Введение к работе
Объектом исследования реферируемой диссертационной работы является задача уклонения траектории в теории конфликтно управляемых процессов.
Актуальность темы. Теория конфликтно управляемых процессов представляет собой интенсивно раовивающпйся раздел современной математики. В отой теории исследуются задачи управления дина-мичесхями процессами в условиях конфликта, который предполагает наличие двух или более сторон, способных воздействовать на процесс с противоположными или несовпадающими целями и оптимизировать заданные функционалы качества процесса. Динамические процессы могут описываться дифференциальными, интегральными, разностными, гибридными и др. уравнениями. Конфликтно управляемые процессы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, называют также дифференциальными играми1, термин был введен Р. Айзексом - одним из основоположников теории дифференциальных игр .
Теория конфликтно управляемых процессов имеет в своем основании общую теорию игр, математическую теорию управления и теорию дифференциальных уравнений.
Перейдем к краткому изложению проблематики теории конфликтно управляемых процессов.
Фундаментальными результатами математической теории управления являются принцип максимума Л.С. Понтрягина 2 и метод динамического программирования Р. Беллмана1 , которые оказали огромное влияние на развитие теории конфликтно управляемых процессов.
В начале 50-х годов Р. Айзеке применил метод динамического программирования к исследованию игровых оадач преследования и убегания. Полученное им уравнение с частными производными первого
1 Айоежс Р. Дифференциальные игры. - М.: Мир, 1967. - 480 с. 1 Понтрягин Л.О., Болтянсжнй В.Г., Гамжрелидое Р.В., Мищенхо Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наужа, 1983. - 392 с.
порядка (основное уравнение Айэекса-Белпмана) содержит в качестве решения функцию цены игры (оптимальное значение фуніционала качества). Метод Айоекса поовопил выделить характерные особенности, присущие задачам теории конфликтно управляемых процессов (екс-тремальные стратегии, информированность игроков, поверхности переключения, барьеры и т.д.). Им рассмотрен ряд важных прикладных оадач и получены интересные реоультаты. Однако метод Айоекса не был до конца строго обоснованным, что потребовало его дальнейшего исследования. Новым импульсом развития метода Айоекса послужили реоультаты3 по исследованию уравнения Гамидьтона-Якоби. На их основе уравнение Айоекса-Беллмана заменялось парой дифференциальных неравенств и было докаоано, что каждое решение обоих неравенств (минимаксное или "вязкое" решение) совпадает с функцией цены некоторой дифференциальной игры. Поскольку класс минимаксных решений шире класса возможных решений уравнения Айоекса-Беллмана, то метод Айоекса был оначительно усилен и, вместе с тем, стал более строго обоснованным. Отметим еще работу Л.С. Понтрягина4, в которой метод Айзекса был обобщен на более широкие классы игр. Результаты втой работы основаны на принципе максимума Л.С. Понтрягина.
Еа основе принципа максимума Н.Н. Красовским в конце 60-х годов был разработан эффективный метод екстремального прицеливания для решения линейных игровых оадач сближения-уклонения. Другие приложения принципа максимума Л.С. Понтрягина к исследованию конфликтно управляемых процессов даны в монографиях Гаврилова В.М., Пацюкова В.П., Пропоя А.И и др.
Применение основных результатов теории оптимального управления к игровым оадачам не решило всех проблем теории конфликтно
5 Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнение Гамильтона-Яхоби. -
М.: Науха, 1S91. - 216 с.
* Понтрягнн Л.С. К теории дифференциальных игр. УМН, - 1966, т. 21, вып. 4.
- С. 219 - 274.
управляемых процессов. Оставался открытым вопрос строгой формализации понятия игры (конфликтно управляемого процесса), т.е. вопрос о том, что понимать под движением (траекторией) динамической системы, какие способы формирования стратегий (управлений) и какая информированность допустимы для игроков.
В решении проблемы строгого обоснования задач теории конфликтно управляемых процессов фундаментальные результаты принадлежат советским и постсоветским ученым.
Позиционный подход при принятиии решении в условиях конфликта был предложен Н.Н. Красовским5'8'7.
Этот подход, основанный на формировании законов управления с обратной связью, позволил ему, А.й. Субботину7»8 , А.Б. Куржан-скому9, Ю.С. Осшгаву10 , А.Г. Ченцову8 и их сотрудникам дать строгую постановку задач теории конфликтно управляемых процессов, изучить их структуру и выдвинуть основополагающий принцип построения разрешающих стратегий - принцип экстремального прицеливания.
