Содержание к диссертации
Введение
1 Символьные вычисления ляпуновских величин и малые предельные циклы 11
1.1 Введение 11
1.2 Лянуновские величины 14
1.3 Классический метод вычисления ляпуновских величин Пуанкаре-Ляпунова
1.3.1 Вычисление ляпуновских величин в евклидовом пространстве 19
1.3.2 Вычисление ляпуновских величин в комплексном пространстве
1.4 Метод вычисления ляпуновских величин в евклидовом пространстве и во временной области 23
1.5 Символьные выражения ляпуновских величин
1.5.1 Ляпуновские величины для общего вида полиномиальных систем 25
1.5.2 Метод сведения квадратичных систем к системам Льенара 26
1.5.3 Ляпуновские величины для систем Льенара 29
1.5.4 Ляпуновские величины для квадратичных систем 31
1.6 Ляпуновские величины и малые предельные циклы 35
2 Исследование больших предельных циклов 38
2.1 Введение 38
2.2 Один и два больших предельных цикла квадратичных систем
2.2.1 Метод асимптотического интегрирования траекторий 40
2.2.2 Критерии существования предельных циклов 52
2.2.3 Визуализация области параметров, соответствующих существованию одного и двух больших предельных циклов 60
2.3 Три и четыре больших предельных цикла квадратичных систем 64
2.3.1 Численное построение области коэффициентов, соответствующих существованию трех больших предельных циклов квадратичных систем 65
2.3.2 Визуализация четырех больших предельных циклов квадратичных систем и исследование танца циклов 68
Литература 1
- Классический метод вычисления ляпуновских величин Пуанкаре-Ляпунова
- Ляпуновские величины для систем Льенара
- Критерии существования предельных циклов
- Численное построение области коэффициентов, соответствующих существованию трех больших предельных циклов квадратичных систем
Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию периодических решений и вычислению ляпуновских величин двумерных динамических систем.
Актуальность темы. Исследование предельных циклов двумерных динамических систем стимулировалось как чисто математическими проблемами, такими как шестнадцатая проблема Гильберта и проблема центра - фокуса, так и многими прикладными задачами. Так, к исследованию двумерных квадратичных систем приводит рассмотрение различных химических реакций и популяционных моделей в биологии. В таких моделях важную роль играют предельные циклы.
Задача локализации и моделирования предельных циклов, даже для случая двумерных квадратичных систем, является нетривиальной. Так, в книге "Экспериментальная математика" В.И. Арнольд пишет: "Чтобы оценить число предельных циклов квадратичных векторных полей на плоскости, А.И. Колмогоров раздал несколько сотен таких полей (со случайно выбранными коэффициентами многочленов второй степени) нескольким сотням студентов механико - математического факультета МГУ в качестве математического практикума. Каждый студент должен был найти число предельных циклов своего поля. Гезультат этого эксперимента был совершенно неожиданным: ни у одного поля не оказалось ни одного предельного цикла!". Из чего В.И. Арнольдом был сделан вывод о том, что область в пространстве параметров, соответствующая существованию предельных циклов в двумерных квадратичных системах, мала.
Задача исследования предельных циклов двумерных квадратичных систем может быть условно разделена на исследование "малых" предельных циклов (локальная шестнадцатая проблема Гильберта) и изучение "больших" предельных циклов.
Важный вклад в изучение локальной шестнадцатой проблемы Гильберта внесли И.И. Баутин, И.И. Серебрякова, С.Д. Щуко, Г. Yu, N.G. Lloyd, S. Lynch, A. Gasull, J. Gine, А.Ф. Андреев, В.Г. Гомановский. Одним из наиболее эффективных методов исследования "малых" предельных циклов является метод ляпуновских величин (или констант Пуанкаре - Ляпунова), предложенный в классических работах Н. Гоіпсаге и A.M. Ляпунова.
Ляпуновские величины характеризуют локальную устойчивость и неустойчивость слабого фокуса.
