Введение к работе
*
альность проблемы. При создании новой прогрессивной техники, как правило, возникает необходимость исследования взаимодействия нескольких управляемых динамических систем, цели которых не совпадают. Кроме того, любая техническая система, особенно система сложная, характеризуется многими свойствами, определяющими ее ценность. Среди этих свойств есть такие, величину которых делательно всемерно увеличить, есть к такие, которые жела -тельно минимизировать. Математические модели подобных задач для систем, описываемых дифференциальными уравнениями, исследуется в рамках теории дифференциальных неантагонистических игр.
Дифференциальная неантагонистическая игра является математическим образом реальных конфликтов и процессов принятия решений в управляемых динамических системах с учетом их взаимосвязи^ несовпадения интересов.
Этот раздел математической теории управления возник з начале 70-х годов на стыке математической теории оптимального управления, общей теории игр и теории антагонистических дифференцн -альных игр. Источником, стимулирующий зарождение, становление и интенсивное развитие неантагонистических дифференциальных игр, явились, в частности, следующие задачи механики:
-
задача о встрече нескольких управляемых объектов;
-
игра на перетягивание, в которой каждый из игроков стремится "перетянуть" одну и ту sa точку возможно блиае к "своему" целевому множеству;
-
ряд постановок задач преследования с несколькими догоняющими и убегающими;
-
задача А.М.Летова об аналитическом конструировании регулятора при векторном критерии.
Большую роль в развитии теории дифференциальных неантагонистических игр сыграли также исследования конкретных динвмичес -ких моделей экономики и стратегических игр, перечисленных в
обзорах [б, с.253-255; 7, с.91-93 J и в комментарии к библиог
рафии . Большинство из приведенных там задач характеризует -
ся следующими пятью факторами. Во-первых, это игры степени (в
терминологии Р.Айзекса); во.-вторых, время продолжительности
игры фиксировано; в-третьих, отсутствуют ограничения на фазо
вые координаты; в-четвертых, в качестве решений использовались
или равновесие по Нашу, или оптимум по Парето, и, наконец, в-
пятых, такие решения находились с помощью принципа максимума
Л.С.Понтрягина и представляли собой, в основном, функции
времени. ^ „;
Следует отметить, что в 70-е годы для теории дифференци
альных неантагонистических игр характерно интенсивное накоп -
ленне фактов, при решении задач применялись либо эвристичес -
кие методы, либо методы теории оптимального управления, при -
чем (порой без должного обоснования) использовались концепции
оптимальности из общей теории игр. Особое развитие в эти годы
получили исследования дифференциальных игр качества,
связанные с задачами преследования и уклонения' от встречи, в
случае трех и более игроков. Основные результаты этого направ
ления получены d работах М.С.Габриеляна, Н.Л.Григоренко, П.Б.
Гусятникова, Е.Ф.Мищенко, М.С.Никольского, Л.А.Потросяна,-
В.А.Плотникова,. Б.Н.Пшеничного, Н.Сатшова, Ф.Л.Черноусько,
А.А.Чшсркя. ' .
Дія начала 80-х годов характерен переход к этапу математической формализации неантагонистических дифференциальных игр степени (в которых учитывался бы позиционный характер таких задач), к разработке специфических методов качественного исследования и практического построения решений. Здесь важную роль
*'Дифференциальные игры со многими участниками. Указатель литературы за 1968-1983 г.г. (Под ред. В.И.Куковокого и Д.Т.Дочо-ва) - НРБ, Русо: ВТУ "А.Кынчев", 1985.- 114 с. 'Понтрлгин Л.С, Болтянский В.Г., Гамкрелидзс Р.В., Мищенко Е.$. Математическая теория оптимальных процессов.- М.: Наука, 1969.- 384 с.
играет использование результатов теории антагонистических (игр двух лиц с противоположными интересами) дифференциальных игр ' . Исследования, помещенные в диссертационной работе, основываются на математической формализации дифференциальной позиционной игры и методах ее решения, разработанных НІгі.Кра-совским и его сотрудника ' '~^\
Существенное отличие неантагонистической диффе -ренциальной игры от антагонистической - наличие у каждого игрока "своей" функции выигрыша - показателя качества фуніг.іио -нирования динамической системы "с точки зрения"( данного игрока. В большинстве случаев эти функции выигрыша явно не связаны меиду собой и задаются функционалами, определенными на движениях динамической системы и, возможно, на реализациях управляющих воздействий игроков. Другая особенность - постулируемая априори возможность (или отсутствие таковой) объединения игроков в коалиции, которые, в свою очередь являются множествами игроков, имеющих возмоп -ность совместного выбора "своих" стратегий. В остальном, как и в антагонистическом случае, неантагсннстическая дифференциальная игра складывается из уравнения эволю -ц и н рассматриваемой динамической системы (дифференциального уравнения, связывающего фазовые состояния системы с
'Понтрягин Л.С. К теории дифференциальных игр // Успехи математических наук.- 1966.- г.21, вып.4(130).- С.210-274.
^Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры,- М.: Наука, 1974.- 456 с.
"'Мищенко Е.5. Задачи преследования и уклонения от встречи в
теории дифференциальных игр // Изв. АН СССР. Техническая
кибернетика.- 1971.- U 5. - С.3-9. ^'Осипов Ю.С. Дифференциальные игры систем с последействием//
Докл. АН СССР.- 1971.- т.196, }} 4.- С.779-782. ''Пшеничный Б.Н. Структура дифференциальных игр // Докл. АН
СССР.- 1969.- Т.І84, » 2.- С.285-287.
управляющими воздействиями игроков) и ограничений на множество управляющих воздействий каждого игрока.
Исследование многих содержательных задач игрового управления, возникающих в различных областях техники и в динамических моделях экономики, приводит к рассмотрению следующего уравнения эволюции
Х*$(1,Х,Ц,...,1%,). (1)
Здесь ОС - П, -мерный фазовый вектор; время сеіі0,гл']) где моменты начала ~Ь0 ь О и окончания V>> v0 игры фиксированы; Vr - вектор управляющих воздействий і -го игрока, стесненных ограничением V- Є Q- , где Сса - компакт в евклидовом пространстве
Типичный вид функции выигрыша і -го игрока J- - г^ (ОС Lis]) t где XL-1 - [OCLt }tta ^rfz/j - движение системы (I),
, порожденное ' фиксированным набором стратегий V- {"У. t і є Л/} игроков. Стратегии"^ для j-ro игрока отождествляются с функциями 1К ("к, ОС) , удовлетворяющими в каддой допустимой позиции {с,Х..} включению у:(т,эс)с ег (2. і » 0{. - множество таких стратегий.
В последние годы активно развиваются три направления теории неантагонистических дифференциальных игр: бескоалиционные, кооперативные-и иерархические дифференциальные игры. В диссертационной работе рассматривается бескоалиционна позиционная .дифференциальная игра вида:
.1Ц}1я {jrfcc&o}^**
'Красовский Н.Н. Управление динамическими системами.- М.': Наука, 1985.- 520 с.
'Красовский Н.Н. Дифференциальные игры. Аппроксимация и формам ные модели // Математический сборник.- I978.-T.I07, К 4(12).-С.541-571.
'Суббоїч.к А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантий в задачах управления.- М.: Наука, 1981.- 288 с.
ней исключается возможность образования коалиций из двух и
злее игроков.
Содержательно задача каждого Z -го игрока в игре (2) со-гоит в поиске такой стратегии "У- (J. ( і е /V) ,Охото -
ая обеспечила бы возможно большее значение функции ыигрыша J- (выигрыш і -го игрока). При этом игроки ыбирают "свои" стратегии независимо друг от друга. Для /У= (,2} и j = - X игРа (2) становится антагонисти-еской. Однако наличие в ней только двух и причем противобор-твующих сторон существенно сужает круг задач, решение кото -ых, хотя бы в принципе, было бы возможным с помощью теории нтагонистических дифференциальных игр. Например, эта теория е охватывает задачу управления двумя предприятиями (и тем олее больше двух), функционирующих в рамках единого экономи-еского объединения, где цель - максимальное увеличение прн-ш каждого предприятия. Подобные практические примеры подчер-:ивают необходимость и актуальность исследования диф-ференциаль-|ых игр, в которых явный антагонизм между игроками отсутствует, і число игроков может быть и больше двух. В частности, боль -іинство таких задач исследуются в рамках теории беехоалицион-[ых позиционных дифференциальных игр.
К настоящему времени библиография работ по теории и при-южениям бескоалиционных дифференциальных игр весьма обширна: ^считывает свыше 500 названий. При работе над библиографией ' і обзором работ по бескоалиционным дифференциальным играм [б 1 'бросились в глаза" следующие два обстоятельства.
