Содержание к диссертации
Введение
1 О-компактности одного класса интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивности и роста 14
1 Основные положения теории Г-сходимости 14
2 Г-сходимость интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивности ироста вида f{x,s,,) 22
3 Теорема о Г($)-компактности 26
4 Теорема о Г-компактности 29
5 Сходимость минимумов и минимизантов 32
2 О переходе к пределу в классе степенных интегрантов 38
6 О Г-замыкании класса степенных интегрантов 38
7 Строгая выпуклость Г-предельного интегранта 46
8 Строгая выпуклость сопряженных к Г-предельным интегрантам и её следствия 57
9 Равномерная выпуклость и Г-сходимость 63
Варианты леммы о компенсированной компактности 65
10 Классическая лемма о компенсированной компактности и ее обобщения 65
11 Div-curl лемма с условиями в терминах Г-сходимости 70
Литература 72
- Г-сходимость интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивности ироста вида f{x,s,,)
- Теорема о Г-компактности
- Строгая выпуклость сопряженных к Г-предельным интегрантам и её следствия
- Классическая лемма о компенсированной компактности и ее обобщения
Введение к работе
Актуальность темы. В задачах вариационного исчисления требуется найти наименьшее значение функционала, заданного на некотором множестве. Если задана последовательность вариационных задач, то возникает вопрос о корректном определении предельной задачи и предельного функционала. Наиболее естественным языком, описывающим асимптотическое поведение вариационных задач, является так называемая Г-сходимость. Главная особенность Г-сходимости состоит в том, что широкие классы интегрантов оказываются компактными относительно этой сходимости.
1. В рамках абстрактной теории вопросы Г-сходимости были изучены в работах итальянских математиков Э.Дс Джорджи 1)2 и его коллег более тридцати лет назад. Л. Карбоне и К. Сбордоне 3 конкретизировали абстрактную теорию для интегральных функционалов вида
F(u) = / f(x,Vu)dx, (1)
где ficIR/' есть ограниченная липшицева область, а интегрант /(#,) : fi х IRr' —» IR/ предполагается каратеодориевой, выпуклой по функцией, для которой выполнены стандартные условия коэрцитивности и роста
-co + ci||tt < /(я,) < С2ІГ + со, сі > 0, со > 0, 1 < а < ос.
В.В. Жиков в работах4,5 построил более общую теорию Г-сходимости интегральных функционалов с нестандартными условиями коэрцитивности и роста
-c0 + ci||a < f(x,) < c2||/j + co, а > 0, с0 > 0, 1 < а < /3 < оо. (2)
Отметим важную особенность функционалов с нестандартными условиями коэрцитивности и роста (2): когда показатель нелинейности <х отвечающий за свойство коэрцитивности, строго меньше показателя /3, отвечающего за свойство ограниченности, возникает неединственность постановки вариационной задачи, или эффект Лаврентьева. Эффект Лаврентьева
:De Giorgi Е., Franzoni Т. Su un tipo di convergenza vaiiazionale//Atti Accad.Naz.Lincei Rend. CI. Sci. Fis. Mat. Natur.-1975.-58(8).-p.842-850.
2Dc Giorgi E., Lett a G. Unc notion gencralc do convergence faible des fouctions croissautcs d'cnscmblc//Aim. Scnola Sup. Pisa.-1977.-№33.-p.61-99.
^Carbone L.. Sbordone C. Some properties of Г-lirnits of intergral functionsls/, Ann. Mat. Рига Appl.-1979.-T.122.-JNM.P.1-60.
4Жиков В.В. Вопросы сходимости, двойственности и усреднения для функционалов вариационного исчисления//Изв.Ан СССР.Сер.матем. 1983. Т.47. №5. C.9G1 998.
Жиков В.В.. О переходе к пределу в нелинейных вариационных задачах/ /Мат. сборник. 1992. т. 183. №8.-С.47-84.
выражается в неравенстве
Е\ = min / /(х, Vu)dx < inf / /(ж, Vu)dx = 2, (3)
из которого видно, что с одним и тем же функционалом F можно связать задачи двух типов Е\ и 1. В связи с этим В.В. Жиковым было введено два типа Г-сходимости.
