Содержание к диссертации
Введение
1 Модель конвективной диффузии примесей 19
1. Свойства решений параболических и эллиптических уравнений. 19
1. Обобщенные решения из V(Q) 19
2. Смешанная начально-краевая задача в V{Q) 22
3 Оценки в W^(Q) и в H2+a{Q) 24
4 Квазилинейные уравнения 25
5 Уравнения типа диффузии 26
6 Оценки в W}> (Q) 26
7 Стационарная задача 27
8 Условия стирания 30
9 О гельдеровской непрерывности решений второй и смешанной начально-краевых задач 32
2. Дифференциальные уравнения модели. 35
3. Разрешимость регуляризованной задачи. 38
4. Теоремы существования. 44
1 Обобщенные решения 45
2 Сильные обобщенные решения 49
3 Классические решения 51
5. Стационарная задача. 53
1 Обобщенные решения 54
2 Сильные обобщенные решения 55
3 Классические решения 57
6. Устойчивость и единственность решений. 58
2 Перенос реагирующих примесей при свободной конвекции вязкой жидкости 62
1. Вспомогательные сведения. 63
2. Уравнения модели. 64
3. Равномерные оценки решений. 67
1 Регуляризация задачи 67
2 Оценки решений совместной задачи 69
4. Теоремы существования. 69
1 Обобщенные решения 69
2 Классическая разрешимость задачи 71
3 Смешанная начально-краевая задача 72
5. Теорема устойчивости и единственности. 75
3 Нестационарные потоки неоднородной вязкой несжимаемой жидкости 79
1. Диффузионная модель неоднородной вязкой несжимаемой жидкости. 79
1 Уравнения модели 79
2 Начально-краевая задача 81
3 Регуляризованная задача 82
4 Теорема существования 84
2. Фильтрация неоднородной несжимаемой жидкости в пористой среде. 86
1 Постановка задачи 86
2 Разрешимость фильтрационной задачи 87
3. Модели с диффузией плотности. 89
Список литературы 91
- Смешанная начально-краевая задача в V{Q)
- Сильные обобщенные решения
- Классическая разрешимость задачи
- Модели с диффузией плотности.
Введение к работе
Диссертация посвящена теоретическому анализу моделей диффузионного тепломассопереноса реагирующих примесей различными потоками вязкой жидкости.
Актуальность проблемы математической корректности начально-краевых задач для уравнений вязкой жидкости (моделей типа Навье-Стокса, пограничного слоя и других) обусловлена многочисленными приложениями в механике сплошных сред. Кроме того, задачи, связанные с этими проблемами, представляют самостоятельный интерес для теории дифференциальных уравнений. Наконец, исследование корректности указанных задач способствует созданию численных алгоритмов их решения.
В 50 - 70 гг. прошлого века в связи с проблемой защиты космических аппаратов при входе их в плотные слои атмосферы в СССР и за рубежом начались активные разработки моделей этого процесса. При этом необходимо было учесть различные физические факторы, из которых наиболее важным является учет химических реакций на обтекаемой стенке и в ее окрестности.
Поэтому первые исследования этих процессов проводились в рамках теории пограничного слоя смеси ионизированных газов в основном в виде численных расчетов этих задач. Отметим здесь работы: Щен-никова В. В. [32], Хошизаки X. [33], Паллоне А., Ван Тасселя В. [34], Авдуевского В. С, Глебовой Г. А. [35], Суслова О. Н., Тирского Г. А., Щенникова В. В. [7], Лиза Л. [40], Риддела Ф., Фэя Д. [41].
Разрешимость начально-краевых задач для погране дойных моделей
тепломассопереноса была доказана в работах Хуснутдиновой Н. В. [36] и Соппа М. С. [8] в малом по длине обтекаемой стенки.
Теоретический анализ моделей взаимопроникающих сред (модель Рах-матулина) был проведен Кажиховым А. В., Петровым А. Н. [28].
Диффузионные процессы, описываемые системами линейных параболических уравнений, изучались Эйдельманом С. Д. [37], Со-лонниковым В. А. [38] и другими.
Сильно нелинейные стационарные диффузионные процессы исследованы Монаховым В. Н. [17].
Интерес к изучению моделей диффузионного переноса реагирующих примесей потоками вязкой жидкости возродился, в частности, в связи с экологическими проблемами: Пененко В. В. [25], Кашеваров А. А. [26], Годунов С. К. [27] и другие.
Теоретическому анализу этих моделей посвящены работы Алексеева Г. В. [24], Темама Р. [9], Нормана Д. Е. [10, 11] и других. Во всех этих исследованиях рассмотрены только частные модели, например, в случае матрицы диффузии D = ХЕ, Е — единичная матрица, А = const > 0. Кроме того в этих работах не устанавливаются необходимые физические свойства концентраций Sfc, к = 1,т примесей:
0<*<1, X>* = i.
Jfc=l
В работе Жидковой М. И., Монахова В. Н. [50] изучается общая квазилинейная модель, для решений которой устанавливается справедливость указанных выше свойств концентраций примесей.
Цель работы. В диссертации доказывается разрешимость начально-краевых задач для диффузионных моделей переноса реагирующих при-
месей тепловыми потоками вязкой жидкости в магнитном поле или пористой среде с учетом сил сопротивления.
Соответствующие этим процессам системы уравнений состоят из сильно связанных уравнений параболического (модель диффузии) и составного типа (модель типа Навье-Стокса).
