Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методы хеджирования опционов американского типа 9
1.1 Хеджирование опционов американского типа на неполных рынках 14
1.2 Минимизация риска неисполнения обязательств по опционам 24
1.3 Использование авторегрессионно-факторной динамики доходности при выборе инвестиционного портфеля
Глава 2. Траектории экономического роста в многосекторных производственных моделях с мультипликативно-степенными функциями
2.1 Задачи оптимального управления макроэкономическим развитием 41
2.2 Система дифференциальных уравнений модели экономического роста с производственным, научно-исследовательским и образовательным секторами
2.3 Условия существования стационарных траекторий сбалансированного эндогенного роста в системе уравнений трехсекторной модели
2.4 Алгоритм вычисления и свойства траектории сбалансированного роста в трехсекторной модели
Глава 3. Вычисление траектории сбалансированного роста для экономики США
3.1 Оценка параметров трехсекторной модели экономического роста 77
3.2 Реальные значения экзогенных и определяемых в рамках трехсекторной модели величин для экономики США за 1980-1997 гг .
3.3 Траектория сбалансированного роста экономики США 97
Глава 4. Оптимальное инвестирование в инновации 104
4.1 Прямые инвестиции в НИОКР 105
4.2 Оптимизация экономического роста с учетом возможности прямых ин вестиций в технологии и экспорта технологических разработок
4.3 Влияние убывающего или отрицательного темпа прироста трудового ресурса на устойчивость траекторий экономического развития
Заключение 133
Библиография 135
- Минимизация риска неисполнения обязательств по опционам
- Система дифференциальных уравнений модели экономического роста с производственным, научно-исследовательским и образовательным секторами
- Алгоритм вычисления и свойства траектории сбалансированного роста в трехсекторной модели
- Реальные значения экзогенных и определяемых в рамках трехсекторной модели величин для экономики США за 1980-1997 гг
Введение к работе
Инвестиции традиционно считаются движущей силой большинства экономических процессов. Обычно проводится различие между реальными инвестициями и финансовыми. Реальные инвестиции представляют собой вложение капитала в какой-либо тип материально осязаемых активов, таких, как земля, оборудование, заводы, технологии и инновации. Финансовые инвестиции связаны с покупкой ценных бумаг таких, например, как акции, облигации, фьючерсы, опционы. В современной экономике большая часть инвестиций представлена финансовыми инвестициями.
Наибольшую сложность при математических расчетах на фондовых (финансовых) рынках имеют опционы или сделки с чертами опционов (опционы, по определению, представляют собой контракты или ценные бумаги, дающие возможность одной из сторон отказаться от покупки/продажи какого либо актива при изменении цены на этот актив в неблагоприятную сторону без каких-либо дополнительных платежей). Так как опционы позволяют страховать финансовые риски, то существует большая потребность в точном математическом моделировании поведения инвестора в различного рода опционных кон- * трактах, и разработке методов и.алгоритмов вычисления необходимых для оперирования на рынке величин и стратегий (таких как стоимость ценных бумаг, величин рисков, доходности, инвестиционных стратегий и т.д.).
В связи с. этим, в современной экономико-математической литературе широкое распространение получила теория хеджирования (страхования риска) опционов, ключевыми моделями которой являются модель Блэка-Шоулса и модель Кокса-Росса-Рубинштейна, а также теория Марковитца выбора инвестиционного портфеля и его алгоритм квадратичного динамического программирования построения эффективного множества. Теория хеджирования опционов представляет собой специальную адаптацию к экономическим потребностям теории стохастических дифференциальных уравнений и теории вероятностей. В настоящей диссертации рассматривается несколько отличный от стандартного подход к хеджированию опционов, основанный на минимизации среднеквадратичного функционала (меры риска) и построении соответствующего расчетного (хеджирующего) алгоритма, обосновываются преимущества данного метода по сравнению со стандартными методами хеджирования с вероятностью единица. В работе построен и запрограммирован пошаговый динамический алгоритм минимизации рисков по опционам американского (дающего возможность исполнить контракт в любой момент времени в течение срока действия опциона) типа, что позволяет инвестору быстро
определить, на сколько переоценены или недооценены те или иные опционы, а участникам договора с чертами опциона (т.е. такого, в котором, например, оговорены отложенные на некоторое время инвестиции) определить точную величину возмещения одной из сторон за принятие дополнительного риска.
Модели экономического роста (агрегированные модели производства) также играют важную роль в экономических исследованиях, в частности при решении задач о выборе направления и пропорций реальных инвестиций. Эти модели могут быть использованы как для описания всей экономики в целом, так и отдельного крупного промышленного предприятия, включая крупные производства, банки, страховые компании, научно-исследовательские центры и т. д., т.к. в них рассматриваются во взаимодействии наиболее важные экономические процессы: производства, инвестирования и потребления.