Отмеченные выше результаты относились к интегральным функционалам F вида (1), зависящим от градиента Vu, по не от самой функции и. Представляет интерес рассмотреть функционалы, которые зависят не только от градиента Vn, но и невыпуклым образом от самой функции и. Последнее обстоятельство отмечалось в качестве нерешенной проблемы в работах A. Braidcs6 и В.В. Жикова5 более 20 лет назад.
Рассмотрим интегральные функционалы вида
F{u) = I f(x,u,Vu)dx. Jo.
Интегрантами являются каратсодорисвы (с непрерывностью по s и ), выпуклые по функции /(rr, s,) : fi х Е х IR —>> Ж, для которых имеют место
нестандартные условия коэрцитивности и роста
-со + ci||a < f(x, s, О < C2\f + со , сі >0, со > 0, К a < /3 < 00; (4)
свойство непрерывности по второму аргументу:
/(я, s, ) - /(х, s, ) < a;(|s - s'|)/(z, s, ) (5)
для любых <^
Предполагается доказать теоремы компактности относительно Г-сходимости в классе (4)-(5) при некоторых дополнительных условиях па показатель а.
2. Много задач на усреднение связано со степенными интегрантами вида
/(я, 0 = —7^Г> 1 <а< р(х) < {3 < оо.
Степенной интегрант (6) принадлежит классу (2), является строго выпуклым и дифференцируемым по аргументу . Возникает вопрос, сохраняются ли
bBraides. A. Defranceschi,A. Homogenizaiion of Multiple Integrals Clarendon Press: Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applications. 12. 1998. — 298 p.
эти свойства при Г-сходимости степенных интегрантов. Заметим, что сама степенная структура в пределе теряется.
3. Во многих вопросах важно выяснить, когда слабый предел произведения wc Vu, где w6 соленоидальный вектор, равен произведению слабых пределов w Vu. По классической лемме о компенсированной колтакт-ности Тартара - Мюра,7 wE и Vus должны быть ограничены во взаимно-сопряжеппых лебеговых пространствах. Предполагается сформулировать подобные условия ограниченности в более общих терминах, в которых участвует Г-сходимость интегрантов.
Цели работы. Настоящая работа посвящена Г-сходимости интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивпости и роста:
доказательству теоремы компактности относительно Г-сходимости класса интегрантов /(ж, s,), заданного условиями (4)-(5);
изучению свойств Г-пределов последовательностей степенных интегрантов;
получению новых вариантов леммы о компенсированной компактности.
Методы исследования. В диссертации используются методы математического анализа, функционального анализа, теории функций, вариационного исчисления, выпуклого анализа и теории усреднения.
Научная новизна. Перечислим основные результаты диссертации.
-
Доказана теорема компактности для нестандартного класса (4)-(5), если показатель а, отвечающий за свойство коэрцитивпости, см.(З), строго больше размерности пространства d. Установлен достаточный признак сходимости энергий и мипимизаптов вариационных задач Дирихле;
-
Показано, что присущие степенным интегрантам свойства строгой выпуклости и дифференцируемости сохраняются при переходе к Г-пределу;
-
Получены новые варианты леммы о компенсированной компактности с условиями ограниченности в терминах Г-сходимости интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивности и роста.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и могут быть использованы в различных областях теории дифференциальных уравнений в частных производных, вариационного исчисления, теории усреднения, теории монотонных операторов. Результаты диссертационной работы являются частью научно-исследовательских работ, проводимых при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты 11-01-00331,13-01-90700 и гранта-субсидии Мин. обр. и науки РФ ҐКІ4.В37.21.0362.
7Mural, F. Compacite par compensation// Ann. Scuola norm, super. Pisa. CI. Sci. Fis. Mat. 1978. 5:3. p.89-107.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010, 2012), обсуждались па научном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора В.В. Жикова во Владимирском государственном университете имени А.Г. и Н.Г. Столетовых.
Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1 5. Из них работы 1, 2 опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов кандидатской диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы. Объем диссертации составляет страниц машинописного текста.
