Содержание к диссертации
Введение
1. Основные соотношения 25
1.1. Постановка задачи 53
2. Устойчивость и прочность ромбовидных композитных панелей 55
2.1. Устойчивость ромбовидных панелей 55
2.1.1. Критические усилия сжатия и сдвига при изолированном нагружении 61
2.1.2. Прочность ромбовидных панелей при изолированном нагружении 99
2.2. Устойчивость ромбовидных панелей при комбинированном нагружении 114
2.2.1. Прочность ромбовидных панелей при комбинированном нагружении 123
3. Устойчивость и прочность трапециевидных панелей 137
3.1. Устойчивость трапециевидных панелей 140
3.2. Устойчивость трапециевидной панели при изолированном нагружении
3.2.1. Прочность трапециевидных панелей при изолированном нагружении 164
3.3 Устойчивость трапециевидной панели при комбинированном нагружении 175
3.3.1. Прочность трапециевидной панели при комбинированном нагружении
Заключение
Список литературы 181
- Критические усилия сжатия и сдвига при изолированном нагружении
- Устойчивость ромбовидных панелей при комбинированном нагружении
- Устойчивость трапециевидной панели при изолированном нагружении
- Устойчивость трапециевидной панели при комбинированном нагружении
Введение к работе
Гладкие и подкрепленные панели, нагруженные потоками сжимающих и касательных усилий, являются одними из основных силовых элементов тонкостенных конструкций летательных аппаратов. Наряду с прямоугольными широкое распространение получили панели других форм -ромбовидные, трапециевидные, треугольные и т.д. Имеющиеся теоретический и экспериментальный заделы относятся, в основном, к традиционным панелям и практически не касаются проблем прочности и устойчивости косоугольных панелей. Кроме традиционных изотропных материалов в последние годы для изготовления тонкостенных элементов все шире используются композиционные материалы (композиты). Качественные отличия композитов от алюминиевых и титановых сплавов, в частности, их анизотропия и слоистая структура, приводят к необходимости разработки новых методов расчета и проектирования силовых конструкций, учитывающих как специфические особенности материалов, так и их форму. Имеющийся ограниченный опыт внедрения композиционных косоугольных панелей в конструкции летательных аппаратов показал, что устойчивость и прочность панелей при сжатии и сдвиге трудно прогнозировать существующими расчетными методами, а типичное для композитов хрупкое разрушение в значительной степени ограничивает преимущество в эксплуатационных характеристиках композитной панели по сравнению с металлической.
Эффективное внедрение композитов в скошенных конструкциях летательных аппаратов связано с актуальной проблемой разработки прикладного метода расчета на устойчивость и прочность при сжатии, сдвиге и комбинированном нагружении панелей с формой в виде параллелограмма или трапеции, а также поиска рациональных структур армирования, обеспечивающих максимум критических усилий для таких тонкостенных силовых элементов.
Критические усилия сжатия и сдвига при изолированном нагружении
Анализируются инженерные методы расчета критических усилий сжатия и сдвига изотропных панелей и делается заключение об их применимости. Далее определяются критические усилия сжатия и сдвига для слоистых композитных скошенных панелей и проводятся исследования влияния угла скоса, соотношения сторон и структуры армирования, результат которых -выбор рациональных » структур армирования панелей. По найденным критическим усилиям находятся эквивалентные напряжения в слоях, позволяющие оценить прочность конструкции и уточнить структуру армирования. В третьей главе формулируется задача на собственные значения для композитных слоистых панелей с контуром в форме трапеции. Задача, как и во второй главе, решается энергетически в перемещениях при прогибе, задаваемом в виде суммы двух тригонометрических рядов. Из условия минимума полной энергии находятся две связанные однородные системы линейных алгебраических уравнений, которые сводятся к одной системе уравнений относительно суммарного вектора неизвестных амплитуд. С помощью QR/QL- алгоритма определяется спектр собственных значений и выделяется минимальное собственное значение - коэффициент устойчивости. Определяются критические усилия сжатия, сдвига и комбинированного нагружения и проводятся исследования влияния углов скоса панели, соотношения сторон и структуры армирования, в результате которых определяются рациональные структуры, обеспечивающие максимум критических усилий. По найденным критическим усилиям находятся эквивалентные напряжения в слоях трапециевидной панели, позволяющие оценить прочность слоев композиционного материала. В заключении сформулированы основные результаты исследований.