В классах совместимых пар стратегий в единой (позиционной) схеме рассматривается дифференциальная игра сближения - уклонения, для которой доказаны фундаментальные теоремы об альтернативе: для каждой начальной позиции разрешима либо задача о сближении, либо задача об уклонении. Решение игровой задачи сводится к последовательному выбору екстремальных управлений, сохраняющих траекто-
s Красовсгий Н.Н. Игровые вадачя о встречи движения. - М.: Наука, 1970. - 420
с.
Красовсхий Н.Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме га
рантированного результата. - М.: Наука, 1085. - 520 с.
7 Красовсгий Н.Н., Субботин А.И. Пооипионные дифференциальные игры. - М.:
Наука, 1974. - 456 с.
* Суббатни А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. -
М.: Наука, 1981. - 288 с.
8 Куржансхий А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. - М.:
Наука, 1977. - 392 с.
ш Осипов Ю.С. К теории дифференциальных игр с распределенными параметрами. ДАН СССР. - 1975. - Т. 223, N 6. - С. 1314 - 1317.
рию конфликтно управляемого процесса на стабильном мосту (специальном множестве позиций) и приводящих траекторию по нему на терминальное (целевое) множество.
Теоремы об альтернативе позволяют рассматривать каждую ив задач сближения или уклонения как критерии разрешимости противоположной задачи.
Теорию позиционных дифференциальных игр оначительно развили и развивают представители свердловской школы : Э.Г. Альбрехт, В.А. Байдосов, В.Д. Батухтин, Ю.И. Бердышев, Н.Д. Боткин, В.А. Вяо-гин, М.С. Габриэлян, М.И. Гусев, В.Г. Гусейнов, В.й. Жуковский, СТ. Завалищин, М.А. Зарх, В.М. Кейн, А.Ф. Клейменов, А.Н. Кра-совский, А.В. Кряжимский, СВ. Лутманов, В.И. Максимов, О.Н. Никонов, СП. Охеоин, В.Е. Пак, B.C. Падко, А.Б. Пашаев, Ю.М. Репин, В.М. Решетов, В.П. Серов, А.Н. Сесекин, A.M. Тарасьев, СИ. Тарпинский, В.Е. Третьяков, В.Л. Турова, В.И. Ухоботов, СД. Филиппов, Т.Ф. Филиппова, А.Ю. Хапалов, А.Ф. Шортов и др.
В работах этой школы большое внимание уделено вопросам практической реализации процедур управления и численного решения прикладных оадач теории дифференциальных игр (см. напр.11).
Начиная с работ Л.С. Понтрягина и Е.Ф. Мищенко12'13 началась систематическая разработка другого подхода к задачам теории конфликтно управляемых процессов, когда на первый план выдвигается один но игроков, имеющий вооможность строить свое управление (стратегию) на основе определенной информационной дискриминации игрока - противника. В этом случае возникают две отдельные задачи: задача преследования и задача убегания (уклонения траекторий). При таком
11 Алгоритмы и программы решения линейных дифференциальных игр (Материалы по матобеспечению ЭВМ). / Под. ред. А.И. Субботина и B.C. Пацго. -Свердловск, УНЦ АН СССР, 1984. - 295с.
" Понтрягии Л.С., Мищенко Е.Ф. Задача убегания одного управляемого объекта
от другого. ДАН СССР. - 1969, т. 189, N 4. - С. 721 - 723.
19 Понтрягнн Л.С. Линейная дифференциальная игра убегания. Тр. Матеы. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова. - 1971, т. 112. - С. 30 - 60.
подходе не возникает трудностей с формалиоациеи основных объектов конфликтного процесса (решение (траектория), стратегии, степень информированности игроков и др.), поэтому получаются эффективные решения многих задач. К достижениям понтрягинской школы по теории конфликтно управляемых процессов следует отнести:
разработанные методы решения задач преследования14'15'16'17'18 ;
глубокое изучение структуры дифференциальных игр (операторная теория)19'20'21 ;
- эффективные достаточные условия уклонения траекторий19'22'23.