Если первая и вторая ляпуновские величины в общем виде были вычислены для двумерных систем в сороковые - пятидесятые годы прошлого столетия Н.Н. Баутиным и Н.Н. Серебряковой соответственно, то вычисление третьей ляпуновской величины было долгое время возможно лишь для некоторых специальных случаев (см., например, работы N.G. Lloyd, S. Lynch). Вычисление третьей ляпуновской величины в общем виде стало возможно благодаря современным мощным техническим средствам и специальным математическим пакетам символьных вычислений, а также благодаря разработке эффективных алгоритмов, это выражение было получено в 2008 году Г.А. Леоновым, Н.В. Кузнецовым и Е.В. Кудряшовой.
Вычисление символьных выражений ляпуновских величин и метод малого возмущения параметров системы позволяют, следуя работе Н.Н. Ба-утина (1949), получать малые предельные циклы вокруг состояний равновесия. Так, в случае двумерной квадратичной системы использование этих методов позволяет получить по одному "малому" предельному циклу вокруг двух состояний равновесия или три "малых" предельных цикла вокруг одного состояния равновесия. В общем случае для систем более высоких степеней упомянутые выше методы позволяют получить оценку снизу возможного числа "малых" предельных циклов. Также вычисление ляпуновских величин тесно связано с важным в инженерной механике вопросом о поведении динамической системы при значениях параметра близких к границе области устойчивости.
Позднее в работах S.L. Shi (1980) и Chen L.S. к Wang M.S. (1979) были получены квадратичные системы с "большим" предельным циклом вокруг одного состояния равновесия и с тремя "малыми" предельными циклами вокруг другого состояния равновесия.
Задача нахождения аналитических условий существования "больших" предельных циклов, а также задача их визуализации, по-прежнему актуальны и остаются до конца нерешенными как для полиномиальных двумерных систем общего вида, так и для простейшего случая двумерных квадратичных систем.
Некоторые аналитические и численные методы исследования "больших" предельных циклов были предложены в работах T.R. Blows, L.M. Рег-ko, R. Roussarie, Л.А. Черкаса. Также для исследования "больших" предельных циклов квадратичных систем оказался эффективным предложенный в 2008 году Г.А. Леоновым метод асимптотического интегрирования траекторий.
Цель работы. Целью работы является исследование периодических решений и вычисление ляпуновских величин двумерных динамических систем. Работа направлена на развитие аналитических и численных методов исследования предельных циклов и вычисления ляпуновских величин, изучение и визуализацию областей параметров, соответствующих существованию предельных циклов, и применение полученного численно-аналитического аппарата к исследованию двумерных квадратичных систем.
Методы исследования. Для исследования предельных циклов двумерных квадратичных систем в работе используются:
методы вычисления ляпуновских величин (во временной области и евклидовой системе координат, классический метод Пуанкаре - Ляпунова) и их реализации в пакете Matlab - для вычисления символьных выражений ляпуновских величин и исследования "малых" предельных циклов,
сведение к системе Льенара специального вида и метод асимптотического интегрирования траекторий - для локализации "больших" предельных циклов.
Результаты, выносимые на защиту.
Разработаны и реализованы эффективные символьные алгоритмы вычисления ляпуновских величин для систем Льенара, основанные на методе вычисления ляпуновских величин во временной области и евклидовой системе координат и на классическом методе Пуанкаре
- Ляпунова. Использование данных алгоритмов и пакета вычисле
ния Matlab позволило впервые получить выражения пятой, шестой и
седьмой ляпуновских величин для системы Льенара в общем виде в
терминах коэффициентов исходной системы.
Использование описанных выше алгоритмов и пакета вычисления Matlab позволило впервые получить выражение четвертой ляпунов-ской величины в общем виде в терминах коэффициентов исходной системы (выражение занимает более 45 страниц).
