Проблемы Борсука и Нелсона–Хадвигера в рациональных пространствах Пономаренко Екатерина Игоревна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1 Верхняя оценка числа независимости графов

1.1 Теорема Франкла-Уилсона 14

1.2 Улучшение теоремы Франкла-Уилсона 15

1.2.1 Формальное доказательство 16

Схема доказательства 16

1.2.2 Комментарии к доказательству 20

1.3 Обобщение теоремы Франкла-Уилсона на случай (-1,0,1)-векторов и ее улучшение 20

1.4 Приложения в задаче Нелсона-Эрдеша-Хадвигера 25

Глава 2 Хроматическое число рационального пространства

2.1 Определение хроматического числа рационального пространства 30

2.2 Новая нижняя оценка хроматического числа рационального пространства с одним запрещенным расстоянием 31

2.3 Новая нижняя оценка хроматического числа рационального пространства с двумя запрещенными расстояниями 33

2.4 Хроматическое число аффинно-рационального пространства . 36

Глава 3 Некоторые аналоги задачи Борсука

3.1 Задача Борсука для вещественного и рационального

3.2 Правильный аналог задачи Борсука для рационального

3.3 Размерности контрпримеров 45

3.3.1 Случай

3.4 Обобщение на случай метрики 1р 49

Заключение 51

Список литературы

• Улучшение теоремы Франкла-Уилсона
• Новая нижняя оценка хроматического числа рационального пространства с одним запрещенным расстоянием
• Новая нижняя оценка хроматического числа рационального пространства с двумя запрещенными расстояниями
• Размерности контрпримеров

Введение к работе

Актуальность

Диссертация посвящена изучению вопросов, лежащих на стыке нескольких областей. Впервые задачи, рассматриваемые в данной работе, возникли в рамках комбинаторной геометрии. Хотя это достаточно молодая область дискретной математики и даже сам термин "комбинаторная геометрия" появился только в середине прошлого века, сейчас это бурно развивающаяся дисциплина, которая своим развитием во многом обязана именно этим задачам.

Центральными задачами диссертации являются задача Борсука о разрезании тел в пространстве на части меньшего диаметра и задача Нелсона-Хадвигера о разбиении пространства на части без запрещенного расстояния^1,2'³'^4,5,6. Для комбинаторной геометрии эти проблемы действительно являются основополагающими. Задача Борсука состоит в отыскании числа /(d) — минимального количества частей меньшего диаметра, на которые можно разбить произвольное множество диаметра 1 в пространстве M.^d. В 1933 году К. Борсук высказал гипотезу⁷, что /(d) = d+ 1. Попытки доказать либо опровергнуть эту гипотезу на протяжении шестидесяти лет оказывали сильное влияние на развитие комбинаторной геометрии, пока в 1993 году Дж. Кан и Г. Калан не опровергли⁸ гипотезу Борсука при помощи линейно-алгебраического метода, разработанного П. Франклом и Р. Уилсоном.

Задача о хроматическом числе пространства была сформулирована в 1950 году Э. Нелсоном, который поставил вопрос о том, каково минимальное число x(^^d) цветов, в которые необходимо так раскрасить все евклидово пространство M.^d, чтобы точки, расстояние между которыми в точности равно единице, оказались раскрашенными в разные цвета.

¹В.Г. Болтянский, И.Ц. Гохбсрг, Теоремы и задачи комбинаторной геометрии, Москва, "Наука", 1965.

²А. Soifcr, The Mathematical Coloring Book, Springer, 2009.

³P. Brass, W. Moser, J. Pach, Research problems in discrete geometry, Springer, 2005.

⁴P.K. Agarwal, J. Pach, Combinatorial geometry, John Wiley and Sons Inc., New York, 1995.

⁵A.M. Райгородский, Проблема Борсука и хроматические числа метрических пространств, Успехи матем. паук, 56 (2001), вып. 1, 107- 146.

⁶А.М. Райгородский, Вокруг гипотезы Борсука, Итоги пауки и техники, 23 (2007), 147 - 164.

⁷К. Borsuk, Drei Sdtze uber die n-dimensionale euklidische Sphdre, Fundamcnta Math., 20 (1933), 177 - 190.

⁸J. Kahn, G. Kalai, A counterexample to Borsuk's conjecture, Bulletin (new series) of the AMS, 29 (1993), N1, 60 - 62.

