Введение к работе
3>8 - Ь
1. Актуальность темы. Работа посвящена применению методов конечпых элементов к решению сингулярно возмущенных задач. Рассматриваются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной, а именно сильно-нелинейная краевая задача в "условно-устойчивом" случае, многомерпая краевая задача с разрывными коэффициентами уравнения и задача с внутренней поворотной точкой. Численное решение таких задач привлекает большое внимание математиков. Этой теме посвящены работы Г.И.Шишкина, А.М.Ильина, И.П.Боглаева, О'Маллея, Фарреля, Вулановича, Ашера, Вейса, Рингхофера, Стайн-са, Риордана п др. Основные способы нахождения численных решений в работах этих авторов состоят в применении "подогнанных" разностных операторов и использовании адаптивных сеток, сгущающихся в области погранслоя. Для нахождения приближенных решений сингулярно-возмущенных уравнений разработано также много асимптотических методов в работах А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузова, С.А.Ломова, К.В. Емельянова и других авторов. Ряд авторов работают над оценками точного решения без использования асимптотических разложений. Такие результаты представлены в работах В.Д. Лисейкнна, В.Е. Петрепко. О'Маллея и других.
Нелинейные краевые задачи и задачи с поворотной точкой при-влг&ают особое внимание, так как использование асимптотических разложений в практических расчетах сталкивается с трудностями.
2. Цель работы. Целью работы является получение численного алгоритма равномерно-сходящегося по малому параметру с высоким порядком точности метода сплайн-коллокацип для краевой задачи с внутренней поворотной точкой на адаптивной сетке, перенесение метода конечных элементов Галеркина на новый класс задач с раз-
рывными коэффициентами и исследование применимости метода Га-леркина - Петрова в сильно-нелинейных краевых задачах.
-
Методы исследования. Для построения равномерно-сходящихся по малому параметру численных методов применяется адаптивная сетка, которая строится с использованием идей Н.С.Бахвалова. Обоснование метода Галеркина ведется с использованием техники "га-леркинских проекторов", разработанной И.А.Блатовым. Обоснование метода Галеркина-Петрова проводится методами функционального анализа. Результаты работ по асимптотическим методам и аналитическому исследованию точных решений также используются для оценки погрешности аппроксимации точпого решения сплайнами на адаптивной сетке. При исследовании метода сплайн-коллокации используются некоторые факты из алгебры матриц.
-
Научная новизна работы. Метод Галеркина на базе кусочно-линейных сплайнов перенесен на новый класс задач - задач с разрывными коэффициентами. Доказано существование и единственность численного решения сильно-нелинейной краевой задачи в "условно-устойчивом" случае по методу Галеркина-Петрова на базе параболических сплайнов. Оба результата дают второй порядок точности в норме пространства Ьж. Разработан модифицированный метод сплайн - коллокации третьего порядка точности в норме пространства С на базе эрмитовых кубических сплайнов для задачи с внутренней поворотной точкой. Все методы имеют равномерную по малому параметру сходимость с указанными порядками точности.
-
Практическая ценность. Предлагаемые численные методы могут быть использованы при моделировании различных физических, химических и биологических процессов. В частности при моделировании переноса заряда в полупроводниковом приборе и при оптимизации аэродинамических маневров на границе земной атмосферы.
-
Аппробация работы. Результаты работы докладывались на на-
учной конференции Воронежского государственного универстнтета и на второй европейской математической конференции по численным методам и приложениям ENUMATH'97, проходившей в г. Гейдельберг в период с 28 сентября по 3 октября 1997 г..
7. Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре рабо
ты.
Blatov I.A./Blatova V.V.. Rozhek Y.B., Strygin V.V. Galerkin-Petrov Method for strongly nonlinear singularly perturbed boundary value problems on special meshes, Appl. Numer. Math., 1997, N25, pp.321-332.
Blatov LA.. Rozhek U.B., Strygin V.V. The Spline-Collocation and Galerkin's Methods for Singularly Perturbed Boundary Value Problems, Proc. of the Second European Conf. on Num. Math, and Adv. Appl., World Scient. Publ, 1998, ISBN 981-02-3546-1.
Рожек 10.Б. Метод Галеркина для сингулярно возмущенных краевых задач с разрывными коэффициентами// Труды конф. "Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства", Воронеж:ВГУ, 1998.
Рожех 10.Б. Модифицированный метод коллокации для сингулярно возмущенной задачи с точкой поворота// Труды копф. "Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства", Воронеж:ВГУ, 1998.
8. Структура и объем работы. Работа состоит из трех частей, вве
дения и списка литературы. Каждая часть завершается результата
ми численных экспериментов и апостериорно вычисленными табли
цами погрешностей численных методов. Общий объем работы соста
вляет 116 страниц. Список литературы содержит 88 источников.
-G-
