Введение к работе
Актуальность темы. Теория дифференциальных включений представляет собой раздел теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Впервые дифференциальные включения, как уравнения в контин-генциях и паратингенциях, были введены в рассмотрение в 30-е годы нашего века в работах А. Маршо и С. Зарембы. В дальнейшем интерес к дифференциальным включениям возник снова в связи с развитием математической теории оптимального управления, созданной в середине 50-х годов Л. С. Понтрягиным, В. Г. Болтянским, Р. В. Гам-крелидзе, Е. Ф. Мищенко. Впервые на важную роль дифференциальных включений в различных задачах математической теории управления было обращено внимание в работах В. Г. Болтянского, Т. Ва-жевского, А. Ф. Филиппова.
В настоящее время теория дифференциальных включений представляет собой весьма продвинутый раздел теории обыкновенных дифференциальных уравнений, находящий многочисленные применения в теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, в математической теории управления, в частности, в теории оптимального управления:, теории управления в условиях неопределенности, в теории дифференциальных игр. Большой вклад в развитие теории дифференциальных включений был сделан в работах X. Антосевича, В. И. Благодатских, А. Брессана, Дж. Дэви, Ж. -П. Обэна, Ч. Олеха, Е. С. Половинкина, Г. В. Смирнова, А. А. Толстоногова, В. В. Филиппова, А. Ф. Филиппова, X. Хермса, А. Челлины.
Важную роль в создании теории экстремальных задач для дифференциальных включений сыграли работы В. й. Благодатских, В. Г. Болтянского, Ф. Кларка, Ф. Лоуэна, С. Лоясевича, Б. Мордухопича, Е. С. Половинкина, Б. Н. Пшеничного, Р. Рокафеллара, Г. В. Смирнова.
Интерес к экстремальным задачам для дифференциальных включений во многом вызван тем обстоятельством, что задание дифференциальной связи в форме дифференциального включения позволяет единообразно охватить большое количество экстремальных задач для различных динамических систем, включая системы с обратной связью, управляемые системы с регулярными смешанными ограничениями, управляемые системы в условиях неопределенности, а также, динамические системы заданные семейством дифференциальных равенств и неравенств. Кроме того, задача оптимального управления для дифференциального включения является естественным инвариантным, относительно способа задания дифференциальной связи, обобщением классической задачи Больца вариационного исчисления.
Перенесение основных результатов теории оптимального управления на случай дифференциальных включений встретило серьезные трудности. Главным образом, эти трудности вызваны многозначностью и негладкостью правой части дифференциального включения. Преодоление этих трудностей стимулировало развитие методов негладкого анализа, теории многозначных отображений, качественных методов теории дифференциальных включений.
Фазовые ограничения естественно возникают при рассмотрении различных задач математической теории управления. Для задач оптимального управления с фазовыми ограничениями необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина впервые были получены Р. В. Гамкрелидзе. В наиболее общей постановке принцип максимума для таких задач был доказан А. Я. Дубовицким и А. А. Милютиным. Существенный вклад в изучение различных задач теории управления с фазовыми ограничениями был сделан в работах А. В. Арутюнова, А. Я. Дубовицкого и В. А. Дубовицкого, А. Б. Куржанского, X. Маурера, А. А. Милютина, Ю. С. Осипова.
Следует отметить, что фазовые ограничения делают рассматри-
ваемую задачу существенно негладкой и приводят к появлению качественно новых эффектов, которые необходимо учитывать при получении соответствующих необходимых условий оптимальности.
Цель работы состоит в изучении экстремальных задач для управляемых систем описываемых дифференциальными включениями при наличии фазовых ограничений, разработке математических средств исследования таких задач, в частности, методов регуляризации, получении содержательных необходимых условий, характеризующих оптимальные траектории, а также, исследовании свойств множителей Лагранжа, фигурирующих в полученных необходимых условиях оптимальности.