Во-первых, авторы работ ограничились, в основном, классом программных стратегий (зависящих только от времени), в случае se позиционных стратегий предполагалось, что функции щ(і,сс) достаточно гладкие. Как отмечается в , в первом случае "обед-1Я6ТСЯ игровой характер задачи", во втором - класс стратегий "беден" и не позволяет решать практические задачи в достаточно простых случаях даже для антагонистических дифференциальных игр. Избежать этот недостаток позволяет, например, использование математической формализации стратегий и порожденных ими
Hash J.У. Hon-oooperative games II Ann. Math.- 1951.- V.54, H 2.- P.286-295.
движений системы (I), предложенная для антагонистических дифференциальных игр Н.Н.Нрасовским. В диссертационной работе как раз и следуем такому подходу.
Во-вторых, в подавляющем большинстве работ по бескоали -ционным дифференциальным играм использовалась в качестве единственно возможного решения игры ситуация равновесия по Наш у , т.е. такой набор стратегий всех игроков, отклонение от которого одним игроком (когда остальные этой ситуации придерживаются) не может привести к выигрышу отклонившегося. Данное понятие решения бескоалиционной дифференциальной игры заимствовано из общей теории игр. Однако уде исследование существования равновесной по Нэшу ситуа -ции в позиционных дифференциальных играх вызывает принципиальные трудности. Наиболее общий результат в этом направлении для игры двух лиц (при используемой в диссертации формализации стратегий и движений) получен А.Ф.Кононенко* . Его подход, связанный со "стратегиями наказания", применен в работах А.8>. Клейменова, А.Э.Бунакова, Е.М.Конурбаева, Ы.Б.Мамедова, Ю.С. Чистякова и С.В.Чистякова. Одновременно с тем, имеются простые модельные примеры дифференциальных игр, в которых равновесная по ffeioy ситуация вообще не существует. Более того, негативные стороны такого понятия решения бескоалиционной иг -ры наиболее "проявляются" именно в дифференциальных играх. Заметім, что цель, которую преследовал диссертант при работе над книгой [8 J - ."остановить глобальное увлечение" равновесием по Нэшу и "критически взглянуть" на возможность использования его в качестве решения- бескоалиционных позиционных дифференциальных игр. Наряду с вопросаг.те существования.(возникающими даже в линейно-квадратичных дифференциальных играх), ситуации равнове -сия по Нэшу, как понятию решения игры, присущ и ряд других негативных сторон. Б первую очередь здесь отметим: если такое решение в дифференциальной игре существует, то равновесных ситуаций, как правило, целый континуум. В связи с этим возникает
^'Кононенко А,5>. Структура оптимальной стратегии в динамических управляемых системах // Журн. вычислительной математи -ки и математической физики.- 1980. - Т.20, JT« 5.- C.II05-III6.
вопрос: какую конкретно из ситуаций равновесия игрокам следует использовать? Ведь при различных равновесиях по Нэшу игроки "получают" различные выигрыши (нет эквивалентности ситуаций). Кроме того, если нет предварительной договоренности до начала игры, то игроки могут использовать "свои" стратегии из несовпадающих равновесных по Нэшу набо -ров стратегий. Эти стратегии в едином наборе ситуацию равновесия по Нэшу, вообще говоря, не образуют (нет взаимозаменяемости ситуаций). Поэтому необходима предварительная договоренность между игроками: какой конк -ретно ситуации равновесия по Нэшу они будут придерживаться. Однако такие переговоры могут одновременно привести к обра -зованию коалиции (из двух и более игроков), которая за счет совместного выбора "своей" стратегии увеличит выигрыши чле -нов коалиции по сравнению с равновесным ("у л у ч-ш а е -мост ь" равновесной по Нэшу ситуации). Далее, отклонение одного игрока от ситуации равновесия по Нэшу может привести к уменьшению выи г'р ышей всех , оста і ьн и і игроков. Зачем же тогда им придерживаться "своих" стратегий из такой ситуации равновесия? Кроме того, от -сутствует внутренняя устойчивость ситуации равновесия, ибо построен (п.20.8 диссертации) пример дифференциальной игры, в которой выигрыши всех игроков в одной ситуации равновесия по Нэшу строго больше, чем в другой. Наконец, в дифференциальных бескоалиционных играх, как правило, появляется парадокс типа "дилемма заключенного"^ . Здесь игрокам невыгодно следовать равновесной по Нэшу ситуации,т.к. существует другая ситуация (не равновесная по Нэшу), где их выигрыш больше (нет внешней устойчивос-т и). Такое явление имеет место во всех без исключения публикациях, указанных в 10 обзора [бій посвященных решению практических задач экономической динамики и механики управляемых систем. , математическая модель которых представлена бескоалиционной дифференциальной игрой. Поэтому актуальным как с практической, так и с теоретической точек зрения является форма -
то)
'Льюс Р.Д., Райфа X. Игры и решения,- М.: Иностранная литература, 1961.- 642 с.
