Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Модель поведения страховщика и страхователя в условиях случайной процентной ставки 13
Взаимодействие страховщика и страхователя при нулевых расходах 16
Модель поведения страховой компании при ненулевых расходах 34
ГЛАВА 2. Игровые задачи распределения ресурсов при взаимодействии граждан и государства 44
Решение задачи распределения ресурсов без необходимости обеспечения минимального уровня потребления 48
Решение задачи при заданном минимальном уровне потребления 54
Решение задачи с непрерывным изменением параметров при заданном уровне минимального потребления 64
Решение задачи с непрерывным изменением параметров без ограничений на минимальный уровень потребления 78
ГЛАВА 3. Игровые задачи поведения граждан и государства при назначении пенсии 85
Постановка задачи 87
Случай произвольно назначаемой пенсии 89
Модель пенсии, зависящей от пенсионного возраста 95
Непрерывная пенсионная задача 102
Заключение 112
Список литературы 115
- Модель поведения страховой компании при ненулевых расходах
- Решение задачи распределения ресурсов без необходимости обеспечения минимального уровня потребления
- Решение задачи с непрерывным изменением параметров без ограничений на минимальный уровень потребления
- Модель пенсии, зависящей от пенсионного возраста
Введение к работе
В работе рассматриваются игровые задачи, возникающие при взаимодействии участников иерархических систем. Под иерархической системой понимается организация, в которой присутствует центр, который тем или иным образом управляет поведением всех участников (см. например [7], [12], [6]). В рамках иерархической системы в данной работе рассматривается взаимодействие граждан, государства и страховых компаний при назначении пенсий, и возникающие при этом проблемы управления с помощью распределения ресурсов.
Задачи управления и определения оптимального поведения в иерархических системах актуальны для системы пенсионного обеспечения, так как они позволяют понять механизмы, лежащие в основе поведения ее членов и определить их оптимальные стратегии. Пенсионному обеспечению граждан уделяется большое внимание в экономике развитых стран, причем значительную роль в этом играет государство. В XX веке задача назначения пенсий стала одной из существенных функций любого государства. Пенсионная система в развитых странах является трехуровневой и состоит из обязательной пенсии, предлагаемой государством, добровольной, которая предлагается страховыми компаниями и профессиональной, которую обеспечивают совместно государство и работодатели. Работающие члены общества покупают страховые продукты на некоторую часть своей зарплаты, желая обеспечить себе достойное существование в старости. Размер будущей пенсии является серьезным стимулом для гражданина, побуждая его эффективнее работать и стремиться больше средств вложить в добровольное страхование. В настоящей работе рассматривается добровольная и обязательная пенсии.
Традиционно пенсионные продукты в страховых компаниях рассчитываются с помощью моделей актуарной математики1 и математической стати 1 Актуарная математика — раздел математики, изучающий процессы и описывающий риски, возника стики, при этом учитывается вероятностная натура страхования, но недостаточно внимания уделяется взаимодействию участников. Рассмотрение теоретико-игровых моделей поведения взаимодействующих сторон позволяют шире взглянуть на эту проблему, внести в нее дополнительнй обмен данными между игроками, а также обратить внимание на возможность их влияния друг на друга. Такие модели способны помочь страховым компаниям при составлении пенсионных продуктов, а также государству, определяя зависимость эффективности от применяемых правил назначения пенсии.
Как отмечается в работе Семенова [18], методы теории иерархических игр практически не применяются для исследования взаимодействий в страховании. Имеются некоторые статьи Борча и Лемера, в которых элементы теории игр применяются для исследования страхования не-жизни, помимо этого еще в одной работе Лемера [53] исследуются модели с использованием теории кооперативных игр, в которых игроки образуют коалиции, действующие из общих интересов. Поиск стационарных равновесий в нескольких моделях, возникающих на рынке страхования произведен в работе Эрнотта и Стигли-ца [22]. В работе Броккета и др. [30] дан обзор некоторых применений методов исследования операций в страховании, при этом упор сделан на использовании различных методов оптимизации и математического программирования.
