Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математические основы движения вихрей
1.1. Уравнения движения вихрей 20
1.2. Уравнения движения для случая восемнадцати вихрей 28
1.3. Разрушение вихрей 30
Глава 2. Определение радиуса опасной зоны вокруг вихря
2.1. Изменение положения самолета, вызванное вихрем 37
2.2. Момент крена самолёта, вызванный вихрем 40
2.3. Критерий вихревой опасности 42
2.4. Исследование экстремальной задачи 44
2.5. Исследование экстремальной задачи при v* =0 49
Глава 3. Метод определения безопасных интервалов
3.1. Вычисление безопасного временного интервала 54
3.2. Соотношения между безопасными интервалами 55
Глава 4. Аэропорт как система массового обслуживания
4.1. Сведения о цепях Маркова, необходимые для моделирования работы ВПП 62
4.2. Распределение времени обслуживания самолёта 63
4.3. Распределение числа самолётов в эшелоне 64
4.4. Задача поиска максимальной длины эшелона 69
4.5. Оценка пропускной способности ВПП 70
4.6. Сравнение полученных пропускных способностей ВПГТ для различных методов эшелонирования самолётов 73
Заключение 75
Таблицы 77
Рисунки 82
Литература 90
- Уравнения движения для случая восемнадцати вихрей
- Критерий вихревой опасности
- Соотношения между безопасными интервалами
- Распределение числа самолётов в эшелоне
Введение к работе
Во многих странах существует проблема перегруженности аэропортов. Для решения этой проблемы создают системы вихревого прогноза (СВП), позволяющие повысить эффективность работы аэропорта.
Цель создания СВП - это моделирование и прогнозирование движения вихревых жгутов, сходящих с крыльев самолета, с учетом типов самолетов, параметров их движения, высоты полета и погодных условий (в особенности наличия бокового ветра). В результате этого моделирования можно определить минимальный безопасный временной или пространственный интервал для пролета следующего самолета.
СВП по сути представляет собой адаптивную систему для определения безопасных расстояний. СВП подстраивается под изменения погодных условий, интенсивности движения в районе аэропорта и состава движения (по типам самолетов), веса самолета и степени его загруженности. Система предполагает возможность использования в различных аэропортах с учетом их конкретных параметров (рельеф местности, повторяемость ветров, радиус воздушного пространства аэропорта).
Подход, предложенный в данной работе, основан на рассмотрении СВП с позиции теории исследования операций. Для этого СВП рассматривается как управляемая система, характеризуемая набором случайных, неопределенных и управляемых параметров, и вычисляется средняя и предельная пропускные способности взлетно-посадочной полосы (ВПП) на основе гибко понимаемого принципа гарантированного результата [4].
Время, затрачиваемое на обслуживание посадки каждого прилетающего самолета, зависит от определенных правил, разработанных Международной
Организацией Гражданской Авиации (ИКАО). Правила ИКАО накладывают ограничения на допустимые расстояния при эшелонировании самолетов и обеспечивают их полную безопасность. В табл. 7 в конце текста указаны существующие стандартные минимальные допустимые интервалы. Эти расстояния установлены ИКАО без учета погодных условий. СВП позволяет оценить безопасный интервал для последовательного обслуживания пары самолетов с учетом погодных условий, который часто бывает меньше стандартного, определенного правилами ИКАО [11]. Поэтому использование СВП позволяет увеличить пропускную способность ВПП. В результате повышается интенсивность движения самолетов в районе аэропорта и увеличивается эффективность его работы.
Оценить эффективность работы СВП необходимо для обоснования применения системы. Построение оценки эффективности СВП основано на сравнении пропускных способностей ВПП при использовании следующих двух методов эшелонирования самолетов: первого, основанного на правилах Международной Организации Гражданской Авиации (ИКАО), и второго, использующего систему вихревого прогноза (СВП).