Основой успешных инвестиций является не только правильное размещение ресурсов среди имеющихся возможностей, но и определение, и расширение числа доступных возможностей. Расширением таких возможностей являются различные схемы учета НТП (научно-технического прогресса) в моделях экономического роста, которые позволяют находить дополнительные ниши для инвестиций. Задачи, связанные с выбором целей для инвестиций и оптимального в определенном смысле распределения средств среди доступных инвестиционных возможностей, в целом одинаковы как для одного субъекта народнохозяйственной деятельности (домохозяйства), так и для экономики крупного общественного образования (государства, крупной фирмы) в целом.
Существует два основных подхода к моделированию производственно-экономических систем - с помощью производственных функций и дифференциальных уравнений (как правило, это непрерывные по времени модели), и с помощью матричных уравнений, с использованием теории неотрицательных матриц. Первый подход развивался от широко известной модели Солоу экономического роста, наиболее распространен в современной западной литературе и развивает методы математической теории оптимального управления в приложении к экономической теории. Второй подход обязан своим происхождением модели межотраслевого баланса Леонтьева и динамической модели Неймана.
В настоящей диссертации рассматриваются проблемы оптимального и сбалансированного экономического роста при наличии инвестиций не только в физический капитал, но и в ряд таких производственных ресурсов как человеческий капитал, сектор НИОКР (научные исследования и опытно-конструкторские разработки), покупка технологий на мировом рынке, в рамках первого подхода. Как показала мировая практика, объем вложений в основные фонды (станки, здания и т.д.) является не единственным определяющим фактором экономического роста. Для развития экономики не менее важны вложения в новые технологии (инновации), а также в образование (в человеческий капитал).
Таким образом, и задача инвестирования в агрегированных производственных моделях и задача выбора инвестиционного портфеля агентом на финансовом рынке связаны с выбором целей для инвестиций и оптимального в том или ином смысле распределения имеющихся финансовых или материальных средств среди доступных активов. Разработанные в настоящей работе математические методы и алгоритмы оптимизации управляемых инвестиционных процессов, произведенные качественные исследования оптимальных траекторий, а также реализация всех расчетов в виде программных комплексов, дают субъекту экономической деятельности необходимые инструменты анализа эффективности функционирования экономических систем и точные рекомендации при принятии решений в каждый период времени.
Целью настоящей диссертации является разработка математических методов и алгоритмов управления инвестициями, в моделях, учитывающих реально существующие инвестиционные возможности на финансовых рынках (при хеджировании опционов американского типа и выборе портфеля ценных бумаг) и в экономике в целом (при определении сбалансированного или оптимального экономического роста в моделях с эндогенной формой НТП).
Исходя из этой цели, в работе поставлены следующие задачи:
Определения рациональной цены, оптимальной инвестиционной стратегии продавца опциона американского типа при среднеквадратичном критерии хеджирования и вычислительной сложности используемых расчетных схем хеджирования опционов при различных критериях исполнения опциона, разработки метода снижения риска неисполнения опциона, основанного на формированиипортфеля опционов
Модификации факторной модели определения доходности акции путем включения в нее элементов авторегрессии с последующей разработкой алгоритма вычисления ковариационной матрицы доходностей ценных бумаг в рамках новой модели
Построения наиболее общей трехсекторной модели экономического роста с эндогенной формой НТП, в которой производство человеческого капитала и технологических разработок выделено в два независимых сектора, описываемых системой дифференциальных уравнений специального вида, и качественного исследования экономически содержательных решений этой системы
Определения условий существования и разработки метода вычисления стационарных траекторий специального вида (режима сбалансированного эндогенного роста) в широком классе динамических моделей экономического роста с мультипликативно-степенными производственными функциями
Практического применения построенной трехсекторной модели и разработанных для нее методов для реальной экономики какой-либо страны, с целью выявления возмож-
ности более эффективного экономического развития и определения количественных рекомендаций по его достижению
- Моделирования экспорта технологических разработок и прямых инвестиций в НИОКР, с последующим решением задачи оптимального управления и исследованием этого решения на устойчивость, в зависимости от вида входящих в исходную систему функций, соотношений между объемами инвестиций в физический капитал, инвестиций в сектор НИОКР и потреблением, а также оценки возможных преимуществ от продажи технологий.