Методы исследования. Производится специальная є— регуляризация задачи (0 < е < 1), формально расщепляющая ее на две независимые модели : модель диффузии примесей на заданном поле скоростей жидкости и модель типа Навье-Стокса вязкой жидкости при известном распределении концентраций примесей и температуры.
Классическая разрешимость начально-краевых задач для регуляризо-ванных моделей устанавливается на основе справедливых для их решений оценок шаудеровского типа, зависящих, вообще говоря, от є.
Затем с помощью более детального анализа решений регуляризован-ных задач получаются оценки, не зависящие от є и позволяющие осуществить предельный переход при є -4 0.
Научная новизна. Все основные результаты, изложенные в диссертации, являются новыми и подтверждены полными доказательствами.
Полученные другими авторами результаты относятся к различным упрощениям изученных в работе моделей.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер и ее результаты могут быть использованы при численном решении задач конвективно-диффузионного тепломассопере-носа реагирующих примесей.
Публикации и апробация работы. Основные результаты дис-
сертации опубликованы в 10 работах автора.
Материалы диссертации неоднократно докладывались на международных и российских конференциях: Международная научная конференция "Фундаментальные и прикладные вопросы механики", г. Хабаровск (2003), Всероссийская конференция "Математические методы в механике природных сред и экологии", г. Барнаул (2002), Дальневосточная математическая школа-семинар им, Е. В. Золотова, г. Владивосток (2002-2004).
Результаты диссертации доложены также на семинарах : Хабаровского государственного технического университета, "Дифференциальные уравнения" под руководством профессора Зарубина А. Г. (2003), Института прикладной математики ДВО РАН, "Экстремальные задачи" под руководством профессора Алексеева Г. В. (2004), Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН "Математические проблемы механики сплошных сред" под руководством академика Монахова В. Н., чл.-корр. РАН Плотникова П. И. (2004, 2005)
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы и списка литературы.
Общий объем диссертации 97 страниц машинописного текста, библиография содержит 51 наименование в основном монографического характера.
На протяжении диссертации нумерация формул ведется отдельно по параграфам в каждой главе. В ссылках на формулы из других параграфов данной главы используется двойная нумерация. Первая цифра соответствует номеру параграфа, а вторая — номеру формулы. В ссылках на
формулы из других глав используется тройная нумерация с первой цифрой, соответствующей номеру главы; второй цифрой, соответствующей номеру параграфа; третьей цифрой, соответствующей номеру формулы параграфа.
Содержание работы
Введение к диссертации содержит краткие исторические сведения по ее теме, изложение причин и целей проводимых в ней исследований и перечисление основных положений работы.
Смешанная начально-краевая задача в V{Q)
Замечание 5. Пользуясь оценкой (20) для решений стационарной задачи (18), (19), с помощью метода Роте можно усилить оценку (17). Тогда для решения смешанной краевой задачи (15), (16) в нестационарном случае неравенство (17) будет справедливо в области Q без выделения окрестности От{Г1 П Г2). Докажем оценку (20) при менее ограничительных условиях, чем в лемме 11. Без нарушения общности будем считать область Q верхней полуплоскостью: О = {х,у\ — со х ос,у 0}, = xt,y = у\. Этого всегда можно добиться с помощью конформного отображения, не меняющего свойств коэффициентов уравнения (18) [14, с. 233]. Сделаем замену искомых функций, полагая Тогда задача (18), (19) принимает вид Записывая полученную эллиптическую систему уравнений (21) в комплексной форме, приходим к следующей краевой задаче для функции ((/? + гф) = w(z) : Согласно (20), при условиях леммы 11, функция s(x, у) Є WUQ), q 2 и, следовательно, w(z) = функции F(x,y,s) обозначим через F (x,y) = F[x,y, s(x,y)], если для s(x,y) выполняется оценка (20). Предположение (Те) : \\(К,К Ь Я Ч ШФ Ni ll(VS,G)$, N, \К\ N,q 2. Если (IQ) выполняется, то по построению в задаче (23) имеем Напомним, что П = [j Г{, j = 1,2. Пусть ак = Г1к f] Г2_21 /Зк = Т\ f] Г2к, В классе ограниченных решений индекс задачи (23) равен — (I — 1). Следовательно, при I 1 существует ее решение w( ) Є WUfl), q 2 только при выполнении (1—1) условий разрешимости на граничные функции ро(х),фо(х) [18, с. 275]. Поэтому нужно выбрать произвольно (/ — 1) точек среди ак, /Зк, к 1,1, в которых допускается неограниченность w(-z). Обозначим эти точки через хк, к = 1, / — 1(—со х1 х1-1 оо). Тогда согласно [18, с. 275] существует решение vr(z) Є Lq(Q.) задачи (23), обладающее свойством гле \\ \\q,n — II ІІиг (П)ї -1)2, Возвращаясь к исходной задаче (18), (19) в конечной области fi, Q 00, приходим к следующему утверждению. Теорема 1. Пусть выполняются предположения (/g). Тогда для решения s[x) Є W (fi), q 2 задачи (18), (19) справедлива оценка (20), а также неравенство где х = {хі, 2) Є Q, xfc = (4, z) Є (Г1 П Г2) С ЭП, k = 1,1-1. Если дополнительно выполняются (1 — 1) условий на граничные функции V5, G, то Замечание 6. Если / = 1, т. е. множество Г ПГ2 состоит из двух точек хк = ( 1, ж ), & = 1,2, то оценка (27) выполняется без дополнительных условий разрешимости. Лемма 12 [22, с. 376]. Пусть выполняется условие Тогда решение s[x) задачи (18), (19) принадлежит классу W (n) П С2+а(ПГ), ПТ = П\От{Г1 П Г2), g 2, a 0, причел дополнительно к неравенству (20) справедлива оценка Если Г2 = 0 или Г1 = 0, mo Qr = Г2. 8. УСЛОВИЯ стирания. В этом пункте более детально исследуется смешанная краевая задача для параболических и эллиптических уравнений.