Некоторые приложения теории игр в страховании рассмотрены в работах Белянкина и Семенова ([3], [18]). Построен ряд моделей, описываюших взаимодействия между сторонами, участвующими в страховании жизни с помощью иерархических игр. Была найдена оптимальная система штрафов и вознаграждений для расчета выкупных сумм в долгосрочном страховании жизни при фиксированных рыночных условиях, которая позволяет страховой компании определить выкупные суммы таким образом, что клиент не расторгает договор досрочно. В некоторых случаях страховщику выгодно доплачивать страхователю определенную сумму при дожитии до конца действия
ющие в страховании (см., например, [19], [29]). договора, что является терминальным бонусом. Еще одна модель Белянкина и Семенова [2] описывает оптимальное поведение страховщика, страхователя и агента при заключении договора страхования жизни и с помощью игры Гі определяет оптимальную стратегию назначения комиссии.
Ими же в работе [18] построена игровая модель с участием государства, которое предоставляет налоговые льготы компаниям, занимающимся пенсионным страхованием, тем самым побуждая граждан вкладывать средства в добровольную пенсию.
Настоящая работа рассматривает задачи управления гражданами (страхователями) с помощью выбора правил назначения пенсий. Для добровольной пенсии рассматриваются проблемы управления поведением клиента и стимулирование его к нерасторжению договора. Для обязательной пенсии рассматриваются возможности государства по максимизации производства всех групп граждан. Задачи стимулирования изучаются в теории управления, в рамках которой определено оптимальное поведение центра в различных условиях. В работе Новикова [15] дается классификация задач управления. В частности, рассмотрены задачи коллективного стимулирования слабо и сильно связанных агентов, постановка и решение которых приведены в работе Новикова и Цветкова [17]. Оптимальная стратегия центра найдена с помощью принципа декомпозиции, который использует стратегии наказания (Гермейер, [7], для решения иерархических игр Г2) и заставляет каждого игрока выбирать единственную оптимальную с точки зрения центра стратегию. В работе построено стимулирование, приводящее к появлению доминантной стратегии у каждого агента.
При рассмотрении долгосрочных договоров пенсионного страхования существенное влияние на прибыль компании оказывает инвестиционная политика. При постоянно изменяющихся факторах рынка для страховых компаний становится актуальным, каким способом они делятся с клиентами своими дополнительными доходами. На сегодняшний день в страховании жизни
б
имеется целый ряд схем участия в прибыли. Одна из схем строится в данной работе в первой главе.
Еще одна модель участия в прибыли описана в статье Хансена [46], где рассматриваются вопросы создания и оценивания портфелей, которые состоят из полисов с участием в прибыли2. Участие в прибыли рассматривается двух видов - гарантированная часть и колл-опцион от доли прибыли (избытка). В статье рассматриваются два случая — либо гарантия выполняется с вероятностью, либо должна быть выполнена безусловно. Страховая компания продает полисы на рынке двум группам клиентов — первая группа не в состоянии инвестировать свои средства самостоятельно, вторая грппа способна размещать свои средства на рынке без посторонней помощи. В статье найдена оптимальная стратегия инвестирования в рисковые активы.
Некоторые модели участия в прибыли для страхования жизни описаны, например, в работах Бахинелло [24], Хансена [45], Нильсена [57] и Норбер-га [58].
В работе Дэна, Гувартса и др. [20] описывается многошаговая модель выбора инвестиционного портфеля для инвестора с заданным вектором потребления. На рынке имеется т + 1 средство для инвестирования, одно из них — безрисковое, его доходность фиксирована и постоянна, все остальные средства рисковые, и их цена подчиняется закону Блэка - Шоллса. Предполагается, что инвестор в конце каждого года может столкнуться со случайным потреблением Х\,...,Хп, причем каждый Х\ не зависит от результатов инвестирования. Показано, что решение проблемы минимизации риска для инвестора лежит на т. н. эффективной рыночной линии, и оптимальное решение — это комбинация доли 7Го, инвестируемой в безрисковый актив и 1 — 7Го, инвестируемой в т. н. рыночный портфель рисковых активов. Задача сводится к минимизации функции одной переменной.