Научную новизну составляют следующие результаты работы:
На основе построенного алгоритма минимизации интегрального среднеквадратичного функционала с дискретным временем и усреднением по вероятности, измеряющего риск по опциону, разработан новый метод определения рациональной стоимости и оптимальной инвестиционной стратегии продавца опциона американского (т.е. с возможностью его предъявления к исполнению в любой момент времени до указанной даты) типа. Проанализирована вычислительная сложность алгоритма, определено преобразование, позволяющее использовать методы оптимизации инвестиционного портфеля ценных бумаг для составления портфеля опционов.
Предложен новый метод расчета ковариационной матрицы случайных величин до-ходностей ценных бумаг, базирующийся на авторегрессионно-факторной стохастической модели описания изменчивости доходностей во времени. Метод позволяет существенно снизить сложность вычисления коэффициентов корреляции доходностей в случае большого числа рассматриваемых ценных бумаг при составлении инвестиционного портфеля.
Рассмотрена система нелинейных дифференциальных уравнений нового вида, структура которой обусловлена экономическим содержанием, для качественного исследования решений которой применяется новый математический аппарат сведения исходной системы к матричному уравнению. Найдены условия существования и единственности стационарного решения специального вида в этой системе без прямого ее решения.
Разработан общий метод определения стационарных сбалансированных и эндогенных (с темпом прироста фазовых величин, зависящих от параметров самой модели, но не ограниченных экзогенно заданными величинами, таких как темп прироста трудового ресурса) траекторий роста и соответствующих управлений в многосекторных производственных моделях с мультипликативно-степенными функциями. В частности, построен алгоритм вычисления стационарной сбалансированной траектории в системе дифференциальных уравнений трехсекторной модели экономического роста, при заданных эмпирических оценках параметров системы.
Методами математической статистики произведена оценка параметров трехсек-торной модели на основе данных для США за 1980-1997 гг. и, таким образом, построена конечная модель, описывающая реальную экономику США. Количественно найдена одна из возможных траекторий сбалансированного роста и значения постоянных управлений на этой траектории. Сконструирован ряд экономических индексов, таких как индекс человеческого капитала, индекс запаса используемых знаний, объем загруженного в НИОКР капитала и получены их эмпирические оценки.
Найдены оптимальные значения управлений и траектория развития экономики, описываемой предложенной в диссертации модификацией модели Рамсея, учитывающей продажу технологии технологий и прямые инвестиции в НИОКР. Произведен вариационный анализ решения и исследование устойчивости решения в зависимости от начальных значений, динамики трудового ресурса и политики экспорта технологий.
Диссертация имеет как теоретическое так и практическое значение. Разработанные в диссертации математические методы; алгоритмы и подходы расширяют сферу применения математических теорий, которые исторически имели объектом своего приложения в основном физические задачи и задачи управления техникой, в экономическую область.
Результаты, полученные при качественном анализе построенных в работе трехсек-торной модели экономического роста, которая обобщает все наиболее популярные в современной экономико-математической литературе многосекторные модели, учитывающие научно-технический прогресс, и моделей, учитывающих прямые инвестиции в инновации, могут быть полезны для более полного понимания структуры экономических систем, эффективности их функционирования и степени влияния различных факторов на уровень развития экономики.
Несомненное практическое значение имеют предложенный в диссертации метод хеджирования опционов американского типа, позволяющий использовать для расчетов произвольные стохастические модели динамики котировок акций, а также полная эмпирическая апробация трехсекторной модели экономического роста на реальных данных, что для моделей такого класса было сделано впервые.
Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе для преподавания математических методов в экономике, операторами фондовых рынков для снижения инвестиционных рисков, научными организациями и органами государственного управления для анализа и прогнозирования основных тенденций экономического развития, а также руководителями предприятий для управления инвестиционными потоками с целью повышения эффективности функционирования производства.
Поставленная цель определила следующую логику и структуру работы. В первой главе проводится анализ и сравнение методов расчета опционов и на основе среднеквад-
ратичного критерия строится метод хеджирования опциона американского типа. Под хеджированием понимается одна из технологий снижения риска, связанная с динамической инвестиционной стратегией. Определяются рациональная цена опциона, инвестиционная стратегия эмитента, методы снижения риска в опционных сделках. Так как одним из методов снижения риска является диверсификация, то далее представлена модификация факторной модели оценки доходностей ценных бумаг при выборе инвестиционного.портфеля методом Марковича. В главе выведены расчетные формулы для ожидаемых доходностей и ковариаций между доходностями различных ценных бумаг, необходимых для определения оптимального инвестиционного портфеля инвестора.
Во второй главе рассматриваются основные методы учета научно-технического прогресса в агрегированных народнохозяйственных моделях, исследуются схемы влияния инновационной деятельности на экономический рост. Построена новая агрегированная модель экономического роста с производственным, образовательным и НИОКР секторами, найдены условия существования траекторий сбалансированного роста в этой модели, исследованы свойства этих траекторий и определен алгоритм их практического расчета.