Получена теорема о существовании четырех предельных циклов двумерных квадратичных систем (двух "больших" - в случае слабого фокуса второго порядка и одного "большого" - в случае слабого фокуса третьего порядка). Полученная теорема обобщает известные результаты S.L. Shi о существовании четырех предельных циклов в двумерной квадратичной системе.
Численно получена область параметров квадратичной системы, соответствующих существованию трех "больших" предельных циклов: одного - вокруг одного состояния равновесия (фокуса) и двух - вокруг второго состояния равновесия (слабого фокуса первого порядка).
Построены двумерные квадратичные системы, для которых проведена визуализация четырех "больших" предельных циклов. Проведена серия численных экспериментов по исследованию области параметров квадратичной системы, соответствующих существованию четырех "больших" предельных циклов.
Достоверность результатов. Основные результаты диссертационной работы были получены с помощью строгих математических доказательств.
Символьные выражения ляпуновских величин, полученные независимыми реализациями двух разных методов, совпадают, что подтверждает их правильность. Применение разработанных алгоритмов для исследования двумерных полиномиальных систем малых степеней дает выражения, совпадающие с ранее известными результатами, полученными в работах Н.Н. Баутина, Н.Н. Серебряковой, S. Lynch, Е.В. Кудряшовой.
Существование полученных в работе "больших" предельных циклов подтверждается теоретическими результатами S.L. Shi, J. Llibre и Г.А. Леонова, а также многочисленными численными экспериментами.
Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для исследования предельных циклов динамических систем, а также при решении задачи о поведении динамической системы при значениях параметра близких к границе области устойчивости и исследовании прикладных динамических моделей, возникающих в химии, биологии и электронике.
Апробация работы. Результаты данной работы докладывались на международных конференциях «23-rd IAR workshop on advanced control and diagnosis» (Ковентри - 2008), «Workshop on numerics in dynamical systems» (Хельсинки - 2009), «MATHMOD 09» (Вена - 2009).
В том числе были представлены на мини-симпозиумах международных конференций «The Third International Conference on Dynamics, Vibration and Control (ICDVC-2010)» (Ханчжоу- 2010), XI международная конференция «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (конференция Пятницкого) (Москва - 2010), «PSYCO2010» (Анталия -2010).
Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 9 печатных работах, в том числе в 3 статьях [1, 2, 3], опубликованных в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.
В работах [1, 2, 7, 9] соавтору (научному руководителю) принадлежит постановка задачи, все результаты получены диссертанткой самостоятельно.
В работах [4, 5, 6] диссертантке принадлежат разработка алгоритмов, реализация символьных вычислений и компьютерное моделирование.
Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, шести приложений, списка литературы, включающего 114 наименований, изложена на 125 страницах машинописного текста и содержит 30 рисунков.
Классический метод вычисления ляпуновских величин Пуанкаре-Ляпунова
Первая часть работы посвящена символьным вычислениям ляпуновских величин. Метод вычисления ляпуновских величин (называемых также иногда фокусными величинами и константами Пуанкаре-Ляпунова) был предложен в конце 19-го века в классических работах А. Пуанкаре /Poincare, 1885/ и A.M. Ляпунова /Ляпунов, 1892/. Заметим, что знак ляпуновской величины характеризует закрутку/раскрутку решений системы в малой окрестности состояния равновесия и устойчивость/неустойчивость критического состояния равновесия.
Как было замечено выше, развитие методов вычисления и анализа ляпуновских величин стимулировалось как чисто математическими проблемами (такими, как задача различения центра и фокуса, задача определения цикличности фокуса, анализ устойчивости динамических систем, а также знаменитая 1б-ая проблема Гильберта), так и прикладными инженерными задачами (такими, как исследование границ области устойчивости и возбуждения колебаний).