Тонкостенные элементы конструкций в виде гладких и подкрепленных пластин и панелей уже в течение нескольких десятилетий являются объектами многочисленных исследований в области механики твердого тела. Постоянный интерес к таким конструкциям связан с их широким использованием в авиационной, ракетно-космической технике и в судостроении. В последние годы помимо традиционных металлических материалов при изготовлении подкрепленных и неподкрепленных панелей получили распространение и композиционные материалы, представляющие собой гетерогенные структуры, образованные сочетанием армирующих элементов и изотропного связующего. Эти материалы обладают целым рядом свойств, делающих их привлекательными для применения в тонкостенных конструкциях. Это прежде всего высокая удельная прочность, в 4-5 раз превышающая удельную прочность стали, титановых сплавов и алюминия; высокая коррозионная стойкость и циклическая прочность [22]. Композиты применяются уже достаточно давно в таких несиловых агрегатах самолетов как носовые обтекатели, створки шасси, элементы интерьера пассажирских салонов. С середины 70-х годов наметилась практика применения композиционных материалов в ответственных силовых элементах каркаса планера: панелях крыльев, киля, стабилизаторах, элеронах и т.д. Ф.Пармли [35] приводит примеры применения композитов в поворотном стабилизаторе самолета F-111 (рис.В.1), стабилизаторах F-14 и В-1. B.L.Riley [85] привел технологию изготовления композитного кессона крыла самолета с вертикальным взлетом и посадкой (рис.В.2). По оценкам E.Heitz [53], применение современных композиционных материалов позволяет уменьшить на 20-28% массу агрегатов и на 20% стоимость изготовления по сравнению с металлическими . конструкциями. За счет снижения массы конструкции удается существенно повысить эффективность эксплуатации гражданских самолетов. В результате применения композитов в элеронах самолетов L-1011, DC-10 удалось снизить массу на 45 кг, что позволило в последствии получить годовую экономию топлива в 6300 кг [56]. В настоящее время активные теоретические и экспериментальные исследования по созданию силовых агрегатов планера гражданского самолета из композиционных материалов ведутся фирмами Boing и Airbus. На рис.В.З показана перспективная конструкция композитного крыла А-380, на рис.В.4 - объем композитных материалов в конструкции пассажирских самолетов А-380 и Boing-787.
Применение композиционных материалов в тонкостенных авиационных конструкциях потребовало решения ряда важных для практического использования задач. Одной из основных задач, связанных с внедрением композиционных материалов, остается поиск оптимального распределения материала по объему агрегатов планера и получение высокой удельной прочности и жесткости при минимальном использовании материала. В разработку методов, проектирования и расчета конструкций из композиционных материалов внесли С.А.Амбарцумян, Н.А.Алфутов, Г.А.Ванин, В.В.Васильев, А.Н.Елпатьевский, В.А.Бунаков, Н.В.Баничук, А.А.Дудченко, В.И.Королев, Я.М.Григоренко, И.Ф.Образцов, П.А.Зиновьев, С.Н.Сухинин, В.Д.Протасов, Ю.В.Немировский и другие.
С поиском оптимального распределения материала неразрывно связаны проблемы устойчивости и несущей способности композитных пластин и пологих оболочек. В монографиях В.В.Васильева [10], И.Ф.Образцова, В.В.Васильева, В.А.Бунакова [33], Obraztsov J.F., Vasiliev V.V. [73], Н.А.Алфутова, ЕА.Зиновьева, Б.Г.Шпова [6] сформулированы теоретические основы проектирования оптимальных композитных конструкций, найдены важные для практического приложения оптимальные структуры укладки волокон цилиндрических оболочек, баллонов давления, панелей и других конструкций.