Третья глава представляет собой практическое применение построенной в предыдущей главе трехсекторной модели для анализа экономики США. Эмпирически оценивается множество параметров модели на основе реальных экономических показателей, численные значения которых взяты из различных баз данных США. Благодаря теоретическим результатам предыдущей главы, найдена траектория сбалансированного роста экономики и необходимые для поддержания такого роста значения управлений.
В четвертой главе произведен анализ возможностей государственного регулирования экономики путем прямого инвестирования в различные секторы. Построена модификация двухсекторной модели экономического роста, с НТП в эндогенной форме, учитывающая возможность покупки технологий на мировом рынке. Исследованы свойства этой модели относительно существования режима сбалансированного и эндогенного роста. Модифицирована модель Рамсея путем учета возможности продажи технологий на мировом рынке, найдены оптимальные объемы инвестиций в сектор НИОКР и физический капитал, проведено качественное исследование оптимальной траектории развития экономики в зависимости от различных условий.
В заключении даны основные выводы и результаты, полученные в диссертации. Работа объемом 139 страниц состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и библиографии. Список литературы содержит 74 наименования.
Минимизация риска неисполнения обязательств по опционам
Вообще говоря, на практике, если на бирже выписывается непокрытый опцион покупки (call), т.е. эмитент опциона не располагает базисными акциями, то брокерская фирма требует от эмитента внесение денежного залога в размере max I с+ 0,2-5, -( -5,) + 0,1-5 , где с - цена опциона, S - рыночная стоимость акций., К - цена исполнения опциона (Шарп У.Ф. и др. (1997)). Т.е. реально размер денежного залога у брокера больше цены опциона с (она же цена Х0) по крайней мере, на величину, равную 10% стоимости базовой акции, и это гарантирует от каких-либо потерь для владельца (покупателя) опциона - величина Ht = (5, -К)+, которая в среднем равна с, в любом случае будет выплачена. Если же выписывается покрытый опцион, т.е. эми-тепт опциона владеет базисными акциями, то денежный залог не вносится, так как эти акции хранятся у брокерской фирмы и также служат гарантом того, что либо сами акции будут проданы владельцу опциона но оговоренной цене К, либо будет выплачена разница Ht. В обоих случаях риск неисполнения обязательств по опциону для владельца (покупателя) опциона отсутствует. Но у продавца (эмитента) опциона источников риска множество. Два основных среди них следующие. Во-первых, это неравенство хеджирующего капитала Xt размеру вьшлат Я, при предъявлении опциона к исполнению. Во-вторых, величина хеджирующего капитала связана с той суммой, которую нужно выплачивать, но не с абсолютной стоимостью акций, которыми нужно владеть. Для покупки акций с целью обеспечения хеджирующей стратегии необходимо взять некоторую сумму взаймы (на один период), так, например, в результате реальных расчетов (см. Таблица 2 следующей секции) уже в первый же период эмитенту нужно купить 0,2337 акции по цене 91, т.е. ему нужно занять около 22-х долларов (ведь его капитал от продажи опциона всего 0,52). В теории хеджирования опционов обычно предполагается, что хеджер всегда может взять необходимую сумму, причем мгновенно (т.е. время на взятие кредита не требуется). Конечно, на биржах брокерскими конторами предоставляется такая возможность, но сумма кредита ограничивается какими-либо залоговыми условиями. Т.е. реально, эмитенту для хеджирования с самого начала необходимо иметь собственный капитал существенного размера, из которого и будут выделяться средства на покупку акций. В секции 1.2.1 настоящего параграфа осуществлена программная реализация построенного в предыдущем параграфе метода хеджирования на примере опциона на акции IBM с целью демонстрации работы алгоритма на реальных данных и выявления связанных с хеджированием рисков.