Научная новизна результатов. В данной работе разработан метод регуляризации негладких экстремальных задач для дифференциальных включений, а именно, метод гладких аппроксимаций для сведения таких задач к классическим гладким задачам оптимального управления. При помощи этого и других методов аппроксимаций осуществлено сведение задачи оптимального управления для дифференциального включения с фазовым ограничением К классической задаче оптимального управления без ограничений и получены новые необходимые условия оптимальности (принцип максимума), содержащие усиленное включение Эйлера-Лагранжа и дополнительное условие стационарности гамильтониана. Таким образом, развитый метод исследования экстремальных задач для дифференциальных включений позволяет получить новые необходимые условия оптимальности и устанавить их связь с классическим принципом максимума Понт-рягина. Отметим, что полученные необходимые условия оптимальности содержат более полную систему соотношений, по сравнению с известными, они более точно учитывают эффекты вызванные фазовыми ограничениями.
Показано, что эффект вырождения стандартных вариантов принципа максимума Понтрягина для задач с фазовыми ограничениями связан с их неполнотой. Для доказанных в работе необходимых условий оптимальности для дифференциальных включений полностью исследован данный эффект вырождения. Именно, получены необходимые и достаточные условия их невырожденности, а также условия поточечной нетривиальности. Отметим, что полученные условия управляемости, гарантирующие информативность принципа максимума для различных экстремальных задач с фазовыми ограничениями, являются более точными, по сравнению с известными достаточными условиями невырожденности для классических задач оптимального управления с фазовыми ограничениями. Они одновременно являются не только достаточными, но и необходимыми условиями невырожденности принципа максимума. Данные условия невырожденности являются условиями общего положения.
Выделены случаи, когда мера, фигурирующая в полученных необходимых условиях оптимальности, не имеет сингулярной составляющей. Основное отличие полученных условий от известных достаточных условий отсутствия сингулярной составляющей у меры в соотношениях принципа максимума для классической задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями состоит в более естественных предположениях относительно геометрических ограничений накладываемых на допустимые управления.
При получении перечисленных выше результатов были развиты методы аппроксимаций, которые могут быть использованы при решении других задач математической теории управления.
Научная и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты имеют теоретический характер. Предложенный в данной работе метод гладких аппроксимаций для сведения негладких
диффереіщиальньїх включений к случаю классических управляемых систем может быть использован для исследования различных задач теории дифференциальных включений и построения новых алгоритмов управления динамическими системами в условиях неопределенности. Полученные необходимые условия оптимальности для задач с фазовыми ограничениями могут быть использованы при исследовании конкретных задач теории оптимального управления.
Данная работа является составной частью исследований, ведущихся в отделе обыкновенных диффереіщиальньїх уравнений Математического института им. В. А. Стеклова РАН по теме "Оптимальное управление и дифференциальные игры."
Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на "IV Международной конференции по дифференциальным уравнениям и применениям КДУ-IV" (г. Русе, Болгария, 1989), на международной конференции "Многозначные отображения и дифференциальные включения" (г. Пампорово, Болгария, 1990), на международных конференциях "Нелинейный и теоретико-игровой синтез" и "Многозначные отображения и негладкий анализ" (Международный институт Эйлера, г. Санкт-Петербург, 1995), на конфереции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (факультет ВМиК МГУ, 1995), на конференции "Чебышовские чтения" (Мех.-мат. факультет МГУ, 1996), на семинарах кафедры оптимального управления факультета ВМиК МГУ, кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа Российского Университета Дружбы Народов, отдела обыкновенных дифференциальных уравнений МИР АН, Математического института университета Вюрцбурга, Института прикладной математики университета Мюпстера, а также, на семинаре "Нелинейный анализ и оптимизация", работающем в МГУ под руководством профессоров М. И. Зеликина, В. М. Тихомирова, А. Б. Куржан-
ского, Ю. С. Осипова, А. В. Фурсикова.
Результаты диссертации опубликованы в 12 работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Объем диссертации составляет - 99 стр. текста набранного в текстовом редакторе LaTex, список литературы содержит 128 наименований.