Заметим, что задачей символьного вычисления ляпуновских величин, то есть поиском символьных выражений ляпуновских величин в терминах коэффициентов правых частей рассматриваемой динамической системы, ученые начали заниматься еще в первой половине прошлого века. Однако, существенное продвижение в изучении ляпуновских величин стало возможным только в последнее десятилетие благодаря применению современной компьютерной техники и пакетов символьных вычислений. Так, символьные выражения для первой и второй ляпуновских величин были получены в 40-50 - е годы прошлого века /Баутин, 1949/, /Серебрякова, 1959/, в то время, как выражение для третьей ляпуновской величины в общем виде было впервые вычислено только в 2008 году /Леонов и др., 2008/, а выражение для четвертой ляпуновской величины - в 2009 году автором данной работы. Получение выражений для третьей и четвертой величин стало возможным благодаря развитию аналитических методов вычисления ляпуновских величин, реализации эффективных алгоритмов на их основе и применению современных методов компьютерных вычислений.
В настоящее время существует несколько методов нахождения ляпуновских величин и их компьютерных реализаций, которые позволяют определять ляпуновские величины в виде символьных выражений, зависящих от коэффициентов разложения правых частей уравнений системы. Эти методы различаются по сложности реализации алгоритмов, пространству, в котором проводятся вычисления, и компактности получаемых символьных выражений /Малкин, 1966, Chow & Hale, 1982/, /Gasull & Prohens, 1997, Li, 2003, Chavarriga к Grau, 2003/, /Lynch, 2005, Dumortier et al, 2006, Christopher & Li, 2007, Gine, 2007/, /Yu & Chen, 2008/. Первый метод нахождения лянуновских величин был предложен в работах /Poincare, 1885/ и /Ляпунов, 1892/. Этот метод основывается на последовательном построении функции Ляпунова на основе интеграла линейной части системы. Он изложен ниже (см. "Классический метод вычисления ляпуновских величин Пуанкаре-Ляпунова").
В дальнейшем были разработаны различные методы вычисления ляпуновских величин, использующие приведение системы к нормальным формам /Yu, 1998, Li, 2003/. Однако при реализации этих методов возникают сложности, связанные с неоднозначностью процесса построения нормальной формы системы.
Другой подход к вычислению ляпуновских величин связан с нахождением приближений решения системы. Так, в работе /Ляпунов, 1892/ используется переход к полярным координатам и процедура последовательного построения приближений решения.
В работах /Kuznetsov & Ьеоnov, 2008і, Kuznetsov к Ьеоnov, 2008 , Leonov et at., 2008/ был предложен новый метод вычисления ляпуновских величин, основанный на построении приближений решения (в виде конечной суммы по степеням начального данного) в исходной евклидовой системе координат и во временной области. Преимуществом данного метода является идеологическая простота и наглядность. Этот подход также может применяться для решения задачи определения изохронного центра /Sabatini к Chavarriga, 1999/, так как позволяет найти приближение времени "оборота" траектории в зависимости от начальных данных. Этот метод изложен ниже (см. "Метод вычисления ляпуновских величин в евклидовом пространстве и во временной области"). Часто для упрощения алгоритма вычисления и конечных выражений ляпуновских величин используются различные модификации рассмотренных выше методов, связанные с преобразованием системы к комплексным переменным /Щуко, 1968, Gasull et al, 1997, Li, 2003/, /Yu & Chen, 2008/. Так, на основе модификации для комплексной области метода построения функции Ляпунова в 1968 году была разработана, по-видимому, первая компьютерная программа вычисления ляпуновских величин /Щуко, 1968/.
Отметим, что вычисление символьных выражений ляпуновских величин может быть также сведено к применению рекуррентных формул /Lynch, 2005/, использованию алгебраических методов построения и исследования специальных полиномов /Romanovskii, 1996/.