2Участие в прибыли обычно предлагается в двух видах - либо увеличение страховых выплат, либо уменьшение страховых взносов для индивидов. В работе рассматриваются модели первого типа. В первой главе настоящей работы исследуется поведение страховщика и страхователя в условиях случайно изменяющейся процентной ставки на рынке. В настоящее время имеется ряд моделей, описывающих стохастическое изменение процентной ставки с течением времени (см. например [65], [34], [25]). В данной работе используется модель Васичека.
В настоящее время в литературе широко используется термин "аннуитетная3 задача"4, который возникает в различных моделях на тему пенсионного обеспечения. Имеющиеся математические модели показывают привлекательность пенсионных продуктов для граждан, в то время как на практике большинство людей добровольно их не приобретают.
В статье Видал-Мелии и Лехарага-Гарсии [66] исследована аннуитетная задача и выявлена проблема низкого спроса на пенсионные продукты со стороны населения. Отмечаются основные причины такого низкого спроса:
• Наличие государственной пенсионной системы.
• На рынке присутствуют компании, которые забирают часть средств себе и в результате не достигается честная цена5.
• Для расчетов страховые компании используют таблицы смертности, которые отличаются от фактической смертности, в результате стоимость пенсий повышается.
• Граждане фактически занимаются самострахованием, перераспределяя финансовые ресурсы своей семьи так, как это нужно им.
• Пенсионные деньги практически невозможно использовать сразу целиком, а в некоторых случаях это может быть нужно, например из-за возросших медицинских расходов.
3Аннуитет — регулярные страховые выплаты, производящиеся при дожитии застрахованного до даты очередной выплаты.
4См. например статьи [31],[35],[39],[49] и [56].
5Под честностью понимается адекватность цены, учитывающая возможную смертность, инвестиционные риски, будущие расходы компании. • Имеются разные схемы налогообложения пенсионных продуктов, в результате они теряют значительную часть своей привлекательности.
• Граждане также стремятся оставлять наследство, что возможно далеко не во всех пенсионных схемах.
Одной из первых аннуитетных моделей стала модель Яари [67]. Он привел достаточные условия, при которых вложения в аннуитеты являются предпочтительными для гражданина. Существенной частью условий является актуарно адекватная цена на пенсионные продукты. Также единственной неопределенностью для индивидов является только момент их смерти, и они не имеют никаких мотивов, связанных с наследством.
Давидофф в работе [35] значительно ослабил условия, при которых гражданам выгодно покупать аннуитетные продукты. Он показал, при каких условиях не требуется актуарная адекватность для аннуитетов, и рассмотрел так называемые неполные рынки с ограничениями на торговлю после начального момента времени. Показано, что в рассматриваемых условиях чем больше гражданин стремится к накоплению своих средств, тем больше аннуитетов он покупает.
Видал-Мелия и Лехарага-Гарсия [66] в своей модели в полезность гражданина ввели мотивы оставления наследства и показали, как потребление зависит от времени, а полезность — от оставшихся денежных средств.
Сундаресан и Запатеро [62] рассматривают модель взаимодействия фирмы и одного ее работника при назначении обязательной пенсии, которая выплачивается не государством, а работодателем. Работник не испытывает никакого неудовлетворения от того, что он работает. Фирма устанавливает зарплату и определяет размер пенсионных выплат, которые зависят от пенсионного возраста. Зарплата выбирается такой, чтобы все выплаты работнику (зарплаты и пенсии) соответствовали предельному продукту, причем фирма постоянно ее изменяет, рассматривая текущую продуктивность. Показано, что работник выходит на пенсию тогда, когда его ожидаемые средства становится оптимальными. Найдены условия, при выполнении которых он выберет выход на пенсию.
Статья Вермеулена [55] изучает динамику поведения индивидов при выходе на пенсию. В модели каждый гражданин может оказывать определенное влияние на других людей (своих близких) в этом же вопросе0. Индивиды могут выбирать интенсивность своего труда из ограниченного дискретного набора значений. В статье задача решена численными методами. Эта модель описывает взаимодействие двух граждан (семьи), действующих совместно, и учитывающих как собственные предпочтения, так и предпочтения партнера.