- 9 -'
лизация новых понятий решения бескоалиционной'дифференциальной игры, которые, обладая достоинствами ситуации равновесия по Нэшу, позволяли бы снять хотя бы некоторые из указанных недостатков.
К настоящему времени понятиям решений бескоалиционной дифференциальной игры, отличным от ситуации равновесия по Нэшу, посвящено сравнительно небольшое число работ . Решение, основанное на концепции возражений и контрвозражений (угроз и контругроз) предложено в задаче 10 из II обзора[6]и в 4.4.3 из[ 5 j. Оно базируется на соответствующем понятии решения коалиционной дифференциальной игры*4'** '. Отметим также цикл работ Э.Р.Смольякова; объединенных в1 , в которых предлагается ряд новых понятий решения в случае программных стратегий.-В основе этих понятий лежит "слабая экстремальность" ситуации, представляющая собой "часть" контрвозраженияJконтругрозы). В последние годы в теории дифференциальных игр наблюдается интерес к понятию сильного равновесия - естественному обобщении понятия ситуации равновесия по Нэшу на случай "отклонения" любой коалиции игроков.
В диссертационной работе вводится новое понятие решения
для позицион.ной бескоалиционной дифференциальной
игры (А-равновесие). Также, как и ситуация равновесия по Нэшу,
А-равновесие совпадает с седловой точкой в случае антагонисти
ческой дифференциальной игры, обеспечивает каждому игроку вы -
игрыш не меньший гарантированного (максиминного) и устойчиво
по отношению к отклонению от него отдельного игрока. Одновре
менно с тем
А - равновесие существует при обычных ограничениях для позиционных дифференциальных игр; .
при наличии ситуации равновесия по Нэшу существует
* 'Вайсборд Э.М. 0 коалиционных дифференциальных играх // Дифференциальные уравнения.- 1974.- ТЛО, Jf 4.- С.613-623.
*5'жуковский В.И. Коалиционные дифференциальные игры//№Б, Годишник на ВУЗ, приложна математика,- 1975.- Т.II, кн. I,-C.43-5I.
*'Смольяков Э.Р. Равновесные модели при несовпадающих интересах участников.- М.: Наука, 1986.- 223 с.
А-равновесие, доставляющее игрокам выигрыш не меньший, чем при равновесной по Нэшу ситуации;
- А-равновесие обладает свойствами как внутренней, так и внешней устойчивости (тем самым исключает возникновение'парадокса типа "дилемма заключенного").
Использование А-равновесия потребовало специального, ис -следования многокритериальной позиционной динамической задачи, математи -ческая формализация которой основывается на соответствующих понятиях, предложенных Н.Н.Красовским для антагонистических дифференциальных игр. Эти многокритериальные задачи представляют самостоятельный теоретический и практический интерес, т.к. качество функционирования большинства динамических сие -тем оценить значением только одного критерия представляется весьма проблематичным. Многокритериальные динамические задачи - развитый раздел математической теории оптимальных процессов (обзор работ вЕ 7 3). В нашей стране основные результаты этого направления получены А.Я.Азимовым, В.В.Величенко, Р.Ш.Габасо -выл, В.М.Гавриловым, Ю.А.Гореликом, В.В.Гороховиком, М.И.Гусевым, В.И.Заботиным, Ф.М.Кирилловой, А.Б.Куржанским, Д.М.Метре-вели, М.Е.Салуквадзе, Л.А.Петросяном, В.В.Подиновским, Р.И. Трухаевш, В.В.Федоровым, В.В.Хоменюком. Исследования прово -дятся, как правило, для случая программных стратегий. Особенностью применяемого в диссертационной работе математического аппарата позиционных стратегий является " м н о г о з н а ч -н о с .т ь каждого из целевых функционалов (критериев). Эту. многозначность следует учитывать уже на стадии формализации "хороших" решений рассматриваемой многокритериальной задачи, не говоря уже о способах практического построения таких реше -ний. Впервые указанная многозначность была учтена в 10 обзо- ' ра[7 ], развитие предложенных там подходов - в I''»'.