Далее, в секции 1.2.2 предложена схема обеспечения хеджирующей стратегии и снижения риска эмитента, связанная с составлением портфеля опционов эмитентом, что позволяет минимизировать суммарное отклонение хеджирующего капитала от величины выплаты при исполнении опциона. Расчеты проводились в системе численного моделирования MATLAB, для чего была написана необходимая программа-функция. В качестве исходных данных были взяты реальные значения ежедневных стоимостей акций фирмы IBM за январь 1996 года. Для описания динамики этих стоимостей использовалась следующая модель: где (()leZ - независимые, одинаково распределенные случайные величины, принимающие девять значений. Распределение , построенное по значениям цен акций за 1995-й год, задается таблицей: В дальнейших расчетах эта случайная величина генерировалась программно,, с помощью датчика случайных чисел. Итак, опцион (американского типа) на акции IBM продается 2 января 1996 (первый рабочий день) на месяц. Срок действия опциона - до 29 января 1996, т.е. Т = 20 (считаем, что трейдер может совершать только одну сделку в рабочий день). Цена исполнения К-95. Стоимость акции S0 в период времени 0 (2 января 1996) равна 91,375. Функция вьшлат Ht = (S( -К)+ = max , - ,0). Предположим, что исполнение опциона в периоды времени /=1,...,Г равновероятно, т.е. р)=р2=--- = рг. Продавцу опциона необходимо рассчитать цену опциона с в период времени 0 и стратегию инвестиций в течение срока действия опциона. Расчетные формулы в данном случае выглядят следующим образом: Каждое математическое ожидание в числителях рассчитывалось путем генерации соответствующей случайной величины (30 раз) и взятия среднего. Здесь произведена некоторая замена индексов суммирования для удобства. Результаты расчетов: я?і =0,0008366, щ = 0,0002322 , с = 0,522 (цена опциона). Эта цена получилась достаточно малой из-за того, что котировки акций IBM за 1995-й год практически не менялись. Однако, как видно из нижеследующей таблицы, эти котировки в январе 96-го значительно выросли.
Система дифференциальных уравнений модели экономического роста с производственным, научно-исследовательским и образовательным секторами
Для одновременного учета аккумулирования человеческого капитала и технического прогресса в виде увеличения числа технологических разработок в рамках одной модели, для построения максимально адекватной модели исходя из анализа структуры экономики и распределения финансовых потоков США по отраслям, в настоящей работе предложена модель, которая обобщает все представленные в литературе модели экономического роста с эндогенной формой НТП. В предложенной трехсекторной модели, кроме производственного сектора введены в рассмотрение секторы НИОКР и образования. При различных значениях параметров в построенной модели, можно получить, как частный случай, такие модели как односекторная модель Солоу-Свана (Solow R.M. (1962); Swan T.W. (1956)), двухсекторная модель У завы- Лукаса (Uzawa, Hirofumi (1968); Lucas Robert. E. (1988)), модель Ромера (Romer Paul. M. (1990)), обобщенная двухсекторная модель Муллигана-Ребелло (Mulligan, Casey В. (1993); Rebelo, Sergio (1991)) и трехсекторная модель Бакси (Bucci А., (2001)). Модель описывается с помощью агрегированных производственных функций, для каждого сектора. Т.е. каждый из трех секторов в экономике описывается отдельным (дифференциальным) уравнением. Зависимость между объемами выпуска продукции и размерами факторов производства (ресурсов) в настоящей работе строится в виде мультипликативно-степенной функции. Производственный сектор: где y/(t) - индекс НТП, увеличивающий эффективность использования капитала и труда в производственном секторе, a &D - доля физического капитала, идущая в сектор НИОКР, ах, а2 - степенные параметры. 0 ах \, 0 а2 1, 0 a&D 1, А 0 - параметр масштаба. где J 0- параметр масштаба, у,, /2, /3 - степенные параметры, a &D - доля человеческого капитала идущая в сектор НИОКР, ft(t) - уровень (запас) знаний в стране к году/, 0 1, 0 /2 1, 0 1, 0 a &D 1, дф 0 - темп выбытия знаний. Наличие темпа выбытия знания означает, что в производстве, НИОКР и образовании используются не все полученные в результате исследований знания (технологии, теории, изобретения и т.п., материальным воплощением которых являются патенты и публикации), а только актуальные, востребованные. Сектор образования: где D, r]x, rj2 - параметры, а р - доля человеческого капитала идущая в сектор образования, 89 - темп выбытия человеческого капитала (уход на пенсию, смерть, иная потеря работоспособности), 0 7/, 1, 0 щ 1, 89 Z 0, 0 а9бр 1, aD + абр 1. Последнее неравенство означает, что часть квалифицированной рабочей силы может работать вне секторов образования и НИОКР, т.е. работать в секторе производства (в промышленности). Будем считать, что человеческий капитал q (t) есть численность квалифицированных рабочих /, умноженная на качество (квалификацию) среднего рабочего h. Рост #?(0 осуществляется как за счет роста /, так и за счет роста h, но в данной модели предполагается, что существенным является только результирующее значение p(t). Численная оценка величины человеческого капитала p{t) является темой отдельных исследований и представляет собой существенные трудности, в литературе эта тема представлена всего несколькими работами (Casey В. Mulligan, Xavier Sala-i-Martin (1995,1997)).
