Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Линейные краевые валле-пуссеновские задачи и их решение проекционно-итеративным методом 29
1.Проекционно-итеративный метод решения -точечной задачи Валле-Пуссена для обыкновенного дифференциального уравнения...29
1.Построение алгоритма 29
2. Сведение алгоритма(1.7)-(1.104) к алгоритму для интегрального уравнения 33
3.Критерии сходимости.Оценки погрешности. 34
4.Вычислительная схема Пример . 42
2.Применение проекционно- итеративного метода к многоточечной задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений...49
1. Постановка задачи 49
2 .Алгоритм 51
3. Сведение алгоритма(2.7)-(2.12^к алгоритму для системы интегральных уравнений 53
4.Достаточные условия сходимости 55
5.Конструктивные оценки погрешности 60
6. Пример 61
Глава 2. Решение квазилинейной многоточечной задачи проекционно-итеративным методом 66
3.Обобщённая многоточечная краевая задача для дифференциального уравнения с малой нелинейностью и применение к ней проекционно-итеративного метода 66
1.Постановка задачи
2.Построение алгоритма. 68
3. Переход к алгоритму для нелинейного интегрального уравнения .70
4.Теоремы сходимости-и оценки погрешности 72
5.Организация вычислений.Пример 84
4.Численная реализация многоточечной краевой задачи 89
1.Дискретизация задачи 89
2. Построение алгоритма проекционно-итеративного метода для разностной задачи 91
3.Признак сходимости и оценки погрешности 94
4.Вычислительная схема и пример. 99
Список основной использованной литературы 103
- Сведение алгоритма(1.7)-(1.104) к алгоритму для интегрального уравнения
- Сведение алгоритма(2.7)-(2.12^к алгоритму для системы интегральных уравнений
- Переход к алгоритму для нелинейного интегрального уравнения
- Построение алгоритма проекционно-итеративного метода для разностной задачи
Введение к работе
Объектом исследования предлагаемой работы являются Валле-Пуссеновские многоточечные краевые задачи.
Физическая интерпретация наиболее простой многоточечной задачи состоит в следующем. Пусть некоторый физический процесс описывается обыкновенным дифференциальным уравнением ft, -го порядка и известны состояния этого процесса для К моментов времени. Нужно найти его состояние для любого момента времени.
Сведение алгоритма(1.7)-(1.104) к алгоритму для интегрального уравнения
Следует заметить,что как итеративные,так и проекционные методы имеют свои достоинства и недостатки.Наблюдающийся интерес к итеративным методам вызван тем,что они ,в силу простоты вычислительных схем,во многих случаях сравнительно легко реализуются на современных вычислительных машинах.К их достоинствам относятся также-показательная скорость сходимости, затухание ошибок округления. Однако, итеративный метод не всегда сходится к искомому решению рассматриваемой задачи или же сходится настолько медленно, что его применение предполагает слишком большую вычислительную работу,т.е.не является эффективным.Кроме того,скорость сходимости этих методов не зависит от гладкости исходных данных.
Проекционные методы имеют более широкую область применения, и быстрота их сходимости существенно зависит от гладкости исходных данных задачи.Однако,нахождение достаточно точных приближений при помощи проекционных методов часто связано с необходимо -стьго выбирать координатный базис очень большой размерности , а значит с необходимостью решать системы алгебраических или трансцендентных уравнений высокого порядка.Этот факт представляет собой весьма трудную задачу,особенно в случае нелинейных уравнений. Характерной чертой этих методов является степенная сходимость и проявление вычислительной неустойчивости.
Естественное развитие,обобщение и усовершенствование итеративных и проекционных методов приводит к созданию новых методов, сочетающих в себе идеи как итеративного,так и проекционного методов. Их называют проекционно-итеративными.Основным достоинством проекционно-итеративных процессов является то,что во многих случаях они сходятся значительно быстрее,чем обычные итеративные процессы,а также могут сходиться и тогда .когда последние расходятся.
