Содержание к диссертации
Введение
1 Вариационная задача о бифуркации с ограничениями 16
1.1 Элементы теории бифуркации 16
1.2 Схема расщепления Ляпунова - Шмидта 20
1.3 Задача о бифуркации со связью 22
2 Функциональные пространства и примеры ограничений 28
2.1 Формулы интегрирования по частям 28
2.2 Функциональные пространства 32
2.3 Примеры ограничений 56
3 Краевые задачи теории бифуркации с ограничениями 72
3.1 Вариационная задача о бифуркации на плоской кривой 72
3.2 Вариационная задача о бифуркации в плоской области 84
3.3 Вариационная задача о бифуркации на двухмерных поверхностях в трёхмерном пространстве 93
Литература 104
- Схема расщепления Ляпунова - Шмидта
- Функциональные пространства
- Примеры ограничений
- Вариационная задача о бифуркации в плоской области
Введение к работе
Классическая задача о бифуркации имеет следующую постановку. В некоторой окрестности U нуля банахова пространства X и для всех значений числового параметра Л задается отображение
/ : U х R —у Y ,
где Y- некоторое банахово пространство. Считается, что
/[0,А] = 0
для всех А. Точкой бифуркации называется такое число Ао, что в любой сколь угодно малой окрестности точки (0, Ао) пространства IxM существует решение задачи
/[*,А]=0 (1)
с х фО.
Для дифференцируемого отображения / необходимым условием бифуркации является требование
оператор /г[О, А] не является изоморфизмом пространств X и Y. (2)
Классический пример
X=Y = R\ x = {Xl,x2), f[x,X] = (h[x,X],f2[x,X]),
fi[x, A] = Ажі - ж!, h[x, A] = \xi + x\
показывает, что необходимое условие не является достаточным: А = 0 удовлетворяет необходимому условию, но единственным решением задачи f[x, А] = 0 является х = 0.
Введение З
Развитие теории бифуркации нелинейных уравнений диктуется, в основном, нуждами прикладных задач. Многочисленные примеры таких задач содержатся, например в сборнике [20].
Одной из первых работ по теории бифуркации следует считать работу A.M. Ляпунова [8], посвященную фигурам равновесия вращающейся тяжелой жидкости и работу Е. Шмидта [23] о бифуркации для нелинейного интегрального уравнения. В данных работах рассматривалось нелинейное интегральное уравнение, в котором ответвляющееся решение искалось в виде некоторого ряда. Техника такого разложения в конечномерном пространстве восходит к работе Ньютона [10] о теореме о неявных функциях при вырождении матрицы Якоби. Такой подход к задаче бифуркации естественно назвать подходом, основанным на дифференциальных свойствах отображения /. Его классические результаты прекрасно изложены в [2]. В случае несильного вырождения оператора /[#, До] вместо диаграммы Ньютона для получения достаточного условия бифуркации естественно применять лемму Морса. Данный подход изложен, например, в [9]. Классификация возможных вариантов бифуркации для отображений "общего положения", основанная на теории катостроф, дана в [15].
Подход, основанный на дифференциальных свойствах отображения /, обладает существенным недостатком. При его применении к конкретным задачам требуется слишком хорошо знать свойства оператора /х[0, До]. Исключением является случай, когда ядро оператора /г[0, До] одномерно, а его образ - замкнутое подпространство единичной коразмерности. В этом случае достаточное условие бифуркации имеет простой вид и, как правило, допускает проверку. Однако простота собственного числа - вещь исключительная и выполняется всегда лишь для задачи Штурма-Лиувилля для оператора второго порядка с определенными граничными условиями. Тем не менее, с помощью этого метода удается разобраться с бифуркацией даже в ряде нестандартных задач, например, в задачах в переменных областях [21, 22] и в задачах со свободной поверхностью [14, 16].
При наличии дополнительной информации об отображении / можно значительно ослабить требование на плохо проверяемые свойства оператора fx[0, До]. Если для /
Введение
справедливо представление
f[x,X] = x + Xg[x], (3)
где g - компактное отображение, д[0] = 0, то к исследованию задачи обифуркации для отображения (3) применима теория степени [9]. Разумеется, для точки бифуркации Ао должно выполняться необходимое условие (2). Достаточным условием бифуркации является нечетность размерности ядра оператора /х[0, Л]. С теоретической точки зрения переход от простого собственного числа к собственному числу нечетной кратности -это определенный прогресс, однако его сложно использовать при исследовании задач о бифуркации для дифференциальных уравнений. Поэтому возникает естественный вопрос о выделении такого класса отображений /, для которого необходимое условие бифуркации (2) совпадает с достаточным. Оказывается, что таким классом являются потенциальные операторы
f[x,\}=G'[x]-\F'[x], (4)
где х Є Н, Н - гильбертово пространство, G, F - функционалы в пространстве Н. Оказывается, что при определенных ограничениях на функционалы G и F (они приведены в разделе 1.1) необходимые условия бифуркации для отображения (4) совпадают с достаточными. Данное утверждение доказано И.В. Скрыпником.
Вариационная природа задачи (1) позволяет получить ее решение с любой (не обязательно малой) нормой. Для этого задача (1) для оператора (4) сводится к задаче о нахождении критических точек для функционала G на множестве F[x] = а. При определенных ограничениях на свойства функционалов G и F (они приведены в разделе 1.1) к задаче о критических точках применима теория Люстерника - Шнирельмана [7, 18], позволяющая доказать существование счетного набора критических точек для каждого а. Задаче о бифуркации при таком подходе соответствуют малые значения параметра а.
Вариационный метод интенсивно развивался и успешно применялся при исследовании различных задач. Одним из его беспорных достижений следует считать анализ уравнений Кармана, описывающих процесс выпучивания упругих пластин (см., напри-
Введение 5
мер, работу М.С. Келлера в [20]).