Устойчивость ромбовидных панелей при комбинированном нагружении
Результаты замеров показали, что усилия у кромок пластины постоянны. K.Pandalai, V.Sathyamoorthy [74] методом Бубнова-Галеркина при одночленной аппроксимации функции прогиба исследовали деформирование сжатых ортотропных косоугольных пластин после потери устойчивости, защемленных по всем сторонам. Н.В.Недумов [30] исследовал равнобедренные трапециевидные пластины постоянной толщины с защемленными кромками. Было построено решение для пластин с любыми углами скоса. М.А.Файзуллина [39] провела изучение нелинейного поведения пластин и пологих оболочек со сложным контуром, составленным из прямоугольников, при сжатии, сдвиге и комбинированном нагружении. В отличие от прямоугольных панелей в таких тонкостенных конструкциях сразу возникает моментное напряженное состояние и с ростом уровня нагружения возрастает величина прогиба. Определяющим для пластин и пологих оболочек со сложным контуром является направление действия касательных усилий. Оно влияет как на напряженно-деформированное состояние панелей, так и на величину минимального собственного значения и форму волнообразования. М.С.Корнишин и Ф.С.Исанбаева [25] исследовали большое число панелей такого типа с помощью метода конечных разностей. G.Turvey [96] анализировал устойчивость и закритическое деформирование сжатых пологих панелей, контур которых составлен из двух трапеций, соединенных по длинной (а 0) и короткой (а 0) сторонам. При а =0 контур пологой панели становится прямоугольным. Численные результаты, полученные на основе метода динамической релаксации, позволили оценить влияние угла а. При а 0 критические усилия сжатия Т меньше критических усилий сжатия прямоугольной панели, а при а 0 - больше. Аналогичная зависимость получена и для амплитуды прогиба панели. А.В.Куйдин [27] исследовал поведение защемленной по контуру пластины, у которой толщина меняется по экспоненциальному закону.
Решение было получено с помощью методов Власова-Канторовича и коллокаций. Singha Malog К., Ramachandra L.S., Bandyopadhyay J.N. [92] исследовали устойчивость и закритическое деформирование косоугольных композитных пластин при осевом сжатии и однородном нагреве. Решение задачи осуществлялось с помощью метода конечных элементов. В матрице жесткости элемента учитывалась повреждаемость слоев композиционного материала.
Теоретические исследования по нелинейному деформированию пластин и пологих панелей нуждаются в экспериментальном подтверждении в отношении напряженного состояния и несущей способности. А.С.Вольмиром [13] проведены испытания прямоугольных алюминиевых панелей с отношением сторон a/b = 2. В ходе экспериментов было подтверждено теоретически найденное распределение напряжений. P.W. Sharman, J.Humpherson [88] определяли прогибы прямоугольных свободно опертых пластин при сжатии и равномерном давлении. В статье Lind N.C., Ravindra М.К., Sehorn G. [69] на основе обработки большого количества испытаний стальных пластин предложена эмпирическая зависимость для оценки несущей способности металлических панелей. J. Rhodes, J. Harvey, W. Work [84] провели большую серию испытаний пластин с начальными несовершенствами со свободно опертыми и защемленными краями. Были определены прогибы и найдены редукционные коэффициенты в зависимости от уровня начального прогиба. L.Ivanov, S.Rousev [55] при обработке экспериментальных значений редукционных коэффициентов использовали статистический метод. Karnikova I., Skaloud М., Janus К. [60] провели экспериментальные исследования устойчивости стальных подкрепленных продольными ребрами пластин при действии кусочно-распределенной краевой сжимающей нагрузки. Установлено, что наибольшее влияние продольных ребер на несущую способность пластин имеет место в случае их постановки вблизи областей нагружения. Эксперименты по определению несущей способности подкрепленных пластин были также выполнены Kishida M., Fujieda Y, Fujii K. [65] и Kitada Т., Nakai R., Funrta T. [66].