Для решений уравнения (1) рассмотрим смешанную начально-крае вую задачу (8) при /3=0, представив ее в форме где д = gk(x,t), (x,t) єГк, к 1,2, д1 = VS n, д2 = G. Продолжим построенную функцию д\т внутрь области Q, например, с помощью решения задачи (29) для уравнения Rt — AR = 0 и оставим за продолженной функцией обозначение д = g(x,t), (x,t) Є Q. Определение 1. Будем говорить, что для решения смешанной начально-краевой задачи (1), (8) (/? = 0, G = G(x,t)) выполнено условие стирания в классах Ha(Q), W (Q), W l(Q) или H2+a(Q), если решение R(x,t) второй начально-краевой задачи (29) для уравнения Rt — AR = 0 принадлежит соответствующему классу — Ha(Q), При выполнении условий стирания смешанная начально-краевая задача (1), (8) переходит во вторую начально-краевую задачу (1),(29), т. е. граничное множество Г1 П Г2 стирается. Для некоторых классов функций условия стирания можно выписать непосредственно в терминах граничных функций 5г и (7г. Например, для класса Ha(Q) достаточно выполнения соответствующих условий гладкости (V5,G)pjfjo щ и следующих классических условий согласования нулевого порядка Теорема 2.1) При выполнении предположений леммы 10 и условий стирания в классе W Q(Q), q 2 для решения s(x,t) задачи (1), (8) (/3 = 0) справедлива оценка (17) в области Q. 2) Если для задачи (1), (8) (/3 = 0) выполняются предположения леммы 7 и условия стирания в классе W X{Q), q 2, то для ее решения s(x,t) справедлива оценка (13) в Q. 3) Пусть выполняются предположения леммы 6 и условия стирания в классе H2+a(Q) для граничных функций в (8). Тогда для решения s{x,t) задачи (1), (8) (/? = 0) справедлива оценка (12) в области Q. 4) Пусть в стационарной задаче (18), (19) выполняются предполо жения леммы 12 и условия стирания в классе C2+a(Q). Тогда для s{x) оценка (28) справедлива во всей области Q. Определение 2. Локальными условиями стиранияв классе Ha(Q),... назовем условия, при которых R(x,t) в задаче (29) принадлежит соответствующему классу Ha(Q),... в окрестности некоторой линии Для стационарной задачи примеры выполнения локальных условий стирания указаны в неравенстве (26). Если в теореме 2 условия стирания заменить на локальные, то ее утверждения останутся справедливыми в Qr U О( ), zk Є Г1 Г) Г2. 9. О гельдеровской непрерывности решений второй и смешанной начально-краевых задач. Автору не удалось найти точных ссылок на работы, в которых доказывается гельдеровская непрерывность решений второй начально-краевой задачи для уравнения вида (1). В смешанной начально-краевой задаче, изученной в [14, с. 244] для модели двухфазной фильтрации, условия на коэффициенты уравнения (1) содержат ряд предположений, связанных со спецификой задачи фильтрации, например, sup f jjg.n M) Q 2. t Поэтому, мы посчитали необходимым привести доказательство этих оценок при удобных для нас условиях. Определение 3. Если в окрестности некоторой точки Xk : у1 Г\ "у2 С ЗП существует диффеоморфизм у = у{х) Є С1, I 1, \DyjDx\ d 0, преобразующий эту окрестность в прямой угол {у\ = 0) У2 0; Уч = 0, ї/і 0}, то будем говорить, что в точке Xk Є 71 72 выполнено условие прямого угла [14, с. 231]. Отметим, что условие гладкости преобразования у — у{х) налагает требование на наличие угла в точке Хк- Замечание 7.