Незадолго до того Г. Хадвигер рассматривал похожую задачу: он доказал, что если евклидово пространство Ш^л покрыто d + 1 замкнутым множеством, то хотя бы в одном из этих множеств все неотрицательные вещественные числа реализуются как расстояния между парами точек этого множества. При решении именно этой задачи П. Франкл и Р. Уилсон получили один из наиболее ярких результатов⁹ за всю историю комбинаторной геометрии. При помощи теоремы Франкла-Уилсона удалось не только совершить прорыв в изучении хроматического числа пространства, а именно доказать гипотезу П. Эрдеша об экспоненциаль-ности роста величины x(R ), но и, как говорилось выше, опровергнуть гипотезу Борсука, вопрос об истинности которой оставался открытым на протяжении более чем полувека. Улучшению этой теоремы посвящена первая глава диссертационной работы.

Кроме влияния на развитие комбинаторно-геометрических методов, эти проблемы играют важную роль и при изучении других задач. Так, проблема Борсука тесно связана с задачей об освещении тел¹⁰'¹¹, с классической проблемой дискретной геометрии об упаковке шаров и других тел в пространстве¹²'¹³, с проблематикой геометрии чисел, с задачей Грюнбаума о покрытии тел шарами¹⁴'¹⁵.

Проблемы Борсука и Нелсона-Хадвигера, поставленные более полувека назад, за десятилетия, прошедшие со своей постановки, были подвергнуты всестороннему изучению. Интерес представляет как решение этих задач в малых размерностях, так и оценки числа Борсука и хроматического числа в случае растущей размерности. В частности, одним из наиболее важных аспектов является изучение нижних асимптотических оценок. Именно вопросы, связанные с нижними оценками, являются цен-

⁹Р. Frankl, R. Wilson, Intersection theorems with geometric consequences , Combinatorica, 1 (1981), 357 - 368.

¹⁰H. Martini, P.S. Soltan, Combinatorial problems on the illumination of convex bodies, Aequationes Mathematicae, Springer-Verlag, 57 (1999), 121 - 152

ⁿV.G. Boltyanski, H. Martini, P.S. Soltan, Excursions into combinatorial geometry, Springer, 1997.

¹ Г.А. Кабатянский, В.И. Левеїіштейп, О границах для упаковок на сфере и в пространстве, Проблемы передачи информации., 14 (1978), N1, 3 - 25.

¹³Дж. Коивей, Н. Слоэн Упаковки шаров, решетки и группы, Москва, Мир, 1990

¹⁴В. Griinbaum, A simple proof of Borsuk's conjecture in three dimensions, Proc. Cambridge Philos. Soc, 53 (1957), 776 - 778.

¹⁵ J. Bourgain, J. Lindenstrauss, On covering a set in Rd by balls of the same diameter, Lecture Notes in Math., Springer-Verlag.Berlin, 1469 (1991), 138 - 144.

тральными в диссертационной работе.

Со временем методы, связанные с изучением проблем Борсука и Нелсона-Хадвигера, изначально сформулированные в комбинаторно-геометрических терминах, оказались исключительно полезными при решении проблем из других областей математики. Так один из наиболее результативных методов в решении указанных задач заключается в рассмотрении систем (ОД)-векторов. Тем самым, возникают естественные приложения в теории кодирования — например, в задачах о равновесных кодах с запрещенными Хэмминговыми расстояниями¹⁶'¹⁷. В то же время (ОД)-векторы можно интерпретировать как ребра гиперграфов, что дает результаты при изучении их экстремальных свойств.

Наконец вышеупомянутые задачи тесно связаны и с обычными графами: с проблемой Борсука связано понятие графа диаметров, а с задачей Нелсона-Хадвигера — понятие дистанционного графа. С одной стороны, идеи и термины теории графов помогают решать эти задачи, с другой — получаемые результаты имеют значение для самой теории графов.

Цель работы

Цель данной диссертации состоит в решении следующих задач: усиление теоремы Франкла-Уилсона и изучение ее приложений; улучшение оценок для хроматического числа рационального пространства; формулировка корректного определения числа Борсука рационального пространства и изучение его поведения.

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми. Перечислим основные из них:

1. Усилена теорема Франкла-Уилсона.

2. Получены улучшения нижних оценок хроматических чисел рационального пространства с одним и двумя запрещенными расстояниями.

