Введение к работе
Актуальность темы. Многие задачи прикладного анализа теории автоматического регулирования, теории квантовой механики, оптимального управления, газодинамики и др.) приводят ; необходимости решения сингулярно возмущенных краевых задач СВКЗ).
Использование традиционных численных методов для решения ІЗКЗ малоэффективно из-за наличия вблизи границ участков быстрого изменения решений (погранслоев). В связи с этим шачителен интерес к разработке более эффективных численных летодов. Этой тематике посвящены работы Н.С.Бахвалова, З.М.Багаева, Б.С.Добронец, Ю.П.Боглаева, Г.И.Шишкина, З.Л.Макарова, В.В.Гуминского, К.Сурла, К.Шваба, М.Сури и ip.. Наиболее активно разрабатывались разностные численные методы и проекционно-сеточные методы галеркинского типа, имеющие, как правило, сходимость 1-го и 2-го порядка. При этом зценки точности в основном получены в сеточных нормах. Распространение таких оценок с точек сетки на сплошной промежуток Га, Ь], требующее интерполирования решения на весь промежуток, является, к сожалению, трудной задачей из-за больших значений производных в погранслоях. Подобное интерполирование оказалось удобно проводить методом шллокаций, использовавшимся ранее У.Ашером, Р.Вайсом, "С.Рингхофером, И.А.Блатовым, В.В.Стрыгиным и др. авторами іля СВКЗ с непрерывными коэффициентами, когда особенности, порождаемые погранслоями, появляются лишь в окрестности сонцов. Случай разрывных коэффициентов обсуждался ранее в )аботах И.П.Боглаева, где использовались сетки бахваловского 'ипа со сгущениями в окрестностях концов, что не позволяло
учитывать в полной мере погранслои, порождаемые разрывами коэффициентов СВКЗ во внутренних точках промежутка.
Для построения эффективных алгоритмов численного решения СВКЗ важно иметь описание погранслоев и поведение решения в них. Подобную информацию естественно искать асимптотическими методами. Асимптотическому анализу решений (и их производных) для СВКЗ посвящены работы А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузова, С.А.Ломова, АА.Воронина, Р.С.Лапушонка и других авторов. При построении численных методов сеточтого характера с коллокационным интерполированием применительно к СВКЗ с разрывными коэффициентами асимптотический анализ ранее не проводился.
Цель работы. Построение и обоснование метода коллокации третьего порядка точности для линейных векторных сингулярно воозмущенных краевых задач с разрывными коэффициентами на основе обобщенных кубических сплайнов еденичного дефекта.
Методика исследования. В работе используются теория проекционных методов, асимптотические методы, методы сплайн-функций, обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа.
Научная новизна. Доказаны существование и единственность решения СВКЗ с разрывными коэффициентами. Построен и обоснован метод коллокации для приближенного нахождения такого решения СВКЗ. Доказаны теоремы существования и единственности решения коллокационных задач и установлены
равномерные по Є и m оценки сходимости порядка О (1 / т3
(где т - число узлов разбиения).
Практическая и теоретическая значимость. Разработанные методы могут быть использованы при написании программ для
решения СВКЗ с высокой степенью точности. Дано обоснование схем третьего порядка точности.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Воронежских весенних математических школах (1993 г., 1994 г., 1995 г.), на семинаре проф. В.В.Стрыгина, на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений Института математики при ВГУ, на ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава ВГПУ.
Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [1-4]. Из совместных работ [1-2] в диссертацию включены результаты, полученные автором самостоятельно.
Объем и структура работы. Диссертация содержит 133 страницы текста и состоит из введения и трех глав, разбитых на 13 параграфов. Библиографический список литературы содержит 76 наименований. Нумерация параграфов сквозная.
Используемая ниже нумерация формул автономна от диссертации.
Похожие диссертации на Метод коллокации решения сингулярно возмущенных краевых задач с помощьюкубических сплайнов минимального дефекта