В модели Холмера [47] для исследования аннуитетной задачи без рассмотрения вопросов насчет желания оставить наследство используется метод динамического программирования с построением функции Беллмана. В данной модели помимо реального потребления, вводится также желаемое, которое влияет на полезность. Для индивидов действует бюджетное ограничение, в котором присутствует доход от социальных программ и доход от инвестиций.
Статья Ферейра и Пессоа [41] исследует увеличение продолжительности жизни и увеличение времени, которое люди тратят на образование. В модели участвуют два вида фирм - первые производят материальные товары, вторые производят образовательные услуги. Каждый индивид живет фиксированное число лет (Г), выходит на пенсию в возрасте Тд. В первой части своей жизни Ту, каждый индивид сначала проводит дома Тс лет, а затем учится в течение Ts лет. После ухода из школы начинается работа в течение Т\у лет. При этом в течение Twi его зарплата увеличивается, а затем в течение Т\у2 - уменьшается. В каждый момент времени индивид решает, сколько он потребит, сколько он отложит себе на сбережения и как интенсивно он будет работать. Также один раз делается выбор, сколько лет отдать на обра 6 Суммарное потребление нескольких групп рассматривается также в модели Допни [38], в которой каждый индивид имеет свои предпочтения и все агенты полностью эгоистичны, то есть их полезность зависит только от их собственного потребления. В этой статье строится модель оптимального выбора, который приводит к оптимальному по Иарето решению. зование. Прибылью государства в данном случае является сумма налогов и капитальных доходов. В работе найдено стационарное равновесие.
В статье Полковиченко [59] описывается пожизненная модель потребления, в которой индивид живет известное число лет, получает стохастический трудовой доход и имеет два средства для инвестирования - безрисковые активы и рисковые акции. Задача индивида выражается как последовательность максимумов, нахождение которых определяет оптимальную стратегию.
Капичка в статье [49] рассматривает накопление человеческого капитала и находит оптимальное налогообложение в этой ситуации. Имеется ряд агентов, каждый из которых характеризуется своей производительностью 0, причем величина в неизвестна никому, кроме самого агента. Показано, что задача максимизации полезности индивида имеет единственное решение. В работе рассмотрена т. н. "игра доверия", в которой каждый агент сообщает свою производительность 0° (причем не обязательно верную), и для этой производительности строится распределение налогов и потребления.
Работа имеет следующую структуру — в первой главе рассматривается взаимодействие гражданина и страховой компании при покупке добровольного пенсионного страхования. Рассмотрены два случая — без учета расходов компании и с учетом. Для каждого случая построено оптимальное поведение страховой компании. Доказано, что максимум прибыли достигается при нерасторжении договора до окончания срока его действия. Также при этом максимизируется прибыль гражданина. Данная модель расширяет построенную Белянкиным и Семеновым [3], определяя оптимальное поведение страховой компании в условиях случайно изменяющейся процентной ставки на рынке. Решение найдено с помощью иерархической игры, в которой игроки ходят по очереди, но в отличие от традиционной игры Гі7, в данной модели присутствует случайно изменяющийся внешний фактор — процентная ставка,
7Гі - иерархическая игра, в которой игроки ходят по очереди, причем второй игрок знает ход первого (см. например [14]).
и
значение которой серьезно влияет на поведение страхователя. Для страховой компании построена управляющая стратегия, с помощью которой она способна удержать клиента от досрочного расторжения договора, получив при этом максимальную прибыль.
Во второй главе рассматриваются общие задачи взаимодействия граждан и государства, которое занимается перераспределением ресурсов между группами граждан. В моделях данной главы государство назначает субсидии членам общества. Рассматриваются два случая — при постоянных параметрах групп граждан и в случае их непрерывного изменения. В моделях взаимодействия присутствуют дополнительные ограничения, согласно которым государство должно обеспечить всем гражданам некоторый заданый уровень потребления независимо от того, как они работают. Для всех случаев найдено оптимальное решение для государства, которое гарантирует максимум суммарного производства при заданом уровне потребления и показаны условия, при которых задача не имеет решения. При рассмотрении всех задач предполагается, что никто из игроков не действует себе во вред, что позволяет ввести управляющие стратегии. Они используются в возникающих задачах распределения ресурсов, и решение в случае непрерывного изменения параметров находится с помощью аналога принципа уравнивания (Гермейер, [8]), а в случае постоянных параметров — решением вспомогательной задачи булева программирования8, которая указывает для каких групп следует применять стимулирование, а для каких групп нет.