¹⁶L. Bassalygo, G. Cohen, G. Zemor, Codes with forbidden distances, Discrete Mathematics, 213 (2000), 3- 11.

¹⁷Ф.Дж. Мак-Внльямс, Н.Дж.А. Слоэн, Теория кодов, исправляющих ошибки, Москва, Радио и связь, 1979.

3. Сформулированы определения корректных аналогов задачи Борсука для рационального пространства.

4. Опровергнут аналог гипотезы Борсука для рационального пространства и исследованы размерности контрпримеров.

5. Изучены верхние и нижние оценки для аналогов числа Борсука.

Результаты диссертации обоснованы в виде строгих математических доказательств и получены автором самостоятельно. Точные формулировки установленных автором утверждений приведены ниже.

Методы исследования

При доказательстве результатов нами использовалась разнообразная техника. Так основным методом работы является линейно-алгебраический метод¹⁸. Кроме того, в работе используется теорема Алсведе—Хачатряна¹⁹, в которой найден максимум числа ребер в гиперграфе с данной нижней границей для мощностей пересечения ребер. В диссертационной работе введено понятие аффинной размерности. Данное понятие сыграло принципиальную роль в обобщении задачи Борсука на случай рационального пространства.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты дают возможность применять теорему Франкла-Уилсона для более широкого промежутка значений параметра.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях:

Международная конференция "Четвертая польская конференция по комбинаторике" (Бедлево, Польша, 17-21 сентября 2012 г.).

Всероссийская конференция "55-я научная конференция МФТИ" (Долгопрудный, Россия, 19-25 ноября 2012 г.).

¹⁸А.М. Райгородский, Линейно-алгебраический метод в комбинаторике, Москва, МЦНМО, 2007. ¹⁹R. Ahlswede, L.H. Khachatrian, The complete nontrivial-intersection theorem for systems of finite sets, J. Combin. Theory A, 76 (1996), 121 - 138.

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах:

— Семинар под руководством профессора A.M. Райгородского (мехмат МГУ, 2010 г.).

Работа автора поддержана грантом РФФИ N 12-01-00683, грантом НШ-2519.2012.1 и грантом Президента МД-6277.2013.1.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 6 работах автора (все они входят в перечень ВАК), список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, насчитывающего 101 наименование. Общий объем диссертации составляет 60 страниц.

Улучшение теоремы Франкла-Уилсона

В 1933 году К. Борсук (cм. [30]) сформулировал следующий вопрос: верно ли, что всякое ограниченное неодноточечное множество в Rd может быть представлено в виде объединения своих частей меньшего диаметра, причем так, чтобы количество этих частей не превышало d + 1? Предположение о справедливости положительного ответа на этот вопрос получило впоследствии название “гипотеза Борсука”.

К решению этой задачи подходили с разных сторон. В первую очередь справедливость этой гипотезы проверяли в “малых” размерностях. Конечно, для d = 1 утверждение сразу следует из того, что отрезок длины 1 разбивается на два отрезка длины 12. В случае размерности d = 2 сам К. Борсук показал, что любое множество диаметра 1 разбивается на три части меньшего диаметра, и именно этот результат привел его к формулировке общей гипотезы. В доказательстве Борсука использовалась следующая лемма: каждое множество диаметра D может быть покрыто правильным шестиугольником, у которого расстояния между противоположными сторонами также равны D (см. [1], [30] и [31]).

В размерности d = 3 ситуация усложняется. Впервые о доказательстве гипотезы Борсука в этой размерности было заявлено в кратком сообщении Перкала (см. [33]), но полное доказательство так и не было опубликовано. Чуть позже Эгглстон (см. [32]) предложил неэлементарное доказательство гипотезы. В последствии было предложено несколько элементарных доказательств. В 1957 году Б. Грюнбаум (см. [23]) доказал, что любое трехмерное множество диаметра D можно покрыть некоторым усеченным октаэдром, который допускает разбиение на 4 части диаметра меньше D. В том же году А. Хеппеш (см. [34]) нашел другое элементарное решение трехмерной проблемы.

Начиная с размерности 4 проблема Борсука до сих пор полностью не решена. Однако, хочется отметить, что свой вклад в изучение проблемы Борсука в “малых” размерностях, помимо упомянутых авторов, внесли В.В. Макеев (см. [35] и [36]), А.Л. Евдокимов, Р. Ревес (совместно с А. Хеппешем — [37]), П. Кацарова-Каранова (см. [38]) и др.

