Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор резонансных явлений в нелинейных системах 13
1.1. Резонансные явления при колебаниях нелинейных систем с близкими значениями собственных частот колебаний 13
1.2. Динамика текстильной нити 18
1.3. Нелинейная вибродиагностика конструкций 20
2. Нелинейные колебания нити с натяжным устройством 22
2.1. Уравнения колебаний нерастяжимой нити 23
2.2. Исследование колебаний нити в одномодовом приближении 28
2.3. Решение с учетом нескольких мод 45
2.4. Уравнение колебаний упругой нити 57
2.5. Упругая нить. Метод решения и результаты численного моделирования 60
2.6. Динамика нити в баллоне вращения 68
Выводы 74
3. Пространственные нелинейные колебания стержня с близкими значениями собственных частот изгибных колебаний в ортогональных плоскостях 76
3.1. Уравнения пространственных нелинейных колебаний стержня. 76
3.2. Свободные колебания 84
3.3. Вынужденные колебания без учета диссипации 87
3.3.1. Колебания равножесткого стержня 91
3.3.2. Нагружение в плоскости большей изгибной жесткости 95
3.3.3. Нагружение в плоскости меньшей изгибной жесткости 102
3.4. Вынужденные колебания системы с диссипацией 105
3.4.1. Нагружение в плоскости большей изгибной жесткости 106
3.4.2. Нагружение в плоскости меньшей изгибной жесткости 113
3.4.3. Колебания стержня под действием нагрузки под углом я74
к главным осям инерции сечения 118
3.5. Супергармонические колебания 125
Выводы 130
4. Пространственные нелинейные колебания гидроцилиндра выдвижения башни автомобильного кранакст-7 132
4.1. Башенно-стреловое оборудование крана КСТ-7 132
4.2 Расчет собственных частот колебаний гидроцилиндра 137
4.3. Анализ вибраций башенно-стрелового оборудования 140
Выводы 146
5. Вибрационный контроль вальцовочных соединений . 147
5.1. Колебания стержня с нелинейными опорами Постановка задачи 147
5.2 Исследование колебаний стержня в одномодовом приближении 151
5.3. Экспериментальный стенд для вибрационных испытаний 156
5.4 Анализ вынужденных колебаний в плоскости 158
5.5 Анализ вынужденных пространственных колебаний 162
Выводы 169
6. Нелинейные изгибные колебания шнека бурильной машины МРК-800 170
6.1. Бурильная машина МРК-800 170
6.2. Расчет собственных частот колебаний пшека бурильной машины 173
6.3. Уравнения колебаний стержня во вращающейся системе координат 178
6.4. Свободные колебания 183
6.5. Вынужденные колебания 190
Выводы 199
Основные результаты и выводы 201
Список литературы
- Динамика текстильной нити
- Решение с учетом нескольких мод
- Нагружение в плоскости меньшей изгибной жесткости
- Анализ вибраций башенно-стрелового оборудования
Введение к работе
В диссертации рассмотрены вопросы, связанные с исследованием резонансных явлений при пространственных колебаниях нелинейных механических систем с близкими значениями собственных частот колебаний в двух ортогональных плоскостях.
Актуальность темы диссертации. В современных условиях возрастает сложность проектируемых технических объектов, совершенствуются методы их расчета при сложных динамических режимах нагружения. Использование высокопроизводительных машин приводит к увеличению амплитуд колебаний и расширению спектра вибрационных нагрузок. Интенсификация колебаний может привести к полной расстройке и отказу динамической системы, с другой стороны, колебания с большими амплитудами являются рабочим режимом большого числа современных машин. Для изучения этих явлений необходимо применять методы нелинейной теории колебаний.
Для решения большого ряда технических проблем представляет интерес исследование нелинейных резонансных явлений в механических системах при воздействии внешних периодических нагрузок. Для реализации подобных явлений необходимо выполнение определенных соотношений между частотами собственных колебаний нелинейно-связанных между собой парциальных систем либо между собственными частотами и частотой внешнего возбуждения. В этих условиях создаются предпосылки для перераспределения энергии между различными обобщенными координатами системы, вследствие чего могут возбуждаться колебания по тем формам и в тех направлениях, по которым непосредственно не действуют внешние возмущающие нагрузки.