В третьей главе изучается взаимодействие нескольких групп граждан, имеющих разные параметры производительности и предпочтения насчет работы, и государства при назначении обязательной пенсии. Государство действует как единый центр, который перераспределяет произведенные гражданами ресурсы, собирая их в виде налога и возвращая их после окончания
83адача булева программирования — это задача линейного программирования, в которой ряд переменных может принимать значения только 0 или 1 (см., например, [1], [13]).
Модель поведения страховой компании при ненулевых расходах
В статье Полковиченко [59] описывается пожизненная модель потребления, в которой индивид живет известное число лет, получает стохастический трудовой доход и имеет два средства для инвестирования - безрисковые активы и рисковые акции. Задача индивида выражается как последовательность максимумов, нахождение которых определяет оптимальную стратегию.
Капичка в статье [49] рассматривает накопление человеческого капитала и находит оптимальное налогообложение в этой ситуации. Имеется ряд агентов, каждый из которых характеризуется своей производительностью 0, причем величина в неизвестна никому, кроме самого агента. Показано, что задача максимизации полезности индивида имеет единственное решение. В работе рассмотрена т. н. "игра доверия", в которой каждый агент сообщает свою производительность 0 (причем не обязательно верную), и для этой производительности строится распределение налогов и потребления.
Работа имеет следующую структуру — в первой главе рассматривается взаимодействие гражданина и страховой компании при покупке добровольного пенсионного страхования. Рассмотрены два случая — без учета расходов компании и с учетом. Для каждого случая построено оптимальное поведение страховой компании. Доказано, что максимум прибыли достигается при нерасторжении договора до окончания срока его действия. Также при этом максимизируется прибыль гражданина. Данная модель расширяет построенную Белянкиным и Семеновым [3], определяя оптимальное поведение страховой компании в условиях случайно изменяющейся процентной ставки на рынке. Решение найдено с помощью иерархической игры, в которой игроки ходят по очереди, но в отличие от традиционной игры Гі7, в данной модели присутствует случайно изменяющийся внешний фактор — процентная ставка, значение которой серьезно влияет на поведение страхователя. Для страховой компании построена управляющая стратегия, с помощью которой она способна удержать клиента от досрочного расторжения договора, получив при этом максимальную прибыль.
Во второй главе рассматриваются общие задачи взаимодействия граждан и государства, которое занимается перераспределением ресурсов между группами граждан. В моделях данной главы государство назначает субсидии членам общества. Рассматриваются два случая — при постоянных параметрах групп граждан и в случае их непрерывного изменения. В моделях взаимодействия присутствуют дополнительные ограничения, согласно которым государство должно обеспечить всем гражданам некоторый заданый уровень потребления независимо от того, как они работают. Для всех случаев найдено оптимальное решение для государства, которое гарантирует максимум суммарного производства при заданом уровне потребления и показаны условия, при которых задача не имеет решения. При рассмотрении всех задач предполагается, что никто из игроков не действует себе во вред, что позволяет ввести управляющие стратегии. Они используются в возникающих задачах распределения ресурсов, и решение в случае непрерывного изменения параметров находится с помощью аналога принципа уравнивания (Гермейер, [8]), а в случае постоянных параметров — решением вспомогательной задачи булева программирования8, которая указывает для каких групп следует применять стимулирование, а для каких групп нет.
В третьей главе изучается взаимодействие нескольких групп граждан, имеющих разные параметры производительности и предпочтения насчет работы, и государства при назначении обязательной пенсии. Государство действует как единый центр, который перераспределяет произведенные гражданами ресурсы, собирая их в виде налога и возвращая их после окончания работы в виде пенсий. Предполагается, что каждый игрок действует оптимальным образом. При этом рассматриваются задачи управления суммарным производством с помощью пенсий. Найдены оптимальные стратегии в модели с пенсией, зависящей от пенсионного возраста, и в модели без дополнительных ограничений на величину пенсионных выплат. Еще одна модель находит оптимальные пенсионные выплаты, рассматривая их как особый случай субсидий со стороны государства, вводя в модели второй главы дополнительные ограничения на их знаки.