Одним из проекционно-итератиЕных методов есть метод осреднения функциональных по правок, предложенный Ю. Д. Соколовым [(Ь ] для приближённого решения интегральных и дифференциальных уравнений.
Глубокое развитие метод Ю.Д.Соколова получил в работах его учеников А.Ю.Лучки и Н.С.Курпеля.
Исследованию метода и его обобщений для линейных и нелинейных операторных уравнений в банаховом и гильбертовом пространствах , а также применению к различным классам интегральных и дифференциальных: уравнений посвящен целый цикл работ А.Ю.Лучки [36 4б] «К числу наиболее важных его результатов следует отнести установление им: необходимого и достаточного условия, а также некоторых достаточных теорем сходимости метода в линейном случае; новых достаточных критериев сходимости [Ці-Ц 2, J .существенно расширяющих область применимости проекционно-итеративного метода, в нелинейном случае и эффективных оценок погрешности последовательных приближений.
Обоснованию метода осреднения функциональных поправок для случая нелинейных операторных уравнений посвящены многие работы Н.С.Курпеля,составившие его монографию [% \.Он установил ряд достаточных признаков сходимости и соответствующих им оценок погрешности, а также построил и исследовал некоторые общие итерационные процессы.
Э.А.Чернышенко применила метод к нелинейным операторным уравнениям в банаховом пространстве , к решению задачи Коши для обы.-кновенных дифференциальных уравнений и др.Для случая интегральных уравнений типа Больтерра и смешанного типа некоторые новые варианты метода осреднения функциональных поправок были предложены и исследованы В.И.Тивончуком. Н.И.Тукалевекая рассмотрела более общий проекционно-итеративный процесс решения интегральных уравнений типа Больтерра.Применению метода осреднения функциональных поправок к краевым задачам и задаче Коши для интегро-диффе-ренциальных уравнений, а также к дифференциальным уравнениям с запаздывающим аргументом посвящены работы Л.Е.Кривошеина,К.Б.Ба-раталиева и М.М.Галя.Обоснование метода для сингулярных интегральных уравнений рассматривалось в работах В.Г.Иваницкого, Г.Н.Гаджимагомедова, Х.Ш.Мухтарова,Э.И.Эфендиева. Б.Г.Мосолов предложил и исследовал модификации метода Ю.Д.Соколова и успешно применил их к нагруженным интегральным уравнениям.Из других работ,посвященных методу осреднения функциональных поправок , укажем ещё на работы Н.И.Тукалевской, В.Х.Сиренко, Я.И.Ярмуша, Л.П.Пекловой,в которых рассматривается вопрос о численной реализации метода, В.А.Рощин,где метод применяется к интегральным уравнениям типа свёртки,Т.Сабирова и А.Р.Есаяна.где к исследованию применяется теория полуупорядоченных пространств.Заслуживают внимания работы Ф.М.Миговича.Т.С.Кравчук, А.А.Стоницкого.Л.Б.Ма-ланюка,В.И.Гречко,Г.А.Шпортюка,Е.Н.Король,Л.П.Богдановой,А.Ф.Ка-лайды,А.Т.Янишевского,Ю.М.Молоковича,С.С.Мо соловой,Б.М.Агаева, М.А.Ягубова и Н.А.Сваричевской,О.А.Эфендиевой, А.П.Торохтия, Ю.А.Тучкина и В.А.Шестопалова,М.Мока и др.?внёсшие вклад в развитие метода осреднения функциональных поправок и обобщающих его проекционно-итеративных процессов.Обширную библиографию по работам вышеперечисленных авторов можно найти в монографиях А.Ю.Лучки ) 0 ] » Н.С.Курпеля[8 ] , а также в обзорной статье Г/j gl .
На сегодняшний день эти проекционно-итеративные методы представляют собой эффективные средства решения разных классов уравнений .
