Введение к работе
Актуальность темы. Групповой анализ дифференциальных уравнений возник в середине XIX века в работах выдающегося норвежского математика Софуса Ли. Основная цель его трудов - перенос теории Абеля-Галуа о разрешимости алгебраических уравнений на обыкновенные дифференциальные уравнения. Исследования в этом направлении привели С. Ли к созданию теории непрерывных групп преобразований, названных впоследствии группами Ли преобразований.
Благодаря доказанным С. Ли теоремам, группам Ли могут быть поставлены в соответствие алгебраические объекты - алгебры Ли. С. Ли был предложен ряд методов, которые с использованием алгебры Ли операторов, допускаемой обыкновенным дифференциальным уравнением, позволяют понизить порядок уравнения и найти его решение. В частности, им разработан метод канонических переменных, позволяющий проинтегрировать в квадратурах обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее двумерную алгебру Ли операторов. В случае, когда такое уравнение допускает трехмерную алгебру Ли, им был предложен метод нахождения интегралов.
Построение классов дифференциальных уравнений, допускающих двух-и трехмерные алгебры Ли операторов, базируется на классификациях неизоморфных структур алгебр Ли и неподобных алгебр Ли операторов. Задача классификации неизоморфных двумерных и трехмерных алгебр Ли была решена в работах С. Ли, Л. Бианки. Для алгебр Ли более высоких размерностей такая задача рассматривалась в работах Г.М. Мубаракзянова, А.В. Аминовой и их коллег. Подобие алгебр Ли операторов, а также его использование для анализа симметрийных свойств дифференциальных уравнений, рассматривалось в работах С.Ли, Л.П. Эйзенхарта, Л.В. Овсянникова, П. Винтернитца, Н.Х. Ибрагимова, П. Лича, Ф. Махомеда, М.К. Нучи, СВ. Хабирова и др.
Исследование симметрии дифференциальных уравнений показало, что добавление в уравнение слагаемых с малым параметром чаще всего приводит к разрушению допускаемой им "точной" группы преобразований. Одним из возможных способов решения этой проблемы является использование концепции приближенных групп преобразований, предложенной в работах В.А. Байкова, Р.К. Газизова и Н.Х. Ибрагимова. Способы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром с использованием приближенный симметрии рассматривались ранее в работах Н.Х. Ибрагимова, Ю.Ю. Багдериной, Ф. Махомеда, М. Юрусоя и др.
Данная работа посвящена построению классов дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром, которые допускают приближенные алгебры Ли с двумя и тремя существенными операторами, что позволяет их приближенно интегрировать. Одновременно решаются вопросы изоморфизма и подобия приближенных групп преобразований.
Целью настоящей работы является развитие и применение методов теории приближенных групп преобразований для построения инвариантных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром. А именно, классификация приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными векторами, построение реализации таких приближенных алгебр Ли в пространстве дифференциальных операторов первого порядка с двумя переменными и выделение представителей их неподобных классов, построение инвариантных уравнений второго порядка с малым параметром.
Методы исследования. При решении поставленной задачи были использованы методы классического группового анализа дифференциальных уравнений, теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, а также аппарат теории приближенных групп преобразований.
Научная новизна.
Проведена классификация приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными векторами.
Сформулированы и доказаны теоремы о подобии приближенных алгебр Ли операторов.
Выполнена классификация неподобных приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными операторами в пространстве R2.
Построен общий вид обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром, допускающих приближенную алгебру Ли с двумя и тремя существенными операторами.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть интересны для специалистов в области группового анализа дифференциальных уравнений и использованы, в частности, для решения задач классификации обыкновенных дифференциальных уравнений более высокого порядка с малым параметром по допускаемым алгебрам Ли приближенных операторов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих школах, конференциях и семинарах:
на II Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2004);
на 2-ой региональной зимней школе-семинаре аспирантов и молодых ученых (Уфа, 2007);
на международной конференции Mogran -11 "Lie group analysis in education and research"(Швеция, 2007);
на Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева (Уфа, 2007);
на Мавлютовских чтениях: Всероссийской молодежной научной конференции, посвященной 75-летию УГАТУ (Уфа, 2007);
на V Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи"(Самара, 2008);
на международной конференции MOGRAN-13 "Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений" (Уфа, 2009);
на LXIII международной конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценов-ские чтения - 2010"(Санкт-Петербург, 2010);
на XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, весенняя сессия (Кисловодск, 2010);
на семинаре Учреждения российской академии наук Института матемаг-тики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.
Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 15 работ, из них статьи [12], [14], [15] в журналах из списка ВАК.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на 12 параграфов, и заключения. Работа изложена на 110 страницах, включая 12 таблиц. В конце работы приведен список литературы, содержащий 69 наименований.
Похожие диссертации на Приближенные алгебры Ли малых размерностей, допускаемые обыкновенными дифференциальными уравнениями с малым параметром