Ляпуновские величины для систем Льенара
Задача исследования "больших" предельных циклов является чрезвычайно сложной даже для простейшего случая квадратичных систем. Если "малые" предельные циклы квадратичных систем изучаются, начиная с середины прошлого века /Баутин, 1949/, /Серебрякова, 1959/, квадратичные системы с "малыми" и "большими" предельными циклами удалось найти много позднее /Chen & Wang, 1979, Shi, 1980/.
Заметим, что хотя "большие" циклы могут быть получены с помощью численных процедур, задача их локализации и моделирования по-прежнему остается нерешенной даже для случая квадратичных систем.
Так, в книге "Экспериментальная математика" В.И. Арнольд /Арнольд, 2005/ пишет: "Чтобы оценить число предельных циклов квадратичных векторных полей на плоскости, А.Н. Колмогоров раздал несколько сотен таких полей (со случайно выбранными коэффициентами многочленов второй степени) нескольким сотням студентов механике - математического факультета МГУ в качестве математического практикума. Каждый студент должен был найти число предельных циклов своего поля. Результат этого эксперимента был совершенно неожиданным: ни у одного поля не оказалось ни одного предельного цикла!". Из чего В.И. Арнольдом был сделан вывод о том, что область в пространстве параметров, соответствующая существованию предельных циклов (заметим, что речь идет о "больших" циклах) в двумерных квадратичных системах, мала. Это открытие подтверждает необходимость поиска аналитических методов исследования "больших" предельных циклов.
Некоторые аналитические и численные методы исследования "больших" предельных циклов были предложены в работах /Lefschetz, 1957, Blows к Lloyd, 1984і, Perko, 1990, Rousseau, 1993/, /Blows к Perko, 1994, Cherkas et al, 2003, Kudryashova et al, 2008/.
Нредложенный в работе /Леонов, 2009/ метод асимптотического интегрирования траекторий позволяет получить аналитические условия существования одного и двух "больших" предельных циклов для класса квадратичных систем.
Используя кроме того результаты из предыдущей главы, удается построить классы квадратичных систем одновременно с "большими" и "малыми" циклами (два "больших" и два "малых", либо один "большой" и три "малых"). Было проведено исследование, доказывающее, что полученная в работе аналитическая оценка области параметров, соответствующих классу квадратичных систем с тремя "малыми" и одним "большим" предельными циклами, совпадает с соответствующей оценкой, полученной в работе /Artes к Llibre, 1997/ и расширяет оценку, полученную в известной работе /Shi, 1980/, что подтверждает эффективность использованного метода.
Развитие метода асимптотического интегрирования траекторий, а также проведение ряда численных экспериментов (иллюстрации так назы 40 ваемого "танца циклов" приведены в Приложении 6) позволили впервые получить совершенно новые конфигурации "больших" предельных циклов для квадратичных систем: два - вокруг одного состояния равновесия и один - вокруг второго, а также три - вокруг одного состояния равновесия и один - вокруг второго.
Рассмотрим квадратичную систему общего вида (1.18). Она, как было доказано выше, может быть сведена к более простому виду (1.20), которая в свою очередь сводится к системе Льенара вида (1.22).
Теперь к системе может быть применен метод асимптотического интегрирования траекторий /Leonov, 2010 / для исследования "больших" предельных циклов. Для этого сведем систему (1.22) к специальному виду
Критерии существования предельных циклов
В работе исследовались коэффициенты, при которых наблюдается конфигурация четырех "больших" предельных циклов. Для этого было проведено исследование так называемого "танца циклов", то есть изменения конфигурации циклов системы при постепенном изменении каждого из 5 заданных коэффициентов (исходным был выбран набор коэффициентов а2 = -10, &2 = 2,с2 = 0.4, а2 = -1950, (32 = 0.13). В ходе работы были получены следующие результаты:
1. Постепенно изменялся коэффициент с2 в пределах от 0.395 до 0.405 при условии фиксации всех остальных коэффициентов. Границы 0.395 и 0.405 взяты, как значения, при которых четырех "больших" циклов (трех - вокруг нуля) уже не наблюдается.