Г-сходимость интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивности ироста вида f{x,s,,)
Оказывается, что при условии на показатель а d последовательности Гі($)- и Гг(«) сходящихся интегрантов класса (2.1)-(2.2) будут соответственно IV и Гг-сходящимися. Теорема 1.1 Рассмотрим класс каратеодориевых интегрантов f(x,s,), для которых выполнены г) условие выпуклости по ; И) нестандартные условия коэрцитивности и роста, см. (2.1); Ш) свойство типа липшицевости по второму аргументу, см, (2.2); iv) дополнительное ограничение на показатель: а d. Тогда Г\(s)-сходящаяся последовательность интегрантов класса г) iv) является Г\-сходящейся. При этом Гг lim /„(i.s.e) =Гі(з)- lim fn(x,s,0- (4-1) Доказательство. Далее для функций и Є W1,a(il) будем брать кусочно-постоянные аппроксимации иТ в ,-норме, т.е. lim (u - UIL» = 0, (4.2) 1—к» при этом участки постоянства аппроксимации иг являются локально липшнцевыми подобластями: Q = (ЛЯ,,,, ur{nti = sr,u sr i Є К. (4.3) Предположим, что /п - гщтегранты класса i)-iv) и имеет место сходимость Докажем, что fn Гі-сходится К /, проверив условия 1) и 2) из определения 2.1. Начнем с первого условия. Предварительно заметим, что, в силу условия а d, для tin-чів W1,4 (fi) и аппроксимации предельной функции из (4.2) имеют место сходимости lim supw((u - ип\) = 0, Hm supw(tt — ит\) = 0. (4.5)
Здесь использована теорема вложения Соболева о компактном вложении Соболевского пространства W1,a(ii) в пространство непрерывных функций C(Q):
Найдется последовательность jr — j(r), такая что lim A\ = А. Таким образом, для под-последовательности щ = щг и соответствующей последовательности функций ип = иг выполнено условие 2 ), см. (2.6). Итак, существование Ггреализующей последовательности в предположении (4.4) проверено. Аналогичное утверждение справедливо и для Г2-сходимости: из Г 2(s)-сходимости следует Т -сходимостъ при выполнении условий i)-iv) теоремы 1.1 Следствием теоремы 1,1 и леммы 1.3.1 является Теорема 1.2 Рассмотренный в теореме 1.1 класс интегрантов компактен относительно Ті-сходимости. Аналогичное утверждение верно в отношении Т2-сходимости. Заметим, что условие a d является существенным в наших рассмотрениях, без него доказательство компактности остается открытой проблемой. В классе і)-ш) компактность доказана только в некоторых частных ситуациях, см. [26], [27].
В абстрактной теории Г-сходимости в метрическом пространстве устанавливается, что при определенных условиях Г-сходимость функционалов влечет сходимость минимумов и минимизантов (см., например, [1]). Для изучаемых нами интегральных функционалов этот вопрос требует отдельного рассмотрения из-за так называемого эффекта Лаврентьева. Кроме того, мы хотим дать достаточный признак сходимости минимумов и миними зантов в терминах Г-сходимости интегрантов, не вполне соответствующей Г-сходимости функционалов (полное соответствие есть только для стандартных интегрантов, т.е. при
При нестандартных условиях коэрцитивности и роста, когда показатель нелинейности, обеспечивающий свойство коэрцитивности, строго меньше показателя, обеспечивающего свойство ограниченности, возникает неединственность постановки вариационной задачи, или эффект Лаврентьева. Он состоит в том, что с одним и тем же функционалом могут быть связаны вариационные задачи двух типов, различающиеся выбором множества, по которому берется минимум. Это составляет существенную особенность функционалов с нестандартными условиями коэрцитивности и роста. Важно, что в процессе вариационной сходимости различие между типами задач не стирается и, как результат, возникает два предельных интегранта. Рассмотрим эту ситуацию подробнее на примере задачи Дирихле.
Введём вариационные задачи i?i= min / /(i,tt,Vu)di, Е2 — inf / f(x,u,Vu)dx, (5.1) Задачу Ey минимизации по пространству iyo1,a(fi) называют задачей первого типа, задачу Е2 минимизации по пространству Со(2) - задачей второго типа. Эти задачи, вообще говоря, не совпадают из-за того, что минимизируемый функционал не является непрерывным на W(J,0!(fi). Очевидно, что Е\ Е2. Но возможно и строгое неравенство Е\ ?2, т.е. энергии двух типов не равны. Это обстоятельство и составляет эффект Лаврентьева.
Отметим одно различие задач (5.1). Минимум в задаче Е\ достигается по теореме Вейерштрасса - Тонелли, поскольку интегральный функционал слабо полунепрерывен и коэрцитивен на И 0 а(П). В задаче Е2 минимум может не достигаться, но в этом случае по определению инфимума существуют так называемые е-минимизанты, на которых это значение достигается как угодно близко (с точностью до є).
