Введение к работе
Актуальность работы. Многие дроблен математики, механики, физики, биологии и др. приводят к системам дифференциальных уравнений с особенностью в некоторой точке или заданным в бесконечных областях. При этом часто в качестве граничного условия в этой особой точке ставится условие ограниченности решения. Многообразие ситуаций здесь велико: это дифференциальные уравнения с вырождающимися или ииіігулярішми коэффициентами; обыкновенные даффэронцпалыше уравнения, заданные на бесконечном или полубесконечном интервал; уравнения с частными произаодяыт.-л в неограниченных областях и т.п. Различным аспектам исследования возникающих при этом задач, разработке методов их качественного п приближенного анатаза посвящены многочисленные статьи и г.окографпи (А.И.Ачкльдлеъ, Ш.А.Далецкий, Ы.В.Келдшл, М.Г.Креіін, Д. Г .Михаилов, Н.Р.РаД-жабов, З.Д.Усманов и др.).
' Наиболее изученными среда систем обыкновенных дифференциальных уравнений (со.д.у.), заданных на полубесконечном интерзале, яашггея системы линейных уравнений с постоянными, периодическими, почти периодическими коэффициентами. Для таких систем построена стройная теория, позволяющая провести детальный анализ вопросов существования ограниченных на полуоси решений, разработаны эффективные методы их построения, изучены свойства соответствующее дифференциальных операторов в различных функциональных пространствах (Б.П.Демидовнч, М.А.КрасносельскиЗ, Б.М.Левитан, Х.Массера, Э.М.Мухамадиев, Х.Шеффер и др.).
Существенно менее изученными являются аналогичные вопросы для с о.д.у. с ограниченными на полуоси коэффициентам. Известно лишь ограниченное число работ, посвященных исследованию таких вопросов (Х.Массера, Э.М.Мухамадиев, Х.Шаффер). Представляет интерес изучение задач об ограниченных на полуоси решениях о.о.д.у. со слабоосіпшшрующиш на бесконечности коэффициентами, часто встречаемых в приложениях.
Исследованиям вопросов об ограниченных решениях с.о.д.у. с вырождающимися коэффициента»! работы многих авторов: А.А. Абрамов, А.К.Ачильдкев, Л.Г.Михайлов и др. Одним из наиболее эффективных здесь является метод перехода к эквивалентным уравнения:.!, заданным на бесконечном интервале и уже не содержащим особенностей. Здесь актуально описание класса уравнений с выроздаэдимкся коэффициентами, допускающих переход к эквивалентным уравнениям со слабоосциллирующшли ка бесконечности коэффициентами, а также проведение детального анализа задач об ограниченных решениях таких уравнений.
Наиболее распространенны}.! методом приближенного исследования с.о.д.у. является переход к сеточным аналогам таких уравнений и изучение последних. При анаїизе задач приближенного построения ограниченных решений с.о.д.у., заданных на полубесконечном интервале,или с вырождающимися коэффициентами важно знать о том, имеют ли ограниченные решения разностные уравнения, соответствующие этим уравнениям, близки ли ограниченные решения разностных и дифференциальных уравнений, какими должны быть начальные данные этих решений и т.п.
Существенный вклад в развитие теории и методов исследования разностных уравнений внесли работы таких авторов как С.К.Годунов, Г.И.Марчук, А.А.Самарский, Р.Рихтмайер, В.С.Ря-бенький и др. Здесь в связи с вышесказанным ванны исследования вопросов об ограниченных решениях систем разностных уравнений с переменными коэффициентами. Эти исследования актуальны не только в связи с применениями в теории дифференциальных уравнений, но и представляют самостоятельный интерес.
Цель работы. Исследовать задачи об ограниченных решениях линейных обыкновенных дифференциальных уравнений со слабоосци ллярующими на бесконечности коэффициентами.
Описать класс линейных обыкновенных дифференциальных урав нений с выроздащямися коэффициентами, допускающими переход в эквивалентным уравнениям со слабоосциллируюшдш на бесконечно сти коэффициентами, и проведение детального анализа задач об ограниченных решениях таких уравнений.
Исследовать задачи об ограниченных решениях систем разнос
тных уравнений с переменными коеффицисктама. Провести еиа-лиз связи задач об ограниченных решениях дифференциальных уравнений со слабоосідаллирующшла на бесконечности или bbjo-адающишоя коэффициентами, с задачахсї об ограниченных решениях их разностных аналогов.
Научная новизна. Получены критерии существования ограни-ченных на полуоси решений линейных обыкновенных днфференцл-альных уравнений со с.яабоосшллируицпмя на бесконечности коэффициентами, изучены свойства порожденных таким; уравнениями дифференциальных оператороз з различных фуічкі^?;:альпкх пространствах.
Указаны условия приводимости линейных обпкногегпшх дифференциальных уравнений с выроздевдимися коэффициентами к уравнениям со слабоосцпллкрущпга на бес"оиечзтог:и noc-T-.Trr-пнентаиі. Изучены критерии существовал;:,.. сграп;!".-ишх psrro-шій приводимых уравнений.
Получены условия существования ограниченных резней систем разностных уравнений с переменными ;г.о;*>—гсгітаїди.
Разработаны схеїяі исследования задач об огргх":ченпых решениях дифференциальных уравнений со слабоосгяллирутэдиз'З на бесконечности пли выроадаю::пн.нся коофГяционтагя на основе анализа соответствующих разностных уравнения.
Практическая и теоретическая ценность. Работа тоерзтн-ческая. Полученные в ней результаты жегут быть всподьзовгіш при исслэдовашш задач об ограничзняых ранениях дяффзреннд-альных уравнений со слабоосциллиртй^;^: ка бесконечности или выроядаищшяся коэффициентами, задач об ограниченнее решениях систем разностных уравнений. Они могут служить основой при разработке процедур приближенного исследования таких задач.
Методы исследования. В работа использоваїш обппіе іятодн теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, разносгные метода ревеїшя дифференциальных уравнений, кзто-дн функционального анализа, теории матриц.
Апробация работы. Отдельные части диссертацаспгсй работы докладывались на Всесошной конференции по некорректным
задачам (г. Самарканд, 1983 г.), на конференциях молодых ученых и специалистов Таджикистана (г. Душанбе, 1982-84 гг, 1992 г.), на научной конференции "Комплексный анализ уравнений в частных производных" (г. Душанбе, 1992 г.), на научных семинарах Новосибирского госуниверситета (руководитель - аналешк М.М.Лаврентьев; 1983-87 гг., 1991-92 гг), Вычислительного центра СО Российской Академии наук (руководитель - профэссор А.Л.Бухгейм; 1983-85 гг), Факультета вычислительной математики и кибернетики Московского госуниверситета (руководитель - профессор Н.С.Бахвалов; 1982 г.), Математического института; с ВЦ АН Республики Таджикистан (руководители - профессор"Э.М.Цухашдиев, к.ф.-м.н. А.И.Ачи-льдиев; I982-S3 гг).
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано шесть научных статей, список которых приведен в конце настоящего автореферата.
Личный вклад. Основные результаты получены автором самостоятельно. Постановки задач и некоторые идеи доказательств принадлекат научным руководителям.
Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 116 страницах машинописного текста, состоит из введения, двух глав, содержащих девять параграфов, а такае списка цитированной литературы, включающего gj, наименований.
