Введение к работе
Актуальность проблемы. Широкое распространение математического моделирования в естественных и технических науках стимулировало разработку многочисленных алгоритмов приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Не представляет особого труда рассчитать с помощью таких алгоритмов приближенные решения систем, насчитывающих десятки уравнений, если последние удовлетворяют условиям теоремы существования, единственности и непрерывной зависимости решений от параметра. В тех же случаях, когда условия названной теоремы нарушается, эффективность алгоритмов заметно снижается, а в некоторых ситуациях становится практически равной нулю.
Подобная ситуация возникает, например, в случае, когда исследуемый процесс описывается дифференциальными уравнениями с малыми параметрами при старших производных. Такие уравнения получили название сингулярно возмущенных уравнений. Для процессов, описываемых сингулярно возмущенными уравнениями, характерны неравномерные переходы, наличие в них "быстрых" и "медленных" составляющих, что обуславливает "жесткость" рассматриваемой дифференциальной системы. Для жестких систем традиционные алгоритмы расчета приближенных решений теряют свою эффективность. Это ощущается в зоне пограничного слоя, возникающего при значениях независимой переменной, находящейся в окрестности граничных точек. Здесь необходимо каждую повторную вычислительную процедуру сопровождать существенным измельчением' отрезка интегрирования, что значительно увеличивает объем вычислений и заметно снижает эффективность применяемого алгоритма.
Возникающие трудности можно преодолеть с помощью предварительного асимптотического анализа исследуемой задачи, проводимого на основе методов асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений. Сочетание алгоритмов численного интегрирования, с методами асимптотического интегрирования, позволяют выработать такой алгоритм приближенного решения дифференциальных уравнений, который значительно снижает объем вычислений и делает вычислительный процесс наиболее целесообразным и оптимальным.
Начиная с сороковых годов XX века, ведутся интенсивные исследования, нацеленные на разработку методов асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных уравнений, описывающих явления пограничного слоя. В развитии этого направления значительный вклад внесли А.Н.Тихонов, В.Вазов, Л.СПонтрягнн, Н.Н.Боголюбов, Ю.А.Мнтрополъский, В.П.Маслов, М.И.Вчшик, Л.АЛюетерник,
А.Б.Васильева, М.И.Иманалиев, С.АЛомов, В.Ф.Еутузов, К.А.Касымов и др. Усилиями этих ученых и их учеников созданы различные асимптотические методы решения сингулярна возмущенных уравнений.
По мере развития алгоритмов асимптотического интегрирования возникали и некоторые проблемы их применимости. Поэтому асимптотические методы раэработывались при решении специфических задач. Так широкоизвестный метод пограничных функций разработанный Васильевой А.Б.1 и Иманалневым ММ.2 применим к задачам с экспоненциальным пограничным слоем, методом усреднения Крылова-Боголюбова-Митропольского изучаются уравнения, когда правые части допускают существование конечнего среднего по времени.
В шестидесятых годах XX века С.А.Ломовым3 разработан метод, гкоторый снимает ограничения на расположение спектра предельного оператора относительно мнимой оси. Асимптотические ряды, получаемые этим методом, являются единственными в определенном классе функций, допускают применение к задачам колебательного и не колебательно го типов, при некоторых ограничениях на искомые функции задачи ряды могут сходится не только асимптотически, но и в обычном смысле. Теоретическая основа метода регуляризации состоит в том, что решение сингулярно возмущенной задачи зависит от возмущения двояким образом: регулярно Я сингулярно. Основная идея метода регуляризации состоит в переходе в пространство большей размерности с помощью введения дополнительных независимых переменных. Дополнительные переменные, введенные с помощью спектра предельного оператора, описывают сингулярную зависимость решения от параметра .
Этот метод развивался для сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений и некоторых классов уравнений в частных производных. Развитие метода основывалось на использовании спектра предельного оператора и через спектр описывалась сингулярность решения по малому параметру.
В данной диссертационной работе, изучаются краевые задачи для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа, когда предельный оператор не имеет спектр. Отсутствие спектра предельного оператора создает в решениях новые типы сингуляркостей, которые необходимо было выявить. Второй проблемой, изучаемой в данной работе, являются краевые для параболических
'Васильева А.Б..Бутузов В.Ф.Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. - Москва: Высшая школа,1090.
аИманалиев М. И, Асимптот и чес кие методы е теории сингулярно возмущенных ннтегро-дифференциальных систем. - Фрунзе: Илмм, 1972.
* Ломов С.А.Введение в общую теорию сингулярных возмущений. - Москва: Наука, 1981.
уравнений с малым параметром при всех производных, когда граница области не является гладкой, а содержит угловые точки. Характерной особенностью таких задач является возникновение явления углового пограничного слоя, обнаруженного впервые В.Ф.Бутузовым4. Задачи, когда отдельные точки спектра предельного оператора имеют точечную особенность, представляют, как теоретический, так и практический интерес. Наличие особенностей в задачах, приводит к возникновению дополнительного пограничного слоя, имеющего степенной характер изменения.