В настоящей работе, в главе 3, дана собственная оценка этой величины. Предполагаем, что в производстве величина {\-a &D{t)-a p (t)\- p{t) включена в L(t). причем таким образом, чтобы L{t) = п L(t), где п - заданная константа, п 0. Т.е. L (t) = (і - oc &D (t) - ayP (0) # (?) - ls (t), где ls (t) - неквалифицированная рабочая сила, динамика которой такова, чтобы, несмотря на эндогенное моделирование динамики (р, темп прироста используемого в производственном секторе трудового ресурса L (t) оставался постоянным, равным заданному п. Фактически это есть некоторое предположение о динамике ls (t)., а именно: Таким образом, сам факт присутствия квалифицированной рабочей силы в производстве не рассматривается как фактор, увеличивающий эффективность производства более чем обычный трудовой ресурс (хотя зарплата у квалифицированного специалиста может быть больше за счет большей продуктивности его работы в сравнении с неквалифицированным рабочим). Однако влияние совокупного (р на эффективность производства осуществляется через уравнение для формирования индекса НТП у/, см. (2.13). В дальнейшем мы рассматривать единый трудовой ресурс L(t) с постоянным темпом прироста п без его структуризации. В уравнении (2.12) нет физического капитала К. Это связано с тем, что хотя в секторе образования и используются основные фонды (физический капитал), фактором роста квалификации рабочей силы их считать нельзя. Анализ такой зависимости в экономике США позволяет говорить о том, что увеличение капитала в секторе образования не дает
Алгоритм вычисления и свойства траектории сбалансированного роста в трехсекторной модели
Итак, найдены условия существования траектории сбалансированного эндогенного роста. Исследуем следующие задачи: 1. Нахождения TCP аналитически или численно, если она определяется однозначно при заданных начальных значениях фазовых переменных, а также определения значений управлений, 2. Единственности TCP. 3. Определения ограничений на начальные значения фазовых переменных и управле-ний, в случаях, когда TCP не единственна. Имеем: экспоненты будут сокращаться за счет того, что найденные нами траектории являются стационарными. Это уравнение определяет соотношение между начальными значениями на TCP в данном случае. Если начальные значения известны, но данное соотношение между ними не выполнено, то для выхода на TCP требуется "переходная динамика", при которой траектория движения экономики направлена на достижение данного соотношения. Из третьего уравнения: Таким образом, в данном случае TCP единственна, но управления определяются не однозначно: при заданных начальных значениях фазовых переменных, т.е. при заданных К (О), У (О), (0)» (0) мы имеем численные значения для управлений sK, afp, но значения «&и a &D однозначно из (2.37) и a &D +арбр 1 не определяются, хотя и попадают в рамки существенных ограничений. Если же управления TCP (или некоторые из них) определяются, например, из решения некоторой оптимизационной задачи, то уравнения (2.35) - (2.38) задают соотношения (ограничения) для всех начальных значений К(0), (0), (0), р(0), которые должны быть выполнены на оптимальной TCP. Рассмотрим случай 1. (2.39). 9 Можно также предполагать, что капитал не полностью расходуется в промышленном секторе, тогда первое уравнение доставляет значение для произведения sK (1 — СХК ). Дальнейший выбор SK и ак осуществляется по каким-либо дополнительным соображениям. Таким.образом, в этом случае мы нашли не только значения управлений на TCP, но и темпы прироста всех величин, т.е. при заданных начальных значениях TCP не только существует, но и определяется однозначно, вместе с управлениями. Это означает, что выход на TCP в данном случае не требуется, и, кроме того, при решении оптимизационной задачи не возникает понятия магистрали. Подобным образом ведет себя траектория, например, в АК - модели (см. Barro R.J., Sala-i-Martin X. (1995)). и человеческий капитал не используется в секторе НИОКР. В данной модели темп прироста конечного продукта сектора НИОКР постоянен, т.е. экзогенно задан. На таком предположении основана модель Солоу-Свана, однако настоящая модель является более общей, т.к. здесь НТП остается эндогенным за счет сектора образования. Теперь, подставляя выражения (2.45) в систему (2.46), получаем следующие уравнения. Т.к. х известно, то последнее уравнение доставляет соотношение между начальными значениями (0), (0) и р(0), которое должно выполняться для того, чтобы траектории, выходящие из этих начальных значений, при значениях управлений, вьиисленным по (2.48), (2.49) являлись траекториями сбалансированного роста.