Проблема состоит в создании специальной модели, которая бы оценивала увеличение эффективности функционирования аэропорта, которое и будет являться оценкой эффективности самой СВП. В данной работе количественным критерием, по отношению к которому оценивается эффективность системы, является Л0 - среднее число посадок в час.
Некоторые факторы, рассматриваемые в модели, считаются случайными величинами, имеющими известное распределение. К ним относятся: тип прибывающего самолета /, моменты прибытия самолетов в аэропорт, распределенные по пуассоновскому закону, время обслуживания самолета /,7, которое определяется типами j и / последовательно приземляющихся самолетов. Ряд факторов, учитываемых моделью, полагаются известными и фиксированными: повторяемость ветра в районе аэропорта, параметры движения самолетов вдоль глиссады и параметры аэропорта.
Уравнения движения для случая восемнадцати вихрей
До этого момента все рассуждения велись для случая, когда с крыла сходят два вихря. Для получения более детальной картины движения вихревых жгутов требуется использовать большее количество вихрей. Заметим, что все уравнения и формулы можно обобщить на случай, когда с крыла сходит п вихрей, где п - любое число. В частности, рассмотрим случай когда п = 18. Введем такую же систему координат, как на рис. 3. Рассмотрим девять вихрей, образующих вихревой жгут, сходящий с правого полукрыла самолета. Начальное расположение вихрей соответствует модели ближнего следа из работы [38]. Пусть (z/5 ,) - координаты / -го вихря, / = 1,...,9. Так же, как и для случая двух вихрей, центры вихревых жгутов располагаются на расстоянии / = — / друг от друга. В начальный момент времени центральный вихрь левого жгута имеет координаты z, = —, у, =Н, а остальные восемь вихрей расположены вокруг окружности с центром (z,, у,) и радиусом - (см. рис. 4): Аналогичные формулы можно написать для координат вихрей правого вихревого жгута с номерами / = 10,... ,18. Пусть начальная циркуляция левого вихревого жгута равна Г0 0. Рассмотрим распределение циркуляции для составляющих его девяти вихрей [38]: о Обозначим через yMa(t),zMe(t) взвешенные суммы координат всех девяти вихрей с учетом их циркуляции Г,(ґ) в любой момент времени: Рассмотрим условие выхода левого вихревого жгута за пределы окна. Окно считается свободным от левого жгута, если точка его центра (улев((\2яев( )) покинула пределы окна, расширенного на радиус опасной зоны. Аналогично формулируется условие выхода из окна правого вихревого жгута. Аналогично случаю двух вихрей для восемнадцати вихрей введем отраженные вихри и будем учитывать влияние бокового ветра. Рассмотрим систему уравнений, описывающих траектории их движения В модели Грина [22] учитываются три типа сил, действующих на вихревой след и приводящих к его ослаблению и разрушению: сила вязкости, турбулентность воздушной среды и выталкивающая сила Архимеда, возникающая при погружении вихрей в более плотные слои атмосферы. Последней силой будем пренебрегать, а первые две определим подробнее.