Наряду с задачей (1) в приложениях часто встречается необходимость изучения бифуркации для задачи
/[х,Л] = 0, ФИ=0, (5)
где Ф - отображение пространства А" в банахово пространство Z, Ф[0] = 0. Такую задачу будем называть задачей о бифуркации с ограничением. Классическим примером такой задачи является задача о формах изгиба нерастяжимых упругих колец, исследованная И. Таджбахшем и Ф. Одехом в работе [24]. В этой работе равенство задавалось интегралом от некоторой функции от поля смещений и означало условие нерастяжимости кольца. В данной задаче интегральное ограничение Ф[х] = 0 скорее помогало, чем мешало исследованию задачи (5), поскольку оно автоматически учитывалось специальным выбором параметризации. Были и другие подобные задачи, однако систематического изучения задачи (5), позволяющего применять абстрактные результаты к исследованию прикладных задач, отсутствовали.
Целью предлагаемой диссертации является
выделение класса ограничений Ф интегрального и более общего типа, для которого к задаче (5) применим аналог теоремы Скрыпника,
реализация конкретных ограничений Ф из этого класса в пространствах Соболева в ограниченных областях и на поверхностях евклидова пространства,
исследование ряда интересных с точки зрения приложений задач о бифуркации для нелинейных эллиптических уравнений и систем в областях и на многообразиях с построенными ограничениями.
Ограничение (5) не единственное, встречающееся в задачах математичской физики. Другим классом ограничений является неравенство Ф[х] > 0. Это ограничение присутствует в "вариационных неравенствах"[6]. Исследование задач о бифуркации для такого ограничения проведено Е. Цайдлером [25].
Обратимся к содержанию диссертации. В главе 1 описываются различные подходы к теории бифуркации и дается их сравнение. Приводятся формулировки теорем Скрып-
Введение б
ника и Люстерника - Шнирельмана. Затем с помощью схемы расщепления Ляпунова -Шмидта (см., например, [2]) дается описание множества всех решений уранения
Ф[ж]=0, х&Х, \\х\\ <5 (6)
при достаточно малом 6. Устанавливается, что при определенных ограничениях это множество имеет структуру поверхности (см. [12]). Последнее означает, что
а) пространство X разлагается в прямую сумму подпространств Х\ и Х2
X = хх+х2
б) существует такое непрерывно дифференцируемое отображение г малой окрестности
нуля пространства Хх в малую окрестность нуля пространства Х2, что
гЩ = 0 , r'[0] = О
и множество всех решений задачи (6) имеет вид
х = u + r[u], и Є Хі, ||и|| < р.
После этого устанавливаются ограничения на свойства функционалов /, Q и отображение Ф, при наличии которых к функционалам
J[u] = G[u + r[u\], Q[u] = F[u + r[u]], «ЄІі, ((«И < p
применима теорема Скрыпника (теорема 1.3.1 ). Основным результатом главы является теорема 1.3.2. Приведём её формулировку.
Пусть X - гильбертово пространство, U С X - некоторая окрестность нуля этого пространства, G[x], F[x\, х U,- два функционала, удовлетворяющие следующим условиям
функционал G слабо непрерывен
функционал G непрерывно дифференцируем, его дифференциал G' удовлетворяет условию Липшица и
G'[x] = R(x) = Ах + N(x),
Введение 7
где А - линейный компактный самосопряженный оператор, а для отображения N(x) справедлива оценка
Нвдиедр, с>о, Р>1, хеи,
3) функционал F непрерывно дифференцируем и
F'[x] = S(x) = Вх + L(x),
где В - линейный ограниченный самосопряженный положительно определенный оператор, а для отображения справедлива оценка
ПОДИ < СЫЧ, \\Цх1) - Цх2)\\ < сімг1 + ЫГ'Пх, - х2\\,
С >0, q > 2, х, xu х2 Є U.
Пусть отображение Ф : U —У У, где Y - некоторое банахово пространство удовлетворяет условиям
Ф[0] = 0, кегФ'[0] = N ф {0}, 1тФ'[0] = Y,
существует такое банахово пространство Y\, Y С УЇ, что отображение Ф : U —> Yi слабо непрерывно.
Тогда число До ф 0 является точкой бифуркации для задачи
J'[u] - XQ'[u] = 0 (7)
в том и только том случае, если уравнение
(РАР - \0РВР)х = 0, (8)
где Р проектор в X на подпространство N, имеет ненулевое решение.
Отметим, что при dimF = к < сх> (в приложениях такая связь обычно задается интегралом от искомой функции) как правило, Y = Y\. При к = оо правильный выбор пространства Y\ существенно расширяет рамки применимости теоремы.
Введение 8
Вторая глава диссертации начинается с определения касательного к поверхности Г
градиента [4]
d-d 5і =— -пг(х)п>(х)—і * = 1,2,...,m, х Є Г,
где Г С Ш (т — 1) - мерная поверхность с нормалью n(rr), и касательного к кривой Г градиента
8і—тг{х)т3{х)-р—, і = 1,2,...,m, ж Є Г,
где Г С Шт - одномерная кривая с касательным векотором т(х). Исходя из нужд приложений и ради простоты выкладок, все дальнейшие построения проводятся при размерности m = 2 и m = 3.
Приводится формула интегрирования по частям на поверхности (её доказательства для замкнутой поверхности дано, например, в [3, 4], формулировка для многообразия с краем приведено в [1], доказательство можно найти в [13]) и получен ее аналог для кривой (формулы Френе и Дарбу взяты из [5]). Даны стандартные определения пространств С.Л. Соболева на поверхностях евклидова пространства, использующие разбиение единицы и переход к локальным координатам.
Основной материал второй главы разбит на две части. В первой части в ряде Соболевских пространств и их подпространств вводится норма, содержащая касательные градиенты и доказывается ее эквивалентность стандартной. Приведем список результатов (теоремы 2.2.1-2.2.10).
1) Пусть ficM2- ограниченная область, Г = 9Ае С3. Тогда величины
1М|2 = y*(|
г г г
и, <р, ф Є Wf (Г)
определяет норму в пространстве W22(r), эквивалентную стандартной. Аналогичные результаты справедливы для кривой Г С US3.