Внутренним свойством таких колебательных систем является скачкообразное изменение их поведения при непрерывном изменении внешних условий. Так, струна или стержень под действием вибрационной нагрузки, действующей в одной плоскости, могут совершать как плоские, так и пространственные колебания в зависимости от значений параметров задачи. Для различных режимов движения характерны качественно различные поля напряжений и соответственно различные прочностные характеристики. Поэтому актуальной проблемой является создание математических моделей нелинейных систем и нахождение всех существующих решений.
Целью работы является выявление и практическое использование новых резонансных явлений в системах с близкими значениями собственных частот колебаний. Рассматриваются нелинейные пространственные колебания нити с натяжным устройством и пространственные колебания стержня с неподвижными в продольном направлении опорами и близкими значениями собственных частот изгибных колебаний в разных плоскостях.
Для достижения этой цели были поставлены следующие основные задачи:
- составление математической модели рассматриваемых задач в виде системы дифференциальных уравнений и граничных условий;
- решение полученных уравнений для одномодового приближения методом возмущений в сочетании с методом усреднения. Для ряда случаев, в частности при отсутствии диссипации, это решение может быть получено в аналитическом виде;
- разработка и программная реализация численного метода решения приведенной системы нелинейных уравнений на основе метода продолжения решения по параметру;
- исследование устойчивости полученных решений на основе второго метода Ляпунова;
- разработка и программная реализация численного метода решения систем дифференциальных уравнений с произвольными, в том числе нелинейными, граничными условиями на основе методов Бубнова–Галеркина и продолжения решения по параметру.
Методы исследования и достоверность полученных результатов. В качестве основных методов исследования в диссертационной работе применялись методы, принятые в теории нелинейных колебаний. В одномодовом приближении решения получены на основе методов возмущений и усреднения, решение с учетом нескольких форм колебаний получено методом Бубнова–Галеркина. В отдельных случаях получено аналитическое решение задачи. Для численного построения амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик использовался метод продолжения решения по параметру. Исследование устойчивости полученных решений выполнено на основе второго метода Ляпунова с использованием QR алгоритма.
Достоверность научных результатов подтверждается корректным использованием математического аппарата, адекватного решаемым задачам, удовлетворительным совпадением теоретических и экспериментальных результатов, опытом практического использования разработок в производственной и научной областях.
Основные результаты и их научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
- Сформулирована краевая задача, описывающая динамическое поведение нити с натяжным устройством. При учете упругих свойств нити одно из граничных условий является нелинейным.
- Получено решение задачи о свободных колебаниях нерастяжимой нити. Установлено, что система имеет мягкую нелинейность, и наряду с двумя плоскими формами колебаний в двух ортогональных плоскостях, существуют две пространственные формы колебаний, соответствующие вращению точек нити по окружности.
- Решена задача о вынужденных колебаниях нити под действием кинематического возбуждения в окрестности главного резонанса. Для одномодового приближения и отсутствия диссипации решение получено в аналитическом виде. Установлено, что плоская форма колебаний нити устойчива при малых амплитудах, в области резонанса движение нити происходит по пространственной форме колебаний.
- Эта же задача решена с учетом нескольких форм колебаний в двух ортогональных плоскостях. Результаты качественно совпадают с результатами, полученными с учетом одной формы. В резонансной области движение нити происходит по одной из пространственных форм колебаний. При этом значительно уменьшается сила натяжения нити, что снижает вероятность ее обрыва.
- Получено решение задачи о колебаниях стержня с неподвижными в продольном направлении опорами и близкими значениями осевых моментов инерции сечения. В плоской постановке такая задача является классической. Для свободных колебаний обнаружены две формы плоских колебаний во взаимно ортогональных плоскостях и две пространственные формы, соответствующие движению точек средней линии стержня по эллипсу в противоположных направлениях. Пространственные формы колебаний реализуются только при превышении некоторого порогового значения амплитуд.
- При исследовании вынужденных колебаний стержня, наряду с существованием пространственной формы движения, выявлены ранее неизвестные резонансные явления. При возбуждении колебаний в плоскости большей изгибной жесткости плоская форма движения неустойчива только в определенном диапазоне частот. Максимальные амплитуды реализуются именно на плоской форме колебаний, причем этот участок амплитудно-частотной характеристики изолирован и реализуется только при наличии внешних возмущений. При определенных значениях параметров задачи изолированной является пространственная форма колебаний.
- Похожие резонансные явления выявлены и для других случаев возбуждения колебаний. В некоторых диапазонах частот возможно одновременное существование до пяти устойчивых режимов колебаний стержня.
