Введение к работе
Актуальность темы. В связи с динамичным развитием финансового инструментария и возрастанием биржевых операций исследование математических моделей стоимости ценных бумаг и задач принятия решений при их покупке или продаже становится всё более актуальным. Исследование подобного рода задач было начато Башелье, Блэком, Шоулсом, Мертоном, Хесто-ном и другими. С описанными выше моделями так же тесно связаны задачи оценки инвестиционных проектов, что отражено в работах Диксита, Пинди-ка, МакДональда, Сигела, Аркина, Сластникова1, Виленского, Лифшица, Смоляка2 и других авторов. В диссертации изучаются следующие распространённые типы ценных бумаг: бесконечные американские опционы (на два актива), опцион "Lookback" (экзотический опцион европейского типа), а также облигации с переменной процентной ставкой. Основное внимание уделяется методам построения оценок стоимости указанных выше ценных бумаг и с этой целью построению оптимальных пороговых решающих правил из некоторого класса. Задачи оценки опционов и других ценных бумаг изучались в течение длительного времени. В рамках теории финансового рынка Блэка - Шоулса исследовалось большое количество ценных бумаг. Модели облигаций с переменными процентными ставками рассматривались Васичеком3, Коксом, Ингерсоллом, Россом4, Блэком, Карасинским5, Констан-тинидисом6 и другими. Стоимости некоторых экзотических опционов, а так-же опционов с однородными обязательствами были получены Ширяевым , Гербером, Шиу8 и другими. Броуди, Детемпл9, Марграбе10, Ким, Джонсон и
Аркин В.И., Сластников А.Д. Ожидание инвестиций и налоговые льготы // Препринт WP/97/033, М.: ЦЭМИ РАН, 1997.
Виленский П.Л., Лившиц В.Н., Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов. М.: Дело, 2008.
Vasicek О. An equilibrium characterization of the term structure // Journal of Financial Economics. 1977. V. 5 P. 177-188.
Сох І.С., Ingersoll J.E., Jr., Ross S.A. A theory of the term structure of interest rates // Econometrica. 1985. V. 53. № 2 P.385-407.
BlackF., Karasinsky P. Bond and option pricing when short rates are lognormal // Financial analysts Journal. 1991. №4. P. 52-59.
Constantinides G.M., Ingersoll J.E. Optimal bond pricing with personal taxes // Journal of Financial Economics. 1984. V. 13. P. 299-235.
Ширяев A.H. Основы стохастической финансовой математики Т.1Д.2 // Фазис, 1998.
Gerber H.U., Shiu E.S.W. Pricing lookback options and dynamic guarantees // North American Actuarial Journal. 2003. V.7. N.l. P. 48-66.
Broadie M., Detemple J. The valuation of American Options on Multiple Assets // Mathematical finance. 1997. Vol.7. No.3. 241-286.
другие занимались исследованиями американских и европейских опционов на несколько активов. В рамках модели Блэка - Шоулса нахождение стоимости ценной бумаги сводится к вычислению математического ожидания платежа по этой бумаге. Весомый вклад в развитие методов их вычислений внесли Колмогоров, Гирсанов11, Ширяев, Аркин, Сластников12, Башелье, Ито13 и другие. Существует два подхода к вычислению математического ожидания: мартингальный и дифференциальный. Мартингальный подход основывается на построении специального мартингала, позволяющего посчитать искомое математическое ожидание. Данный подход подробно описан в работах Гер-бера, Шиу14, Ширяева и других авторов. С его помощью получены оценки для отдельных видов опционов. Дифференциальный подход более общий и заключается в постановке краевой задачи для уравнения в частных производных, решением которого является искомое математическое ожидание. Развитием этого подхода занимались Колмогоров, Феллер, Бюттлер15, Кокс, Ингерсолл, Росс, Блэк, Шоулс и другие. В данной диссертационной работе для получения оценок стоимости указанных выше ценных бумаг предлагается применение дифференциального метода на базе общего подхода теории исследования операций. Аппарат данного метода опирается на работы Ильина, Калашникова, Олейник, Жиро, Фикеры, Паламодова, Миранды, Хёрман-дера.
Цели исследований. Получение аналитических оценок стоимости ценных бумаг и построение соответствующих им решающих правил. Представление полученных оценок в виде, позволяющем применять численные методы.
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми. В диссертации подробно исследован дифференциальный метод - его дальнейшее развитие (для двумерных задач) и применение позволило получить ранее
Margrabe W. The value of option to exchange one asset for another // Journal of Finance. 1978. V. 33. P. 177-186.
Гирсанов И.В. О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры // Теория вероятностей и её применения. 1960. Т.5. №3. С. 314-330.
Аркин В.И., Сластников А.Д. вариационный подход к задачам оптимальной остановки диффузионных процессов // Теория вероятностей и её применения. 2008. Т. 53. В. 3. С. 516-533.
Ito К. On stochastic differential equations // Memoirs of the American mathematical society. 1951. V. 4. P. 1-89.
Gerber H.U., Shiu E.S.W. Martingale approach to pricing American options // ASTIN Bulletin. 1994. V. 42. P. 195-200.
Buttler H.-J. Pricing callable bonds by means of Green's function // Mathematical Finance. 1996. V. 6. №1. P. 53-88.
неизвестные оценки стоимости ряда классических типов ценных бумаг. В том числе получены нижние оценки стоимости и соответствующие им решающие правила для бесконечных американских опционов на два актива (как для альтернативного опциона, так и для опциона Марграбе), оценка облигации с переменной процентной ставкой модели Ингерсолла - Константи-нидиса. В качестве демонстрации возможностей данного метода были найдена оценка стоимости опциона "Lookback" (ранее полученная мартингальным
подходом Гербером и Шиу ) и оценка стоимости облигации с переменной процентной ставкой модели Кокса - Ингерсолла - Росса (ранее полученная методом автомодельных замен Бюттлером15). Так же в процессе исследований была решена задача поиска распределения времени первого достижения прямоугольной границы двумерным гауссовским процессом, что позволило предложить новый класс решающих правил.
Методика исследований. В работе используются методы теории исследования операций, теории вероятностей, действительного и комплексного анализа, теории дифференциальных уравнений в частных производных, операционного исчисления, теории функций и функционального анализа, специальных функций и методы оптимизации.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы в качестве анализа принятия решений при управлении финансовым портфелем и при оценке инвестиционных проектов. Также результаты работы могут быть использованы для дальнейшего исследования аналогичных задач.
Апробация. Результаты работы докладывались на конференциях Ломоносовские чтения в 2008 и 2009 годах, VI международной конференции по исследованию операций ORM 2010, и Тихоновских чтениях в МГУ в 2010 и 2011 годах.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы работах [1-6], из которых [1], [4-6] - в рецензируемых журналах из списка ВАК.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, включающих в себя в совокупности 16 параграфов, и списка литературы. Полный объём диссертации составляет 178 страниц.