В прикладных задачах линиям Г ПГ2 = Пу2 х (0, Т) стыка граничных данных в (8), как правило, отвечает наличие угловых точек Xk Є 7і П72 [14, с. 27]. Теорема 3. Пусть \\(h,f,4R,Rt)\\qiQ ц2, \Щ(д] дх2, q 2, а 0, R(x,t) — функция, удовлетворяющая начально-краевым условиям (8) при /3 — 0. Тогда для решения s(x,t) Є V{Q) задачи (1), (8) справедливо неравенство где QT = Q\CT(r1 П Г2), От — т окрестность Г1 П Г2. Если выполнены условия прямого угла в точке % Є 7і 72 Є dVL, то неравенство (31) имеет место в области Q = Qr U Or(zk), %k — {%k, t Т}, От — т окрестность линии z . Если Г1 = 0 или Г2 = 0, т. е. ( — вторая или первая начально-краевые задачи, то оценка (31) выполняется в области Q. Доказательство неравенства (31), как и в лемме 5, проведем для решения v(xt t) однородной (S = G = /5 — 0) начально-краевой задачи (8), (9). С помощью гомеоморфизма у = у(х) Є С2+а, а 0 распрямим локально кривую 7І Є С2+а (k = 1,1) и запишем уравнение (9) в виде [14, с. 245]: Здесь J = DxjDy — якобиан преобразования, Существование преобразования у — у{х) С2+а в окрестности кривой 7 следует из свойств квазиконформных отображений [18, гл. V]. Аналогично [14, с. 245] введем новую функцию w(y,t) = Jv, преобразуя (32) в уравнение для где матрица AQ сохраняет свойства матрицы А, Положим / = yi-fl) = {у2 = 0, 0 г/1 у?}, В\ = / х (0,Г) и прсдолжим через В\ решение w(y, t) и коэффициенты в (33): w, AQ, FI — четным, Fi — нечетным образом [14, с. 233]. При таком продолжении свойства коэффициентов уравнения (33) не меняются, а (33) выполняется в более широкой области Q , содержащей поверхность В\. Тогда в силу внутренней оценки (7), решение w(j/, t) непрерывно по Гельдеру вплоть до поверхности В\т = ВІ\От(дВІ), т 0. С учетом гельдеровской непрерывности w(y,), согласно лемме 5, вплоть до по-верхностей Г\т = Г \СТ(5Г ) приходим к оценке вида (31) для w(y,i), а возвращаясь к переменным (x,i) окончательно устанавливаем справедливость (31) для функции s(x,t). Пусть теперь в точке Хк = 7jt 7 1 выполнено условие прямого угла. С помощью гомеоморфизма у у(х) Є С2+а} а 0 переведем кривые 7 , Ik в прямые Полностью аналогично предыдущему, получим уравнение (33) для функции w = Jv. Сохраним прежнее продолжение w, Ло, F через поверхность ВІ = /? х (0,JT), а через ВІ = РІ х (0,Т) произведем продолжение их так: w — нечетным, Ag, F — четным образом [14, с. 233]. При этом уравнение (33) будет выполняться в области Q , содержащей поверхности F$l и В% вместе с линией их пересечения 2 = В\ П В . Это обстоятельство и приводит к справедливости оценки (31) в области Q — (Зт U 0r(zjt).
Сильные обобщенные решения
Зафиксируем в неравенстве (6) число q 2 и получим оценку з(ж, t) в пространстве Wi Q), 2 qa q. Согласно (1.13) при і = 0 имеем Пользуясь неравенством Гельдера [18, с. 60], оценим норму произведения UVSQ : где p = qqQ(q - go)-1- Положим N + iV02 = N0. Окончательно приходим к оценке Аналогично имеем Суммируя обе части полученного неравенства от 0 до т, находим Полагая S = 1/2С, завершим получение искомой оценки: Отметим, что согласно следствию к лемме 7 1 при до 4 из (9) вытекает оценка Замечание 2. Если Г2 = 0 или Г1 = 0, или же выполнено условие стирания в классе B%a(Q) V{Q) П W {Q) Л #a(Q), q0 2, а 0, то неравенства (9), (10) справедливы в области Q. Определение 2. Сильным обобщенным решением задачи (1), (2) класса B a(QT) назовем вектор s(x, t), удовлетворяющий начально-краевым условиям (2), неравенствам (7), (9) и почти всюду в Q системе уравнений (1). Аналогично предыдущему пункту, с помощью предельного перехода і, при є — 0 в интегральных тождествах (8), приходим к утверждению. Теорема 2 (о сильных обобщенных решениях). Пусть выполняются условия теоремы і и дополнительное предположение еде р = qqo(q — 7о) \ l 7o 2, q — число в неравенстве (6). Тогда существует по крайней мере одно сильное обобщенное решение s(x,t) Є Bq (QT) задачи (1), (2), для которого справедлива оценка Пусть удовлетворяется предположение (г г) : Г2 = 0 или Г1 = 0, или выполняется условие стирания в классе Щ?{Я) 0,2 qQ q. Тогда оценка (11) справедлива в Q(QT = Q). 3. Классические решения. Предположение Предполагая дополнительно, что в условиях (іі), (г 2) теоремы 2 имеем qo 4, получим оценку s(x,i) в H2+a(Qr). Согласно оценке (1.12) при г = 0 имеем где Ni = (V50)G5)gT+a) 00, (A5.G5) = {hD,G0)[x,t}s{x,t)], s(s,i) удо-влетворяет неравенству (10) в силу предположения, что 7о 4. Обозначая JV02 = IUVSQIQ? И N0 = JVj + JV02, приходим к оценке Аналогично находим Суммируя от 0 до m обе части этого неравенства и, полагая J = 1/2С, получим Доказано также утверждение. Теорема 3 (существопания классического решения). Пусть выполняется предположение (гі) теоремы 2 с qo 4 и имеет место гельдеровская непрерыеностъ коэффициентов (1), (2) по всем аргументам. Тогда существует по крайней мере одно классическое решение s(x,t) Є V(Q) П H2+a(QT), Vr 0 задачи (1), (2), удовлетворяющее неравенству Если дополнительно выполняется предположение ( ) теоремы 2 с 9о 4, то последнее неравенство справедливо в области Q. Доказательство теоремы осуществляется предельным переходом при є — 0 в интегральных тождествах (8) полностью аналогично доказательству теорем 1, 2. Изучается стационарная задача диффузии: Все величины в (1), (2) определены в предыдущих параграфах, V u = 0.