- Рассмотрен вопрос практического применения полученных результатов на примере задачи вибрационного контроля вальцовочных соединений энергетического оборудования и динамических расчетов гидроцилиндра выдвижения башни автомобильного подъемного крана КСТ-7 и шнека бурильной машины МРК-800.
Научные результаты, выносимые на защиту:
- уравнения пространственных нелинейных колебаний нити и формулировка краевой задачи динамики нити с натяжным устройством;
- аналитическое и численное решение, полученное для нерастяжимой нити в одномодовом приближении, и анализ резонансных явлений, проявляющихся в неустойчивости плоской формы колебаний и существовании устойчивых пространственных форм колебаний нити;
- численное решение задачи о колебаниях нерастяжимой и упругой нити, полученное с учетом нескольких форм колебаний и позволяющее определять силу натяжения нити;
- численное и аналитическое решение задачи об изгибных колебаниях стержня с близкими значениями собственных частот колебаний в ортогональных плоскостях и ранее неизвестные резонансные явления, заключающиеся в возможности существования нескольких плоских и пространственных форм движения в области резонансов;
- постановка и решение задачи о колебаниях стержня с нелинейными опорами и ее практическое применение для нелинейной диагностики вальцовочных соединений теплообменных аппаратов;
- исследование задачи о колебаниях стержня, вращающегося вокруг своей оси, и влияние угловой скорости на взаимодействие форм колебаний во взаимно ортогональных плоскостях.
Научная и практическая значимость работы.
Полученные результаты вносят вклад в развитие нелинейной теории колебаний систем с близкими значениями собственных частот колебаний в двух ортогональных плоскостях. Выявлены новые резонансные явления в таких системах, в ряде случаев удалось строго установить их характеристики и области существования.
Практическое приложение полученные результаты находят в исследованиях различных технологических процессов текстильной промышленности, связанных с перемоткой нити. Предложенные алгоритмы расчетов позволяют учесть возможные резонансные явления и избежать чрезмерной вытяжки нити и ее обрывов на этапе производства.
Результаты исследования колебания стержня с близкими значениями частот изгибных колебаний использовались при проектировании автомобильного подъемного крана КСТ-7, в частности при расчете гидроцилиндра выдвижения башни. Установлено, что небольшие изменения конструкции крепления гидроцилиндра могут приводить к качественному изменению режима вынужденных колебаний и, следовательно, значительному увеличению амплитуд напряжений и перемещений.
Решение задачи о колебаниях стержня с нелинейными опорами использовано для диагностики технического состояния вальцовочных соединений теплообменных установок. Полученные решения задачи об изгибных колебаниях стержня, вращающегося вокруг продольной оси, позволило увеличить предельную глубину бурения бурильной машины МРК-800.
Результаты проведенных научных исследований внедрены на предприятиях г. Иваново: ОАО ИвНИИ Электропривод, ОАО «Ивэнергомаш», МП «Ивгортеплоэнерго» (акты внедрения прилагаются).
Научно-методические результаты, полученные в диссертационной работе, используются в учебном процессе Ивановского государственного энергетического университета при чтении лекций студентам и аспирантам по дисциплинам «Устойчивость и управление движением», а также при выполнении курсовых и дипломных проектов.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на Международной научно-технической конференции «Вибрационные машины и технологии», Курск, 1997; Международной научно-технической конференции «Современные наукоемкие технологии текстильной промышленности», Прогресс-2000, Иваново, 2000; Международной научно-технической конференции «Состояние и перспективы развития энерготехнологий» (III-ХII Бенардосовские Чтения), Иваново, 1989-2007; межвузовской научно-технической конференции «Информационная среда ВУЗа», Иваново, 2000; 1-й региональной научно-практической конференции «Наука. Экономика. Общество», Воскресенск, филиал МГОУ, 2006; 9th conference on dynamical systems. Theory and applications. Lodz, 2007, Poland; научно-технической конференции «Вибрация-2008. Вибрационные машины и технологии», Курск, 2008; 9th international conference «Dynamics of rigid and deformable bodies», Usti nad Labem, Czesh republic, 2008; «Проблемы машиноведения», конференции посвященной 70-летию Института машиноведения, Москва, 2008.; Международной научной конференции по механике. Пятые Поляховские чтения. Санкт-Петербург, 2009.; «Вибрация 2010. Управляемые вибрационные технологии и машины», Курск, 2010; на семинаре лаборатории механики управляемых систем Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, 2010.