Некоторое развитие,расширяющее область применимости,проекционно-итеративный метод получил и в настоящей диссертационной работе. Цель работы - построение и исследование эффективных проек-ционно-итеративных процессов решения многоточечных краевых задач Валле-Пуссеновского типа для обыкновенных дифференциальных уравнений. Осуществить её оказалось возможным благодаря тем результатам А.Ю.Лучки[ 1{0 1 .которые были получены им .применяя про-екционно-итератиЕный метод к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода,системам таких уравнений и двухточечным краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений.Суть проекци-онно-итеративного метода применительно к интегральному уравнению Фредгольма второго рода О
Сведение алгоритма(2.7)-(2.12^к алгоритму для системы интегральных уравнений
Обоснованию метода осреднения функциональных поправок для случая нелинейных операторных уравнений посвящены многие работы Н.С.Курпеля,составившие его монографию [% \.Он установил ряд достаточных признаков сходимости и соответствующих им оценок погрешности, а также построил и исследовал некоторые общие итерационные процессы.
Э.А.Чернышенко применила метод к нелинейным операторным уравнениям в банаховом пространстве , к решению задачи Коши для обы.-кновенных дифференциальных уравнений и др.Для случая интегральных уравнений типа Больтерра и смешанного типа некоторые новые варианты метода осреднения функциональных поправок были предложены и исследованы В.И.Тивончуком. Н.И.Тукалевекая рассмотрела более общий проекционно-итеративный процесс решения интегральных уравнений типа Больтерра.Применению метода осреднения функциональных поправок к краевым задачам и задаче Коши для интегро-диффе-ренциальных уравнений, а также к дифференциальным уравнениям с запаздывающим аргументом посвящены работы Л.Е.Кривошеина,К.Б.Ба-раталиева и М.М.Галя.Обоснование метода для сингулярных интегральных уравнений рассматривалось в работах В.Г.Иваницкого, Г.Н.Гаджимагомедова, Х.Ш.Мухтарова,Э.И.Эфендиева. Б.Г.Мосолов предложил и исследовал модификации метода Ю.Д.Соколова и успешно применил их к нагруженным интегральным уравнениям.Из других работ,посвященных методу осреднения функциональных поправок , укажем ещё на работы Н.И.Тукалевской, В.Х.Сиренко, Я.И.Ярмуша, Л.П.Пекловой,в которых рассматривается вопрос о численной реализации метода, В.А.Рощин,где метод применяется к интегральным уравнениям типа свёртки,Т.Сабирова и А.Р.Есаяна.где к исследованию применяется теория полуупорядоченных пространств.Заслуживают внимания работы Ф.М.Миговича.Т.С.Кравчук, А.А.Стоницкого.Л.Б.Ма-ланюка,В.И.Гречко,Г.А.Шпортюка,Е.Н.Король,Л.П.Богдановой,А.Ф.Ка-лайды,А.Т.Янишевского,Ю.М.Молоковича,С.С.Мо соловой,Б.М.Агаева, М.А.Ягубова и Н.А.Сваричевской,О.А.Эфендиевой, А.П.Торохтия, Ю.А.Тучкина и В.А.Шестопалова,М.Мока и др.?внёсшие вклад в развитие метода осреднения функциональных поправок и обобщающих его проекционно-итеративных процессов.Обширную библиографию по работам вышеперечисленных авторов можно найти в монографиях А.Ю.Лучки ) 0 ] » Н.С.Курпеля[8 ] , а также в обзорной статье Г/j gl .
На сегодняшний день эти проекционно-итеративные методы представляют собой эффективные средства решения разных классов уравнений .
Некоторое развитие,расширяющее область применимости,проекци - 17 онно-итеративный метод получил и в настоящей диссертационной работе. Цель работы - построение и исследование эффективных проек-ционно-итеративных процессов решения многоточечных краевых задач Валле-Пуссеновского типа для обыкновенных дифференциальных уравнений. Осуществить её оказалось возможным благодаря тем результатам А.Ю.Лучки[ 1{0 1 .которые были получены им .применяя про-екционно-итератиЕный метод к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода,системам таких уравнений и двухточечным краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений.Суть проекци-онно-итеративного метода применительно к интегральному уравнению Фредгольма второго рода О
Переход к алгоритму для нелинейного интегрального уравнения
Далее установлен признак сходимости и получены оценки погрешности метода(5б)-(594), а также приведен пример,подтверждающий его эффективность.