2) Пусть ficl2- ограниченная область, Г = 8Q Є С3. Тогда велчина
lull2
"ИІИ^ГГ) + llun|lw2QV иЄ^2(ГД2)і «т = (и,т), un = (u,n)
Введение
задает норму в пространстве Wf (Г,К.2), эквивалентную стандартной.
3) Пусть О С К2 - ограниченная область, Г = dQ Є С3. Тогда в гильбертовом
пространстве
Я0(О) = {и Є W}(ti), «|г Є И^2(Г,М2), и|Гі = 0} , Гг С Г
величина
«||2 = / aijki(x)ij{u)ki(u) dx +
П Г
где коэффициенты ацы Є Lcq удовлетворяют стандартным условиям симметрии и
положительной определенности, а
ґ . ч 1 , ди* диг. ^ = 2^+3^
задает норму в пространстве Я0(О), эквивалентную стандартной.
4) Пусть ограниченная область 11 С М3, 5 = <9Q Є С3. Тогда величина
||м||2 = [(\6{и\2 + \u\2)dS, и Є И^(5,Е3)
определяет норму в пространстве, W^S, Ж3) эквивалентную стандартной.
5) Пусть ограниченная область Q, С М3, S С 90 - открытое связное множество,
95 Є С3. Тогда в гильбертовых пространствах
Я0(5,К3) = {и Wl(S,R% u\r Q W22(r,M3), «|Гі = 0}, Г\ С Г,
Я(5) = {^Є^21(5),^|ГЄ^2(Г)} величины
N|2 = J а^И(х)5^5,ик dS + [ и\2 ds, и Є Я0(5, №3),
s г
IMP = f ^к1(х)6^п%{<рпк)dS + J\ 8і5і (HI2ds, <рє H{S)
s г
определяют соответственно нормы, эквивалентные стандартным.
Введение 10
Доказательство этих утверждений близко к доказательству теоремы об эквивалентных нормировках [19]. Выбор пространств диктуется последующими приложениями.
Во второй части главы 2 исследован ряд примеров отображенй Ф в описанных выше функциональных пространствах. Проверено выполнение требований теоремы 1.3.2. Все ограничения носят геометрический характер. Они касаются отображения
у(х) = х + и(х),
в которых функция и(х) подчинена тем или иным ограничением. Приведем список этих ограничений, не вдаваясь в излишные детали.
Пусть И СІ2- ограниченная область с достаточно гладкой границей Г, функция и(х) со значениями в Е2 принадлежит некоторому Соболевскому пространству. Класс отображений у(х), которые
оставляют кривую Г инвариантной: у(Г) С Г,
сохраняют площадь |2|: \U\ = |у(^)|,
сохраняют длину |Г|: |Г| = |у(Г)|,
имеет структуру поверхности в этом соболевском пространстве.
Пусть fi С I3- ограниченная область с гладкой границей 8Q, открытое связное множество S С dtt достаточной гладкой границей dS. Класс отображений у(х), которые
4) оставляют границу dS инвариантной на поверхности dQ: y(dS) С дії
имеет структуру поверхности в этом соболевском пространстве.
В главе 3 описывается ряд приложении теории Скрыпника, Люстерника - Шнирель-мана и теоремы 1.3.2 к конкретным задачам о бифуркации вариационного характера. Функционалы исследуемые в них, являются интегральными функционалами в Соболевских пространствах в областях и на поверхностях евклидова пространства. Их выбор обусловлен приложением к задачам теории упругости, поскольку исследуемые функционалы моделируют для ряда случаев функционалы энергию деформации. Для функционалов в соболевских пространствах на поверхностях и кривых использован беско-ординатый подход, наиболее удобный для предложений. Разобьём исследуемые задачи на три группы.
Введение 11
1) Вариационная задача теории бифуркации на плоской кривой.
Исследуемые в этом разделе функционалы близки к функционалам, возникшем в работе Таджбахша и Одеха о формах упругих колец. Остановимся сначала на задачах без ограничений.
Пусть ограниченная область О С Ш2 имеет достаточно гладкую границу Г. Для функции ір Є И7! (Г) определим функционалы
рЫ = / №М<рп)\2 ds , G[
г г
Функция q(u,x) предполагается гладкой и удовлетворяющей условиям
д(0,ж) = 0, до.-(0,аг)=0, хЄТ. (9)
Точка Ло является точкой бифуркации задачи
Ґ[ф\ - ХС[ф\ = 0, хеш
в том и только том случае, если задача
2 / 5i8i(ipn)8j8j(hn) ds — Xq і quiuj{0,x)n'n^(fhds = О
г г
имеет ненулевое решение (теорема 3.1.1).
Если данные задачи достаточно гладки, то решение уравнения бесконечно дифференцируемо (теорема 3.1.3).
Если функция q удовлетворяет дополнительным условиям
q(u,x)>0, qui(u,x)u' > 0, и^О, їЄГ,
q(-u,x) = q(u,x), qui(cu,x) =cp+1qui(u,x), p>0. (10)
то при каждом А задача имеет счётный набор решений (теорема 3.1.2). Аналогичные результаты справедливы для функционалов
F[tp] = (\&Мч>т)\2 ds , ОД = [ д{<рт, х) ds
Введение 12
и для функционалов
F[
г г
(теоремы 3.1.4, 3.1.5).
Перейдём к задачам с ограничениями. Рассмотрим задачу о бифуркации для функционалов (11) при дополнительном ограничение
у:Т—>Ш2, у(х) = х + и(х), (12)
обеспечивающее сохранение площади \Q\. Точка Л0 является точкой бифуркации для задачи (7) при таком ограничении в том и только том случае если система
/ (SiSjtpSjSjhi + iphi) ds — А I qui{ipT + фп7х)тгІіі ds = 0
г г
І (5і5іф8і5і}і2 + фНї) ds — А І qui(cpr + фп,х)пгїі2ds = О
г г
имеет неулевое решение (<>, ф) из пространства
Щ (Г) х {h Є Wi(T) : J hds = 0}
для всех (h\,hi) из этого пространства (теорема 3.1.6). Данная задача моделирует поведение упругого кольца в силовом поле, заполненного несжимаемой средой.