2. Постепенно изменялся коэффициент а2 в пределах от -2300 до -1750 при условии фиксации всех остальных коэффициентов. Границы —2300 и —1750 взяты, как значения, при которых четырех "больших" циклов (трех - вокруг нуля) уже не наблюдается. Заметим, что при а2 = — 1800 получена иллюстрация максимально близко расположенных друг к другу циклов (размеры первого, второго и третьего "больших" вокруг нуля циклов равны приблизительно (10,45,80), соответственно).
Выводы: были проверены все возможные отклонения от набора коэффициентов а2 = -10, Ъ2 = 2, с2 = 0Л,а2 = -1950,/% = 0.13. по каждому из пяти коэффициентов при условии фиксации всех остальных коэффициентов. Заметим, что для каждого коэффициента возможное отклонение значения, при котором наблюдается конфигурация четырех циклов (трех - вокруг нуля), свое. Так, для c i это примерно 0.005, для a i - примерно 1, для «г - примерно 300, а коэффициенты &2 и /?2 практически не удалось отклонить в сторону увеличения, а их возможные отклонения в сторону уменьшения: для 62 - примерно 0.03, для /?2 - примерно 0.05.
Замечание. Из-за необходимости подбора времени и начальных данных траекторий проведение численных экспериментов по визуализации циклов является весьма трудоемким процессом. Так, время, необходимое для того, чтобы проверить даже большим шагом пятимерное пространство на наличие циклов, исчисляется миллионами лет! Из этого можно сделать вывод о необходимости дальнейшего развития аналитических методов с целью исследования всего 5-мерного пространства коэффициентов квадратичных систем на предмет наличия циклов.
Замечание. Алгоритмы в Приложениях 1, 2, 3 даются как развернутые пояснения к методам, описанным ранее, поэтому используемые обозначения введены выше, в разделах, посвященных описанию теоретических методов.
Алгоритм вычисления ляпуновских величин Рассмотрим систему (1.6). Вместо функций /и5 будем рассматривать их приближенные значения п п fn(x,y)= ; /й V, 9п(х,у)= J2 0y V, (2.35) k+j=2 k+j=2 где n нечетное (п = 2т + 1). Тогда будем искать функцию Ляпунова V(x, у) в виде полинома (п + 1)-ой степени. Наложим дополнительные требования на коэффициенты многочлена V2p,2p+2 + V2p+2,2p = 0, У2p,2p = 00 V = 11,,... (2.36) И учтем (1.14), тогда У(ж, у) = V2(x, у) + V3(x, у) + ... + Vn+1(x, у), (2.37) 2 2 гдеУ2{х,у) = - -, V3(x, у) = V3fix3 + V2Ax2y + Vh2xy2 + V y\ Vi{x, y) = V4fix4 + V3jlx3y + V1:3xy3 + У0;4у4, V5(x, y) = V5fixb + 14,i A + Уз У + У2,3жУ + VM;n/4 + %іД Щх, у) = V6fix6 + V5,ixsy + F4;2 V + з,з У - V4;2x2y4 + Vi,5:n/5 + V0fiy6 и так далее. Для того, чтобы найти V(x,y) посчитаем дУ у и ЩМІ. дУ(х,у) дУ2{х,у) дУ3{х,у) дУп+1(х,у) дх дх + 9ж + "+ дх = х + (ЗУ3)о 2 + 2V2iixy + Уі,2у2) + (4У4,о 3 + ЗУздх2у + V y3) + ... дУ (х, у) дУ2{х,у) дУ3(х,у) дУп+1(х,у) ду ду + ду + "+ ду = /+(V2,i + 2Vii2xy + 3V0)3y ) + (Уз,іх +3V1)3xy + Щ,4у ) + ... Тогда fc+j=2 /c+j=2 = (ж + 3V3j0x2 + 2F2il + У1;2Ї/2 + ...)(-г/ + /20x2 + /narj/ + /02y2 + )+ +{v + И ,і 2 + 2Уі 2жу + 3V0j3y2 + ...)