенство - w j = Aj + jn f-отрицательного и неотрицательного чисел.
Аналогично каждый из векторов у2,у3,у4 невозможно представить в виде линейной неотрицательной комбинации указанных выше векторов.
Таким образом, каждый из векторов е1,е2 ,...,ет3 у1,у2,у3,у4 является образующим для конуса М. II этап. Введем конус С (без вершины), двойственный для конуса М, т.е. С = {сє R " {с,у) 0 для всех уеМ}\{0га}, т где запись (с,у) = с,у, означает скалярное произведение векторов. ы Докажем, что конус С совпадает с множеством всех ненулевых неотрицательных решений следующей однородной системы линейных неравенств e .v) 0 для всех = 1,2,...,/w, {w ,y} 0, {f,y) 0, {w",y) 0, (у",у) 0. (2.35) С этой целью найдем (с точностью до положительного множителя) фундаментальную совокупность решений системы неравенств (2.35).
Очевидно, решениями системы (2.35) являются единичные векторы es для всех SSI\{A\JB JC]. Количество таких векторов равно ш-ф4 + я + С). Кроме того, решениями будут векторы pijk = w jWke +w iw"kej +w jW"ek для всех іеА, всех /ей и всех к є С. Количество векторов рт равно С . В результате непосредственной подстановки и в силу (2.7), (2.8) легко убедиться, что векторы р.к удовлетворяют системе неравенств (2.35). Другими решениями системы (2.35) являются векторы qlkJ = fjYle1 + r fkeJ + y jyy V/ є Л, Y/ є і?, V є С, hj = w jYW + wiry + w /!ek V/ є Л, V/ є Z?, V є С, t = Г Уке + rXeJ + /rfe V/ є Л, V/ є , V є С, Проверка здесь аналогична случаю с векторами рук. Количество каждого вида векторов qm, hjki, t также равно по -бС. В итоге получены следующие решения системы (2.35): es для всех S =I\(AKJBKJC), Pvk = w jKe + i eJ + rfrfe VieA,VJeB,VkeC, q,kJ = rW + ГІГУ + ftfe VieAtVJeB,VkeC, hj rle + wlry+w jr VieA, VJGB, VeC, (2.36) t = y .wle1 + rykeJ + y jW?ek VieA,VJeB,VkeC Общее количество этих решений составляет d = m-(\А\ + \В\ + С) + 4 вС.
Теперь покажем, что система (2.35) не имеет никаких других решений (с точностью до положительного множителя), кроме тех, которые могут быть представлены в виде всевозможных линейных неотрицательных комбинаций векторов вида (2.36). Для этого рассмотрим систему равенств, соответствующую системе неравенств (2.35), т.е. (ек,у) = длявсех к = \,2,...,т, {w ,y) = 0, {Г,У} = 0, (2.37) (\у) = о, {г ,у) = о. Любой набор, состоящий из т-\ векторов совокупности е\...,ет,ух,у2,у3,у4, является линейно независимым. Поэтому для отыскания общего решения системы линейных неравенств (2.35) достаточно просмотреть ненулевые решения всех возможных подсистем системы (2.37), состоящих из т-\ уравнений. Затем из найденных решений следует отобрать те, которые удовлетворяют (2.35).
Будем из системы (2.37) удалять по пять уравнений. Если удалить четыре последних уравнения и по очереди удалять одно из первых т уравнений, то в качестве решений получим единичные орты е\...,е ". Из них системе (2.35) удовлетворяют только те векторы е", для которых S&I\{AUB JC] .
Если удалим три произвольных уравнения из четырех последних и два произвольных уравнения из т первых уравнений системы (2.37), то решениями, удовлетворяющими системе неравенств (2.35) являются только векторы es, seI\{AuBuC}. Аналогично, при удалении (т +1)-го и (т + 2)-го ((т + 3)-го и (т + 4)-го) уравнений и трех произвольных уравнений из т первых уравнений системы (2.37), искомыми решениями являются е", SGI\{A(JB JC} . Если в состав удаляемых уравнений не входят (ш + 2)-ое и (m + 4)-oe ((/и + 1)-ое и (т + 3)-ое), то решениями полученной укороченной системы уравнений будут векторы вида Яъ = Ї ІЇУ + Г\ГІЄІ + r jr?ek ( pijk = w jwle1 + w ykeJ + w jw ) для всех і є А, всех j є В и всех кеС. И, наконец, если в состав удаляемых уравнений не входят (ш + 1)-ое и (т + 4)-ое ((/?г + 2)-ое и (»2 + 3)-ое), то решениями полученной укороченной системы уравнений будут векторы вида hJU - w e1 + w yle + ъ у"ек
Таким образом, в результате перебора всех возможных вариантов удаления пяти уравнений из (2.37), найдены решения получающихся подсистем из т-\ уравнений, удовлетворяющие (2.35). Ими оказались решения (2.36). Следовательно, векторы (2.36) образуют фундаментальную совокупность решений системы неравенств (2.35) и любое решение этой системы может быть представлено в виде линейной неотрицательной комбинации этой совокупности.