Поскольку окончательного результата в проблеме Борсука получить не удавалось, были предприняты попытки решить проблему в каких-нибудь специальных случаях. В 1946 году Г. Хадвигер доказал, что всякое і-мерное множество с гладкой границей может быть разбито на d + 1 часть меньшего диаметра (см. [39]). Доказательство теоремы Хадвигера и её небольшое усиление содержится в [39] и в книге [1]. В 1971 году К.А. Роджерс (см. [40]) предложил принципиально другой класс множеств, для каждого их которых верна гипотеза Борсука. А именно гипотеза Борсука справедлива для множеств, которые инвариантны под действием группы симметрий правильного rf-мерного симплекса.

С гипотезой Борсука связано понятие числа Борсука. Пусть / - произ вольное натуральное число такое, что всякое ограниченное точечное множе ство ненулевого диаметра может быть разбито на / частей мень шего диаметра. Определим f(d) как число, минимальное среди всех таких /. В этих терминах гипотеза Борсука равносильна равенству f(d) = d + 1. Нетрудно видеть, что величина f(d) всегда конечна. В самом деле, произ вольное множество диаметра D содержится в і-мерном кубе с ребром D, и нужно лишь разбить этот куб на столь мелкие кубики, что диаметр каждого из них будет меньше D. Этот факт был впервые замечен Х. Ленцем в 1955 году (см. [26]). Из него вытекает оценка f(d) (Vd+l)d. Развитие идей отно сительно числа Борсука вылилось в борьбу за усиление оценок с точки зрения уже не конкретных размерностей, а с точки зрения растущей размерности. Так, первым эту верхнюю оценку слегка улучшил К. Борсук (см. [41]) в 1978 году. А в 1982 году М. Лассак (см. [42]) показал, что f{d) 2d 1 + 1. В ма лых размерностях эта оценка является наилучшей из известных. Например, при d = 4 оценка /(4) 9 по-прежнему является рекордной. При больших d наилучшую известную оценку в 1988 году сформулировал О. Шрамм (см.

Аналогичный результат установили в работе [27] Ж. Бургейн и Й. Линден-штраусс. Таким образом, для величины f(d) есть только экспоненциальные верхние оценки.

Итак, мы видим, что подходов к решению проблемы Борсука имеется достаточно много, и тем не менее ни один из них не дает желаемого результата. Еще К.А. Роджерс в своей статье 1971 года о разбиении симметричных множеств (см. [40]) писал, что получил основной результат этой статьи в попытках опровергнуть гипотезу Борсука. А 10 лет спустя П. Эрдеш предположил, что можно построить контрпример к гипотезе Борсука с помощью некоторых конечных точечных конфигураций в Rd (см. [44]). Аналогичное предположение высказал и Д. Ларман (см. [45] и [46]).

Наконец, в 1993 году гипотеза Борсука была опровергнута. Дж. Кан и Г. Калаи с помощью результатов работы П. Франкла и Р. Уилсона 1981 года (см. [47]) построили контрпримеры к гипотезе во всех размерностях d 2015 (см. [48]). Из их конструкции вытекала оценка f(d) (1.203... + о(1))d. Ввиду этой оценки результаты Шрамма и Бургейна-Линденштраусса перестают казаться далекими от истины. В дальнейшем были предприняты достаточно многочисленные попытки понижения размерности контрпримера и, одновременно, усиления нижней оценки величины f(d). Так, в 1994 году А. Нилли предложил некоторую модификацию метода Кана и Калаи и в результате нашел отрицательное решение проблемы К. Борсука при d 946 (см. [49]). Кроме того, работа Нилли была краткой и, в отличие от работы Дж. Кана и Г. Калаи, полностью замкнутой в себе. Далее, в 1997 году Й. Грэй и Б. Вайс-бах построили, за счет небольшого уточнения метода А. Нилли, контрпримеры для всех d 903 (см. [50]). В том же году А.М. Райгородский (см. [51]) обнаружил иную модификацию подхода Нилли, которая позволила ему опровергнуть гипотезу Борсука уже при d = 561. В 2000 году Б. Вайсбах слегка видоизменил конструкцию из [51], сумев тем самым уменьшить размерность контрпримера еще на единицу (см. [52]). После этого А. Хинрихс предложил новую конструкцию, с помощью которой удалось еще сильнее уменьшить размерность контрпримера — до d = 323. В 2002 году Пихурко уменьшил эту размерность на 1 (см [54]). В 2003 году Хинрихс вернулся к задаче и доказал результат для d 298 (см [55]). Этот результат держался 10 лет и в 2013 году А.В. Бондаренко сумел опровергнуть гипотезу при всех d 65 (см [56]). В том же году Т. Йенрих понизил эту размерность до 64. В таблице ниже приведен список улучшений размерности контрпримера.