Пусть имеются последовательность интегрантов /„ и соответственно две последовательности задач Е = min [ fn(x,u,Vu)dx, Е{2п) = inf [ fn(x,u,Vu)dx (5.2) первого и второго типов. Предположим, что имеет место Гі-сходимость fn к f. Возникает вопрос, куда сходятся энергии El . Идеальным ответом была бы сходимость энергий \ШІЕ[П) = ЕІ= min / f{xyu,\7u)dx, / = Г1-1іт/„. (5.3) Также естественно ожидать сходимость энергий другого типа из (5.2), а именно, ІітЕІп) = Е2= inf f f(x,u,Vu)dx, / = Г2-1іт/„. n-юо С${П) Jn В ряде случаев указанная в (5.3) сходимость энергий, действительно, наблюдается. Однако, в общем случае можно говорить лишь о неравенствах следующего вида. Предложение 1.5.1 Пусть f = iVlim/n. Тогда справедливы неравенства для энергий Ei = min F(u) Uminf{n) limsupin) inf F{u) = E2, (5.4) W "[0) " n-K» Cg(n) Доказательство. Задача #[" имеет минимизант ип Є Wo a(Q), для которого выполнено свойство равномерной ограниченности Jn \Vitn\adx С оо, и можно считать, что ип- щ в WQ,a(U). По свойству полунепрывности снизу Г -предела liminf Е = limmf / fn(x,un u„)dx I f{x,uo,Vuo)dx Et. (5.5) «-к» «-wo ja jn С другой стороны, для любого є 0 существует функция и Co(fi), такая что справедливо неравенство jn f(x, и, 4u)dx Еч + є. Возьмем Гі-реализующую последовательность йп -i и в Ж01,й(П), для которой lim jn fn(xy йп, Vun)dx = /n f(x, и, Vu)dx. Тогда по определению Е JQfn(x,uniVun)dx, откуда limsup" lim / /п(х,йп, Vun)dx Ег + є. (5.6) Полученные соотношения (5.6) и (5.5) дают необходимое неравенство (5.4). Предложение доказано.
Из неравенства (5.4) следует, что для сходимости энергий /5} достаточно равенства энергий двух типов в задачах (5.1) с Г -предельным интегрантом /. А именно, доста точным условием будет равенство Ei = Е2, означающее, что вариационные задачи (5.1) совпадают. В таком случае говорят о регулярности задачи, функционала или интегранта. Это приводит к следующему определению регулярного интегранта. Определение 5.1 Назовем интегрант f регулярным, если для любой функции и, такой что и W0I,e(ft), F(U) со, найдется такая последовательность Un Є Co(fi), что ип - и в Wl a(u) и lim / f(xiun,Vun)dx = I f{x,u,Vu)dx. n- J a Jn Из определения видно, что задачи первого и второго типа в (5.1) совпадают в случае регулярного интегранта /. Отсюда выводим утверждение: если предельный интегрант /=IVlim/n является регулярным, то энергии Е\п для задач первого типа сходятся к энергии предельной задачи Е\. В самом деле, ввиду регулярности /, в (5.1) наблюдается равенство энергий Ei=E2 и остаётся сослаться на предложение 1.5.1.
Кроме того, как следует из доказательства предложения 1.5.1, можно говорить о сходимости минимизантов в следующем смысле: если ип - минимизант задачи Е\п , то последовательность ип ограничена в W0 a{Cl) и всякая ее слабая предельная точка есть минимизант предельной задачи Ei — min F{u). Пусть / = Г3-Ига/„. Если интегрант / регулярен, то имеет место сходимость энергий для задач второго типа, а именно,
Теорема о Г-компактности
Проверим, что сходимость (6.6) имеет место для любых Є IRd . Пусть задано S 0 и фиксировано є IRd. По свойству равномерной липшицевости ((6.5), (6.7)) можно найти Є Sy такое что \Vk(x,)- pk(x,)\ 6 Vfc, хП, \ф,0-ф,О\ 6 хП. v ; Тогда в разложении = (v (i,fl - w(«,0) + (w(«.0 - .О) + (Ф.О - Ф.0), первое и третье слагаемые оцениваются с помощью (6.8). Поскольку ірк{х,0 ограничена в L2(Cl), то для слабой сходимости tpk(x,Q достаточно доказать, что Ит / ( pk(x,0 p(x,))g(x)dx = 0, (6.10) где д(х) - произвольная функция из L(Q). Предельное соотношение (6.10) выполнено, так как для второго слагаемого из разложении (6.9) имеет место сходимость lim /(y fe(ar,0- fi{x,))g(x)dx = 0. fc- -oo Предложение доказано.