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано: статей в центральных научных рецензируемых изданиях, входящих в «Перечень периодических научных и научно-технических изданий, выпускаемых в Российской Федерации, в которых рекомендуется публикация основных результатов диссертации на соискание ученой степени доктора наук» – 14; статей в журналах, сборниках трудов Международных, Всероссийских и региональных научно-технических конференций – 27.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из 6 глав, основных результатов и выводов, списка используемых источников из 177 наименований и приложений, содержит 227 страниц текста, 98 рисунков.
Динамика текстильной нити
Из всех задач нелинейной динамики в отдельную группу можно выделить задачи исследования нелинейных резонансных явлений, обусловленных наличием в системе нелинейных взаимодействий между формами колебаний. Исходной предпосылкой для их реализации является выполнение определенных резонансных соотношений между частотами собственных колебаний парциальных систем. Для таких систем характерными особенностями являются неоднозначность решений, срывы амплитуд в резонансной зоне, затягивание колебаний по частоте и другие нелинейные эффекты.
При решении многих прикладных задач в качестве расчетной модели используется твердое тело либо система твердых тел под действием системы периодических сил. Колебания такой системы в пространстве описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, содержащей различные нелинейные связи между обобщенными координатами системы. При выполнении определенных условий возможно перераспределение энергии колебаний между обобщенными координатами, и колебания тел могут иметь совершенно разные закономерности, в зависимости от того, реализуется этот механизм перераспределения или нет. В монографии Р.Ф. Ганиева и В.О. Кононенко [33] рассматриваются колебания твердого тела под действием периодической нагрузки, приложенной к телу в направлении одной из главных координат. Установлены соотношения частот, при которых возможны резонансные состояния системы, которые подразделяются на внешние и внутренние резонансы. Резонансы, обусловленные выполнением некоторых соотношений между собственными частотами системы и частотами внешних нагрузок, называются внешними резонансами, а резонансы, обусловленные лишь выполнением некоторых соотношений между собственными частотами системы - внутренними резонансами. В области пространственной неустойчивости твердое тело совершает трехмерные почти-периодические резонансные пространственные движения.
В работах Л.Д. Акуленко с соавторами [3-6], а также в [153,169,172], исследована задача о пространственных колебаниях струны с учетом геометрической нелинейности, обусловленной изменением длины при отсутствии осевых смещений на опорах. Для такой модели существует взаимосвязь между колебаниями струны в различных направлениях. Так, в случае свободных колебаний, точки струны движутся по эллипсу, оси которого совершают вращательное движение. Теоретические и экспериментальные исследования вынужденных колебаний под действием силы фиксированного направления показывают, что на определенных частотах в плоскости ортогональной направлению силы также возникают колебания, и результирующее движение точек струны происходит по эллипсу. При приближении к области резонанса с увеличением частоты наблюдается увеличение амплитуды плоских колебаний, затем довольно резко возникают пространственные колебания, которые при дальнейшем росте частоты становятся поляризованными практически по кругу. Затем происходит срыв колебаний, характерный для нелинейных систем с жесткой упругой характеристикой, и в дальнейшем наблюдаются только плоские колебания малой амплитуды.
Плоские колебания балки с неподвижными в продольном направлении опорами исследовались Я.Г. Пановко [113], Г.Каудерером [48], Е.Г. Голоскоковым. и А.П. Филипповым [36]. В уравнениях движения стержня используется гипотеза Кирхгофа, согласно которой продольные колебания стержня не учитываются. При изгибе балки возникают продольные реакции опор, вызывающие растяжение балки. В монографии Я.Г. Пановко [113] растягивающее усилие называется цепным усилием. Оно оказывает существенное влияние на частоты изгибных колебаний, а поправка к частоте становится значительной, когда амплитуда колебаний соизмерима с радиусом инерции поперечного сечения. Стержень с неподвижными в продольном направлении опорами является расчетной схемой для многих инженерных объектов. Так при динамическом расчете элементов трубопроводов и гидроцилиндров рассматривается стержень осесимметричного поперечного сечения. В этом случае следует ожидать взаимодействия форм колебаний в двух ортогональных направлениях. Кроме того, в силу конструктивных особенностей, либо технологических отклонений собственные частоты колебаний в ортогональных направлениях могут быть различными.