Рассмотрим второй случай, когда группа А состоит из одного критерия. Тогда единичный вектор е1 можно представить в виде линейной неотрицательной комбинации векторов у1 и ек при VkeB. Образующими конуса М в этом случае будут векторы у1,у2,у3,у4, а также единичные орты е2,е3..., ? ". Здесь вместо системы (2.35) следует рассматривать систему неравенств
Инвариантность результатов теоремы 2.1 и теоремы 2.4 относительно линейного положительного преобразования
Рассмотрим задачу выбора оптимального химического состава для судостроительной стали с пределом текучести не менее 355 МПа, при одновременном получении наилучшей свариваемости и наиболее высокой хладостойкое (при 1 = -20С)з получаемой по следующей технологической схеме:
выплавка в электропечи — внепечная обработка на установке «печь-ковш» — разливка на слябы на установке непрерывной разливки — прокатка на толстолистовом прокатном стане — окончательная термическая обработка, состоящая из нормализации.
Предел текучести (о-02) представляет собой напряжение, при котором
остаточная деформация материала равна 0,2% от длины рабочей части образца испытаний. Это означает, что чем больше значение предела текучести, тем большую нагрузку необходимо приложить к конструкции для того, чтобы она начала деформироваться. Свариваемость (иначе отсутствие дефектов в сварном шве) характеризуется несколькими критериями. Косвенной оценкой свариваемости является коэффициент трещиностойкости, который показывает чувствительность стали к образованию холодных трещин при сварке в области температур ниже 250-200С. Хладостойкость — способность материала противостоять разрушению в условиях приложения динамической нагрузки при низких температурах. Критерием хладостойкое стали является значение работы удара, полученное при испытаниях на ударный изгиб образцов с V-образным надрезом при пониженных температурах. Чем больше значение работы удара, тем большую ударную нагрузку необходимо приложить для разрушения материала.
Задача состоит в том, чтобы из некоторой совокупности имеющихся вариантов химических составов выбрать такой, которому соответствовали бы максимальные значения по параметрам — работа удара, предел текучести, а коэффициент трещиностойкости при этом принимал по возможности меньшее значение.
На практике подобные задачи решаются без привлечения специалистов по принятию решений и часто сводятся к анализу и сопоставлению результатов, полученных ранее. Учитывая, что зачастую оптимальный вариант необходимо выбрать из достаточно большого множества возможных альтернатив, указанный подход может иметь высокую трудоемкость. Решение задачи проведем в несколько этапов.
Первый этап. В рассматриваемой задаче множество возможных решений X состоит из девяти вариантов, представляющих собой наборы различных значений определенного химического состава. Отметим, что здесь рассматриваются лишь те химические элементы, которые оказывают наибольшее влияние на механические свойства исследуемой стали. Каждый из наборов оценивался по следующим критериям: /, - коэффициент трещиностойкости (Рст , %), /2 - работа удара при / = -20С (Дне) и /з - предел текучести (МПа). Лицом, принимающим решение в данной задаче, выступил ведущий инженер научно-исследовательского института конструкционных материалов.
ЛПР заинтересовано в максимизации значений по второму и третьему критерию и в получении минимального значения по первому критерию. Для того чтобы формально свести задачу к стандартному виду (т. е. когда все критерии желательно максимизировать), значения критерия /, будем рассматривать со знаком минус. В ходе принятия решения ЛПР ведет себя «разумным» образом, т.е. выполняются четыре аксиомы «разумного» выбора.
Множества возможных решений и множество возможных векторов представлены соответственно в табл. 1 и 2.
В качестве исходных данных были взяты фактические значения содержания химических элементов в промышленных плавках и средние значения фактических величин механических свойств листового проката, полученного из этих плавок [6, 29].
Приступая к решению поставленной задачи, прежде всего выделим множество парето-оптимальных решений Pf(X) и соответствующее множество парето оптимальных векторов P(Y) = {ух, у2, уг ,у6, у7 ,ys ,у9}.
Сопоставляя значения критериев из таблицы 2, приходим к выводу, что максимальным значениям по третьему критерию соответствуют минимальные значения по первому и второму, и наоборот. Тогда, стремясь максимизировать значения по третьему критерию, ЛПР будет вынуждено идти на уступки по первому и второму критерию, а чтобы получить максимальные значения по первому и второму критерию, ЛПР необходимо нести потери по третьему критерию. Этот факт дает основание разделить три имеющихся критерия на две группы А = {/1,/2}и B {fi)i причем первая группа важнее второй, а та в свою очередь важнее первой.
Далее, ознакомив ЛПР с определением относительной важности критериев, путем прямого опроса получили от него следующую дополнительную информацию:
1) всякий раз ради увеличения значений по первому и второму критериям на 0,01 % и 21 Дж соответственно, ЛПР согласно понести потери в размере 20 МПа по третьему критерию;
2) всякий раз ради увеличения значения по пределу текучести на 30 МПа, ЛПР готово пойти на уступки в размере 0,03 % и 30 Дж по первому и второму критерию соответственно.
В результате, имеется набор взаимно зависимой информации об относительной важности критериев вида: группа A = {fx,f2) важнее группы критериев В = {/3} с двумя наборами положительных параметров {w,,w2} = {0,01; 21}, w3 = 20 соответственно, а группа критериев В = {/3} важнее группы критериев A = {fl,f2} с наборами положительных параметров у3 = 30 и {ух,у2} - {0,03; 30}. Третий этап. Убедимся, что данный набор информации является непротиворечивым. Для этого сравним величины Wj/w-j и yjy3, vf2/w3 и у2/уъ. В результате получим неравенства 0,01/20 0,03/30 и 21/20 30/30, что эквивалентно символьной записи wjw3 ух/у3, w2/w3 УгІУг Таким образом, для i = 2,j = 3 выполняется неравенство (1.6).
Четвертый этап. Теперь строим новую задачу многокритериального выбора, используя формулы (1.20 ). Значения векторов, соответствующих новым критериям представлены в таблице 3.