Это как раз означает, что если начальные значения не удовлетворяют необходимому соотношению, то необходимо приведение экономики к TCP, т.е. достижение.значений ф, ср,цг нужного соотношения. Рассмотрим случаи 3 и 4. Уравнения (2.33) в этом случае не изменяются. Подстановка уравнений (2.50) и соответствующих экспонент функций ф{і), q)(t) и т.д. в (2.33). приводит к следующим уравнениям: При заданных начальных значениях переменных, из уравнения (2.52) получаем х (и, соответственно, все темпы прироста на TCP), затем из (2.54) имеем а р, из (2.51) и (2.53), а также с учетом ограничения afp +а"&1 1 имеем соотношения между sK, а &, al &D и ограничения на каждое из них сверху и снизу, выполненные на TCP. Если одно из sK, (Xy&D, a &D определяется из некоторых соображений (например соображений оптимальности или невозможности по тем или иным причинам изменить реальное значение одной из величин), то остальные величины на TCP определяются однозначно. Если из соображений оптимальности определяется более двух из sK, а"& , ар ь ак&ІІ х (или некоторые из них заданы экзогенно), то речь идет о необходимых для TCP соотношениях между начальными значениями, а т.к. реальные начальные значения наверняка не удовлетворяют этим соотношениям, то требуется приведение экономики к TCP, так называемая «переходная динамика» (см. В:Ф. и др. (1990); Галеев Э.М. (1996)). Рассмотрим случай 5. Из численного решения второго уравнения имеем х, далее из 4-го уравнения получаем ар и т.д., аналогично предыдущему случаю. Таким образом, в случае 0 существует и единственная TCP, однако этот рост не является эндогенным, т.к. темпы прироста всех величин пропорциональны темпу прироста населения п. Это является существенным недостатком модели в данном случае. Впервые преодолеть проблему возможности экономического роста на TCP в отсутствии роста населения удалось Ромеру (см. Romer Р. М. (1986)), чем он вновь пробудил интерес к исследованию моделей с эндогенной формой ИТП. Представленная в настоящей работе модель обладает этим недостатком только в нулевом случае, когда определитель матрицы отличен от нуля. Следовательно, при моделировании экономического роста с использованием трехсекторных структур необходимо сразу накладывать такие ограничения на параметры, чтобы detM был равен нулю. Это лее требование отмечено и в двухсекторной модели Муллигана-Ребелло (Barro R.J., Sala-i-Martin X. (1995)), при этом модель Узавы-Лукаса является частным случаем модели Муллигана-Ребелло, для которого условие существования траектории сбалансированного и эндогенного роста выполнены. Следует отметить, что "ограничения" на параметры возникают при рассмотрении изначально наиболее структурно общей модели. В то же время большинство представленных в литературе подходов и моделей основаны на изначальном предположении о значениях степенных параметров10, и, в частности, если смотреть на них с точки зрения общей трехсекторной модели, фиксации многих из них как 0 или 1. 10 Фактически, из всех эмпирически оцениваемых параметров в представленных в литературе моделях остаются только cct и ОГ2 . К таковым относятся также и модели Солоу-Свана, Ромера и Бакси. Кроме того, почти всегда вводится ограничение "сумма степеней равна I", т.е. требование постоянства отдачи к масштабу.
Реальные значения экзогенных и определяемых в рамках трехсекторной модели величин для экономики США за 1980-1997 гг
Итак, получены оценки параметров всех производственных функций рассматриваемой трехсекторной модели. Так как у/ (t) - индекс НТП, темп прироста которого Хц считается постоянным и экзогенно заданным, то параметры первого уравнения оценивались из следующей линейной регрессии ]n(Y(t)) = bi(A) + A0 + al-bi((l-a DyK(t)) 4, = 0,027, 0,=0,20, Л = 1,2906ПО10. Параметры уравнения НТП: Д = 0,81, / = 0,71, В = 9,366-Ю-10. Параметры производственной функции сектора НИОКР: у, =0,62, у2 =1,13, уг =0,079, J = 0,3446. Параметры производственной функции сектора образования: г]х = 0, %=l, D = 0,425. Так как при найденных значениях степенных параметров выполнено (1- )-( -1) + % -Д =-0,24, т.е. меньше нуля, то условия 5 теоремы 2 полностью выполнены и, следовательно, в такой модели экономического роста существует режим сбалансированного роста. При этом теорема 2 и приведённый в предыдущей главе качественный анализ TCP, позволяют численно найти возможную траекторию. В данном случае (случай 5 условий теоремы 2) траектория сбалансированного роста не определяется однозначно. Согласно теореме, соотношения на TCP темпов прироста переменных следующие: пусть G9 = х (где х - некоторая константа, которая определяется в дальнейшем из системы уравнений), Подставляя сюда оцененные параметры, имеем: да, =4,00, m2=3,95, Gp=x, G,=4-x, =3,95-,, 0 =6 =4,938- . Соответствующие траектории выглядят следующим образом: На траектории сбалансированного роста управления sK, а" р, a &D, a &D постоянны, кроме того, постоянными считаем темпы выбытия SK, 6 , 3 , 5ф, хотя реальные значения этих величин могут изменяться. Подстановка траекторий (3.3) и оценок параметров в исходные уравнения приводит к следующей системе уравнений, из которой будут определяться значения управлений, х и, как ниже будет показано, неизвестное значение ф (0): Здесь четыре уравнения и пять искомых величин (sK, арР, a &D, a &D, х), если считать известными все начальные значения и темпы выбытия 8К, Sv, 8 , 8ф. В качестве оценки значения темпа выбытия капитала 8К берем среднее значений SK за период 1980-2000гг, полученных исходя из уравнения K(t) = IK -SKK(t). Имеем 8К = 0,064. Считаем, что 8 - 8К. Т.