Новая нижняя оценка хроматического числа рационального пространства с одним запрещенным расстоянием

Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные новые данные об особенностях функционирования гипофизарно-яичниковой, гипофизарно-тиреоидной и гипофизарно-надпочечниковой систем при диффузной доброкачественной дисплазии молочных желез и выявленные закономерности позволили определить ключевые звенья нарушений гормонального гомеостаза, индивидуальные для каждой клинической формы, заострить внимание на более поврежденном участке в патогенетической цепи и создать доказательную базу для обоснованной терапии.

Полученные данные о состояния метаболизма эстрогенов при каждой отдельной форме диффузной доброкачественной дисплазией молочных желез подтверждает, что данный гормонозависимый пролиферативный процесс имеет высокий риск прогрессирования и неблагоприятный прогноз по формированию эстрогензависимых опухолей. Результаты работы позволяют обосновать исследование метаболитов эстрогенов в качестве значимых диагностических маркеров гормонально-метаболических нарушений у пациенток с диффузной доброкачественной дисплазией молочных желез. Представленные сведения об изменении метаболизма эстрогенов позволяют включить их определение в качестве диагностического критерия тяжести формы и могут быть использованы для разработки новых подходов профилактики рака. Полученные данные могут быть использованы для составления практических рекомендаций, касающихся тактики ведения женщин с диффузной доброкачественной дисплазией молочных желез.

Методология и методы исследования. Диссертационное исследование выполнено в несколько этапов. На первом этапе была изучена отечественная и зарубежная литература, посвященная данной проблеме. Всего проанализировано 168 источников, из них 119 – отечественных, 49 – зарубежных.

На втором этапе было обследовано 120 пациенток с диффузной доброкачественной дисплазией молочных желёз. Диагноз был поставлен в соответствии с современными критериями на основании жалоб, данных анамнеза, оценки общего и гинекологического статусов, ультразвукового сканирования молочных желёз [83]. Пациентки были распределены на клинические группы с преобладанием железистого, кистозного, фиброзного компонента и смешанной формы. Основные методы исследования – оценка содержания гормонов в сыворотке крови в раннюю фолликулиновую (5-7 день) и лютеино-вую (18-21 день) фазы менструального цикла и измерение уровней 2- и 16 -гидроксиметаболитов эстрогенов в моче на 19-25 день менструального цикла с помощью иммуноферментного анализа.

На третьем этапе диссертационного исследования проведен анализ и статистическая обработка полученных результатов.

Положения, выносимые на защиту: 1. В структуре гормональных нарушений у пациенток с диффузной доброкачественной дисплазией молочных желез присутствуют повышенные уровни эстрадиола, тестостерона, пролактина, адренокортикотропного гормона, кортизола, 17-ОН прогестерона, тиреотропного гормона, сниженное содержание прогестерона в сыворотке периферической крови. При этом при смешанной форме дисплазии молочных желез зарегистрированы наиболее выраженные изменения соотношения эстрогена и прогестерона, у пациенток с преобладанием железистого компонента не выявлено снижение уровня прогестерона и определяется сниженный уровень тироксина, при диффузной доброкачественной дисплазии молочных желез с преобладанием кистозного компонента максимально повышены уровни гормонов гипофизарно-надпочечниковой системы.

2. В основе формирования и поддержания диффузной доброкачественной дисплазии молочных желез лежит нарушение секреции гормонов гипофиза вследствие дезорганизации механизмов гипоталамической регуляции на фоне гипотиреоидного состояния и изменение регуляторных механизмов, работающих по принципу обратной связи, ведущие к нарушению синтеза стероидных гормонов в коре надпочечников, дисбалансу половых гормонов и избытку пролактина, оказывающих прямое стимулирующее влияние на проли-феративные процессы в тканях молочной железы.