Предполагается, что оба вихря, составляющие вихревой след, движутся параллельно на расстоянии / и заключены в эллипс с полуосями 1,74 - и 2,09 , 7Z где / = — / (см. рис. 5). Перемещение эллипса в вязкой воздушной среде рассматривается как движение твердого тела, на которое действует сила 2 I сопротивления CDpu 2,09-, где р - плотность воздуха, и - скорость движения вихрей, a CD - коэффициент вязкости для твердого тела. В [31] показано, что 0,2 CD 1,4. При расчетах CD бралось равным 0,9. При параллельном движении двух вихрей, находящихся на расстоянии тс / = —/, скорость их перемещения связана с их циркуляцией Г соотношением Г = 2тй и, Оно вытекает из первого уравнения движения вихрей (1), где следует взять = и, zx - хг = -Г, гп = / . При этом не учитывается влияние земли, и dt отраженные вихри не рассматриваются. Силу вязкости, воздействующую на вихрь, можно записать в виде D 2 D 2 (2тй )2 8/ л-2 Турбулентная воздушная среда - второй фактор, вызывающий ослабление вихревого следа. В [32] показано, что под воздействием турбулентности циркуляция Г меняется по закону где вместо эмпирического коэффициента 0,82 обычно используется 0,3, q-q ub - безразмерная величина, а величина q определена в 1.1. Рассмотрим единичный слой пространства, расположенный между двумя плоскостями, параллельными плоскости yOz. Для того, чтобы вывести уравнение для Г с учетом силы вязкости, необходимо получить формулу для суммарного импульса частиц рассматриваемого слоя, который создается двумя вихрями без учета влияния земли. Найдем величину этого импульса для начального расположения вихрей в плоскости xOz. Пусть два цилиндрических вихря радиуса г0 имеют координаты ( і Л V l J I \ ИКІ в плоскости yOz и имеют циркуляции равные Г и -Г соответственно. Скорость перемещения частиц среды под воздействием каждого из этих вихрей равна (см. 1.1) где k,j- единичные орты вдоль осей Оу и Oz. Формула для импульса имеет СО СО вид I = р \ \v(z, yjdydz, где v = v, + v2 - скорость частиц в точке (у, z). —ОО-0О Импульс - это векторная величина, рассмотрим ее компоненту вдоль оси Oz
Критерий вихревой опасности
Рассмотрим случай тонких вихрей. С целью упрощения записей будем предполагать крыло прямоугольным и использовать формулу (4). Максимум в задаче (5) ищется по всем точкам (.y0,zo) плоскости Oyz, лежащим на окружности радиуса R с центром в точке (0,0). Учитывая, что (- 0 0) = (}) и иДз;о»_2о) = й,Л( о»2о)» достаточно искать максимум только по части окружности, лежащей в первой координатной четверти. Положим и введем функции Нетрудно проверить, что (.у) 0, q "(s) 0 и функция p(s)убывает и выпукла при s 0 (см. рис. 15). Задача (5) сводится к нахождению максимального и минимального значений функции Ф(г0) = f y/(z,z0)dz на отрезке [0,R]. Теорема 2. При R l/2 функция Ф(г0) вогнута, ее максимальное значение на отрезке [О,R\ достигается в точке z0 = 0, а минимальное - в точке z0 = R. Доказательство. Найдем производную При z0=0 функция (p(s(z,z0)j является четной по z, и Ф (0) = 0. Осталось доказать, что функция Ф(г0) вогнута. Имеем Теорема доказана. Замечание: теорема остается справедливой для случая трапециевидного крыла. Пусть R — . В этом случае функция Ф(г0) может не быть вогнутой. Однако мы укажем оценку для ее второй производной, позволяющую установить вогнутость Ф( 0) при R, близких к —. Запишем вторую При малых размахах для каждого значения параметра / можно указать такое значение радиуса опасной зоны R є (0,//2), что при любом R є (R ,//2) правая часть неравенства (10) отрицательна, т.е. при ReyR ,//2) функция Ф(г0) вогнута по z0. Следовательно, z0 = 0 - точка ее максимума, а z0 = /? - точка минимума. Аналогично определяется R как наименьшее R, при котором функция Ф"(г0) 0 для всех z0 =[0,R]. При а = 150 и а = 200 Я = 0 при указанных в таблице значениях размаха крыла. Расчеты показывают, что при а 100 и /є[і4, 21] R = R = 0, т.е. оценка (10) оказывается точной и, следовательно, на классе «прямоугольных крыльев» неулучшаемой. Для остальных значений размаха крыла и RG(0,R расчеты показывают, что максимум функции Ф(г0) достигается также либо в точке z0 = 0, либо в точке z0=R.