Доказывая те или иные свойства Г-предельных интегрантов, будем использовать процедуру построения Г-предела, подробно изложенную в работе [18]. Напомним эту процедуры. Предварительно введём необходимые понятия.
Далее рассматриваются замкнутые кубы в IR с ребрами, параллельными осям координат, и с вершинами в рациональных точках. Символом В обозначим любое множество, которое является объединением конечного числа кубов, попарно не имеющих общих внутренних точек, т.е. В = UBj, intBj П іиЬВі = 0. Положим Х(В) = msx{hj}, hj - ребро куба Bj. Определение 6.1 Разложением на кубы области Я будем называть любое семейство ВТ такое, что i)X(Br) -г 0 при г - 0; ii)\U \ Br\ - О при г -J- 0. Перейдем к процедуре построения Гі-предельного интегранта для последовательности Прежде всего определим по формуле (6.2) соответствующие интегрантам f(x,) локальные характеристики ip{) = Ре(В,). Шаг 1, Предложение 2.6.2 позволяет считать, что существует предел lim ре() = vK) ДО3 любого куба В из ГО, с рациональными вершинами и для любого Є ГО, . Шаг 2. Рассмотрим произвольное разложение на кубы В области fi и положим 9(5,0. Для хеВсВг, Q) + ciKr, для iefi\Br. Семейство Фг(:г,) по построению принадлежит классу (0.2). Шаг 3. В силу предложения 2.6.3 можно определить интегрант в смысле слабой сходимости в L2(fi). В работе [18] показано, что интегрант /(а:, ), построенный по указанной выше схеме служит Гі-пределом последовательности Д(х, ). Для построения Гг-предельного интегранта используем локальную характеристику (р2І0 — Р2(Ві ) которая определяется через вариационную задачу второго типа, а именно, MZ) = Vb(B,t)= inf / f(x,t + Vu)dx Особенность этой задачи в том, что инфимум может точно не достигаться, соответственно не существует и минимизанта, а можно говорить только о минимизирующей последовательности или о последовательности п-минимизантов, по которой инфимум достигается с точностью до 5п, 8п -+ 0. Выпуклость и двусторонняя оценка проверяются для ір2 так же, как для (fi, но с привлечением -минимизантов.
6.4. Нашей ближайшей целью будет одно естественное расширение класса степенных интегрантов. Этот расширенный класс будет замкнут относительно Г-сходимости. Напомним, что класс степенных интегрантов такой замкнутостью не обладает. Будем отталки ваться от следующего свойства степенных интегрантов.
Предложение 2.6.4 Для степенных интегрантов вида (6.1) справедлива следующая двусторонняя оценка Перейдем теперь к рассмотрению более широкого класса интегрантов, чем класс степенных интегрантов. Пусть а и р заданы, соответственно определены функции тп(А), Л/(А) из (6.13), (6.14). Рассмотрим класс измеримых по х fi, выпуклых по бК интегрантов, подчиненных оценке (6.11). Этот класс определятся только константами а и /?. Далее для краткости будем называть его классом (6.11). Установим некоторые свойства этого класса. Класс (6.11) вкладывается в класс (0.2) интегрантов с нестандартными условиями ко-эрцитивности и роста, если выполнено условие О то f(x, )lll=i Мо оо для п.в. х Є fi. (6.15) В этом случае d = т0, CQ = с2 = М0. Действительно, по неравенству (6.11) имеем О m()mo /(ar, ) =i М()Л/0 оо для п.в. х О, где согласно (6.13), (6.14) ад) іі +і, т(К1) КГ-1. Справедлив следующий результат о замкнутости. Предложение 2-6.5 Класс (6.11) замкнут относительно IV, Г2-схо&шоспш, если выполнено условие (6.15). Доказательство. Начнем со случая ГІ-СХОДИМОСТИ. Так как класс (6.11) вложен в класс (0.2) и последний Гі-замкнут, достаточно проверить, что если Д(х, ) удовлетворяют оценке (6.11), то же верно для f(x,) — Гі-1ітД(ж,).