Цель работы определяется актуальностью темы. В работе решаются следующие задачи:
1. разработать алгоритм построения регуляризованной асимптотики
решения первой краевой задачи для дифференциального уравнения с
частными производными параболического типа с малым параметром
при пространственной производной, когда предельный оператор не имеет
спектр;
в качестве приложения применить этот алгоритм для построения асимптотики решения временного уравнения Шредингера с малой постоянной Планка;
разработать алгоритм асимптотического интегрирования первой краевой задачи для дифференциального уравнения параболического типа с малым параметром, стоящим как при временной, так и при пространственной производных и когда граница области не является гладкой, а содержит угловые точки, и описать структуру угловой погранслойной функции;
обобщить метод регуляризации на краевую задачу для дифференциального уравнения параболического типа с малым параметром при всех производных в случае, когда отдельные точки спектра предельного оператора имеют точечные особенности;
обобщить результаты, полученные для скалярных задач, на многомерные случаи;
разработать алгоритм численного решения задач с пограничными слоями, основанного на синтезе метода регуляризации и метода конечных разностей.
Бутузов В.Ф. Угловой пограничный слой в сингулярно возмущенных задачах с частными производными //Дифферент уравнения. - 1979- Т. 15, вып. 10. - С. 184S-1862.
Научная новизна. Впервые показано, что описание параболического пограничного слоя осущесівляется не экспоненциальной, а специальной функцией, называемой дополнительным интегралом вероятности. Параболические погранслойные функции имеют иную оценку (см.оценку (9) ниже), чем экспоненциальные погранслойные функции. Идея регуляризации впервые применяется для выделения особенностей в решении сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа, когда малый параметр стоит перед всеми производными. Методом регуляризации для сингулярно возмущенных задач рассматривается новый цикл задач, не изученных ранее: задачи, когда предельный оператор не имеет спектр; краевая задача для временного уравнения Шредннгера с малой постоянной Планка; задачи, когда возникают явления углового пограничного слоя; задачи с нестабильным спектром предельного оператора. Предлагаемая методика обобщается на многомерные аналоги перечисленных задач. Синтезируя метод регулярюацни и метод конечных разностей, предлагается новый численный метод решения жестких задач, который позволяет получать решения с более высокой точностью.
Методика исследования. При построении регуляризованной асимптотики решения задач, изучаемых в работе, используется метод регуляризации для сингулярно возмущенных задач, разработанный С.А.Ломовым. При изучении задач с нестабильным спектром предельного оператора, используется методика А.Г.Елисеева5, разработанная для обыкновенных дифференциальных уравнений. Для обоснования асимптотической сходимости формальных решений применяется аппарат "принипа максимума", доказанный в работе 6
Практическая ценность. Разработанные в диссертации алгоритмы позволяют построить асимптотические и численные решения задач о собственных н вынужденных резонансных колебаниях среды с малой вязкостью, в процессах химических превращений двух веществ, сопровождающиеся диффузией и переносом. При квантомеханнческом изучении нерелятнвистских систем в двумерном пространстве-времени, состоящем в рассмотрении частицы (массы т) в поле с потенциалом V[x), постулируется, что состояние системы в момент времени t полностью определяется волновой функцией Ф(, х), которая является решением временного уравнения Шредннгера.
Аппробация работы. Результаты работы докладывались На
'Елисеев А.Г. Теория сингулярных возмущений в случае негладкого (пектрл предельного оператора// Матем.сб. - 1995. - 1S6, вып.7 < '25-40.
0 Ладыженская О А.,Солонников В.А.Уральцееа Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. - Москва; Нлука, 1067.
Межднародных конференциях по асимптотическим и численным методам (Новосибирск, 1986 г., Бишкек, 1995 г., Алма-Ата, 2003 г., Новосибирск, 2004 г., Алма-Ата, 2005 г., Бишкек, 2006 г.), на Всесоюзных конференция по асимптотическим методам (Алма Ата, 1979 г., Бишкек, 1991 г.), на Всесоюзном научном совещании "Методы малого параметра'' (Нальчик, 1987 г.), на Всесоюзных школах по асимптотическим методам (Минск, 1985 г., Воронеж, 1992 г., Москва, 1993 г.), на научной конференции по математике и механике, Фрунзе, 1972 г., Казахстанской межвузовской научной конференции, Алма-Ата, 1977, г,, Научной конференции по распространению упругих и упругопластических волн, Фрунзе, 1983 г., Республиканской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", Фрунзе, 1989 г., Научно-теоретической конференции посвященной 40-летию ИГУ, Каракол, 1993 г. Республиканской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", Ош, 1993 г., на научных семинарах: член-корр. РАН, акад. HAH КР М.И.Иманалиева (1982,1995), д.ф.-м.н., проф. С.А.Ломова (1972-1993), Кыргызско-Турецкого университета "Манас" (1998-2006).
Публикации. По теме диссертации опубликованы 36 работ. В совместной статье [36) Садыковой принадлежить построение асимптотики по нашему алгоритму, что не включено в диссертацию.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из списка обозначений, используемых в работе, введения, пятя глав, разбитых на параграфы и пункты, заключения, списка использованных источников из 165 названий и приложения. Во вводной главе дается краткий обзор литературы, описываются математические модели, приводящиеся к сингулярно возмущенным дифференциальным уравнениям с частными производными параболического типа и приводятся некоторые результаты, используемый в диссертации. Работа изложена на 209 страниц машинописного текста.
Автор благодарен д.ф.-м.н., проф. Ломову С.А. (ныне покойному) за приобщение к методу регуляризации для сингулярно возмущенных задач.