(ж + g20x2 + 0Пагз/ + W + ) Каждая скобка имеет степень п, значит, полученная функция - многочлен степени 2п. Откинув все члены, суммарная степень которых превосходит п + 1, получим многочлен степени п + 1, такой,что V{x,y, {Vij}?+j=2, {fij}?+J=2, fe}?+i=2) 72 Определим функцию та+1 W(x,y) = Y/w2k(xi + y2)k, (2.(2) fc=2 где w2k - неизвестные коэффициенты. Это полином степени п+1ОТЖи У Если W{x,y) вычесть из V(x,y) и в полученном полиноме начать приравнивать нулю коэффициенты при всех степенях ж и у, от меньших степеней к большим, полученная система будет всегда разрешима и притом единственным образом /Lynch, 2005/. Причем первый ненулевой коэффициент w2k даст нам значение (к - 1)-ой ляпуновской величины с точностью до константы [Lh-\ = 2жгШ2к) Приравнивая нулю коэффициенты при t-ой суммарной степени х и у многочлена V(x,y) - W(x,y), получаем систему, которая может быть записана в матричном виде: ML + Р = О, (2.39) здесь М-матрица вещественных чисел размера (t + l х + 1 ),, Ь и Р -столбцы размера t + 1, причем L состоит из Vy, где г + j = t и wt ((ели t - четное). Таким образом, L имеет вид
Численное построение области коэффициентов, соответствующих существованию трех больших предельных циклов квадратичных систем
Продолжим рассматривать систему (1.20). Критерий сушествования 2 "малых" и 2 "больших" предельных циклов был сформулирован выше (см. Теорему 4).
В работе /Leonov, 20102/ был сформулирован критерий существования 1 "малого" и 3 "больших" предельных циклов. Он имеет следующий вид:
Система (1.20) имеет 4 предельных цикл,, если выполнены условия а2 = -є"1, р2 = 0, с2 е (1/3,1/2), Ь2 а2 + с2, 2С2 Ъ2 + 1, 4а2(с2 - 1) (62 - l)2, Ь2с2 1, гг е є 0.
Условие Ъ2с2 1, взятое для отрицательности Li, на самом деле необязательно. Напомним, что L O) = 4(J )5/2(a2(62c2 - 1) - а2(Ъ2 + 2)). Условие отрицательности выполнено либо при Ь2с2 1, а2 О, либо при Ь2с2 1, а2 0, а2 a2b f
Заметим также, что условие Ъ2 а2 + с2 несущественное (следует из других). Перепишем тогда критерий существования 1 "малого" и 3 "больших" предельных циклов Система (1.20) имеет 4 предельных цикла, если выполнены условия fo = 0, с2е (1/3,1/2), 2С2 62 + 1, 4а2(с2-1) (Ь2-1)2, Ъ2 3 w, если 62с2 1, то а2 = -є 1, где 1 є О, а если Ъ2с2 1; то J f 2 0.
Далее рассмотрим вопрос о возможном расширении области коэффициентов (Ь2, с2), соответствующих существованию 3 "больших" и 1 "малого" предельных циклов. Для этого в работе проводится ряд численных экспериментов.
Оказалось, что от условий Ъ2 = 3 и с2 = 1/3 избавиться нельзя. А условие с2 = 1/2 не является необходимым. Так, новыми границами для с2 будет интервал (1/3,1/2). Иллюстрации, соответствующие значениям с2 Є (1/2,1), см. в Приложении 5.
Таким образом, новые условия существования 4 предельных циклов (3 "больших" и 1 "малого"), полученные численно-аналитическим путем, могут быть сформулированы в следующем виде:
Система (1.20) имеет 4 предельных цикла, если выполнены условия /?2 = 0, с2 Є (1/3,1), 62 3, 2с2 &2 + 1, 4а2(с2--1 (&2-1)2 и, если Ъ2с2 1; то а2 = -є" , где 1 є 0, а если Ь2с2 1, то " t-i ct2 0.