В заключении подводятся итоги и даются некоторые рекомендации по дальнейшему исследованию задач пенсионного обеспечения, позволяющие внести в рассмотрение новые параметры.
В работе использованы методы теории иерархических игр, теории оптимизации, теории вероятностей и математическиого анализа. Все полученные результаты в настоящей работе доказаны аналитически. Работа носит теоретический характер, полученые результаты могут использоваться для моделирования поведения реальных участников взаимодействий в пенсионном обеспечении, а также могут служить основой для последующих моделей, описывающих эти же или подобные взаимодействия, принимая во внимание большее число факторов.
Решение задачи распределения ресурсов без необходимости обеспечения минимального уровня потребления
Описанная выше модель применима в условиях случайно изменяющейся процентной ставки и позволяет страховой компании оперативно реагировать на изменения рыночной ситуации. Желая получить максимально возможную прибыль, компания старается так изменить условия выплаты выкупных сумм, чтобы удержать клиента от расторжения договора.
Значение краткосрочной банковской процентной ставки после заключения договора страхования может вырасти по сравнению со значением на момент подписания полиса, или уменьшиться. В первом случае для клиента более привлекательным становится возврат денег, вложенных в страхование, и инвестирование их в банк под выросший процент. Во втором случае гарантированный процент становится высоким по сравнению с тем, что можно получить в банке, и клиент не стремится расторгнуть договор, но при этом компания может потерять прибыль из-за высокой гарантированной нормы доходности.
Модель, предложенная в этой части работы, позволяет оперативно реагировать на изменения процентной ставки изменяя размер выкупных сумм, так что клиенту будет выгодно не расторгать договор. Тем самым компания в случае увеличения доходности делится частью своей прибыли, сложившейся от благоприятной рыночной ситуации. В другом случае, размер выкупных сумм будет уменьшен, низкая рыночная ставка удержит клиента от досрочного расторжения, и компания не потерпит убытков из-за слишком высокой гарантированной нормы доходности. В любом случае выигрыш каждого иг Проиллюстрируем два описанных случая на примере. Предположим, что процентная ставка изменяется по закону Васичека (см. раздел 1.1) и в течение ряда лет складывались следующие значения, показанные на рисунке 1.2.
В этом случае значение процентной ставки на рынке уменьшалось после заключения договора и стало меньше того, что было гарантировано страховой компанией при заключении договора.
Применяя описанную в данном разделе модель, страховщик устанавли вает значения для Х{,г = 1,т, задавая их через набор положительных (,і = 1,т. На рисунке 1.4 показаны значения ХІ,І = 1,т сложившиеся, когда процентная ставка по ходу исполнения договора страхования принимала значения, показанные на рисунке 1.3. Страховая сумма на конец действия договора страхования больше гарантированной и компания делится частью своей прибыли с клиентом. Помимо выкупных сумм на графике показано изменение резерва по договору страхования, рассчитанного при гарантированной норме доходности 3%.
На рисунке 1.5 показаны значения х г = 1,ш, сложившиеся в случае неблагоприятной ситуации с процентной ставкой на рынке. Изменение процентной ставки в этом случае показано на рисунке 1.2. В этом случае компания устанавливает выкупные суммы, меньшие, чем резерв на каждый год действия договора страхования, но достаточные для удержания клиента от расторжения полиса.
Эти две основные ситуации показывают, как именно компания способна оперативно отреагировать на изменение рыночной ситуации. Похожим образом на рынке страхования ведут себя продукты unit-linked27, в которых страховая сумма и страховые премии фиксируются в специальных условных величинах, которые в свою очередь изменяют свои значения в зависимости от инвестиционной политики компании. Построенная в данной главе модель фиксирует взносы и страховые суммы в реальных денежных единицах и позволяет страховой компании так определять свое поведение в момент заключения договора, что она может реагировать на любые будущие колебания процентных ставок.