Следуя процедуре построения Гі-предела, достаточно убедиться, что локальная характеристика /?і(0 наследует оценку (6.11) от интегранта f(x,Q (здесь f(xt) - произвольный интегрант класса (6.11)). На каждом шаге процедуры нахождения предельного интегранта эта оценка сохраняется.
Строгая выпуклость сопряженных к Г-предельным интегрантам и её следствия
Приведем доказательство соотношения (10.1). Прежде всего, если ие = и не зависит от s, то (10.1) очевидно. Поэтому можно считать, что предельная функция и = 0. В этом случае Л — / Vue wedx = / V(t u) wdx — / ueV Vwdx = JQ Jtl Jil fjQ 2} = — I uEVy? Vwdx. Jii Здесь мы воспользовались тем, что равенство div-w = 0, то есть / w Vvdx = О Vu Є C(Q), влечет равенство jQw Vvdx = 0 для любого v Є W01,a(Q), так как множество С(1) плотно в W01,o,(fi). Поскольку и Ов lV1,a(Q), то по теореме вложения щ — 0 сильно в Ь (1), Поэтому lim J = 0, что и требуется. Так как Vue и ше ограничены в La(U)d и La (f!)d соответственно, то по неравенству Гельдера произведение uvVu ограничено в Ll(Q). Поэтому сходимость (10.1) означает, что w Vuedx — u Vu сіх в смысле слабой сходимости мер на 1. 10-2. Обобщения леммы Тартара - Мюра при отсутствии сопряженных по Гельдеру показателей в условии г) доказаны В.В. Жиковым и СЕ. Пастуховой в работах [21],[25]. Приведём наиболее общий вариант этой леммы.
Обобщенная лемма о компенсированной компактности [25]. Пусть в области О, С M.d, d 2, выполнено: (i)u,- uBW1 a(Q); (И) JO WB L (tl)dt divWe = 0 ; (Hi) показатели a, /? подчинены неравенствам
Тогда, быть может по подпоследовательности, в смысле слабой сходимости мер we Vuedx — dp, dy, = W-Vudx + dfj. , (Ю-4) где р - сингулярная (относительно меры Лебега) компонента предельной меры. Известны примеры, в которых предельная мера dp — w Vudx + dps имеет нетривиальную сингулярную компоненту, т.е. р 0 . При этом показатели а, /3 могут быть как угодно близки друг к другу, см. [21]. Основной интересующий нас вопрос состоит в следующем: когда предельная мера dp, = w Vudx + dp не имеет сингулярной компоненты dps и сходимость щ Vuedx — dp, принимает вид w Vudx —i w Vudx?
Сформулируем условия, которые определяют ситуацию, промежуточную между теми, что предполагаются классической div — curl леммой и её обобщенной версией. По сравнению с классической леммой ослабим требования ограниченности и сходимости. Будем предполагать, что иъ W a(Q), tu WB LP (n)d, divwt = 0. (10.5) Кроме того, пусть выполнено условие ограниченности на множители Vts, we, которое можно рассматривать как обобщение условия ограниченности в сопряженных Лебеговых пространствах, предполагаемое в классической лемме о компенсированной компактности. Здесь / - интегранты класса (0.2) с показателями а, /3, теми же что в (10.5), / - сопряженный (по Юнгу - Фенхелю) интегрант. При этом задействованные выше показатели а и /3 подчинены условию
При условии (10.6) последовательность и Vue ограничена в Ь!(П) по неравенству Юнга и можно считать, что имеет место слабая сходимость мер (10.4)i. Далее в 11 будет показано, что в ситуациин (10.5)-(10.7) можно ожидать предельную меру dfi в (10.4)і, не имеющую сингулярной компоненты dp/. При этом сходимость wg Vuzdx —ь dp принимает форму wt Vucdx — ги Vu dx, как в классической div — curl лемме. т