Значительные результаты в этом направлении были достигнуты
также в работах Р.В. Гамкрелидое, А.Я. Азимова, А.В. Арутюнова, Д. Зонневенда, В.Л. Зака, М.И. Зеликина, Н.А. Зенкевича, Р.П. Иванова, А.К. Керимова, Д.Л. Кепенджерипое, В.й. Коробова, В.Б. Крамаровсхого, В.Н. Лагунова, Ю.С. Ледяева, А.В. Мезенцева, А.Г. Пашкова, Г.К. Пожарицкого, П.В. Прокоповича, И.С. Раппопорта, М.М. Сагайдак, Н.Т. Тынянского, А. Фазыяова, Г.Л. Харатишвили, Г.Ц. Чикрий и др.
Во всех постановках (формализациях) одним из основных вопро-
и Понтрягин Л.С. Иобранные научные труды. - Т. 2. (с. 342-349). - М.: Наука, 1988. - 576 с. " Чикрии А.А. Конфлнхтно управляемые процессы. - Киев:НД, 1992. - 384 с. 14 Черноусько Ф.Л., Мелихян А.А. Игровые (задачи поиска и управления. - М.:
Наужа, 1978. - 272с.
" Григоренжо Н.Л. Математичесжне методы управления несжольжими динамическими процессами. - М., МГУ, 1990. - 198 с.
11 Петросяи Л.А, Дифференциальные игры преследования. - ЛГУ, 1977. - 224с.
19 Пшеничный Б.Н., Остапенко В.В. Дифференциальные игры. - Киев: НД, 1992.
- 261 с.
30 Гусятннжов П.Б. Теория дифференциальных игр. - М.: МФТИ, 1982. - 99 с.
31 Аоамов А. О втором методе Понтрягина в линейных дифференциальных играх
преследования. Мат. сборииж. - 1982. - Т. 118, N 3. - С. 422 - 430.
и Мшценжо Е.Ф., Никольский М.С., Сатимов Н. Задача уклонения от встречи в дифференциальных играх многих лиц. Тр. МИАН им. В.А. Стеклова. - 1977, т. 143.
- С. 105 - 128.
м Сатимов Н., Рихсиев Б.Б. О кваоилинеиных дифференциальных играх убегания. Диф. уравнения. - 1978. - Т. 14, N 6. - С. 1046-1052.
сов при решении задач преследования (сближения) является вопрос об оптимальности времени завершения игры (преследования). Практически для каждого метода преследования важным параметром (критерием) его оценки является оптимальность времени оавершения преследования. Значительные реоупьтаты по исследованию оптимальности времени преследования получены в работах5'17-20'24'25.
В оадачах уклонения на бесконечном интервале времени этот параметр отсутствует. Поэтому вооникает задача выявления и оптимизации существенных параметров, являющихся количественными характеристиками процесса уклонения траекторий.
Далее, еще не завершен процесс получения новых эффективных достаточных условий уклонения траекторий с целью охвата наиболее широких классов конфликтно управляемых процессов и приближения этих условии к необходимым.
Данная диссертация посвящена исследованию проблемы оптимизации параметров в оадачах уклонения и получению новых достаточных условий уклонения траектории нелинейных конфликтно управляемых процессов.
Актуальность выбранной тематики диссертационной работы объясняется требованиями внутреннего развития теории конфликтно управляемых процессов и возрастающими потребностями практического приложения этой теории к задачам, вооникающим в экономиках переходного периода, гражданской и военной авиации, промышленности, вкологии и других конкретных областях человеческой деятельности.
Целью работы является изучение проблемы оптимизации параметров уклонения, получение вффективных достаточных условий оптимальности параметров уклонения в нелинейных конфликтно управляе-
м ГУсятников П.Б., Никольский М.С. Об оптимальности времени преследования. ДАН СССР. - 1969. - Т. 184, N 3. - С. 518 - Б21.
ш Половингнн Б.С. Стабильность терминального множества и оптимальность времени преследования в дифференциальных играх. Диф. уравнения. - 1984. - Т. 20, N 3. - С. 433-446.
мых процессах, указание алгоритмов их определения, расширение классов нелинейных конфликтно управляемых динамических систем, для которых раорешима глобальная оадача уклонения траекторий.
Научная новизна реоультатов. На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационной работы.
-
Поставлена проблема оптимизации параметров в оадачах уклонения траекторий от (заданного множества и получено ее решение для квазилинейных конфликтно управляемых процессов.
-
Решена оапача нахождения локально-оптимальных параметров уклонения в нелинейных конфликтно управляемых процессах. Получены достаточные условия существования и указаны алгоритмы определения локально-оптимальных параметров уклонения.