Предположения о свойствах коэффициентов уравнений 1) и граничных функций в (2) также полностью сохраняются в стационарном случае. Проведем как и в 3 регуляризацию задачи (1), (2) и аналогично 3 докажем физически необходимые свойства функций з {х), к = Q,m : He представляет также дополнительных трудностей по сравнению с нестационарной задачей и доказательство существования решения регуляризованной задачи (1), (2), 1. Обобщенные решения. Докажем неравенство где fz - (V/o,..., V/m), Vf = (/о, , /m). Пользуясь схемой 4 с помощью неравенства (1.20), будем последовательно оценивать Vst-: Суммируя обе части полученного неравенства от 0 до m и, полагая 5 = 1/2С, приходим к оценке Гельдеровская непрерывность s(x) в (4) следует из теоремы вложения Wq(Q) С Ca(Q), q 2, а = 1 - 2/q. Итак, оценка (4) доказана. Определение 1. Обобщенным решением задачи (1), (2) назовем вектор s(x) Є VVgf(n) П Ca(Q), q 2, a 0, принимающий граничные условия (2), для которого выполняется неравенство (4) и следующие интегральные тождества Здесь (f,g) = /„ /prfa?, v? ЄИ (fi), 2(v?riur = 0), Л = XijVsj-иа{. Теорема 1 (существования обобщенных решений). Пусть выполняется предположение (г) 2 и условия Тогда существует по крайней мере одно обобщенное решение s{x) Є И (П) П Са{П)у q 2, а 0 задачи (1), (2). Для доказательства теоремы 1 выделим из последовательности s(x,e) Є Са(П)сСа(П), Vao а (знак С означает компактное вложение) подпоследовательность s(x,n) Є Са(1), сходящуюся при єп — О к вектору s(x) = s(x,0). Учитывая слабую компактность ограниченного множества в W1 ), q 2, выделим теперь из подпоследовательности {s(x,en)} слабо сходящуюся в Wq(Q) подпоследовательность {sx(x,enk)}, ел. Этот диагональный процесс аналогично 4 позволяет перейти к пределу при є — 0 в интегральных тождествах (5), что и доказывает утверждение теоремы 1. 2. Сильные обобщенные решения. Зафиксируем в неравенстве (4) число q 2 и получим, как и в 4, оценку s(x) в пространстве И о(0), 2 0 Я- Выберем произвольно (I — 1) точек хк Є Г1 П Г2, в которых допускается неограниченность sxx (теорема 1 1). Тогда согласно (1.26) при г = 0 имеем где fiT = 0\ОТ(хк), От — г окрестность точек xfc, = 1,/-1. Учитывая условие (г)2, находим Пользуясь неравенством Гельдера [18, с. 60], оценим норму произведения uVs0 : где р = qqo{q — Яй) г Положим Л 1 + N = 7V0. Окончательно приходим к оценке Аналогично имеем Суммируя обе части полученного неравенства от 0 до т и, полагая 6 = 1/2(7, находим Отметим, что согласно теореме вложения при до 2 из (6) вытекает оценка Замечание 1. Если Г2 = 0 или Г1 = 0, или же выполнено условие стирания в классе Вда(1) = W (Q) П Wgo(Q)t 2 go 2 то неравенства (6), (7) справедливы в области Q. Определение 2. Сильным обобщенным решением задачи (1), (2) класса В% (QT) назовем вектор s(a;), удовлетворяющий начально-краевым условиям (2), неравенствам (4), (6) и почти всюду в Q системе уравнений (1). Аналогично предыдущему пункту с помощью предельного перехода при є — 0 в интегральных тождествах (5), приходим к утверждению.
Теорема 2 (о сильных обобщенных решениях). Пусть выполняются условия теоремы 1 и дополнительное предположение где р — qqo(q — 7о) \ q go 2, q — число в неравенстве (4)- Тогда существует по крайней мере одно сильное обобщенное решение s(x) задачи (1), (2), для которого справедливы оценки (6), (7) в Qr. Пусть удовлетворяется предположение (г 5) : Г2 = 0 или Г1 = 0, или выполняется условие стирания в ВЦП), 2 q0 q. Тогда оценки (6), (7) справедливы в Г2(ПГ = Q). Эти оценки также выполняются в 1, если граничные данные S, G в (2) удовлетворяют (/—1) условиям разрешимости (теорема 1 lj. При I — 1 оценки (6), (7) выполняются в Q автоматически. 3. Классические решения. Согласно оценке (1.28) при г = 0 имеем Обозначая iV02 = UVS0 Q) И NQ = N$ + N$, приходим к оценке Аналогично находим Суммируя от 0 до т обе части этого неравенства и, полагая 5 = 1/2С, получим Теорема 3 (существования классического решения). Пусть выполняется предположение [ід) теоремы 2 с ft, 2 qa q и следующее условие Тогда существует по крайней мере одно классическое решение s(x) Є Wq(Q) П C2+a(p,T), Vr О задачи (1), (2), удовлетворяющее неравенству (8) в 1Т. Если дополнительно выполняется предположение (г б) теоремы 2 с 2 о Qi то неравенство (8) справедливо в области П. Доказательство теоремы осуществляется предельным переходом при є — 0 в интегральных тождествах (5) полностью аналогично доказательству теорем 1, 2. Рассмотрим начально-краевую задачу {x, t) Є Г2, uk = uk(x, t) — скорости потоков жидкости, где sk — решения задачи (1), (2), соответствующие значениям Sk, Gk, ufc. Вычтем обе части уравнений (1) и граничных данных (2), отвечающие (S G1,!!1) и (S2, G2,u2) друг из друга и запишем задачу вида (1), (2) для s = s1 — s2. С этой целью для вычисления приращения воспользуемся формулой конечных приращений, установленной в [20]: Вычислим приращение D каждого из слагаемых в (1), (2): Применительно к вектору фі (Xij)hi) Gi) запишем (3) в виде В результате приходим к задаче вида (1.1 ) : Сделаем предположение ( 7) — условия диффереицируемости: Применим к задаче (4), (5) для sa(x,t) результаты лемм 4, 5 1, пола-гая В( #) = V(QS) П (Я« П Используя предположения (г) 2 и (г 7), находим где Яо — решение задачи (5) для уравнения Rot — Ai?o = О- При получении этой оценки использовались следующие стандартные неравенства: Аналогично имеем Суммируя обе части этого неравенства от 0 до т и, полагая Рассматривая теперь этот процесс в областях Q16 = QTC\ ((1 — 1)5,15), I — 2,N, N — целая часть (Т + 1)6-1 и, учитывая равномерную ограниченность решений sk(xtt) в норме В2Я(Ят), получим неравенство (6) в Теорема 1 (устойчивости и единственности). Пусть выполняются условия лемм 2, 3 4 и предполооюение (%т).