Заметим, что большая часть условий касается коэффициентов Ъ2 и с2. Проекция описанной выше области коэффициентов на плоскость (Ь2, с2) изображена на Рис. 2.11.
Тогда условия существования 4 предельных циклов могут быть переформулированы следующим образом: Рис. 2.11. Проекция трехмерной области на плоскость (Ь2,с2)
Для любой пары коэффициентов {Ъ2, с2) из област,, изибраженной на Рис. 2.11, для всех а2, удовлетворяющих условию 4а2(с2-1) (&2-1)2, и для всех а2 = — є 1, где 1 є О (если точка, соответствующая выбраннйй паре (Ь2, с2)7 леа/cwm под кривой Ь2с2 = Ц или для всех У а2 О ("если точка, соответствующая выбраннйй паре (62, с2), лежит над кривойЬ2с2 = I), может быть построено 3 "больши"" и 1 "малый" цикл.
Иллюстрации, полученные в ходе серии численных экспериментов, соответствуют существованию циклов для различных точек из описанной области и приведены в Приложении 5.
Замечание. Численно было проверенно, что при выполнении всех этих условий и при малых возмущениях (32 можно получить 4 "больших" цикла, см. Приложение 6. 2.3.2. Визуализация четырех больших предельных циклов квадратичных систем и исследование танца циклов
В работе исследовались коэффициенты, при которых наблюдается конфигурация четырех "больших" предельных циклов. Для этого было проведено исследование так называемого "танца циклов", то есть изменения конфигурации циклов системы при постепенном изменении каждого из 5 заданных коэффициентов (исходным был выбран набор коэффициентов а2 = -10, &2 = 2,с2 = 0.4, а2 = -1950, (32 = 0.13). В ходе работы были получены следующие результаты:
1. Постепенно изменялся коэффициент с2 в пределах от 0.395 до 0.405 при условии фиксации всех остальных коэффициентов. Границы 0.395 и 0.405 взяты, как значения, при которых четырех "больших" циклов (трех - вокруг нуля) уже не наблюдается.
2. Постепенно изменялся коэффициент а2 в пределах от -2300 до -1750 при условии фиксации всех остальных коэффициентов. Границы —2300 и —1750 взяты, как значения, при которых четырех "больших" циклов (трех - вокруг нуля) уже не наблюдается. Заметим, что при а2 = — 1800 получена иллюстрация максимально близко расположенных друг к другу циклов (размеры первого, второго и третьего "больших" вокруг нуля циклов равны приблизительно (10,45,80), соответственно).
Выводы: были проверены все возможные отклонения от набора коэффициентов а2 = -10, Ъ2 = 2, с2 = 0Л,а2 = -1950,/% = 0.13. по каждому из пяти коэффициентов при условии фиксации всех остальных коэффициентов. Заметим, что для каждого коэффициента возможное отклонение значения, при котором наблюдается конфигурация четырех циклов (трех - вокруг нуля), свое. Так, для c i это примерно 0.005, для a i - примерно 1, для «г - примерно 300, а коэффициенты &2 и /?2 практически не удалось отклонить в сторону увеличения, а их возможные отклонения в сторону уменьшения: для 62 - примерно 0.03, для /?2 - примерно 0.05.
Замечание. Из-за необходимости подбора времени и начальных данных траекторий проведение численных экспериментов по визуализации циклов является весьма трудоемким процессом. Так, время, необходимое для того, чтобы проверить даже большим шагом пятимерное пространство на наличие циклов, исчисляется миллионами лет! Из этого можно сделать вывод о необходимости дальнейшего развития аналитических методов с целью исследования всего 5-мерного пространства коэффициентов квадратичных систем на предмет наличия циклов.