N.Popescu-Castellin [77] использовал пластиковую модель для определения формы поверхности и амплитуды прогиба пластины при сжатии. Приспособление имитировало шарнирное опирание с несмещагощимися продольными кромками. В статье Agarwal В. [40] показано экспериментальное распределение напряжений по высоте композитной балки-стенки после потери устойчивости от сдвига и изгиба. W. Banks, J.Harvey [43] провели испытания ортотропных прямоугольных пластин при осевом сжатии. Было выполнено сравнение теоретических и экспериментальных результатов по кривым взаимного сближения нагруженных кромок, величинам максимального прогиба и эпюрам мембранных и изгибных напряжений. В статье Chia G. В., Banks W. М., Rhodes J. [46] представлены результаты испытаний углепластиковых пластин. Были получены величины критических усилий и найдено распределение усилий после потери устойчивости при отсутствии расслоений и при их наличии. Rouse М. [87] провел испытания углепластиковых пластин при сдвиге. Были определены критические усилия сдвига, а также проанализировано деформирование пластин после потери устойчивости. D. R. Fowler, D. A. Newton [52] провели исследования трехфазных композитных пластин с несимметричным пакетом. В статье G.Romeo [86] представлены результаты испытаний подкрепленных композитных панелей при сжатии и изгибе. Общая устойчивость панели определялась на основе устойчивости стрингеров, а местная - на основе обшивки. J.H.Starnes, M.Rouse [91] испытывали квадратные пластины из углепластика при осевом сжатии. Поперечный пакет включал 16 и 24 слоя. Приспособление имитировало защемление по нагруженным краям и шарнирное опирание по продольным краям. Были найдены критические и разрушающие усилия. S. P. Engelstad, J. N. Reddy, N. F.Knight [51] обработали результаты, представленные в статье [91], с целью определить наиболее адекватный критерий прочности. В качестве возможных рассматривались критерий максимальных напряжений и критерий прочности Цая-Ву.
Устойчивость трапециевидной панели при изолированном нагружении
Однородная система алгебраических уравнений имеет М собственных значений, которые представим в виде вектора _Л_ . Коэффициент устойчивости при .сдвиге (положительное направление действия касательного усилия) обозначим как (+)&J,;, коэффициент устойчивости при сдвиге в случае отрицательного направления действия касательного усилия -как (-)А: . Однородная система уравнений имеет нетривиальное решение, если определитель системы равен нулю Здесь квадратная матрица коэффициентов. Определив все действительные собственные значения матрицы _#_j , можно найти коэффициенты устойчивости при сдвиге (+)! =l/max[L/lJ ] и Из-за особенности геометрии панели, а именно ее формы, матрицы П (2.9), \_qj (2.10) и являются несимметричными. При определении векторов собственных значений [/ _L L J и L _L УДем пользоваться двойным QR/QL-алгоритмом Дж.Г.Ф.Френсиса [36]. В основе этого алгоритма лежит построение последовательности матриц, которые при выполнении определенных условий сходятся к верхней/нижней треугольной матрице. Как известно, в треугольной матрице собственные значения находятся на главной диагонали. Алгоритм поиска построен следующим образом. Предварительно исходная матрица приводится к верхней почти треугольной матрице Гессенберга с помощью преобразований подобия. Далее матрица Гессенберга приводится к верхней треугольной матрице. Остается найти минимальное действительное собственное значение треугольной матрицы. Методы преобразования подобия были реализованы в известных программах "HSBG" (приведение исходной несимметричной матрицы к верхней почти треугольной) и "ATEIG" (поиск собственных значений верхней почти треугольной матрицы). Они были написаны на языке "Fortran" и входили в состав математического обеспечения ЭВМ. Программы "HSBG" и "ATEIG" были перепрограммированы на языке "PASCAL" "DELPHI-7.0" с добавлением процедуры поиска минимального действительного собственного значения.