Классическая разрешимость задачи
С помощью интерполяционного неравенства \ііу К \иу [14, с. 134] и неравенства Юнга аналогично [14, с. 134] придадим оценке Солонникова В.А. окончательный вид где К — постоянная в неравенствах (1), Ы1 — І7І# Для решений задачи (2.2), (3.1) выполняются классические шаудеров-ские оценки их решений Пользуясь компактностью вложения H2+0(Q) С H2+a(Q)i 0 /3 а 1, выделим из последовательности {и (є)} = {u(e), Vp(e),s(e)} С Na X Ra подпоследовательность { (е )}, сходящуюся к ш(0) при є/; — 0 в норме— пространства Доказательство разрешимости задачи (Лі) в V (Q) завершается предельным переходом при Ek — 0 в уравнениях (2.1), (2.2). Теорема 2. Пусть выполняются предположения (г)2, (4) и условия согласования нулевого и первого порядков для (2.1), (2.2). Тогда существует классическое решение ш — (и,рх,з) Є V&(Q) задачи (Лі), для которого выполняются оценки (5), (6) с постоянными, зависящими от (U, S)\Q , infAfj = d 0 и констант в условиях (г)2 Замечание 1. Доказанные в теоремах 1, 2 результаты сохраняются и в том случае, когда dU С С , /3 0, т. е. на 00 имеется конечное число угловых точек х Є dQ. Естественно указанная в теоремах гладкость решений в окрестности этих точек нарушается. 3. Смешанная начально-краевая задача. Пусть (jiilf) С С2+@ (і = ТД) — смежные дуги на дП, Г = 7 {,Т) (к 1,2; г = ЇД), Г = Г1 U Г2 — боковая поверхность, fio = {х Є Q, = 0} — нижнее основание цилиндра Q, OQQ — Г U f2oj Гь = (Jx Г . Рассмотрим смешанную начально-краевую задачу [12, с.201], [14, с.240] Здесь U(a:, ),S(;c,i), G(a;,,s) (Got...,Gm) —продолжения в Q заданных начально-краевых значений, причем по физическому смыслу Sk 0, к = 1, m, ] 5fc = 1 на Г1 U QQ, п — единичный вектор внешней нормали к dQ, Xk = \kk к = 0,т — 1, Хт = Am_i — 6\ (определено в формуле (1.3.9)). В отличие от краевых условий (3.1) допускается, что на некоторых из (Г], Г?) имеем U-n = Un(x, t) ф О, причем возможно Un О, что соответствует втеканию жидкости в Q или Un 0 — вытеканию ее из Q. Граничные условия на Г? отражают факт обмена протекающих в Q процессов с внешней средой, например, выполнение классического условия теплообмена:Ао7 ]г? = тов. Условия (3.2) согласования нулевого порядка принимают вид Дополнительно к предположениям (2.3) о коэффициентах уравнений (2.2), потребуем выполнения следующих соотношений для граничных функций в (7) Замечание 2. В смешанной начально-краевой задаче (7) класс Bl (QT) V(Q) П W (Qr) П Пусть матрица диффузии D треугольная.
Оценки (u, s) в VK2 {Q) получаемые умножением уравнений (2.1), (2.2) соответственно на u,Sk и интегрированием по цилиндру Q, сохраняются и для решений задач (Аз) — второй начально-краевой задачи и (Аз) — смешанной начально-краевой задачи [13, с. 184], [12, с.169]. Тогда ограниченность [(u,s) аналогично 1 приводит к справедливости оценки (3.4) для (и, ). Отметим важное следствие (3.4) [14, с. 127], [13, с. 191] Пусть выполняются следующие предположения Как доказано в 4 гл.1 для вектора s(x, t) справедлива оценка вида (3-5): Случай квази-треугольной матрицы диффузии D = {\(j} рассматривается полностью аналогично. Замечание 3. Если Г1 = 0, т.е (7) - вторая начально-краевая задача, то оценки (12) выполняются в области Q (г = 0). С помощью более детального исследования поведения решений Sf(a:,2), г = 1, m в окрестности О Г1 ПГ2) для них также можно установить справедливость (12) в Q. Предельным переходом по параметру регуляризации є доказывается справедливость следующего утверждения типа теоремы 1. Теорема 3. Пусть в (7) функции U &W2 (Q), S Є W2(Q) П #a(Q), G Є Ca(E), a 0 удовлетворяют условиям (8), (9), (11), а коэффициенты (7,Ау,Лі) уравнений (2.1), (2.2) подчиняются (7) и (г) из 2. Тогда существует обобщенное решение ш = (и,рх, s) совместной задачи (Аз), удовлетворяющее неравенству (1) для (и,рх) и оценке (12) для s. Для доказательства классической разрешимости задачи (Аз) потребуем дополнительно к (8) выполнения условий согласования первого порядка и вместо (2.7) справедливость предположений (4). Полностью аналогично 2 получим оценку (5) для (и, ) и аналог неравенства (6) для s: Предельным переходом по параметру регуляризации є приходим к утверждению. Теорема 4. Пусть выполняются предположения (г)2, (4) и допол-нителъно к (8) условия согласования первого порядка. Тогда существует классическое решение (u,px,s) задачи (Аз), удовлетворяющее оценкам (5), (13) с постоянными, зависящими от (U,S)g , IGl i+o/ , а 0 и констант в условиях (г)2, (4). 5. Теорема устойчивости и единственности. Рассмотрим начально-краевую задачу (2.1), (2.2), (4.7): Пусть Sk = [SQ, ..., Skn)(x, t), k = 1,2 — различные заданные граничные функции при (х, і) Є Г1 U По, Gfc = (GQ, ..., Gkn)(x: t, sk) — при (x,t) Є Г2, \Jk = Uk(x,t) — граничные скорости потоков жидкости, wk = (uk,pk,sk) — решения задачи (1) - (3), соответствующие значениям S , Gk, U . Вычтем обе части уравнений (1), (2) и граничных данных (3), отвечающие (S1, G1, U1) и (S2, G2, U2) друг из друга и запишем задачу вида (1) - (3) для s = s1 - s2, и — и1 — и2, рх=р\ — р\.