Взаимодействие различных форм изгибно-крутильных колебаний наблюдается в задаче о колебаниях стержня, вращающегося относительно одной из опор [2,158]. Эта задача является актуальной при расчете вращающихся лопастей несущего винта вертолетов.
Еще одним классом задач, в которых наблюдается взаимовлияние различных форм колебаний, являются нелинейные колебания оболочек [58]. Для идеальной цилиндрической оболочки колебания по сопряженным (сдвинутым по фазе в окружном направлении) формам равновероятны и соответствуют одной и той же частоте собственных колебаний. При учете геометрической нелинейности происходит взаимосвязь колебаний по сопряженным формам. Благодаря нелинейным связям обобщенных координат, характеризующих сопряженные формы, одночастотные вынужденные колебания в резонансных зонах могут быть неустойчивыми. При этом наблюдается уменьшение интенсивности вынужденных колебаний по форме, возбуждаемой внешней периодической силой, и возникновение колебаний по другим формам. В результате энергообмена между сопряженными формами могут появиться качественно новые виды колебательных движений оболочки, в частности, эффект бегущей волны.
Решение с учетом нескольких мод
Решения 1 и 2 описывают зависимость амплитуды от частоты свободных колебаний нити в плоскостях Oxz, Оху, представленную на рис. 2.2 кривой 1. Третье решение представляет амплитудно-частотную зависимость пространственных колебаний нити, соответствующую движению точек средней линии по окружности в плоскости yz. На рис. 2.2 третьему решению соответствует кривая 2.
Таким образом, в зависимости от начальных условий свободные колебания нити - это либо независимые между собой колебания во взаимно ортогональных плоскостях, либо к ним добавляется еще и пространственная форма движения с третьей частотой колебаний. В общем случае в результирующем движении присутствуют две гармоники с близкими частотами.
Плоские формы движения могут быть получены вдоль любой оси, а вращательные движения отличаются вращением в различных направлениях. Свободные колебания нити условно можно представить в виде суммы вращательных движений и двух плоских вдоль осей у и z. Результирующее движение точек нити происходит по эллипсу, расположение осей которого зависит от начальных условий.
Вынужденные колебания без диссипации. Перейдем к рассмотрению установившихся вынужденных колебаний нити. Рассмотрим практически важный случай колебаний нити при движении правого конца нити в одной плоскости, что происходит при наматывании или сматывании нити с катушки." Введем дополнительное предположение о наличии малой составляющей перемещения в ортогональном направлении h2 «hx, что соответствует, например, неидеальной форме катушки. Положим вх = 0, в2 = 7112 „ в этом случае правый конец нити описывает эллипс в плоскости yz.
Решения задачи существуют при значениях фазовых добавок ах = 0,7г, а2 = ±п / 2. В этом случае из первых двух уравнений следует ak = const, к = 1,2, а два последних принимают вид ,3 2 1 2 -г К
Варьируя переменную ах либо а2, из первого уравнения определяем вторую амплитуду как корень приведенного кубического уравнения, после чего второе уравнение (2.16) определяет амплитудно-частотные характеристики системы. Соответственно каждому значению ах соответствует максимум три корня а2 и шесть значений частотной расстройки Я.
Для исследования устойчивости полученных решений на основе второго метода Ляпунова рассмотрим некоторое возмущенное решение системы уравнений (2.13) г (t) = r(t) + Ar(t)P r = (al,a2,al,a2)T.
После подстановки в систему (2.13) и линеаризации получаем уравнения возмущенного движения первого приближения Ar = GAr. Исследование устойчивости решений сводится к нахождению собственных значений матрицы G, которая при отсутствии диссипации состоит из четырех блоков размерностью 2x2, причем блоки Gn и Gn нулевые, а остальные два имеют вид Gu= G21= yaxa2 + 4hx/ж - yaxa\
Согласно теоремам об устойчивости по первому приближению, знак действительной части всех собственных значений матрицы G позволяет сделать вывод об устойчивости решения. Поскольку матрица G содержит нули на главной диагонали, ее собственные значения определяются как корни биквадратного уравнения Л4 +А0А2+ det(G12 ) det(G21) = 0, где А =-(2зз2+2442+іззі+і44і)- Условие устойчивости решения имеет вид А0 0,0 4 det(G12) det(G21) А$.