Насколько известно автору в работе проекционно-итеративный метод впервые распространяется на многоточечные краевые задачи Валле-Пуссеновского типа.При этом в результате проведенного исследования получены следующие новые результаты, выносимые на защиту: - построен и исследован проекционно-итеративный процесс решения линейной Уь -точечной задачи Валле-Пуссена; - предложено обобщение проекционно-итеративного метода для решения векторно-матричной линейной многоточечной задачи; - обоснован вариант проекционно-итеративного метода решения квазилинейной обобщённой многоточечной задачи; -доказаны конструктивные теоремы, дающие достаточные условия сходимости и оценки погрешности последовательных приближений; -построены вычислительные схемы и осуществлена численная реализация многоточечных краевых задач. Основные результаты диссертации опубликованы в \4Ц- Н9, 40 ] работах. 1.Проекционно-итеративный метод решения И, -точечной задачи Балле-Пуссена для обыкновенного дифференциального уравнения. I.Построение алгоритма. Рассмотрим задачу в которой ГА\Л), 5=fTl - їй) "Функция,определённая на отрезке [Q )] ,а Х() -искомая функция.3адачу(і.і)-(і.2) многими способами можно представить в виде Предположим,что т(т) Є L LQ., Oj и выполняются условия: І/задача где ЩІ ) -функция Грина задачи (і.4) /схему построения функции Грина см. .например, в [24 ] / При таких предположениях к задаче (і.з) применим проекцион-но-итеративный метод,суть которого состоит в следующем.Пусть LL0tt) Є L LA, 0J -заданная функция/практически можно взять U. (t) = 0 или U (х)=т(л) /.Определим нулевое приближение из задачи Затем,предполагая приближение jC » (т) уже построенным, Р. -е приближение определим из задач - ЗІ в которых R.= 4, 2j 3,... . 6= і, % , , К- и Неизвестные параметры \ . находим из условий j Y- (І) г -заданная система ортогональных функций из L $р] Пусть \ у. WJ -Другая система функций,связанная с исходной системой ) Сw ] посредством соотношений Тогда из задачи (і.7) в силу (і.9) и (і.її) имеем Подставляя выражение (і. 12) в условие (bio") и выполняя несложные преобразования,для определения параметров С; получаем сис д тему линейных алгебраических уравнений в которой - 32 J а а Если система уравнений (і .13) имеет единственное решение ,то функция U, (т) определяется однозначно.Подставив значение функции Ц..Ц) Б (j 8) и решив указанную задачу,получим , -е приближение X і ()
Построение алгоритма проекционно-итеративного метода для разностной задачи
Дальнейшие исследования многоточечной задачи производились в следующих направлениях:улучшение оценки числа П. при изменении коэффициентов в (9") расширение классов функций П (-А -ІГуі и обобщение условий(з) ;изучение векторно-матрич-ной задачи и др. Основными проблемами остаются:доказательство условий существования и единственности решений задачи и нахождение эффективных методов построения решений. Существуют разные подходы к разрешению этих проблем.