Правая часть неравенства (10) для каждого фиксированного размаха / является функцией двух переменных а и R.B табл. 1 показаны те значения /, для которых при данном а целесообразно использовать неравенство (10). При решении реальных задач часто полагают v = 0. Этот параграф посвящен решению задачи (5) в этом случае. При v =0 Ф(г0) можно вычислить аналитически и не требуется строить оценки типа (10). Для тонкого вихря при R — в точке z0=R функция Ф( 0) имеет особенность, поскольку в этом случае s = 0, и функция p(s) не определена. В точке z0 = R определим Ф{г0) как интеграл в смысле главного значения Нетрудно проверить, что p (s) 0, p"(s) 0 и функция (p(s)убывает и выпукла при s 0. Аналогично предыдущему случаю, при v - 0 задача (5) сводится к нахождению максимального и минимального значения функции Теорема 3. Для тонких вихрей, при R l/2 и /=0 функция Ф(г0) вогнута, ее максимальное значение на отрезке [0,R] достигается в точке zQ-0, а минимальное - в точке z0 = R. Доказательство полностью аналогично доказательству теоремы 2. Рассмотрим ту же задачу для цилиндрических вихрей. Будем предполагать, что R r0. Положим sD = г2, Для цилиндрических вихрей, при R l/2 и / =0 функция Ф(г0) вогнута, ее максимальное значение на отрезке [0,R] достигается в точке z0 =0, а минимальное - в точке zn = R. Доказательство. Найдем производную четной no z Если R -, то задачу нахождения минимума необходимо решать численным методом. При этом функция Ф(г0) имеет следующий Утверждение 1. Для цилиндрических вихрей при v =0 и — у4- /їз" функция Ф(г0) вогнута, и ее максимальное значение достигается на одном из концов отрезка [о, R.]. Доказательство. При v =0, функция Ф(г0) имеет следующей вид 1.
В результате получим функцию Сделаем следующие преобразования: задачи на минимум функция Ф(г0) унимодальная. Поэтому для нахождения точки минимума выпуклой функции Ф(г0) можно использовать соответствующие численные методы, например градиентный метод. В данной модели оценки эффективности СВП для определения вихревой опасности от пролетевшего самолета использована система окон. На заданной высоте строится окно определенных размеров, причем центр окна должен лежать на глиссаде. Предполагается, что самолет проходит по центру окна и рассматривается поведение порожденных им вихрей. Самолеты необходимо рассматривать парами, поскольку вихревая опасность от пролетевшего самолета (лидера) во многом зависит от параметров следующего за ним самолета («ведомого» ). Для всех типов самолетов используется одна и та же система окон, но их размеры необходимо увеличивать на радиус опасной зоны R(t). Окно считается свободным от вихря в двух случаях: - вихрь покинул окно, расширенное на радиус опасной зоны; - вихрь не покинул окно, но стал безопасным. Обозначим через к номер окна. Для каждой пары (/,/) (/ - тип ведомого, j тип лидера) и для каждого окна к вычисляется время его освобождения t-xi от вихрей. При вычислении оценки эффективности расчет производился для системы, состоящей из пяти окон [28], размеры которых показаны на рис. 16 и 17. Нижние основания первых двух окон находятся на ВПП. Для нахождения /,у необходимо найти решение системы дифференциальных уравнений (1). При этом можно использовать метод Рунге-Кутта 2-го порядка [7] с шагом по времени 1st. На каждой «-ой итерации метода необходимо вычислить радиус опасной зоны R(n Дг) и получить текущие «Ведомым» в данном случае называется самолет, следующий непосредственно за лидером.
