Введение к работе
Актуальность_темы. Интерес к исследованию вопросов, связанных с методом обратной задачи рассеяния, обусловлен применимостью зтого метода при решении нелинейных эволюционных уравнений, имеющих многочисленные применения в физике (физике плазмы, нелинейной оптике, физике ферромагнетиков ).
В 1967 году Гарднер, Грин, Краскал и Миура стали первооткрывателями нового методе математической физики. Они изобрели метод решения уравнения Кортевега - де Фриза, использующий идеи прямой и обратной задачи рассеяния. Лаке (1968) существенно обобщил их идеи , Захаров и Шабат (1971) показали, что этот метод приложим и к нелинейному уравнению Шредннгера. Дальнейшее развитие этих методов и многочисленные применения подробно представлены в книгах В.А.Марченко (1977), И.Абловицэ и Х.Сигура (1981), Ф.Калоджеро и А.Дегаспериса (1982), Р.Додда, Дж.Эйлбека, Дж.Гиббона и Х.Морриса (1982), А.Ньюэлла (1985), Л.А.Тахтаджяна и Л.Д.Фаддеева (!986).
В настоящее время делается много попыток построения новых типов пар Лакса в работах О.й.Богоявленского (1991), А.И.Кудряшова (1992) и некоторых других авторов.
Однако в этих методах возникают трудности при исследовании многомерных нелинейных уравнений и уравнений параболического типа. Это связвно с тем, что в вышеуказанных работах применяигся задачи рассеяния для операторов с Локальными потенциалами. Поэтому развитие этих методов для операторов с нелокальными потенциалами является актуальной
- 4 -задачей.
Цель_работы. Разработка новых подходов в построении пар Лакса, использующих задачи рассеяния с нелокальными потенциалами.
05ЩЯ_мвтодика_иссл8дования. В работе применяется традиционный метод конструирования пар Лакса, основанный на представлении нелинейного эволюционного уравнения в виде условия совместности линейных задач.
Нїчная_новизна. в диссертации получены следующие новые результаты:
получены полные списки уравнений, интегрируемых с помощью операторов Дирака и Штурма-Лиувилля с локальным потенциалом при степенной зависимости оператора эволюции от спектрального параметра;
разработан новий подход построения одномерных пар Лакса, использующий нелокальные потенциалы;
построены представления Лакса для уравнения Карлемана;
- показана возможность обобщения пар Лакса с
нелокальными потенциалами на многомерный случай.
'Георетотеское_и_практическое_значение_результатов. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть применены при решении задач Коши для нелинейных эволюционных уравнений и в различных их приложениях.
АОШ^ацияраОоты. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах члэн-корр. АН РК Т.Ш.Кальменова, профессора Д.У.Умбетжанова, профессора Я.Т.Султанаева,
- 5 -член-корр. АН РК М.О.Отелбаевэ, на семинаре в НГУ.
Пу_бликации. По теме диссертации опубликованы 3 работы, перечень которых приложен в конце автореферата.
СтЕукту.ра_и_объем_работи. диссертационная работа состоит из введения, где дается краткое содержание работы, двух глав, разбитых на пять параграфов и списка литературы, содержащего 37 наименований.