Решение задачи с непрерывным изменением параметров без ограничений на минимальный уровень потребления
В данной главе рассматриваются общие задачи взаимодействия граждан и государства. В каждой модели граждане могут производить ресурсы, которые государство тем или иным образом перераспределяет между всеми группами. Само государство ничего не производит и ничего не потребляет.
В главе рассматривается ряд задач, возникающих при подобном взаимодействии. Изучается общий случай, в котором граждане могут получать субсидию независимо от того, работают ли они в данный момент или уже вышли на пенсию.
Задачей государства в данном случае является такой выбор субсидий, которые позволяют ему наиболее эффективно перераспределить произведенные ресурсы между всеми группами граждан. Эффективность понимается как суммарное производство. Возможность устанавливать субсидии как бонусы дает возможность увеличить общее производство засчет оптимального перераспределения ресурсов. Модели данной главы являются иерархическими играми Г2, в которых государство устанавливает правила зависимости субсидии от реальных параметров производительности граждан, что и позволяет организовать эффективное стимулирование граждан и увеличивает суммарный объем производства. При этом предполагается, что никто из игроков не действует себе во вред. В главе рассматривается два типа задач — в одном из них государство стремится увеличить максимальное производство, в другом также имеется дополнительное ограничение, что государство обязано обеспечить всем группами граждан некоторый гарантированный уровень потребления независимо от того, как они работают. Решение моделей с гарантированным уровнем потребления основано на уравнивании всех групп граждан между собой, при этом уравниватся полезности, а потребление у разных групп различное, так как они получат неодинаковые надбавки сверху к гарантированному уровню для стимулирования работы. Данная глава имеет следующую структуру: в разделе 2.1 описывается постановка задачи для случая, в котором все параметры постоянны в течении жизни. В разделе 2.2 описывается решение задачи для случая без гарантированного потребления. Рассматриваются две модели — в одной из них государство владеет всей информацией о группах и способно так установить функции субсидирования, что все граждане работают до конца жизни и перераспределения ресурсов между группами при оптимальном поведении участников не происходит. Во второй модели раздела 2.2 государство не обладает информацией о том, как связаны группы и их максимально возможная производительность, поэтому оно не может установить индивидуальные штрафы для каждой группы за отклонение от максимального производства. Для этого случая построено решение, которое максимизирует производство, при этом происходит ненулевое перераспределение ресурсов между группами.
В разделе 2.3 рассматривается модель с заданым минимальным уровнем потребления. Для государства найдена оптимальная стратегия, которая позволяет ему гарантировать этот уровень при максимально возможном суммарном производстве. Показан также уровень гарантированного потребления, выше которого государство обеспечить не сможет ни при каких условиях, из-за недостаточности ресурсов.
В разделе 2.4 описывается постановка задачи с непрерывным изменением параметров граждан в течении их жизни. По мере приближения к максимальному возрасту, растет неудовольствие от работы, и государству требуется все больше ресурсов для стимулирования граждан.
В разделе 2.5 строится оптимальное решение задачи с непрерывным изменением параметров, которое указывает, как государство должно выбирать субсидии для граждан, чтобы гарантировать заданный уровень потребления при максимально возможном производстве. Оптимальное решение удовлетворяет принципу уравнивания, в данном случае уравниваются между собой функции неудовольствия от работы. Это условие является критерием оптимальности для данной задачи.
В разделе 2.6 находится решение задачи с непрерывным изменением параметров без гарантированного минимального уровня потребления. Находится максимально возможная в данных условиях занятость населения, при этом в оптимальном решении ресурсы групп желающих работать используются для стимулирования тех, у кого нежелание работать велико.
Модель пенсии, зависящей от пенсионного возраста
В данной части работы рассматривается взаимодействие граждан и государства, возникающее при определении пенсии и размера налога на ее финансирование. Рассматривается общество, все члены которого распределяются по некоторым однородным группам. В данной части работы исследуются возможности управления гражданами с помощью пенсий и налогов. Государство выступает в роли перераспределителя ресурсов, сначала собирая деньги с работающих, а затем выплачивая им обеспечение до конца жизни.