3. Существенное уменьшение соотношения 2/16-гидроксиэстрона у женщин при диффузной доброкачественной дисплазии молочных желез определяется снижением концентраций пролиферативно-нейтрального 2-гидроксиэстрона и повышением пролиферативно-активного 16-гидроксиэстрона.

Новая нижняя оценка хроматического числа рационального пространства с двумя запрещенными расстояниями

Если п = 2к и гиперболический ранг формы Q максимален (то есть равен к), то автоморфизмы группы XJn(R,r,Q), к 3 были описаны в 1985 году другими методами Е.И Зельмановым, [5].

Таким образом, данная работа продолжает начатое в конце XX в. изучение изоморфизмов и автоморфизмов линейных групп над некоммутативными кольцами. Целью данной работы является описание изоморфизмов классических линейных групп, а также стабильных линейных групп над различными классами ассоциативных колец.

Основными в представленной работе являются следующие результаты: модифицированное доказательство теоремы И.З. Голубчика об изоморфизме между полными линейными группами над ассоциативными кольцами; продолжение теоремы И.З. Голубчика об изоморфизме между полными линейными группами на случай линейных групп над ассоциативными градуированными кольцами; описание действия изоморфизмов между стабильными линейными группами над кольцами, содержащими - , на стабильной элементарной подгруппе; описание действия изоморфизмов между стабильными унитарными группами над кольцами, содержащими , на стабильной унитарной элементарной подгруппе. В диссертации используются методы классической теории колец и модулей над кольцами, а также специальные методы, разработанные для описания действия изоморфизмов между линейными группами, в том числе метод инволюций.

Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты вносят вклад в решение задачи описания изоморфизмов линейных групп над кольцами. Результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях: — VII международная алгебраическая конференция на Украине (Харьков, 2009); — международный алгебраический симпозиум, посвященный 80-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ и 70-летию профессора А.В. Михалева (Москва, 2010); а также на следующих семинарах кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ:

Работа состоит из четырех глав. Глава 1 имеет вспомогательный характер, в ней вводятся необходимые для работы базовые понятия и обозначения. В разделе 1.1 мы вводим обозначения для используемых матричных колец, определяем понятия системы матричных единиц и элементарной подгруппы. Мы называем Mat oo{R) множество матриц со счетным числом строк и столбцов, у которых вне главной диагонали есть лишь конечное число ненулевых элементов, а также существует такой номер п, что для любого і п элементы матрицы Гц = а, а Є R. Вводится следующее определение.

Определение. Если А є GLn(R), то можно отождествить А с элементом из Matoo(i?) по следующему правилу: матрицу А запишем в левый верхний угол, начиная с позиции (п, п), на диагонали запишем 1, а на всех остальных местах запишем 0. Положим GL (R) = (J Ghn(R) (Ghn(R) С Matoo(R)).

Это подгруппа группы обратимых элементов кольца Mat(X)(R). Назовем ее стабильной ее стабильной унитарной группой. Затем стандартным способом определяется стабильная унитарная элементарная подгруппа.

Раздел 1.3 посвящен необходимым сведениям из теории градуированных колец и модулей. Даются определения градуированного кольца, градуированного модуля, градуированного морфизма. Вводится понятие градуированного кольца эндоморфизмов градуированного модуля и понятие хорошей градуировки на кольце матриц.

В главе 2 дается модифицированное автором доказательство следующей теоремы И.З Голубчика [2] об изоморфизме между линейными группами над ассоциативными кольцами.

Теорема (теорема 3). Пусть R и S — ассоциативные кольца с\, п 4, т 2 и ср : Ghn(R) — Ghm(S) — изоморфизм групп. Тогда существуют центральные идемпотенты е и f колец Matn(R) и MatTO(5 ) соответственно, кольцевой изоморфизм для всех А є Fin(R). В разделе 2.1 вводится определения кольца частных и канонического гомоморфизма и доказываются вспомогательные утверждения. Раздел 2.2 посвящен доказательству основного результата. Также в этом разделе автором сформулирована и доказана теорема, описывающая действие изоморфизма линейных групп на подгруппе GEn(i2). При доказательстве используются методы работы [3]. В разделе 2.3 приводится подробное доказательство вспомогательных технически сложных предложений, которые использовались при доказательстве основного результата. Раздел 2.4 посвящен изучению изоморфизма линейных групп над асооциативными градуированными кольцами. Автором вводится следующее определение