Аналогичные результаты получены для ограничения на отображение у, обеспечивающее сохранение длины кривой и инвариантность кривой (теоремы 3.1.7, 3.1.8).
Схема расщепления Ляпунова - Шмидта
Постановка задачи. Пусть X, Y— банаховы пространства, /— fc-раз (к 1) непрерывно дифференцируемое отображение некоторой окрестности нуля U пространства X в пространство Y. Будем считать, что Нас будет интересовать описание множества всех решений задачи при некотором достаточно малом р в том случае, когда отображение / (0) не осуществляет изоморфизм пространств X и Y, а образ отображения / (0) совпадает с пространством Y. Такое описание производится с помощью схемы расщепления Ляпунова - Шмидта. 2. Описание множества всех решений. Обозначим через Rf (0) образ оператора / (0), а через N его ядро. Тогда iV ф {0}— замкнутое линейное подпространство пространства X. Согласно предположению i?/ (0) = Y. Будем считать, что пространство X разлагается в прямую сумму: Глава 1. Вариационная задача о бифуркации с ограничениями 21 Лемма 1.2.1. При сделанных предположениях сушествуют такие положительные числа Si, S2, что множество всех решений задачи (1-10) записывается в виде: где и отображение шара Д (0) С N в шар В$2(0) С JV7, имеющее k непрерывных производных, причём Доказательство. Представим вектор х Є X в виде суммы и перепишем уравнение (1.10) следующим образом Для А;-раз непрерывно дифференцируемого отображения Ф, действующего из окрестности нуля U пространства N х N в пространство У, справедливы соотношения Покажем, что оператор ФХ2 (0,0) является изоморфизмом пространств N и Y. Действительно, І?ФЖ2 (0,0) = Rf (0) = Y. Если для векторов hi,h2 Є N выполняется равенство ФХ2(0,0)Лі = ФХ2(0,0)/«2 то hi — h2. Следовательно, существует обратный к оператору ФХ2(0,0) оператор Ф; (0,0), действующий из пространства Y в пространство N . Его ограниченность следует из теоремы Банаха о замкнутом графике. Применяя к задаче (1-12) теорему о неявной функции, придём к выводу, что множество всех решений задачи (1.12), удовлетворяющих дополнительному условию при достаточно малых Si,S2 0, задаётся равенством Глава 1. Вариационная задача о бифуркации с ограничениями 22 где и- k-раз непрерывно дифференцируемое отображение шара Bss (0) С N в шар Д52(0) = N причём ЦО) = 0, w (0) = 0. Итак, при сделанных предположениях, множество всех решений задачи (1.12) задаётся равенством 1.
Постановка задачи. В гильбертовом пространстве X рассмотрим задачу о бифуркации (1.7) при условии связи: где Ф : X —» Y и Y- банахово пространство. Предполагается, что Сформулируем два ограничения на отображение Ф. 1) Будем считать, что множество всех решений уравнения (1.14) имеет структуру поверхности в окрестности точки 0 Є Аг, то есть существует такое разложение пространства X в прямую сумму и такое fc-раз непрерывно дифференцируемое отображение г окрестности с радиусом S нуля пространства Х\ в окрестность с радиусом р = р{5) нуля пространства Х%, что множество всех решений задачи (1.14) будет представимо в виде: Глава J. Вариационная задача о бифуркации с ограничениями 23 причём Достаточные условия, при выполнении которых множество решений задачи (1.14) имеет структуру поверхности, приведены в лемме 1.2.1. 2) Предположим, что существует банахово пространство УЇ, такое, что К С її и отображение Ф : X — Y\ является слабо непрерывным. Определим функционалы J[u\, Q[u] следующим образом: соотвественно функционалам G и F. Производные имеют мысль производных функционалов G и F по касательным направлениям к многообразию х — и + г[и]. Предположим, что G [0] = F [0] = 0. Тогда для всех Л Є Ш. выполняется равенство Точка Л0 называется точкой бифуркации задачи если в пересечении любой сколь угодно малой окрестности U С X хШ точки (0, Д0) с поверхностью (1.15) существует решении задачи (1.16) сі/0. Будем считать, что функционалы G и F удовлетворяют условиям теоремы Скрып-ника 1), 2), 3) из раздела 1.4. Целью данного параграфа является доказательство справедливости этих условий для функционалов J и Q. 2. Аналог теоремы Скрыпника для задачи со связью. Теорема 1.3.1. Функционалы J и Q удовлетворяют условиям 1), 2), 3) при дополнительном условии q 2 раздела 1.4 в некоторой окрестности нуля U пространства Хъ Доказательство. 1) Сначало докажем, что функционал J слабо непрерывен. Проведём доказательство этого утверждения от противного. Пусть последовательность Uk Є Х\, «jt S, k = 1,2,..., Uk — u , но J[uk] не сходится к J[u]. Тогда существует такое є 0 и такая подпоследовательность (сохраним за ней прежнее обозначение) и/,., что Поскольку r[wfc] р, существует слабо сходящаяся подпоследовательность r[uy] — v, v Є Х-І и f р.