Решения (2.16) представлены на рис. 2.3, 2.4 в виде амплитудно-частотных зависимостей ах(Х), а2(Л) для следующих значений амплитуд возбуждения: hx =0,01,/г2 =0,001. Жирными линиями показаны устойчивые решения, пунктирными линиями - скелетные кривые. Sx соответствует плоским формам колебаний, S2 - пространственной форме. Кривые 1 построены для значений фаз ах = тс, а2 = —тс 12, при больших значениях частотной расстройки движения точек нити происходят практически в плоскости перемещения правого края (а21ах «/ /hx), переходящих в пространственные движения с уменьшением частоты. В этом случае точки движутся по эллипсу в направлении, совпадающем с движением вектора нагрузки.
Нагружение в плоскости меньшей изгибной жесткости
Решение системы (2.21) будет точно удовлетворять граничным условиям краевой задачи и удовлетворять уравнениям движения нити в смысле Бубнова-Галеркина.
Представим искомые Г-периодические решения в виде отрезка ряда Фурье, и из условия ортогональности к базисным функциям по времени получим систему нелинейных алгебраических уравнений (2.22) относительно частоты и амплитуд AJsn. Первый индекс амплитуды соответствует номеру переменной (и, v или w), второй - базисной функции по координате, третий -базисной функции по времени. Дальнейший алгоритм метода продолжения решения по параметру совпадает с алгоритмом, представленным в разделе 2.3.
Вычисления проводились с учетом первой и третьей форм колебаний в разложении (2.31) для функций v и w (N=3) и шести членов ряда для функции и (М=б). В отрезке ряда Фурье учитывались две нечетные гармоники для поперечных перемещений нити, а для продольных перемещений - постоянная составляющая и три четные гармоники. Значение параметра d принималось 103, что соответствует продольной деформации нити 1(Г3 при растяжении силой Т0.
Рассмотрим сначала случай свободных колебаний нити, для чего в уравнениях (2.30) достаточно положить Hx(t) = H2(i) = 0 и /3 = 0. Начиная процесс вычислений с первой собственной частоты // = 1 и варьируя амплитуду А2П перемещения v(x,t) при первой моде и функции sin(//f), описанный алгоритм позволяет построить амплитудно-частотные зависимости. При заданных граничных условиях упругая нить имеет мягкую, нелинейность, с увеличением амплитуд колебаний частота уменьшается.
Из одной точки на оси абсцисс // = 1 выходят несколько решений, представленных на рис. 2.13 в виде зависимости амплитуды, первой гармоники при первой моде для переменной v. Кривая S соответствует плоской форме колебаний, для которой все амплитуды переменной w(x,t) равны нулю. Кривая S2 соответствует, форме движения- точек нити по окружности, для w(x,t) отличны от нуля амплитуды при cos(/?/tf), которые совпадают с амплитудами для v(x,t) при sin(p0). Значения остальных учитываемых в решении членов ряда становятся заметными только при очень больших амплитудах движения нити. Построение программой того или иного решения зависит от выбранного соотношения амплитуд в начальном приближении, при этом плоские, формы движения могут быть получены вдоль любой оси, а вращательные движения отличаются вращением в различных направлениях.
Для вращательной формы движения нити функция продольного перемещения и от времени не зависит и длина нити остается постоянной, для плоской формы продольное движение происходит по второй гармонике вокруг некоторого среднего значения. В отличие от нерастяжимой нити, амплитуда пространственных колебаний упругой нити несколько больше, чем амплитуда плоских колебаний. Соотношение между амплитудами плоских и пространственных колебаний определяется параметром d, то есть продольной упругостью нити и силой натяжения.
Рассмотрим вынужденные колебания нити в, предположении, что точка х=1 движется вдоль фиксированной оси Нх (t) = hY sin(/jt), H2 (0 = h2 sin(//f). Амплитуды кинематического возбуждения /Zj=0,01, /22=10-4, коэффициент диссипации /? = 0,015. Решение задачи в предположении о нерастяжимости нити рассматривалось в разделе 2.3, амплитудно-частотные характеристики и формы колебаний приведены на рис.2.12-2.18.
На рис. 2.21 представлены АЧХ упругой нити для амплитуд первой гармоники при sin(Ttx) функций v (кривые 1,2) и w (кривая 3). Кривая 1 соответствует плоским колебаниям, ее построение начиналось с достаточно малой частоты и в процессе продолжения решения по различным параметрам обнаружены две точки ветвления решений А1,В1 и А2,В2. Принимая одну из этих точек в качестве начального приближения, построены кривые 2 и 3. Это решение соответствует пространственным колебаниям, при которых точки нити движутся по эллипсу. Для него существует еще одно решение, соответствующее вращению нити в противоположном направлении. Кривые соответствующие плоским и пространственным движениям нити огибают соответствующую скелетную кривую.