1 'Molostvov V.S., Zhukovskii V.I. On Д - Optimality in a Class
of Cooperative Many Plauer Differential Games II Leot. Notes
Control and Inform. Sci.- Springer-Verlag, 1980.- V.22, P.1.-P.489-498.
'Жуковский В.И., Дочев Д.Т. Векторная оптимизация динамических систем.- НРБ, Русе: ВТУ "А.Кынчев", 1981.- 187 с.
- И -
В диссертационной работе дается ответ на ряд принципиальных вопросов теории многокритериальных задач при позиционном способе управления: определены понятия решений, установлено их существование и способы практического построения. Последние основываются на модификации метода динамического программирования1 ' .
Таким образом, проблемы, обсуздаемые в диссертационной работе, представляются актуальными.
Целью работы является математическая формализация новых понятий решения позиционной .бескоалиционной диф -ференц'/.альной игры и многокритериальной динамической задачи при позиционном способе управления; доказательство существования и исследование свойств таких решений; выяснение структуры оптимальных решений указанных многокритериальных задач; разработка на основе модификации метода динамического программирования способов практического построения введенных решений.
Методика исследования поставленных проблем основывается на математическом аппарате решения антагонистических позици -онных дифференциальных игр, созданном Н.Н.Красовским и его научной школой '»6'' '~I'. Основными рабочими средствамипри этом являются понятия стратегий, порожденных ими движений системы (I), оптимального гарантированного результата, цены диф -ференциальной антагонистической игры, седловой точки, модифи -нация метода'динамического, программирования. Кроме того, используются понятия и факты из общей теории игр (коалиция, функция выигрыша игрока, его выигрыш, равновесие по Нэшу), определения и методы решения математической теории многокритериаль -ных задач (оптимумы по Слейтеру и по Парето, свойства таких решений, способы "свертки" критериев '). Важную роль в доказательствах играют следствия из альтернативы1 . и непрерывност! однозначных выигрышей игроков по начальным позициям {статья В.И.Жуковского из^О)).
* ^Подиновский В.В., Ногин В.Д; Парето-оптимальные решения многокритериальных задач.- М.: Наука, 1982.- 254 с.
^Дифференциальные игры со многими участниками: сб.науч.тр./В' "А.Кыячев". - Т.26, #9, математика и механика. - НРБ, Русе, 1984. -,222с. ..
Построение контрпримеров, в большей части,основывается на мажорирующем свойстве стратегий в линейно-квадратичном случае ( 4 из [ 9 ]). В ряде доказательств используются общие понятия и факты из качественной теории дифференциальных уравне -ний, математической теории оптимальных процессов и функци -онального анализа.
Научнья новизна полученных в диссертационной работе результатов определяется как новыми понятиями решений для позиционных дифференциальных игр и соответствующих многокритери -альных задач, так и новыми подходами к решению поставленных в работе задач. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность работы, помимо полученных в ней фактических результатов, состоит, как представляется, в тех математических схемах доказательств, которые позволили решить ряд актуальных вопросов теории многокритериальных задач при позиционном способе управления и бескоалиционных дифференциальных игр. Это, в первую очередь, относится к схеме доказательства структуры оптимальных (по Парето и по Слейтеру) решений многокритериальных за -дач. Здесь не только устанавливается факт существования, но и дается конструктивное описание множества значений целевых функционалов (терминального вида) при оптимальных стратегиях. Это множество, как выясняется, совпадает с множеством оптимальных (соответственно по Парето или по Слейтеру) значений этих целевых функций на области достижимости системы (І) в соответствующей многокритериальной "статической" задаче.
Дальнейшие исследования показали, что принятая в диссертационной работе формализация оптимальных решений сохраняет свою силу в "статических" многокритериальных задачах при наличии неопределенных факторов *', в аналогичных динамических
задачах , для случая запаздывания в управляемой системе ' ___
1 'Zhukovskii V.I., Molostvov V.S., Korhonen P. A Maximm
Approach to Solving MGDM Problems under Uncertainty // Abstract:
of 7 European Congress on Operation Research.—Bologna, Italy,
Juno 16-19, 1985.- P.43.
и исследовании антагонистических дифференциальных позиционных
игр с, векторной платой (раздел II из ') и 23) 24
. Сказанное относится и к схеме доказательства одного
из основных утверждений работы о существовании А-равновесия
при обычных ограничениях для дифференциальных позиционных игр.