Из уравнения связи (1.14) следует, что Благодаря слабой непрерывности отображения Ф, как отображение из пространства X в пространство УІ5 имеем Так как множество всех решений задачи (1.18) имеет структуру поверхности, то Из последнего соотношения, слабой непрерывности функционала G и неравенства (1.17) записанного для к = к , при к — оо приходим к противоречию. 2) Исследуем гладкость функционала J. Дифференцируемость функционала J следует из дифференцируемое функционала G и дифференцируемое отображения г. Получим формулу для его дифференциала. Обозначим через Р ортопроектор пространства X в пространство Х\. Пусть u,h Є Х\ Тогда Глава 1. Вариационная задача о бифуркации с ограничениями 25 и, следовательно, Пользуясь тождеством (1.19), равенством (P = 1, неравенствами и тем, что дифференциал G удовлетворяет условию Липшица, докажем, что дифференциал «/ также удовлетворяет условию Липшица: замечаем, что Компактность оператора А\ следует из компактности оператора А и огранріченности ортопроекта Р. Оператор А\ является самосопряжённым поскольку А, ортопроектор Р- самосопряжённы и получим
Функциональные пространства
Пространство W%(Г). Пусть О, С М2 ограниченная область и Г её граница. Для кривой Г Є С , / 3 лежащей в пространстве IR2 введём пространства С(Г), W(r). Обозначим через р(х) функцию, совпадающую в некоторой малой окрестности U замкнутой кривой Г с растоянием от точки х до Г, взятое со знаком — при х Є Q и со знаком + при х . С1. Тогда р Є C(U) и Глава 2. Функциональные пространства и примеры ограничений 33 где п(ж), х Є Г единичное поле нормалей к кривой Г [3]. Обозначим через г (ж), ж Є К2 непрерывно дифференципуемое поле, совпадающее при ж Є Г с единичным касательным полем к Г. Для замкнутой кривой Г существует конечное покрытие кривой Г открытыми множествами 4 С К2, к = 1,2,..., iV и согласованное с ним семейство дифференцируемых функций fk(x) переводящих окрестности Uk в окрестность U k такие, что множество Г П Uk переходит в (—акіак) х {0} С U k. В качестве таких функций Д. можно брать отображение: У\ = ХІ, y i=p{xi,xi), (2.12) где ХІ определяется условием рХі(х) Ф 0, х Є 4. Индекс і зависит от к. Фиксируем разбиение единицы на кривой Г, отвечающее покрытию 4 N supp С Г П 4 , 0 Л-1У2=о Є Со(-а/ь,а ), (ж) = 1. fc=i Тогда включение и Є С1(Т) или и Є W%(T) означает, что ф и о / 1 =0 Є С(-0 .,0) или А,.« о / " У2=о 2 ( afc?afc)- качестве нормы в С (Г) берётся величина JV ІІМІІС (Г) = J2 №kU A l\v =o\\c4-ak,ak) г fc=l а в качестве нормы и скалярного произведения в И7! (Г) берутся величины at. d2 І7/ІІ / a l -2( Jfc«/fe_1tf2=0)2 l, л2 / d a -at Теорема 2.2.1. Выражение J i u о /- )-( о /fc_1y2=0) rfj/i (и, v) = (SiSiU Si5{v + uv) ds, u, v Є W%(T) (2.13) г определяет скалярное произведение в пространстве Wf (Г) эквивалентное стандартному скалярному произведению и, следовательно, величина F{u) = ( f{ \Si5iU\2 + \и\2) ds)1 2, и Є Wl{Y) (2.14) Глава 2. Функциональные пространства и примеры ограничений определяет норму в пространстве И7! (Г) эквивалентную стандартной. Доказательство. Выражешге (2.13) билинейно, симметрично и неотрицательно. Легко проверить условие невырожденности. Из тождества (и, и) = 0 сразу следует, что и = 0. Таким образом выражение (2.13) задаёт скалярное произведение в И7!(Г). Докажем его эквивалентность стандартному скалярному произведению. Фиксируем семейство функций N 7 Є 70(С4), lk(x) 0,xeUk, 2il(x) = l, хе Г. it=i
Пользуясь соотношением %S{S{u = біблії) - 28{%8{и - u5i8 k , получаем N „ TV p2(u) = Ц ( / І7 і«2 ds+ I 7fcw2 ds) =J2( №Мъи) - 26цк6{и - и8{8як]х K—1 -p 1-і /C —і T-I [ujSjilku) - 28j-yk8jU - uSjSj-yk) ds + \jku\2 ds) . (2.15) г С помощью замены координат (2.12) сделаем пересчёт производных, для определённости считая ХІ = Х\\ - +п1-—, - = 712 дх\ дуі ду2 дх2 ду2 nJJr = nl(Jr + n1/) + v/) = nXir + К"1)8 + ("2)2]/ = и1/ + / 9х,- у9у! ду2 ду2 % оу2 дух ду2 = / + /-nV/ + /) = [l-(nT]/ = (n2)2/, г 2 Э 2/ 1 ч 12 Поэтому 52 = гг2 — - п2 п1—- + «-) = -nV — . %2 оуі оу2 ауі 8{ - (8ц - n%nl)-r- , г = 1,2. ,-— +A2 (n)-j-2 /i dy{ ( = ЗД + ( = А\(п)— + А2(п)- 2 , Глава 2. Функциональные пространства и примеры ограничений где АХ („) = (n fj-yf + n —yj) , A2{n) = (и5)4 + (rc V)2 , Тогда для старшего слагаемого получаем (здесь и далее для краткости записи значок fkl\y2=o опущен) ak I SMlku)bj5jbku) ds = / \8і5і( ки)\2 ds = / \A1(n)-—( ku)+A2(n)—1(-(ku)\2(n2)dyl = Г Г -ak = f [Л1(п)\- (ъп)\2 + A2(n)\- (lku)\2 + 2А1{п)А2{п) {1 ) Ыи)}{п2) dVl. -Ok Оценивая коэффициенты и пользуясь неравенством d2 , ч d , ,, , , d2 , Vl, 1, d dyf dyx dy{ є dyi получаем k „ ak Сі{є) J 1 2 (7 )12 dVl - Ku j 1 (7 )12 dVl j\8A{lku)\2 ds -a -oik - S Сг(є) J \-ЩЇ(%«)\2 dyi + K2c j\±(lkUfdVi. (2.16) -Ok -at Здесь и далее через С (є) и Кє (возможно с дополнительными индексами) обозначим константы со свойстами С (є) -4 С О, К —» оо при є — 0. Так как неравенство Ск к oik J\ dyi e J\ \2dyl + Ke J\h\2dy, (2.17) —« —a —a о справедливо для всех функций h Є W (- ,0: ) и любого є 0, то (2.16) и (2.17) приводят к оценке Сі / (7fcw)2 i-A i / bku\2dyi \SiSi(jku)\2ds а „ а -а " -а Г d2 Ci J \ {lku)\2dyl + K2 j \lku\2dyx (2.18) -« —a Глава 2. Функциональные пространства и примеры ограничений с некоторыми положительными константами С,-, К{, і = 1,2. Введём функции: W Фк(х) = -{, k = l,2,...,N, 0(х) = J lk(x) 0, хЄТ. Заметим, что фк являются разбиением единицы. Используем его при определении нормы в И (Г). Так как (Рфки) = Р {Фки) + 2 -foM + (1"фки , получаем —О —«А / (W ( ti) (iM + 20/3 ( )( ) + 4Р (фки)(фки)) dVl. + d2 d d2 2d -ї(фки)—(фки)\ 2є\—5( 4% t kU)l - 2є% и)? + 7fe(Mr Поскольку , ,.,..и,2 J2 d2 , , ,,, 4/-(&«)( M 2 ( гг)2 + - M2, «Уі dyi є приходим к равенствам „ ак оск ак -2 (фки)\2 dyi-Kls / \ — (фки)\2 dyx- КХе \фки\2 dyx І \- {1ки)\2 dyx —ак ак —а —ак &k Oik Oik - од / 1 ( 12 dyl+А 2 / ! d( u)l2 dyl + К2є /№ и2 Jyl —atk -o/k —а Пользуясь ещё раз неравенством (2.17), приходим к выводу, что к о,к ак / d2 f Г d2 -a \-рі(фки)\2dyi - Q\ I ku\2dyx / j (7fc«)2 yi Глава 2. Функциональные пространства и примеры ограничений 37 ak 2 ak —ak —a где Cj-, [-, І — 1,2 - положительные константы. Тогда из неравенства (2.18) получаем С[ J \- (фки)\2(1У1 - К[ J \фки\иУ1 J\SMlku)\2ds - Ук к ak С2 J \- (Ф )\2 dyi + К 2 J УИ2 dyi (2-19) Далее, оцениваем остальные слагаемые тождества (2.15) j / 28i8i{ ky)8j ju ds\ є 5Д(7 и)2 ds + Кє І \8JU\2 ds, г г г / 28i8i(iku)8j8j7kuds\ є ISiSidku)]2 ds + Кє / u2 ds , г г г г fWaAu + nS m Sju + плі) 4s = /(2. + «SAlt? & г г M / J.-u2 ds + M f\u\2 ds + M" f\u8iU\ ds Mi /u«2 ds + M{ /"u2 ds. г г г г г С помощью формулы интегрирования по частям (2.3) и формулы (2.2) получаем / \8(u\2 ds = I 8iu5jU ds = — І u 5,- 5,-« ds . г г г Тогда / 5,-«2 ds є \8{8{и\2 ds + Кє / \u\2 ds . г г г Из (2.15) и этих оценок вытекает, что 2 / йй(7 и)2 ds-є І \8 и\2 ds - Кє\\и\\Із(г) / {\%6{8{и\2 + )%м\2) ds г г г
Примеры ограничений
Инвариантность кривой. Пусть Г2 С М.2 - ограниченная область с границей 8Q = Г Є С5. Рассмотрим отображение Г — R2 вида у(х) = х + и(х), хеТ (2.52) Глава 2. Функциональные пространства и примеры ограничений 57 при и Є ИЛ2(Г,М2). При каждом шевелении (2.52) кривая Г переводится в множество у(Г) С М.2. Будем говорить, что отображение (2.52) оставит кривую Г инвариантной, если у (Г) С Г. Последнее включение эквивалентно соотношению Ф[и]=р(х + и(х), Г) = 0, (2.53) где ориентированное расстояние р определено в разделе 2.1. Отображение Ф: Wf(r,R2)—» W"(r) трижды непрерывно дифференцируемым. Это утверждение вытекает из пятикратной непрерывно дифференцируемости функции р(у, Г). Пусть функция и Є W2(r,]R ). Воспользуемся представлением и(х) = р{х)т(х) + ф(х)п(х), ір, ф Є И (Г). (2.54) Лемма 2.3.1. Множество решений задачи (2.53) имеет структуру поверхности (см. раздел 1.3, параграф 1), причём Хх = {иЄ И (Г,М2), и = ут} = {и Є Wi(Г, К2), ф = 0} , 12 = {и W(r,R2), и = фп} = {и Є И 22(Г,Е2), = 0} . Кроме того, отображение слабо непрерывно, как отображение из пространства W (Г,М2) в пространство С (Г). Доказательство. Рассмотрим задачу (2.53) при малых значениях нормы w(Uv2(r,M.2)-Докажем, что выполняются условия леммы 1.2.1. Очевидно, Ф[0] = р(х, Г) = 0. Замечаем, что Ф [0]Л = Рх. (х, T)ti = nlti , h Є W$(T, М?), поэтому ЛГФ [0] = {ие Wi(T,R2), Ф [0]и = 0} ф {0}. Глава 2. Функциональные пространства и примеры ограничений 58 Таким образом, отображение Ф [0] не осуществляет изоморфизм пространств Wf (Г,М2) и И (Г). Пространство Wf (Г,К2) разлагается в прямую сумму Wt{T,R2)=X1+X2, где Хх = ЛГФ [0] - {и Є Р722(Г,М2), и = срт} = {и W\(Г,М2), = 0} , X2 = {ue W(r,R2), и = n} = {и Є W(r,R2), v? = 0} . Обозначим через ДФ [0] образ оператора Ф [0]. Тогда і?Ф [0] = W(Г). Действительно, для любой функции / Є Wf (Г) существует и Є И7!(Г,М2) такая, что Ф [0]и = /. Пусть / Є W22(T). Выбираем и Є W22(T,R2) так, что и = /п. Тогда и Є Х2 и Ф [0]и = n V = n (/nJ) = п2/ = / . Из леммы 1.2.1 следует существование таких положительных чисел 61,62, что множество всех решений задачи (2.53) записывается в виде и = v + r[v], v Є Х\, где г - отображение шара с радиусом 6\ и с центром в нуле пространства Х\ в шар с радиусом 82 и с центром в нуле пространства Х2, имеющее три непрерывные производные, причём г[0] = 0, г [0] = 0. Из компактности вложения W2 (Г) в пространство С (Г) вытекает слабая непрерывность отображения Ф из пространства W22(r,R2) в пространство С (Г). Рассмотрим отображение вида (2.52) при и Є HQ(Q).