Точность вычислений оценивалась по изменению относительной погрешности Д = ((/)-(М))Д(/) минимального собственного значения, найденного при различном числе членов ряда (2.4). Так относительная погрешность в 5% была достигнута для коэффициента устойчивости (z 30J при 40 членах ряда. Однако дальнейшие численные эксперименты показали, что при больших углах скоса (j 30) найденное число членов ряда не позволяет получить удовлетворительные по точности результаты. Для изотропных панелей с отношением сторон L!b \ и углами скоса х 30 было получено существенное расхождение в коэффициентах устойчивости Щ и . Выбранная в качестве критерия точности величина привела к необходимости удержания в ряде (2.4) до 90 членов. Последующие результаты для ромбовидных панелей, представленные в диссертации, были получены при таком числе членов ряда (2.4). Было выполнено сравнение полученных автором результатов с данными, приведенными в справочнике [37] и отчете S.Kitipomchai, Y.Xiang, C.M.Wang, K.M.Liew [67]. Результаты сравнения представлены в таблице 2.1. Они показывают, что выбранный критерий ( 5"«0) является достаточно жестким и обеспечивает получение достоверных результатов в большом диапазоне углов скоса. Проведем исследование влияния угла скоса х на коэффициенты устойчивости и критические усилия сжатия и сдвига для ромбовидных панелей с разным отношением сторон Lib (/6 = 1- 5). Для изотропной панели примем толщину равной Іі = \0 3м, а характеристики материала -Е,=Е2=Е = 12ГПа ,Gl2 = G = 27,69ГЛа, #2 = //2l = 0,3. Результаты вычислений представлены на рис.2.3 - 2.10 в виде зависимостей к = f{x,Llb) и Т = F(%,L/b}. Выделим некоторые наиболее характерные закономерности. С изменением угла скоса увеличиваются коэффициенты устойчивости при сдвиге +k in (рис.2.7); критические усилия осевого сжатия Т (рис.2.4); критические усилия, поперечного сжатия Т (рис.2.6) и критические усилия сдвига (+)7 (рис.2.8). Одновременно заметно снижаются коэффициенты устойчивости при сжатии Щ (рис.2.3) и коэффициенты устойчивости при сдвиге —Щц (рис.2.9). Исследования также показали, что в длинных изотропных панелях {Lib 1) изменение угла скоса в достаточно большом диапазоне не оказывает заметного влияния на коэффициент устойчивости при поперечном сжатии к п (рис.2.5). Наиболее сложная зависимость существует между углом скоса и критическим усилием сдвига (-) (рис.25). "
Устойчивость трапециевидной панели при комбинированном нагружении
Т.е. проектирование по рассмотренной методике может привести как к необоснованному увеличению массы конструкции, так и потере устойчивости панели при расчетных нагрузках и возникновению прогибов в обшивке, соизмеримых с ее толщиной.