Соотношения между безопасными интервалами
Все прилетающие в аэропорт самолеты упорядочивают в эшелон вдоль центральной линии ВПП. При этом скорость движения в эшелоне V устанавливают постоянной до начала глиссады. В рассматриваемой модели скорость взята равной V" = 100 м/с, а длина глиссады 5 составляла 11 143 м. Самолеты вдоль центральной линии до начала глиссады летят на одной высоте, соответствующей точке начала глиссады (в нашем примере равной 600 метрам). Будем считать, что самолеты делятся на N типов (например, правила ИКАО разбивают самолеты на три класса по весу). Для поиска минимальных безопасных интервалов удобно объединять самолеты в пары по порядку их следования. Для каждой пары (i,j) обозначим через j - тип лидера, / - тип ведомого. Самолеты должны соблюдать в эшелоне безопасные пространственные интервалы d . до глиссады и dH на глиссаде (см. рис. 18). Введем обозначения для минимальных безопасных временных интервалов: }и - интервал между самолетами на глиссаде, tu - интервал между посадками самолетов. Кроме этого, с каждым самолетом типа j свяжем следующие параметры: vi - посадочная скорость, v v , я; 0 - величина замедления вдоль глиссады, tj - время прохождения глиссады. Найдем соотношения между введенными величинами tij, tH,di} и d j. Для определения минимальных безопасных интервалов и оценки эффективности СВП в данной модели требуется: 1) произвести расчет пропускной способности ВПП при использовании правил ИКАО. В этом случае d!f задаются стандартами ИКАО, и по ним требуется найти tv и d . 2) произвести расчет пропускной способности ВПП при использовании СВП. В этом случае tv известны из предыдущих вычислений времен освобождения окон, и по ним требуется найти d j, ttj, dif. Таким образом, имеем две задачи. Задача 1. При заданных dv требуется найти с/ , ttj. Задача 2. При заданных t,j требуется найти d j,tij,diJ. При этом условии скорость лидера будет не больше скорости ведомого, расстояние между самолетами не будет возрастать с течением времени, причем это расстояние будет минимальным, когда лидер находится в конце глиссады. Обозначим через t время прохождения ведомым минимального допустимого расстояния в эшелоне t = d jv" . При равнозамедленном движении Пусть лидер находится в начале глиссады, а ведомый - на расстоянии d . от лидера. Найдем длину отрезка глиссады 5,., который проходит ведомый к моменту посадки лидера. Лидер j затратит на прохождение глиссады время tj, а ведомый / затратит на прохождение отрезка d tJ до начала глиссады время С. Следовательно, ведомый будет находиться на глиссаде до момента посадки лидера время tj (П)
В этом случае после выхода лидера на глиссаду расстояние между самолетами сначала будет сокращаться. Когда оба самолета окажутся на глиссаде, начиная с некоторого момента оно начнет увеличиваться, если позволяет длина глиссады. Обозначим через t время, прошедшее с момента начала движения лидера вдоль глиссады. Расстояния, пройденные лидером и ведомым вдоль глиссады равны следующим величинам соответственно: Отсюда видно, что больший корень (Й? .) не удовлетворяет неравенству 7 ry. При меньшем корне (о ) неравенство /,. выполнено, если Пусть условие (12) не выполнено, т.е. В этом случае минимальное расстояние aV между самолетами достигается в тот момент, когда лидер находится в конце глиссады. При этом d . определяется, как и в случае а,. ап по формуле (13). Интервалы tu между посадками вычисляются по формуле ведомым на прохождение глиссады и примыкающего к ней отрезка длины d . ешение задачи 2. Случай 1: а,. а,. Этот случай аналогичен случаю 1 задачи 1. Здесь ведомый догоняет лидера, и минимальные временной и пространственные интервалы приходятся на конец глиссады. Следовательно, Этот случай аналогичен случаю 2 задачи 1. Если 7 = — г, то минимальное расстояние между самолетами ai aj достигается до момента посадки лидера и равно
Распределение числа самолётов в эшелоне