е. темп выбытия технологий из производства совпадает с темпом выбытия капитала. Это связано с тем, что в производстве используются только технологии, воплощенные в оборудовании, зданиях и других материальных активах, составляющих основной капитал и наоборот, все капитальные активы в производстве представляют собой некоторую технологию. В этом случае необходимо согласовать величины y/{t) - индекс НТП в производстве (интерпретируемый как коэффициент роста производительности факторов со временем) и 1//(1) + 8 -y/if) - число патентов, выданных в данном году (новые технологии). Для этого y/{t) умножаем на постоянный коэффициент k такой, чтобы в среднем 8 = 0,064 (задача решается численно, итоги приведены в таб
Таким образом, если раньше, при оценке параметров функции сектора производства мы считали, что у/ (0) = 1, то теперь, для согласования с реальным 5 = 0,064 необходимо перейти к новому индексу НТП, который отличается от предыдущего на коэффициент к = 757727, т.е., например, ц/ (0) = 729716. При этом, как нетрудно заметить, степенная оценка параметра {а{) производственной функции не изменяется, но изменяется параді метр масштаба А, который теперь равен —а"арае =17033. Эти новые оценки значения ys{t) интерпретируются теперь как число технологий, задействованных в производстве. Фактически это является достаточно важным эконометрическим результатом - получена оценка количества используемых в промышленности технологий (или числа технологий, овеществленных в основном капитале, или значение мощности овеществленных технологий, см. Голиченко (1999)). Аналогичное согласование будет сделано ниже для ф{{) (объема используемых знаний) и уравнения сектора НИОКР соответственно. Однако из-за того, что запас знаний в .стране в денежном эквиваленте - величина достаточно неясная, мы получим (0) и дф. как неизвестные параметры определяемые рамках построенной в настоящей работе трех-секторной модели на TCP (при этом для оценки степенных параметров производственной функции сектора НИОКР в качестве (7) берется число научных публикаций). Темп выбытия человеческого капитала 89 определяем как средний темп выбытия за ф+5 - р 1980-1997гг, исходя из уравнения для каждого года 5 = —, где в числителе значе Р ние нового человеческого капитала (по выпускникам, ф + д ср = (/ + SJ) -h+hl),b знаменателе - общий человеческий капитал (число квалифицированных людей, умноженное па среднее число лет обучения), исходные данные в табл. 4. В итоге 8 = 0,0114. Итак, мы имеем следующие начальные значения и темпы выбытия: Тогда уравнения принимают вид: (10078201262272)0,079 Здесь семь неизвестных. Даже если бы нам были известны начальное значение ф(0) и Зф (например, можно взять в качестве ф(і) сумму расходов на теоретические и прикладные исследования за последние 20-30 лет), все равно неизвестных величин больше, чем уравнений, т.е. TCP определяется неоднозначно. Следовательно, необходимо задаться некоторыми из неизвестных величин, взяв их экзогенно, из эмпирических оценок. В таблице 8 приведены расчеты реальных значений переменных управления (исходные данные в таблицах 3 и 4). Доля капитала в секторе НИОКР a &D - отношение объема, капитала в НИОКР ко всему К, доля человеческого капитала в секторах образования и НИОКР: a &D - отношение числа исследователей к общему числу занятых квалифицированных людей и ауР - среднее отношения числа учителей и преподавателей к общему числу квалифицированных людей: Реальные значения темпов прироста эмпирически определены для всех переменных (см. таблицу 9), кроме запаса знаний (продукции сектора НИОКР) ф (t). Действительный и теоретический (на траектории сбалансированного роста, согласно построенной в настоящей работе модели), темпы прироста ф(і) определены ниже, после определения масштаба самой величины ф(і). y/{t) теперь интерпретируется не как индекс НТП, а как число запатентованных технологий, овеществленных в основном капитале. Следует отметить, что, так как новое пси отличается от старого только умножением на постоянный коэффициент масштаба, то темп прироста этой величины не изменился и в среднем равен оцененной величине Лц = 0,027.