Это утверждение является вторым важным теоретическим аспектом
диссертационной работы.
Ценность применяемой при этом схемы доказательства состоит еще и в том, что она эффективно использована и в других игровых ситуациях, в частности, для систем с распределенными параметрами , систем с последействием^ , в случае, когда игроки применяют смешанные позиционные стратегии ' или ограничены программными стратегиями* К
Применение этой схемы доказательства позволило установить третий центральный результат диссертационной работы, согласно которому существование ситуации равновесия по Нэшу в позиционной дифференциальной игре влечет наличие А-равновесия, выигрыши всех игроков.при котором не меньше, чем при равновесии по Нэшу; теоретическая и практическая ценность этого результата в том, что даже при существовании в игре (2) ситуации равновесия по Нэшу игрокам (в подавляющем большинстве случаев) "выгоднее" использовать А-равновесие.
Практическая ценность работы заключается и в тех возможностях, которые содержит предложенный в ней способ аналитическо -го конструирования А-равновесий. Этот способ, состоящий в построении для каждого игрока функции Веллмана-Красовского по известной оптимальной по Парето ситуации, позволяет в ряде случев
^'Дифференциальные неантагонистические игры;.сб.науч.тр./ВТУ "А.Кынчев". - Т.23, ІШ, математика и механика. - НРБ, Русе, 1981. - 180с.
*"Дочев Д.Т., Шуковски; В.И. Седлова точка по Парето в дифл-фереициал-но-антагонистични игры със закъснение с векторна платежна функция // НРБ, Годишник на ВУЗ, прилежна математика,- 1982.- Т.І8, кн.4.- С.9-24.
'Дочев Д.Т. Достаточни условия эа съществуване на седлова точка по Парето в дифференциално-антагонистични игри със закъснение с векторна платежна функция // НРБ, Годишник на ВУЗ, приложив математика.- 1932.- Т.І8, кн.4.- С.49-58.
найти явный вид А-равновесия. Данный подход реализован в диссертационной работе для математической модели совместной разработки рядом фирм одной научной проблемы. Эти результаты использованы В.С.Молоствовьаг^) при исследовании взаимодействия НИИ в странах СЭВ. Ценность применяемого способа конструирования А-равновесий еще и в том, что он оказался эффективным для дифференциальных игр в банаховом пространстве ', для многошаговых игр ' и проведенного в диссертации исследования существования абсолютного А-равновесия (аналога А-равновесия)
в одной кооперативной дифференциальной позиционной игре.
із Апробация работы. Диссертационная работа обсуждалась на
заседаниях научных семинаров Института математики и механики УНЦ АН СССР (1984 г.) и Института кибернетики АН УССР (1985 г.) Отдельные результаты докладывались в Вычислительном центре АН СССР (1987 г.), на заседаниях научных семинаров сектора исследования операций Института математики БАН (Сос[йя, 1981 г.), Московского (1981 г.), Иркутского (1984 г.), Одесского (1986г.) и Ленинградского (1987 г.) университетов, на Национальном научном коллеквиуме Союза Математиков НРБ (1934 г.). По теме диссертационной работы были сделаны доклады на І-Ш Всесоюзных конференциях по теории игр, на Всесоюзном симпозиуме по оптимальному управлению и дифференциальным играм (г.Тбилиси,1976 г.), на Всесоюзной конференции по динамическому управлению (г.Свердловск, 1979 г.), на IX конференции по методам оптимизации (г.Варшава, 1979 г.), Ш Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах (г.Киев, 1979 г.), на П конференции по дифференциальным уравнениям и их применениям (НРБ, г.Русе, 1981 г.), на IX Всесоюзном совещании по про -блемам управления (г.Ереван, 1983 г.), на ІУ и У Всесоюзных семинарах по исследованию операций и системному анализу (г.Батуми, 1983 г. и г.Кутаиси, 1985 г.), на Летней школе по исследованию операций (НРБ, Приморск, 1984 г.), на УП Всесоюзной конференции по проблемам теоретической кибернетики (г.Иркутск, 1985 г.).
25)
'Неантагонистические дифференциальные игры и их приложения:
Межвузовский сборник научных работ (Под ред. В.И.Жуковского).
- М.: ВЗМИ, 1986.- 160 с.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в публикациях С 1-9 ] .
Научные результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно.