Напомним некоторые классические теоремы функционального анализа относительно сходимости в L1 (Q) и приведем следствия из них, полезные в дальнейшем. Критерий слабой компактности. Эквивалентны утверждения: а) семейство v слабо компактно в L fl); б) семейство vE равностепенно интегрируемо (т.е. Vr 0 35=5(т) : fB \vE\dx r для любого измеримого множества В С U с лебеговой мерой \В\ 5). Теорема Лебега. Если v равностепенно интегрируема и ьє(х) —» v(x) п.в. в U, то їі-и)е L1(fi). Теорема ІІІеффе. Пусть vz 0, ve(x) — v(x) п.в. в Q и lim jnvedx = fnvdx. Тогда v- v в Ll(Q). Напомним определение регулярного функционала (интегранта). Пусть F - интегральный функционал вида (0.1), соответствующий интегрант / из класса (0.2). Определение 10.1 Назовем функционал F (интегрант f) регулярным) если для любо го v W0 a(i1), такого что F(v) oo, существует последовательность jCo(2), для которой Vj -+ v в W a(Q), lim / f(x, Vv)dx = / f(x, Vv)dx. і Jtl Jil Применяя теорему Шеффе для последовательности Vj из определения регулярного функционала, получим ffaVvj) -+ f(x,Vv) в L iU). (10.8) Напомним, что вектор w Ll(Q,)d соленоидален, если Jn w Vtpdx = 0 V 7 Є С? (О). (10.9) Расширим множество пробных функций в этом определении. Лемма 3.10.1 Пусть f регулярен и удовлетворяет А2-условию: f(x,±2) c(f(x,) + l). Тогда, если і) Є Q(fi), f{x,Vv)eL\n), / (x.wJeL1 ), divw = 0, то w Vvdx = 0. (10.10) Jn Доказательство. Пусть Vj - последовательность из (10.8). Не ограничивая общности, считаем, что VVJ(X) - Vv(x) п.в. в П. (10.11) Используя неравенство Юнга и Д2-условие для /, имеем 2\VVJ w\ f(x, 2VVJ) + f(xt -2VVJ) + f (xtw) cf(x, VVj) + f (x, w) + с Так как f (x,w) Є Ll(Cl)t а для последовательности Vj имеет место сходимость (10.8), получаем равностепенную интегрируемость семейства w VVJ. Теперь, учитывая (10.11), по теореме Лебега выводим сходимость w Vu,--+ш Vu в L fl). (10.12) Из соленоидальности вектора w и сходимости (10.12) следует 0 = / w Vvjdx = lim / w Vvjdx = I w Vvdx. Jn WJa Jn Равенство (10.10) и вместе с тем лемма 3.10.1 доказаны. Отметим следующий принцип локальности, для которого важно ограничение (10.7) на показатели а,/3 из определения класса (0.2).
Классическая лемма о компенсированной компактности и ее обобщения
Теперь, положив Д(ту}= 2Ф {\\v\) получаем из (7.8) искомую оценку (7.2). Строгая выпуклость локальной характеристики р() в случае смены знака р(х) — 2 на В установлена. Лемма доказана. Лемма 2.7.1 позволяет доказать строгую выпуклость Г-предельных интегрантов для последовательности Д(Ї, ) степенных интегрантов. Имеет место следующая Теорема 2.1 Интегранты f(x, ) ё S(a, J3) строго выпуклы по f для почти всех х Є О.. Доказательство. Проверим, что на каждом этапе построения Г-предела (шаги 1-3 процедуры) свойство строгой выпуклости наследуется от f(x,) промежуточными объектам. В силу леммы 2.7.1 функция #:() = р(В,), построенная по степенному интегранту /(х,), строго выпукла. Более точно, выполнено неравенство Ъ ( 4 ) - 2 e(ll) + \ (& М\Ь " Ы), где AM) О V 0. Перейдем в этом неравенстве к поточечному пределу для всех {і, є Jf, К - произвольный фиксированный компакт в IRd. Важно отметить, что функцию AM) можно выбрать не зависящей от s, то есть AM) — A(t), что также следует из леммы 2.7.1. Значит функция р{0 limy e(f) см- шаг 1 процедуры на стр.43, строго выпукла.
По построению функция Фг(#,)) см. шаг 2 процедуры, строго выпукла по для п.в. ІЄП. Это свойство сохраняется при поточечной сходимости Фг(х, 0 - f{x,%), см. шаг 3 процедуры, для п.в. іЄ(1и всех е К (функция A(t) может быть выбрана не зависящей от г). В итоге, показана строгая выпуклость интегранта f{x,$) 6 S(a,0). Теорема доказана.