Устойчивые участки амплитудно-частотных характеристик нерастяжимой и упругой нити практически совпадают. Различное число точек ветвления решений в области неустойчивых решений объясняется различным числом членов ряда, удерживаемых в решении.
Анализ вибраций башенно-стрелового оборудования
Опыт эксплуатации теплообменных установок в объектах энергетики; химической и газовой промышленности свидетельствует о необходимости; совершенствования методов контроля вальцовочных соединений: Разгерметизация конструкций приводит к нарушениям технологии производства: и аварийным последствиям: В данной главе рассматривается метод определения технического состояния вальцовочных соединений конструкции на основе анализа нелинейных колебаний стержня с неидеальными опорами:
Материал? пятой главы опубликован? в статье [56] написанной совместно с Кораблевым С.Є. и Шапиным В:И; Автором предложена модель трубы бойлерной установки, в которой дефект вальцовочного соединения моделируется нелинейностью опор и методика идентификации параметров модели по экспериментальным амплитудно-частотным характеристикам. В статье автора [77] получено решение задачи о колебаниях балки с нелинейными опорами:
На рис. 5.1 и 5.2. представлены фотографии бойлерной установки котельного оборудования с горизонтальным расположением пакета, состоящего из 85 латунных труб длиной 1000 мм, с наружным и внутренним диаметром соответственно 16 и 14 мм. Диаметр трубной решетки по фланцу равен 350 мм. Фотография стандартной механической вальцовки, с помощью которой производится крепление труб в трубной решетке, приведена на рис.
Несовершенство геометрии посадочного отверстия трубной решетки достаточно легко контролируется в условиях заводской сборки нового оборудования. Однако при перекомпановке трубной системы такой контроль затруднен вследствие отсутствия эффективных технических средств демонтажа отработанных труб без нарушения поверхности сопряжения трубных решеток.
Отмеченные дефекты оказывают решающее влияние на надежность оборудования. Отсутствие эффективного контроля стыка приводит к разгерметизации сборки вследствие неплотности соединения или появления трещины усталостной природы в совокупности со щелевой коррозией.
В некоторых экспериментальных исследованиях пакета труб водоподогревателей наблюдается нелинейность мягкого типа, несмотря на отсутствие продольного смешения в опорах. Это явление объясняется тем, что идеальные шарнирные опоры или жесткие заделки не являются достаточно хорошими моделями вальцовочного соединения.
В качестве расчетной модели трубы с вальцовочными соединениями в двух трубных решетках принимаем стержень кольцевого сечения, имеющий две неподвижные в продольном направлении опоры. Ось х направлена вдоль оси стержня. Перемещения! в опорах вдоль осей у и z отсутствуют, а зависимость между углами поворота ц у, q z и изгибающими моментами Му,
Дефект вальцовочного соединения моделируется нелинейностью опор и различными значениями угловых жесткостей в ортогональных направлениях.
Пусть на стержень действуют внешние гармонические нагрузки во взаимно перпендикулярных направлениях #v(x,0 и qw(x,t), диссипацию учитываем по моделям внутреннего и внешнего трения. Колебания трубы при условии неподвижности опор описываются уравнениями
Здесь параметры жесткости опоры отнесены к изгибной жесткости стержня EJZ. На конце х = 0 граничные условия имеют аналогичный вид, только слагаемые, содержащие коэффициенты жесткости опор, имеют знак минус.
Имеем краевую задачу, состоящую из нелинейных уравнений и нелинейных граничных условий. Традиционным методом решения аналогичных задач с линейными граничными условиями является метод Бубнова-Галеркина. Для краевой задачи (5.1), (5.2) непосредственное применение этого метода невозможно, поскольку нельзя подобрать базисные функции, удовлетворяющие нелинейным граничным условиям.
Исследование колебаний стержня в одномодовом приближении Рассмотрим решение задачи в простейшем случае. Пусть на опоре х = 0 выполняются условия жесткого защемления. Из решения линейной задачи получаем первые формы колебаний (х),И\(х) в плоскостяхху иxz. Для того чтобы удовлетворялись нелинейные граничные условия (5.2) в точке х=/, введем в решение две дополнительные базисные функции