Доказательство теоремы ведется с использованием модифицированного метода инволюций. В разделе 3.1 приводятся необходимые для дальнейшего доказательства вспомогательные утверждения, а также строится система матричных единиц {fij,i,j Є N} кольца Mat (S), обладающая свойством ср(Е — 2ец) = Е — 2fa,i Є N. Далее в разделе 3.2 строится изоморфизм между кольцами (Е (S)) и (Е (Si)), Si = /иMat oo(S)fn, что позволяет нам в дальнейшем записывать элементы GL (S) удобным способом. Затем в разделе 3.3 мы описываем образы элементов из Е (R) при изоморфизме ср и строим кольцевые отображения и , обладающие необходимыми свойствами. Это завершает доказательство теоремы.

В главе 4 описывается действие изоморфизма между стабильными унитарными группами над ассоциативными кольцами, содержащими , на стабильной элементарной подгруппе. Результат этой главы продолжает описание изоморфизма унитарных групп, полученное И.З. Голубчиком и А.В. Михалевым, [4]. Основным результатом является следующая Теорема (теорема 8). Пусть R и S — ассоциативные кольца с , т — инволюция (антиавтоморфизм порядка два) на R, є — инволюция на S, ср : U (R) — U (S) — изоморфизм стабильных унитарных групп. Пусть также существует обратимый элемент /З Є Z(R), такой, что f3f3T — 1 обратим. Тогда существует кольцевой изоморфизм

При доказательстве теоремы используется модифицированный метод инволюций. Раздел 4.1 посвящен введению необходимых для доказательства дополнительных обозначений и соглашений. В разделе 4.2 даются необходимые вспомогательные результаты и производятся предварительные вычисления. Также вводится система матричных единиц {zij,i,j Є N U N }, обладающая свойством ср(Е — 2(ец + е /)) = Е — 2(гц + гм). Затем в разделе 4.3 строится изоморфизм между кольцами (U(S)) и (U(Si)), S\ = znMat2,оо(5 ) іь что позволяем нам далее записывать элементы из U (S) в удобном виде. В разделе 4.4 мы описываем образы элементов из EU (R) и строим кольцевой изоморфизм #, удовлетворяющий условию теоремы. Это завершает рассмотрение в главе 4.

Размерности контрпримеров

Возникнув более трёх миллиардов лет назад, живые клетки непрерывно претерпевали изменения в ходе эволюции. От предков архей до современных растений и животных был пройден долгий эволюционный путь, в результате которого возникли все типы клеток, живущих сейчас на Земле. В итоге строение современной клетки животных представляет собой замечательный механизм чрезвычайной сложности, предоставляющий широкое поле деятельности для клеточных биологов.

В результате увеличения размеров и усложнения внутреннего строения клеток животных по сравнению с клетками прокариот, в ходе эволюции у них появились специализированные транспортные системы для перемещения многочисленных органелл по цитоплазме. Очевидно, что быстрый и эффективный транспорт необходим любой клетке, а не только специализированным клеткам вроде нейронов, столбчатого эпителия или активно фагоцитирующих макрофагов, поскольку его роль не ограничивается функциями эндо- и экзоцитоза. Поляризация любой животной клетки в ответ на воздействие внешних сигналов, а также клеточная локомоция требуют активной согласованной работы внутриклеточных транспортных систем. Процессы поляризации и последующего движения клеток обеспечивают заживление ран, развитие воспалительных процессов, обеспечивают нормальное протекание эмбриогенеза и рост сосудов. Наряду с этим, поляризация и локомоция клеток могут играть определяющую роль при малигнизации опухолей в процессе канцерогенеза. Всё это невозможно без эффективного транспорта по цитоплазме. Таким образом, внутриклеточный транспорт определяет ряд ключевых процессов, жизненно важных как для самой клетки, так и для всего организма в целом.