-
Выяснен вопрос о связи двух основных методов уклонения траекторий в конфликтно управляемых процессах: маневра обхода Л.С. Понтрягина и уклонения по направлениям. Обобщена на многомерный случай лемма Л.С. Понтрягина о маневре обхода и улучшены оценки снизу для расстояний до терминального множества.
-
Получены новые достаточные условия уклонения траекторий нелинейных конфликтно управляемых процессов, расширяющие известные результаты Б.Н. Пшеничного, А.А. ЧикрияиВ.В. Остапенко.
-
Разработаны эффективные способы уклонения траекторий в случае отсутствия геометрического преимущества уклоняющегося игрока над преследующим.
-
Решена задача уклонения траекторий нелинейных конфликтно управляемых систем от дискретного терминального множества при геометрических и интегральных ограничениях на управления.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты имеют теоретическую направленность. Ин-
тересными для практики являются конструктивность методов оптимизации параметров уклонения, возможность их численного расчета и испольоования при построении разрешающих стратегий в прикладных (задачах теории конфликтно управляемых систем. Примеры, иллюстрирующие преимущества полученных достаточных условий уклонения траектории, могут быть включены в программы учебных курсов и пособии по теории конфликтно управляемых процессов.
Апробация. Приведем перечень мероприятий (конференций, симпозиумов и др.), на которых докладывались реоультаты диссертации: VIII Всесоюзная конференция "Проблемы теоретической кибернетики", Горький, 1988; IV Международная конференция по дифференциальным уравнениям КДУ-IV, Русе (Болгария), 1989; III Вс. школа "Понтря-гинские чтения. Оптимальное управление. Геометрия и анапио." Кемерово, 1990; XI Вс. конференция "Проблемы теоретической кибернетики", Волгоград, 1990; Вс. конференция "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление". Ашхабад, 1990; Вс. школа-семинар "Моделирование и исследование устойчивости физических процессов", Киев, 1991; КДУ-VIII, СНГ - конференция "Качественная теория дифференциальных уравнений", Самарканд, 1992; 3-rd Crimean Math. School-Symposium (CFMS - III), Simferopol, Ukraine, 1993; Международная школа-семинар "Моделирование и исследование устойчивости систем", Киев, 1993; Intern. Symposium MTNS'93 , Regensburg, Germany, 1993; The 3-rd Int. Workshop "Multiple Criteria Problems under Uncertainty", Orekhovo-Zuevo, Russia, 1994; The 3-rd Int. Congress on Industrial and Applied Math. ICIAM-95, Hamburg, Germany, 1995; Международный симпооиум по наукам и технологиям, Сеул, Корея, 1996; I съеод математиков Каоахстана, Шымкент, 1996; Intern, conf. on some topics in math., Samarkand, 1996; Int. conf. in honour of 50-th anniversary of Korean Math. Society, Seoul, Korea, 1996.
Реоультаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах:
- семинар по теории оптимального управления и дифференциаль-
ным играм. Ташкент, ТашГУ, 1988 - 1996. Н. рук., чл.-корр. АН РУо, проф. Н.Ю. Сатимов;
семинары кафедр системного анализа (н. рук. акад. А.Б. Куржан-ский) и оптимального управления (н. рук. акад. Ю.С. Осипов, проф. М.С. Никольский, проф. Н.Л. Григоренко) факультета ВМК МГУ, 1994, 1996 ;
семинар отдела оптимизации управлемых процессов ИК тл. В.М. Глушкова НАН Украины, 1994, 1996. Н. рук. проф. А.А. Чикрий;
семинар по дифференциальным играм, Фуданьский университет, Шанхай, Китай, 1992. Н. рук. проф. Li Xunjing, проф. Yong J. ;
семинар по дифференциальным играм. Технический университет г. Мюнхена, Германия, 1996. Н. рук. проф. R. Bulirsch;
семинар по исследованию операций и эконометрике Технического университета г. Вепа, Австрия, 1996. Н. рук. проф. G. Feichtinger ;
Публикации. По теме диссертации опубликованы 33 работы. Основные результаты диссертации содержатся в работах автора }1 - XVI].
Структура работы: диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы ио 260 наименований. Объем диссертации составляет 227 страниц компьютерного текста.
Благодарности. Выражаю глубокую благодарность чл.-корр. АН РУо, проф. Н.Ю. Сатимову и проф. П.В. Гусятникову оа постоянное внимание и полезные советы, которые были использованы при выполнении диссертационной работы.
Глубоко признателен академику РАН А.Б. Куржанскому оа всемерную помощь и поддержку в период оформления диссертации.