Тогда включение у (Г) С Г эквивалентно соотношению (2.53), где отображение Ф : Яо(П) — W$(T) - трижды непрерывно дифференцируемо. Для функции и Є H0(Q) будем использовать представление (2.54) при х Є Г. Глава 2. Функциональные пространства и примеры ограничений 59 Лемма 2.3.2. Множество решений задачи (2.58) при и H(Q) имеет структуру поверхности (см. раздел 1.3, параграф 1), причём Xi = {и Є #0(П), иг = Рг} = {иЄ Щ(П), ф = 0} , Х2 = {ие Я0(П), «г = фп} = {и Є Я0(П), s? = 0} . Кроме того, отображение слабо непрерывно, как отображение из пространства Щ(0) в пространство С (Г). Доказательство. Рассмотрим задачу (2.53) при малых значениях нормы мя0(П)-Докажем, что выполняются условия леммы 1.2.1. Очевидно, при х Є Г Ф[0] = р(х, Г) = 0. Замечаем, что при х Є Г Ф [0]Л = Рх.(х, Т)И% = пЪ% , h Є Яо(П), поэтому ЛГФ [0] = {и Є Щ(П), Ф [0]« = 0} ф Щ. Таким образом, отображение Ф [0] не осуществляет изоморфизм пространств HQ(Q) И Wi(T). Пространство HQ(Q) разлагается в прямую сумму Но(П)=Х1+Х2, где Хг = ЛГФ [0] = {ив Н0(П), иг = рт] = {и Є Я0(«), = 0} , Х2 = {и є #о(П), «г = п} = {« Є Яо(П), = 0}. Обозначим через ЯФ [0] образ оператора Ф [0]. Тогда ЯФ [0] = ]$(Г). Действительно, для любой функции / Є W(Г) существует и Є Яо(П) такая, что Ф [0]м = /. Пусть / Є W(Г). Выбираем и 6 Яо(П) так, что иг = /п. Тогда и Є Х2 и Ф [0]м = nVr = п "(/п ) = п2/ = / . Глава 2. Функциональные пространства и примеры ограничений 60 Из леммы 1.2.1 следует существование таких положительных чисел о\,о 25 что множество всех решений задачи (2.53) при u 6 H(Q) записывается в виде и = v + r[v], v Є Х\, где г - отображение шара с радиусом о\ и с центром в нуле пространства Х\ в шар с радиусом о 2 и с центром в нуле пространства Х2, имеющее три непрерывные производные, причём г[0] = 0, г [0] = 0. Из компактности вложения W (Г) в пространство С (Г) вытекает слабая непрерывность отображения Ф из пространства HQ(Q) в пространство С (Г). 2. Сохранение площади. Пусть Q С Ш2 - ограниченная область с границей 9fi = Г Є С2. Рассмотрим отображение Г — М2 вида (2.52) си H0(Q). Для функции и Є HQ(Q) будем использовать представление (2.54) при ж Є Г. Будем говорить, что отображенеие (2.52) сохраняет площадь \Щ ограниченной области П, если выполняется тождество 1ь = 1 т , (2.55) где det у = 1 + divw + uXluX2 - uX2uXi . (2.56) Поскольку //іоч 19 12 / 1 2 \ 19 19 —(и uj = ихиХ2 + и иХ1Х2, —(и иХ1) = иХ2иХ1 + и иХ1Х2, (У10 - 5 ( 1 ) = U A, - « Ь2 С помощью последнего тождества из (2.56) получаем dety = 1+ di + V ) - VO Тогда тоджество (2.55) эквивалентно соотношению Ф[«] = J[dWu + (« О - (" Ol = Глава 2. Функциональные пространства и примеры ограничений 61 или ф[м] = (un + ulu2X2n1 - ulu2Xin2) ds = 0. (2.57) г
Из определения (2.1) оператора Si получаем = hu2 + n2nju2x. , u2Xi = SlU2 + n2nju2x. , j = 1,2 и тогда ulu2X2nl - ulu2Xin2 = u1(n1S2u2 - n2Sxu2) = ul(n1S2 - n2Si)u2 . Из этого соотношения, (2.54) и (2.57) окончательно получаем Ф[и] = Ф[чр,ф] = /ipds + i{yTX + iml){n42-n2b {){ipT2+ij)n2)ds = $, (2.58) г г где отображение Ф : W22(F,R2) = W22(T) х W(r) —у R бесконечно дифференцируемо. Лемма 2.3.3. Множество решений задачи (2.58) при и Є Ж2 (Г,М2) имеет структуру поверхности (см. раздел 1.3, параграф 1), причём Хі = {иЄ W22(r,M2), u = ipT + hn, fhds = Q}, г І2 = {иЄ 2(ГД2), и = ірт + C\T\-1 n , СєШ}. Доказательство. Рассмотрим задачу (2.58) при малых значениях норм v?IKv2(r) \у?(г)- Докажем, что выполняются условия леммы 1.2.1. Очевидно Ф[0,0] = 0. Замечаем, что Ф [0,0]й = 0, Ф [0,0]й = f hds, h Є Wf (Г), г поэтому ЛГФ [0,0] = {he W2(F) : Ф [0,0]Д = 0} ф {0} . Глава 2. Функциональные пространства и примеры ограничений 62 Таким образом, отображение Ф.Д0,0] не осуществляет изоморфизм пространств W22(T) Пространство W$ (Г) разлагается в прямую сумму W22(T)=X[+X2, где Х[ = ХФф[0,0] = {h Є W22(r): fhds = 0}, Х 2 = {/г Є Wf(r) : /г = С р1, С Є №} . г Действительно, пусть ф Є W2(T). Тогда ф записывается в виде ф = {ф - C\T\ l) + C\T\ l, С=[фйз г и фх = ф — СІГІ"1 Є Х[, 2 = СГ_1 Є Х2. Очевидно, что отображения ф і—} фі, і — 1,2 - ограниченные проекторы в И/22(Г). Обозначим через і?Ф ,[0,0] образ оператора Ф ,[0,0]. Тогда і?Ф [0,0] = М. Действительно, для любого числа /г Є 1 существует такая ф Є W2(T), что Ф ,[0,0] = //. Положим ф = //Г-1. Тогда ф Є. Х2 и Ф [0,0] = фсІ8= I /л\Т\ 1 ds = fi, Запишем равенство (2.58) в виде ФМ = Ф[ ] = Ф[ 1, 2] = О, єи і(г), Vi x;, ф2єх 2. В силу леммы 1.2.1 из последнего равенства получаем ф2=г[ фх], [0,0] = 0, [0,0]=0, [0,0] = 0. Поэтому u = v + r[v], v Є Xx, а отображение г шара радиуса # пространства Х\ в шар радиуса р пространства Х2 бесконечно дифференцируемо и г[0] = 0, г [0] = 0.