Регулируемый направленный внутриклеточный транспорт осуществляется моторными белками, перемещающими органеллы вдоль элементов цитоскелета. Цитоскелет клеток животных представлен тремя основными типами филаментов, расположенных в цитоплазме – актиновыми микрофиламентами, промежуточными филаментами и микротрубочками. При этом длинные и беспорядочно расположенные промежуточные филаменты в основном обеспечивают жёсткость клетки, и помогают удерживать митохондрии в определённых клеточных компартментах. Таким образом, промежуточные филаменты не принимают участия в процессах внутриклеточного транспорта. Перемещение органелл по цитоплазме осуществляется вдоль микротрубочек и актиновых микрофиламентов посредством моторных белков, относящихся к семействам кинезинов, динеинов и миозинов. Моторные белки являются молекулами, использующими химическую энергию гидролиза АТФ для осуществления своих конформационных изменений, что приводит к последовательным «шагам» такой молекулы по микротрубочке или микрофиламенту. При этом каждый моторный белок движется в одном строго заданном направлении. Поэтому наличие на поверхности органеллы нескольких сайтов связывания с разными моторными белками, а также выборочная активация нужных моторов позволяет осуществлять направленный транспорт по цитоплазме.

Благодаря исключительной важности процессов внутриклеточного транспорта для жизнедеятельности клеток, исследования в этой области в настоящее время являются в высшей степени актуальными и за последние два десятилетия вопросу их изучения было уделено много внимания. В частности, были расшифрованы структура моторных белков, проведена 3D-реконструкция их молекул и описан механизм их перемещения по элементам цитоскелета. Однако ряд фундаментальных вопросов об организации внутриклеточного транспорта до сих пор оставался без ответа и не давал возможности объединить все известные факты в одну непротиворечивую схему. Данная работа раскрывает ряд механизмов, которые определяют архитектуру тубулиновой транспортной системы клетки и отвечает на вопрос о том, чем обусловлена одно- или двунаправленность транспорта по цитоплазме при помощи моторных белков. Исследования, приведённые в работе, подразделяются на три основные части.

Первая и вторая части работы посвящены исследованию основной транспортной системы клетки, которая представлена системой микротрубочек и соответствующими моторными белками. Хорошо известно, что именно транспорт по микротрубочкам в интерфазных клетках животных играет определяющую роль в процессах эндоцитоза и экзоцитоза, а также обеспечивает перемещение мембранных везикул между цистернами эндоплазматического ретикулума и аппарата Гольджи. Это достигается благодаря двунаправленному перемещению органелл по радиально расположенным микротрубочкам, пронизывающим всю цитоплазму клетки по направлению от центра к периферии. Очевидно, что подобное расположение микротрубочек в виде звезды геометрически наиболее выгодно, поскольку обеспечивает доставку грузов из околоядерной области до края клетки и обратно по кратчайшему пути, максимально быстро и с наименьшими энергозатратами.

Действительно, транспорт грузов по запутанным микротрубочкам требует большего расхода АТФ, поскольку удлиняется путь, пройденный вдоль микротрубочки моторным белком. Помимо этого, радиальное расположение микротрубочек обеспечивает существование механизма search and capture, который является одним из способов регуляции внутриклеточного транспорта. Этот механизм предполагает наличие множества динамичных плюс-концов микротрубочек, обращённых к периферии клетки и непрерывно «исследующих» цитоплазму в поисках объекта для перемещения. Итак, классическое радиальное расположение микротрубочек с центром организации, расположенным в центральном районе клетки, оптимальным образом приспособлено для осуществления внутриклеточного транспорта.

Очевидно, что подобная архитектура сети микротрубочек возможна лишь при соблюдении двух обязательных условий, а именно: 1) центр организации микротрубочек должен располагаться в геометрическом центре клетки 2) центр организации должен эффективно удерживать минус-концы динамичных микротрубочек, непрерывно поддерживая таким образом радиальность всей системы.

Чаще всего в качестве центра организации микротрубочек выступает центросома – единственная немембранная органелла у большинства клеток позвоночных. Ещё в 70-х годах ХХ века было показано, что именно её активность обуславливает формирование радиальной системы микротрубочек в клетках животных. Центросома может быть тесно связана с ядром, но может и отдаляться от него на значительное расстояние. Хотя эта органелла впервые была описана Теодором Бовери ещё в 1887 году и позднее получила своё название именно благодаря центральному расположению в клетке, механизмы её позиционирования оставались неизвестными.

Похожие диссертации на Проблемы Борсука и Нелсона–Хадвигера в рациональных пространствах

Исследование проблем принятия решений в пространствах нечетких бинарных отношений и /или/ в условиях неполной информацииКудряшова Татьяна Евгеньевна

Проблемы полноты и выразимости в пространствах дискретных функцийПарватов, Николай Георгиевич

Разрешимость проблемы выбора оценки эффективности и ее минимизация в НА-пространствеМитасов, Евгений Васильевич