В результате приходим к задаче для со = (u,px,s) : Рассмотрим неравенства (8), (9) в области Q5 = Q, х {0,6) и оценим аналогично 6 гл. I слагаемые, входящие в их правую часть, опуская пока индекс Qs в обозначениях норм: При получении этих оценок использовалось неравенство Гепьдера в форме [20, с. 60]: Складывая обе части этих неравенств и, полагая C$8r = 1/2, приходим к следующим оценкам устойчивости в Q5 : Повторяя, как и в 6 гл. I, эти построения последовательно в областях Q16 = QT п ((І - 1)5,/5), / = %N [N - целая часть (Г + 1)/5), установим справедливость оценок устойчивости (10), (11) в Q. Теорема 1 (устойчивости и единственности). Пусть шк = (uk,pb,sk) Є B(Q) = Wl l{Q) X L2(Q) X B Q), два решения задачи (1) - (3), соответствующие различным значениям (U , Sfc, G ), к = 1, 2, граничных данных в (3). Тогда для разности ш = ш1 — из1 этих решений выполняются оценки устойчивости (10), (11) в В классе B{Q) решение w{x,t) задачи (1) - (3) при G = G(x,t) единственно. Последнее утверждение теоремы является простым следствием неравенств (10), (11). Глава посвящена теоретическому анализу процесса переноса реагирующих примесей открытыми и фильтрационными потоками вязкой несжимаемой жидкости. В первом параграфе главы исследуется хорошо зарекомендовавшая себя в метеорологии и океанологии модель неоднородной вязкой несжимаемой жидкости, в которой дополнительно учитываются силы сопротивления магнитного поля или пористой среды. Другим объектом исследования в главе является предложенная Монаховым В. Н. (1977) модель фильтрации неоднородной несжимаемой жидкости в пористых средах (2). В обеих моделях гидродинамические потоки определяют движение смеси в целом, а распределения температуры и концентраций компонент неоднородной жидкости описываются общей нелинейной системой уравнений диффузионного тепломассопереноса.
Модели с диффузией плотности.
Кузнецовым Б. Г. [30] была предложена простая модель диффузионного массообмена между частицами среды с разной плотностью, в которой задача для искомой плотности p(xti) имеет вид [14, с. 148]: В моделях неоднородной жидкости, изученных в 1,2, функция Л = \(x,t,s) была равной нулю и поэтому величина р\г не задавалась. Рассмотрим регуляризованные диффузионные модели неоднородной жидкости (НЖ) = {1)) (1-1)— (1-4)} и модели фильтрации (МФ) = {(1), (2.1), (2.2), (1.3), (1.4)} с учетом задачи (1), отвечающей процессу диффузии плотности. Впервые теоретический анализ модели (НЖ) был проведен в работе Кажихова А. В., Смагулова Ш. [29], некоторые обобщения которой имеются в [31]. Положим р — sm+i, s = (SQ, ..., sm+i) и формально отнесем (1) к диффузионной задаче (1.2), (1.4). Тогда для вектора s(x, t) в моделях (НЖ) и (МФ) справедливы оценки (1.12), (1.14), (1.15). Оценки для u(x,t) и p(x,t) в 1,2, очевидно, сохраняются. Таким образом, доказанные в 1,2 теоремы существования, имеют место и для моделей (НЖ) и (МФ), но при этом Для моделей (НЖ) и (МФ) выполняются также оценки устойчивости, аналогичные доказанным в 5 гл. II. Диссертация посвящена теоретическому анализу моделей диффузионного тепломассопереноса реагирующих примесей различными потоками вязкой жидкости. Актуальность проблемы математической корректности начально-краевых задач для уравнений вязкой жидкости (моделей типа Навье-Стокса, пограничного слоя и других) обусловлена многочисленными приложениями в механике сплошных сред. Кроме того, задачи, связанные с этими проблемами, представляют самостоятельный интерес для теории дифференциальных уравнений. Наконец, исследование корректности указанных задач способствует созданию численных алгоритмов их решения. В 50 - 70 гг. прошлого века в связи с проблемой защиты космических аппаратов при входе их в плотные слои атмосферы в СССР и за рубежом начались активные разработки моделей этого процесса. При этом необходимо было учесть различные физические факторы, из которых наиболее важным является учет химических реакций на обтекаемой стенке и в ее окрестности.