В качестве выигрыша гражданина рассматривается функция, состоящая из двух частей - полезности потребления и неудовольствия от работы. Во многих моделях, изучающих поведение индивидов (см., например, [31], [33], [51]) неудовольствие от работы зависит от нагрузки (интенсивности производства). В данной главе, кроме того, рассматриваются модели, в которых каждый гражданин работает с максимально возможной для себя нагрузкой и его неудовольствие от работы является величиной, зависящей только от возраста.
Потребление граждан зависит от их собственного производства и от того, что они получают в виде пенсии. При этом государство ничего не производит и не потребляет, а занимается только перераспределением. Каждый гражданин при отсутствии государства способен работать до некоторого момента жизни. В настоящем исследовании рассматриваются возможности по увеличению возраста выхода на пенсию. Достижение данной цели одновременно означает увеличение суммарного потребления, так что подобное поведение имеет социальную направленность.
Пенсии являются частным случаем субсидий, в работе рассмотрены случаи, когда они выплачиваются после окончания работы, а также случай работающих пенсионеров — когда пенсии могут выплачиваться при том, что человек еще не закончил работать. В настоящей главе для описания взаимодействия участников строятся модели, описывающие поведение с помощью иерархических игр Гі36 и Гг- В каждом случае находится управляющая стратегия государства, максимизирующая его прибыль (суммарное производство). При поиске решения учитывается, что каждая сторона ведет себя оптимальным образом и не действует себе во вред. Данная глава имеет следующую структуру — в разделе 3.1 описывается общая постановка задачи, в разделе 3.2 рассматривается случай в котором пенсия может назначаться произвольным образом без дополнительных ограничений. Для данной модели получено решение, с помощью которого государство способно заставить всех граждан работать до конца жизни, устанавливая размер пенсии, который недостаточен для каждого индивида, чтобы прекращать работу. В разделе 3.3 рассматривается случай пенсии, зависящей от возраста выхода на нее (чем позднее гражданин выходит на пенсию, тем больше размер выплат, которые он получает за единицу времени). Для данного случая получено решение, которое позволяет государству стимулировать работу всех групп граждан до максимально возможного возраста (он полагается меньше, чем продолжительность жизни членов данной группы, чтобы период выплаты пенсии был ненулевой). В разделе 3.4 рассмотрена модель назначения непрерывной пенсии, которая полагается зависимой от возраста выхода на нее и не может выплачиваться до момента окончания работы. Для этого случая найдено оптимальное решение и гарантированный результат государства. В разделе 3.5 рассмотрен случай, в котором пенсия может выплачиваться Определение игры Гі можно найти, например, в [14], там же указаны пути решения задач с использованием данного типа игр. гражданам в то время, когда они еще продолжают работать, в зависимости от текущей производительности. Найденное решение позволяет государству стимулировать работу всех групп до максимально возможного возраста. 3.1 Постановка задачи Рассматриваются несколько моделей оптимального поведения граждан и государства в системе пенсионного обеспечения. Предположим, что все граждане разделяются на группы. Внутри одной группы они ничем не отличаются друг от друга. Люди каждой группы имеют определенную продолжительность жизни и определенную производительность. В любой момент гражданин может прекратить работу и выйти на пенсию. С этого момента производство им ресурсов прекращается и он может потреблять только то, что было произведено раньше. Государство обеспечивает население пенсией. Для этого в течении времени, пока гражданин работает, он облагается налогом. Собранные средства переходят к государству, которое выплачивает пенсию, начиная с момента прекращения работы. Для каждой группы государство вправе установить свою пенсионную схему, устанавливая налоги и выплаты, тем самым оно может управлять пенсионным возрастом разных групп людей. Размер пожизненных выплат может быть как произвольным, так и зависящим от некоторых дополнительных факторов (в качестве такого фактора используется возраст выхода на пенсию). Рассматривается игра, в которой игроки делают ходы по очереди. Стратегией государства является установление пенсии и налога для каждой группы граждан, а стратегией гражданина является выбор возраста, в который он заканчивает работать. С этого момента государство начинает выплачивать ему пенсию.