Доказательство неравенств (7.1) 1. Докажем элементарное неравенство \Z + v\P + \t-rj\P 2P-\\tf+\Vn C lRd, р 2, из которого неравенство (7.1)i получается делением на 2Р. Используя числовые неравенства для о О, Ь О, р 2: ap + V {a2 + b2) , (7.11) a2 + b2 (ap + bp)h TL, (7.12) запишем цепочку неравенств (7.1Х) К + ЧІ + К - чГ (К + ч!2 + 1С - ч2) {2(ІЄ2 + W2)} 7 } 2«{(ЄГ + ІчГ) } = 2Ї2 (ЄГ + Ш = 2 Х(11Р + ІЧІР), где на втором шаге учли тождество параллелограмма ІС + ч12 + І-чІ2 2(р + чІ2), е.чеи . Из (7.13) следует искомое неравенство. Докажем неравенство (7.11). Можно считать, что а Ь 0, а ф 0. Из соображений однородности достаточно показать, что l + u" (l + u2), u[0,l], или Последнее верно, так как /(0) = 1 и т = w M i _ 0±LHl+ип - (в.+ _ о если р 2, в силу того, что величина в квадратной скобке неотрицательна: u + v? 1 -up+1 -v? 1 =и-ир 1 0, если и Є [0,1], Р 2, Неравенство (7.12) верно в силу числового неравенства Гельдера где полагаем s= 1, Ai = а2, А2 = fc2, Bi = В2 = 1. 2. В работе [11] доказано неравенство ІЄІ- - W vW-M ( - п) + й1\\я + \№-Р (7 14) выражающее свойство строгой выпуклости функции /() = р, 1 р 2, (ЄЙ, через касательные. Приведем его доказательство, а затем выведем из него искомое неравенство (7.1)2. Зафиксировав и т}, рассмотрим функцию переменной t
Согласно формуле разложения функции f(t) в ряд Тейлора с остаточным членом в интегральной форме, имеем при условии, что + t(t) - ) Ф 0 при 0 t 1. Если + t(r) — ) = 0 для некоторого t, О ( 1, то этот случай прост и изучается отдельно, его анализ опускаем. Прямые вычисления дают представление f (t) = Р(Р - 2)[{ + (ч - ОГЧіі + t(v - 0) (v - Є)}2 +№ + t(v-Or2\v-Z\2, из которого по неравенству Коши - Буняковского получаем
Для произвольного показателя р(х) локальные характеристики Vi и $2, введенные в (8.1), вообще говоря, не совпадают, можно утверждать лишь неравенство ф\ ф2 которое в некоторых случая реализуется как строгое неравенство.
Обратимся к известному факту выпуклого анализа, а именно, теореме двойственности. Пусть Y - рефлексивное банахово пространство, Y - сопряженное к нему, (у ,у) -значение функционала у Є Y на элементе у Є У, V - выпуклое замкнутое подмножество в Y, Vа - его ортогональное дополнение
Доказательство теоремы двойственности можно найти в [19] глава XIII, 1, или [28], [32]. Между локальными характеристиками pi и р% и двойственным локальными характеристиками ірі и 2, определенными формулами (8.2), существует взаимно-однозначное соответствие, через сопряжение Юнга - Фенхеля, которое оправдывает использование термина "двойственность". Более точно, имеет место следующая Лемма 2.8.1 Локальные характеристики и двойственные локальные характеристики связаны соотношениями двойственности П = Ф1, 4 г - Ф\, Фі = Vli Фг = Pv (8-3) Доказательство этой леммы, основанное на теореме двойственности, опускаем, см. [10], лемма 5.2.
Вариационное представление (8.2) характеристик ф() позволяет установить их строгую выпуклость, опираясь на строгую выпуклость интегранта %-. Следуя схеме исследований, изложенной в 7, получим следующий результат.
Лемма 2.8.2 Функция V (0 = Ф(В, ) строго выпукла по Є то есть выполнено неравенство Ф ( ) \№i) + \ф(Ь) Шх - 61), где 5(t) 0 V 0. Функцию 5(t) можно выбрать одним из трех способов для всех интегрантов класса (6.1), в зависимости от условий на показатель р1: і)для любых ь 2, e viu р (х) 2 на В; іі)для любых і, & из произвольного фиксированного компакта К С JRd, если j/{x) 2 на В; Ш)для любых i, 2 W3 произвольного фиксированного компакта К с IRd, если р (х) — 2 меняет знак на В;