Вариационная задача о бифуркации в плоской области
Задача без ограничений. Фиксируем ограниченную область ficR2, граница которой состоит из двух непересекающихся компонент Г и Гі Є С5. Для функции и Є HQ(Q) определим функционалы Коэффициенты Qijki Є Loo(H) обладают свойствами симметрии и положительной определённости, введенными в разделе 2.2, параграфа 3, тензор у(и) введён тоже в разделе 2.2, параграфа 3, ,- оператор касательного дифференцирования, заданный равенством (2.1), а функция q = q(u,x), и Є #0(О), х Є Ш2 имеет три непрерывные производные и удовлетворяет условиям (3.1). Критической точкой функционала / при данном Л Є К называется функция и Є Но(ії), удовлетворяющая тождеству для всех г; Є H0(Q). В силу условий (3.1) замечаем, что и — О является критической точкой задачи (3.23) при всех Л Є Ш. Мы установим, что при дополнительной гладкости границы dQ функции q и коэффициентов Qijki, каждое решение задачи (3.23) будет гладкой функцией. Тогда пользуясь формулой интегрирования по частям (2.3), второй из формул (2.2) и тождеством перепишем задачу (3.23) в эквивалентном виде Определим замкнутое подпространство #i(f2) С #о(0) равенством относительно скалярного произведения, определяющего норму (2.34). Тогда простран Глава 3. Краевые задачи теории бифуркации с ограничениями 86 ство HQ(Q) разлагается в ортогональную сумму Лемма 3.2.1. Функция и является решением задачи (3.23) в том и только в том случае, когда она является критической точкой сужения функционала I на подпространство Н\(0). Доказательство. Если функция и является критической точкой сужения функционала / на Яі(0), то она является решением задачи (3.23) в пространстве До (О). Пусть функция и Є До (О) является решением задачи (3.23). Докажем, что она принадлежит пространству Ді(0). Для любой функции г; Є До (О) имеем Из разложения пространства До (О) следует, что Тогда (см. раздел 2.2, параграф 3). Таким образом, и Є Ді(О). Лемма доказана. Лемма 3.2.2. При выполнении условии (3.1) для функции q, функционал G[u], и Є До (О) обладает следующими свойствами 1. G непрерывно дифференцируем, его дифференциал удовлетворяет локальному условию
Липшица и где А : До (О) — До (О) линейный, самосопряжённый, компактный оператор, а 2. G слабо непрерывен. Доказательство. Очевидно, что функционал G непрерывно дифференцируем. Докажем, что G удовлетворяет локальному условию Липшица. Пусть щ, и2 Є Ho(Q) такие Пользуясь ограниченностью вложения пространства W\(Г,М2) в С(Г) получаем Поэтому что для всех h Є HQ(Q), где Щ(С1) линеен и симметричен. Пользуясь ограниченностью вложения пространства И Г,!!!2) в С (Г) получаем, что Є HQ(Q), при h = Аи получаем Глава 3. Краевые задачи теории бифуркации с ограничениями 88 Таким образом, оператор А ограничен. Пусть последовательность ип Є Щ(р) ограниченна. Тогда ип - ограниченна в Wf (Г,1И2) Из компактности вложения пространства ИЛ22(Г, М.2) в С (Г) следует существование сходящейся подпоследовательности (сохраняем за ней прежнее обозначение) ип в С (Г). Тогда для всех h Є Щ(1). При h — Aun — Aum получаем при n,m — оо. Отсюда следует, что последовательность Аип фундаментальна в пространстве Яо(0). Таким образом, оператор
А является компактным. Далее Слабая непрерывность функционала G следует из компактности вложения пространства И/22(Г,Е2) в С (Г). Условия невырожденности 3 вытекают из предположения (3.2) и определения пространства H\(Q). Лемма доказана. Сформулируем критерии бифуркации для задачи (3.23). Теорема 3.2.1. Точка А0 является точкой бифуркации для задачи (3.23) тогда и только тогда, когда существует ненулевая функция и Є H$(Q), удовлетворяющая тождеству 2 / aijki(x) ij(u) ki{v) dx + 2 J 5i5iu5j8jV ds — Ao / . (0, ) 5 = 0 (3.25) п г г для всех функций v Є Ho(fi).