В качестве примера рассмотрим задачу о распределении времени обслуживания самолета. Самолеты, совершающие посадку, выстраиваются диспетчером аэропорта в эшелон. При использовании СВП расстояния между самолетами в эшелоне устанавливаются как минимальные безопасные пространственные интервалы. На линии ВПП до начала глиссады они равны d j, а на глиссаде - dl}.. В главе 3 показано, как по расстоянию i (или di}) определяется время ty между посадками самолетов у-го и /-го типов. Будем считать, что обслуживание самолета типа / начинается в тот момент, когда предыдущий самолет типа j коснулся ВПП. Время обслуживания самолета (типа г) равно г,... Оно является случайной величиной. Найдем вероятностное распределение времени обслуживания самолета. Номер типа каждого самолета, появляющегося в эшелоне, представляет собой случайную величину, принимающую значение і с вероятностью /?,., i = l,...,N. Величины р( определяются частотой посадок на данную ВПП самолетов типа / в соответствии с расписанием полетов. Рассмотрим вспомогательную цепь Маркова. Ее состояниями будут пары (i,j) типов самолетов, совершающих посадку, где j - тип лидера, а і - тип ведомого, i, j s {і, 2,..., N]. Общее число состояний равно m = N2. Определим вероятности qVr.lr перехода из состояния (/ , г ) в состояние (/, г): Отметим, что случай V = г означает последовательные посадки трех самолетов типов г ,г и /. Вероятности перехода образуют матрицу Q = \qVr4r )тхт . Построенная цепь Маркова является неприводимой. Действительно, за произвольной парой самолетов (г,у) возможна посадка любой пары О ,,; ,). Для этого достаточно рассмотреть последовательные посадки четырех самолетов типов у, і, у, и г,. Ясно также, что никакое состояние цепи не является периодическим. Покажем, что распределение вероятностей а = (аи, ап,... ,атт), где aij=pip/, является стационарным, т.е. a = aQ. Рассмотрим (/,/)-ую компоненту вектора aQ: Она равна alr. По сформулированной выше теореме 5 цепь Маркова является эргодической на- предельное распределение вероятностей на множестве состояний. Поэтому можно считать время обслуживания самолетов случайной величиной, принимающей значение t(/ с вероятностью р,р . Величина является средним предельным временем обслуживания самолетов. В следующем разделе мы рассмотрим еще один пример применения цепей Маркова. учетом обслуживания посадок самолетов. Занумеруем самолеты в том порядке, в котором они заходят на посадку: и = 1,2,... .
Процесс появления самолетов в эшелоне - это случайный процесс. Для его описания введем функцию v(t), показывающую число самолетов в эшелоне в момент времени t. Зафиксируем начальный момент времени г = 0 и введем следующие обозначения: tn время посадки самолета с номером п, vn = v{tn + о) - число самолетов, находящихся в эшелоне после того, как сел самолет с номером п. Кроме этих величин, нас будет интересовать интервал времени между двумя последовательными посадками r]n tnn_x и Д„ - число самолетов, добавившихся в эшелон за время r/n. Найдем зависимость между введенными параметрами vn и Д„. Для этого рассмотрим два случая: 1) v„_! l, т.е. в момент времени гя_, после посадки самолета с номером п-\ в эшелоне еще остались самолеты. В этом случае vn равно сумме числа самолетов, бывших в эшелоне до посадки (я-і)-го самолета, и числа самолетов, добавившихся за время rjn без приземлившегося (rc-l)-ro самолета; 2) v„_, = 0, т.е. в момент времени г„_, после посадки самолета типа j с номером п-\ эшелон оказался пуст по причине того, что следующий за ним самолет типа і идет с временным промежутком, большим tir В этом случае Будем считать, что самолеты прибывают по пуассоновскому закону с параметром Я. Тогда вероятность того, что за интервал времени tv между двумя последовательными посадками в эшелон добавилось ровно к самолетов, равна Найдем безусловную вероятность того, что за время rjn в эшелон добавилось ровно к самолетов. При этом здесь опять необходимо различать две ситуации: когда в эшелоне еще остались самолеты и когда эшелон пуст. 2. vnA = 0, т.е. после посадки (и-і)-го самолета у-го типа следующий за ним самолет /-го типа идет с временным промежутком, большим tir По истечении времени /.. среднее время появления следующего самолета равно 1/Д. Поэтому будем считать, что он летит с интервалом +1/Л и, следовательно, случайная величина rjn принимает значение tu + 1/Л с вероятностью PiPj. Итак, при vn_, = 0 вероятность добавления в эшелон к самолетов равна