Целый цыкл работ многих авторов посвящен разрешимости многоточечной задачи исходя из природы, из "глубинных"свойств самого дифференциального оператора рассматриваемой задачи/из неосциля-ционности оператора,из представления его в виде произведения вещественных операторов первого порядка и др./.Часто теорему Ш.Ва-лле-Пуссена[93 ]называют первым эффективным признаком неосциляции, так как разрешимость задачи , (з) на [_О-.оД и неосциляционность /неколеблемость/решений однородного уравнения (і )на этом промежутке являются свойствами равносильными /см,[Зі]/.В настоящее время известен ряд результатов,улучшающих теорему Валле-Пуссена. Среди них СЕОЄЙ законченностью выделяются результаты А.Ю.Левина ГЗО ЗЁ] Приведём здесь только две более тонкие,чем (з) оценки промежутка неосциляции,принадлежащие .соответственно,А.Ю.Левину и Г.А.Бессмертных[g]и А.Ю.ЛеЕИну[3 1]:
Отметим,что при фиксированном значении п_ условия (э)-(12 выражают требование малости коэффициентов і или соответственно \1П ЛЫ1» d-i) Yi .В работе Г.С.Зайцевой 2 2 J уточняются вышеприведенные оценки.Получены новые условия /неравенства/,которые в отличие от (9)-(l2),допускают сколь угодно большие значения О () .если только ЦП (Щ ,р(ім1 » »1\г ЛЙ достаточно малы. Доставляемые этими Валле-Пуссеновскими теоремами условия разрешимости многоточечной задачи имеют достаточный характер. В связи с разложимостью обыкновенного дифференциального опе ратора /Г.Пойа 9Ц.] /на сомножители первого порядка Г.МаммаіЦ90] установил теорему: для того,чтобы оператор [__ (і) разлагался на отрезке [Q. Ь] в произведение линейных действительных сомножите лей первого порядка , с непрерывными коэффициентами \\.() необходимо и достаточно, что бы каждое нетривиальное решение однородного уравнения )обращалось в нуль на [0. Ь] не более чем \},-± раз/т.е.чтобы промежуток [Q, Ь] был промежутком неосциляции для оператора _. /. Равносильность этого свойства с разрешимостью И_ -точечной задачи(l)t(3s) была установлена в ["61 3 .Затем приведенные результаты были обобщены В.Я.Скоробогатьком и Е. И. Бо биком [62,] на случай нелинейного дифференциального уравнения .Ими было доказано утверждение о том,что из разложимости оператора JY. на действительные сомножители первого порядка на отрезке & у следует разрешимость задачи ), (з") на этом отрезке.Дальнейшее развитие эти результаты получили в работах М.К.БугираГ ІЗ І З ,где для линейной системы дифференциальных уравнений ОС k.= 0 4 h. -УП-мерные векторы,были изучены соотношения между такими качественными её характеристиками,как неосциляци-онность решений,факторизация соответственного дифференциального оператора , однозначная разрешимость ft, -точечной задачи Валле-Пуссена.Оказалось,что в отличие от скалярного уравнения,эти свойства не всегда есть равносильными. Аналог _точечной задачи для уравнений в частных производных был исследован Б.И.Пташником[56"5fl» Разрешимость многоточечных задач самым тесным образом связана также с вопросом о существовании и поведении функции Грина /см. например, рабо ту Ф.Хартмана 1»а также [_5 91 /.Важные результаты были получены Е.І.Буницким б ] ;позже А.С.Смогоржевским(]о51/см. также \_Zb "] /который изучил свойства функции Грина для довольно широких классов многоточечных задач.Зависимость функции Грина от разного рода интерполяционных краевых условий исследовали П.Батес и Г.Густавсон[20І.Детальному анализу подвергли функцию Грина многоточечной краевой задачи представители Воронежской математической школы - А.Ю.Левин[33 1 /см.также Ц3 3/ и Ю.В.Покорный [5 Ъ ] Например, рассмотрим /см. [55 1 /операторі (і) при Функция Грина Q(4 яЛ задачи , (3)существует,если нуль не является собственным значением рассматриваемого оператора / или другими словами -однородное уравнениефимеет только тривиальное решение/.Если через Ji.ij: ) обозначить функцию Коши для уравнения (Ґ) с нулевыми начальными условиями в точке "t-CL »а через l/. (і)/ кв0Л -і Vl , I = -, / -Фундаментальную систему решений уравнения [__ [X ] = 0 tудовлетворяющую уело-виям /