Поэтому первые исследования этих процессов проводились в рамках теории пограничного слоя смеси ионизированных газов в основном в виде численных расчетов этих задач. Отметим здесь работы: Щен-никова В. В. [32], Хошизаки X. [33], Паллоне А., Ван Тасселя В. [34], Авдуевского В. С, Глебовой Г. А. [35], Суслова О. Н., Тирского Г. А., Щенникова В. В. [7], Лиза Л. [40], Риддела Ф., Фэя Д. [41]. Разрешимость начально-краевых задач для погране дойных моделей тепломассопереноса была доказана в работах Хуснутдиновой Н. В. [36] и Соппа М. С. [8] в малом по длине обтекаемой стенки. Теоретический анализ моделей взаимопроникающих сред (модель Рах-матулина) был проведен Кажиховым А. В., Петровым А. Н. [28]. Диффузионные процессы, описываемые системами линейных параболических уравнений, изучались Эйдельманом С. Д. [37], Со-лонниковым В. А. [38] и другими. Сильно нелинейные стационарные диффузионные процессы исследованы Монаховым В. Н. [17]. Интерес к изучению моделей диффузионного переноса реагирующих примесей потоками вязкой жидкости возродился, в частности, в связи с экологическими проблемами: Пененко В. В. [25], Кашеваров А. А. [26], Годунов С. К. [27] и другие. Теоретическому анализу этих моделей посвящены работы Алексеева Г. В. [24], Темама Р. [9], Нормана Д. Е. [10, 11] и других. Во всех этих исследованиях рассмотрены только частные модели, например, в случае матрицы диффузии D = ХЕ, Е — единичная матрица, А = const 0. Кроме того в этих работах не устанавливаются необходимые физические свойства концентраций Sfc, к = 1,т примесей: В работе Жидковой М. И., Монахова В. Н. [50] изучается общая квазилинейная модель, для решений которой устанавливается справедливость указанных выше свойств концентраций примесей. Цель работы. В диссертации доказывается разрешимость начально-краевых задач для диффузионных моделей переноса реагирующих при- месей тепловыми потоками вязкой жидкости в магнитном поле или пористой среде с учетом сил сопротивления. Соответствующие этим процессам системы уравнений состоят из сильно связанных уравнений параболического (модель диффузии) и составного типа (модель типа Навье-Стокса). Методы исследования. Производится специальная є— регуляризация задачи (0 е 1), формально расщепляющая ее на две независимые модели : модель диффузии примесей на заданном поле скоростей жидкости и модель типа Навье-Стокса вязкой жидкости при известном распределении концентраций примесей и температуры. Классическая разрешимость начально-краевых задач для регуляризо-ванных моделей устанавливается на основе справедливых для их решений оценок шаудеровского типа, зависящих, вообще говоря, от є. Затем с помощью более детального анализа решений регуляризован-ных задач получаются оценки, не зависящие от є и позволяющие осуществить предельный переход при є -4 0. Научная новизна. Все основные результаты, изложенные в диссертации, являются новыми и подтверждены полными доказательствами. Полученные другими авторами результаты относятся к различным упрощениям изученных в работе моделей. Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер и ее результаты могут быть использованы при численном решении задач конвективно-диффузионного тепломассопере-носа реагирующих примесей. Публикации и апробация работы.
Основные результаты дис- сертации опубликованы в 10 работах автора. Материалы диссертации неоднократно докладывались на международных и российских конференциях: Международная научная конференция "Фундаментальные и прикладные вопросы механики", г. Хабаровск (2003), Всероссийская конференция "Математические методы в механике природных сред и экологии", г. Барнаул (2002), Дальневосточная математическая школа-семинар им, Е. В. Золотова, г. Владивосток (2002-2004). Результаты диссертации доложены также на семинарах : Хабаровского государственного технического университета, "Дифференциальные уравнения" под руководством профессора Зарубина А. Г. (2003), Института прикладной математики ДВО РАН, "Экстремальные задачи" под руководством профессора Алексеева Г. В. (2004), Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН "Математические проблемы механики сплошных сред" под руководством академика Монахова В. Н., чл.-корр. РАН Плотникова П. И. (2004, 2005) Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы и списка литературы. Общий объем диссертации 97 страниц машинописного текста, библиография содержит 51 наименование в основном монографического характера. На протяжении диссертации нумерация формул ведется отдельно по параграфам в каждой главе. В ссылках на формулы из других параграфов данной главы используется двойная нумерация. Первая цифра соответствует номеру параграфа, а вторая — номеру формулы. В ссылках на формулы из других глав используется тройная нумерация с первой цифрой, соответствующей номеру главы; второй цифрой, соответствующей номеру параграфа; третьей цифрой, соответствующей номеру формулы параграфа. Содержание работы Введение к диссертации содержит краткие исторические сведения по ее теме, изложение причин и целей проводимых в ней исследований и перечисление основных положений работы. Глава I посвящена доказательству разрешимости общей задачи нестационарной и стационарной диффузии примесей при конвективном переносе их заданным потоком вязкой жидкости. В первом параграфе в основном излагаются известные результаты из теории параболических и эллиптических уравнений. Здесь же в виде теорем сформулированы три новых результата автора и найдены достаточные условия (условия стирания) возможности преобразования смешанной начально-краевой задачи во вторую начально-краевую задачу. Во втором параграфе приводятся дифференциальные уравнения модели и формулируются условия на их коэффициенты.