Рассмотрим теперь методику расчета критических усилий сдвига, заключающуюся в замене потока касательных усилий Т4 , заданного в косоугольной системе координат, потоком T в ортогональной (самолетной) системе. Такая замена неявно предполагает совпадение потоков по модулю, а угол между векторами сил Р. и Р считается величиной малой. Из соотношений (1.39) найдем зависимости для контурных усилий, эквивалентные нагружению ромбовидной панели потоком касательных усилий Т : Ту = 2 Т tgz, Т. = Т . Следовательно замена касательного усилия Т п потоком Т эквивалентна условию Тц = 2 Тху tgx х 0. При малых углах скоса такая замена оправдана, поскольку tgx да 0. Однако при X»0 усилия поперечного сжатия/растяжения будут соизмеримы с касательными усилиями Т4п и панель будет находиться в условиях комбинированного нагружения усилиями 17 ,7 1, меняющимися пропорционально одному параметру t = Txy \_2tgzA] ( =0,0-ьГ ). Для изотропной панели с размерами сторон = Ь = 1м, толщиной Л = 2 10 м и углом скоса х = 45 на рис.2.12 представлена поверхность устойчивости при комбинированном нагружении. В левом квадранте этой поверхности при Тц 0; Т4 0 определим уровень критических усилий \2Т , Т J, при которых панель теряет устойчивость [гт;-,? J = _-3,464; - l,732j = (-1,732)[_2; 1J. Следовательно критическое усилие сдвига в ортогональной системе координат равно Т = -1,732 кН 1м. Если на рассматриваемую косоугольную панель действует поток касательных усилий Т4 =±4,02% кН/м, равный критическому Тіц = Т іц, то замена Т{ч потоком Т = ±4,028 кН/м приводит к другому выводу: панель потеряла устойчивость (Т »Т ) и находится в условиях закритического деформирования. Необходимо либо снижать расчетную нагрузку на конструкцию, либо увеличивать толщину панели. Из соотношений (1.39) также следует, что направление действия поперечного усилия Тц зависит от направления действия касательного усилия Т. . При положительном усилии Т ц усилие Т будет растягивающим. И замена касательных усилий 00 потоком Т приведет к тому, что панель вообще не будет терять устойчивость, поскольку поперечное растяжение будет повышать общую устойчивость панели. Завершая исследования устойчивости изотропных ромбовидных панелей определим собственные формы, соответствующие минимальным собственным значениям. Для этого найденные значения коэффициентов устойчивости \к\ подставим в однородную систему линейных алгебраических уравнений (2.7) и определим собственный вектор л\. Для каждого случая нагружения собственный вектор должен удовлетворять решению соответствующей системы уравнений: I QJ А\ = Щ\л\ - при осевом сжатии; [ J Jfl = k \А \ - при поперечном сжатии; ь]й[4,=±Аи4,-присдвиге Решив соответствующую систему алгебраических уравнений относительно вектора I А\ И определив его норму А\ , остается найти собственную форму соответствующую минимальному собственному значению. На рис.2.13 - 2.16 представлены собственные формы ромбовидной панели с размерами сторон L = Ъ = 1 м, толщиной h - 2 10-3 м и углом скоса % = +45, соответствующие критическому усилию-осевого сжатия Т (рис.2.13); критическому усилию поперечного сжатия Т (рис.2.14); критическому усилию сдвига (+)TL (рис.2.15) и критическому усилию (-) (рис.2.16). Проведем далее исследования влияния угла скоса на критические усилия сжатия и сдвига композитных ромбовидных панелей. Примем в расчетах следующие исходные данные. Материал элементарного ортотропного слоя - углепластик УКН-5000: Е1 = ПОГПа,Е2 10177а, Gl2 = А,5ГПа, //21 = 0,26. Число слоев в пакете примем равным к = 20; толщина каждого слоя й,=3 10" .м; толщина панели к 0,006м; размеры сторон: Х = 1 и Ъм, Ь = \м. Углы армирования слоев +(р/- р меняются от 0 до 90 с шагом А р-5; направление армирования определяется углом у (рис.2.2) с дискретными значениями -45,-30,-15,0,+ 15, +30,+45,+60. Угол скоса панели х меняется от 0 до +45 с шагом A = +15. Углы армирования ортотропных слоев ± р задаются в общем случае относительно направления армирования. Исключив из схемы армирования угол скоса панели, определим углы армирования композитных слоев внутри панели: ц/ = (у х + Ф)/(/-%-ф)- Когда направление армирования будет совпадать с углом скоса (у = х) структуру армирования панели будем считать условно ортотропной. Диапазоны изменения углов у и (р позволяют учесть большинство вариантов армирования и создать как анизотропные, так и условно ортотропные структуры.
